Aula 8. M aximos e m ³nimos

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1 Aula 8 M aimos e m ³nimos Nesta aula estaremos eplorando procedimentos estrat egicos para determinar os valores etremos de uma fun»c~ao f, ou seja, o valor m aimo eovalor m ³nimo de uma fun»c~ao f, emumintervaloi ½ R, sem recorrer a um esbo»co do gr a co de f nesse intervalo. Um teorema da An alise Matem atica, conhecido na literatura como Teorema de Weierstrass, nosgarante: (Teorema de Weierstrass) Se uma fun»c~ao f e cont ³nua em um intervalo fechado [a; b] (sendo a e b n umeros reais), ent~ao eistem pontos 0 e 1 em [a; b] tais que f( 0 ) e f( 1 ) s~ao, respectivamente, os valores m aimo e m ³nimo de f(), para em [a; b]. Os pontos 0 e 1 aos quais se refere o teorema de Weierstrass s~ao chamados ponto de m ³nimo de f e ponto de m aimo de f, respectivamente. O teorema e ilustrado na gura 8.1. Elucidando os conceitos aqui apresentados, sendo I ½ D(f) um intervalo (limitado ou ilimitado), dizemos que 1. f( 0 ) e o valor m ³nimo de f (ou de f()) emi se f( 0 ) f(), paratodo em I:. f( 1 ) e o valor m aimo de f (ou de f()) emi se f( 1 ) f(), paratodo em I: Por eemplo, no intervalo I =[ 1; +1[, a fun»c~ao dada por f() = tem um ponto de m ³nimo 0 =0, sendo f(0) = 0 seu valor m ³nimo, pois 0 para todo I. Nesse intervalo, f n~ao tem valor m aimo pois f() =+1. lim!+1 69

2 M aimos e m ³nimos 70 y y = f() a 0 1 b Figura 8.1. A fun»c~ao f, cont ³nua em [a; b], tem 0 e 1 como seus pontos de m ³nimo e de m aimo, respectivamente. 8.1 Estrat egias para determinar m aimos e m ³nimos de uma fun»c~ao cont ³nua,em um intervalo Como determinar os pontos de um intervalo fechado [a; b], onde uma fun»c~ao cont ³nua f atinge seus valores m aimo e m ³nimo? Uma solu»c~ao deste problema seria esbo»car o gr a co de f nesse intervalo, conforme as estrat egias desenvolvidas nas aulas 6 e 7, e ent~ao localizar os valores etremos de f. Mas como determinar os valores m aimo e m ³nimo de f, nointervalo[a; b], sem recorrer ao estudo do esbo»co de seu gr a co? E isto que trataremos de responder. Recapitulando um conceito introduzido na aula 6, diremos que 0 eumponto de m ³nimo local de f se eiste um intervalo aberto I ½ D(f), com 0 I, tal que f( 0 ) f(), paratodo em I E neste caso, f( 0 ) e umvalor m ³nimo local de f. Analogamente, diremos que 1 eumponto de m aimo local de f, e que f( 1 ) e um valor m aimo local de f, seeisteumintervaloabertoi ½ D(f), com 1 I, tal que f( 1 ) f(), paratodo em I Teorema 8.1 Se f temderivadaemumintervaloabertoi, ese 0 I e pontode m ³nimo local de f, ent~ao f 0 ( 0 )=0.Se 1 I e ponto de m aimo local de f, ent~ao f 0 ( 1 )=0. Demonstra»c~ao. Mostraremos que f 0 ( 0 )=0, usando a de ni»c~ao de derivada. Tome 6= 0,com 0 + I. Ent~ao f( 0 ) f( 0 + ) eda ³ f = f( 0 + ) f( 0 ) 0. Se >0, temos f 0, ese <0, temos f 0. Temos f 0 f ( 0 )= lim!0.

3 M aimos e m ³nimos 71 Neste caso, f 0 ( 0 ) = Mas f lim!0 + = lim f lim!0 + = lim f!0.!0 >0 f 0 e lim f!0 = lim f!0 0. <0 Logo, f 0 ( 0 ) 0 e f 0 ( 0 ) 0, eportantof 0 ( 0 )=0. Deiamos ao leitor a dedu»c~ao do resultado para pontos de m aimo locais. Observemos que se 0 eumpontodem ³nimo (absoluto) de f, ent~ao 0 tem uma das seguintes caracter ³sticas: (i) 0 etamb em um ponto de m ³nimo local de f, ef tem derivada em 0. Neste caso, conforme o teorema 8.1, f 0 ( 0 )=0. (ii) 0 eumpontodem ³nimo local de f, masf n~ao tem derivada no ponto 0. (iii) 0 e um dos etremos do intervalo [a; b], ou seja, 0 = a ou 0 = b. Os casos (i), (ii) e (iii) s~ao ilustrados na gura 8.. (i) (ii) (iii) a 0 b a b a = b 0 0 Figura 8.. Pontos de m ³nimo t ³picos. (i) (ii) (iii) a 1 b a b a = b 1 1 Figura 8.3. Pontos de m aimo t ³picos.

4 M aimos e m ³nimos 7 Analogamente, se 1 e um ponto de m aimo de f, ent~ao 1 tem uma das tr^es seguintes caracter ³sticas: (i) 1 etamb em um ponto de m aimo local de f, ef tem derivada em 1. Neste caso, conforme o teorema 8.1, f 0 ( 1 )=0. (ii) 1 eumpontodem aimo local de f, masf n~ao tem derivada no ponto 1. (iii) 1 e um dos etremos do intervalo [a; b], ou seja, 1 = a ou 1 = b. Esses casos s~ao ilustrados na gura 8.3. Um n umero real e chamado um ponto cr ³tico de f quando f 0 () =0ou quando f e cont ³nua em mas n~ao eiste f 0 (). Assim, um ponto de m aimo ou de m ³nimo de uma fun»c~ao f, emumintervalo[a; b], e um ponto cr ³tico de f ou uma das etremidades do intervalo. Eemplo 8.1 Determinar os valores m aimo e m ³nimo de f() = , no intervalo [ 3; 3]. Solu»c~ao. A fun»c~ao f e cont ³nua no intervalo [ 3; 3]. Temosf 0 () = = 6( + ). As solu»c~oes de f 0 () =0s~ao 1 = e =1. Estes s~ao os pontos cr ³ticos de f no intervalo [ 3; 3]. Calculando os valores de f nosetremosdointervalo e nos pontos cr ³ticos, temos: f( 1 )=f( ) = 0, f( )=f(1) = 7, f( 3) = 9 e f(3) = 45. Assim sendo, por compara»c~ao dos valores obtidos, o ponto de m ³nimo de f, para 3 3, e min = =1, sendo f(1) = 7 ovalorm ³nimo de f nesse intervalo. J a opontodem aimo de f, para 3 3, e ma =3, sendo f(3) = 45 ovalor m aimo de f nesse intervalo. Como ilustra»c~ao, temos um esbo»co do gr a co de f, no intervalo [ 3; 3], na gura y Figura 8.4.

5 M aimos e m ³nimos 73 Eemplo 8. Determinar os valores m aimo e m ³nimo de f() = 3p ( ),no intervalo 1 1. Solu»c~ao. A fun»c~ao f e cont ³nua no intervalo [ 1; 1]. f 0 () = 4( 5 +) 3 3p. Temos f 0 () =0seesomentese =ou =1=. Agora, 0 tamb em e um ponto cr ³tico de f, uma vez que f e cont ³nua no ponto 0, mas n~ao se de ne f 0 (0). Assim, Como 6 [ 1; 1], ospontoscr ³ticos de f s~ao 1 =1= e =0. Calculando os valores de f nos etremos do intervalo e nos pontos cr ³ticos, temos: f( 1 )=f(1=) = 9 4 3p ¼ 1; 4 ( 3p 4 ¼ 1; 6), f(0) = 0, f( 1) = 9 e f(1) = 1. 4 Portanto, f(0) = 0 e o valor m ³nimo de f, enquanto que f( 1) = 9 e seu valor m aimo. Quest~ao Como determinar os pontos de um intervalo I ½ D(f), nos quais f atinge seus valores m aimo e m ³nimo, se I e um intervalo aberto ou ilimitado, e f e cont ³nua em I? Neste caso, a resposta e: Sendo f cont ³nua em um intervalo I, comparamososvaloresdef nos etremos que efetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nosseuspontoscr ³ticos desse intervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f() quando tende a etremos que n~ao pertencem ao intervalo. Como refor»co estrat egico na pesquisa de m aimos e m ³nimos locais, temos tamb em o seguinte teorema. Teorema 8. Sendo f uma fun»c~ao cont ³nua, com f 0 tamb em cont ³nua, em um intervalo aberto I, e 0 um ponto de I, 1. se f 0 ( 0 )=0e f 00 ( 0 ) > 0, ent~ao 0 eumpontodem ³nimo local de f;. se f 0 ( 0 )=0e f 00 ( 0 ) < 0, ent~ao 0 eumpontodem aimo local de f; f' ( 0) = 0 f" ( ) > 0 0 f' ( 0) = 0 f" ( ) < Figura 8.5. N~ao faremos a demonstra»c~ao do teorema 8. aqui, mas faremos a seguinte observa»c~ao geom etrica, que o torna intuitivamente obvio.

6 M aimos e m ³nimos 74 Se f 0 ( 0 )=0, a reta tangente ao gr a co de f, emp =( 0 ;f( 0 )), e horizontal. Se, al em disso, f 00 ( 0 ) > 0, temos a concavidade do gr a co de f, emp, voltada para cima, e assim 0 eumpontodem ³nimo local de f. Sef 00 ( 0 ) < 0, a concavidade do gr a co de f, emp, e voltada para baio, e 0 eent~ao um ponto de m aimo local de f. Estas duas possibilidades s~ao ilustradas na gura 8.5. Eemplo 8.3 Determinar os valores m aimo e m ³nimo de f() = + 1,para>0. Solu»c~ao. Estamos procurando os valores m aimo e m ³nimo de f no intervalo ]0; +1[. Temos f 0 () =1 1,eportantof0 () =0(com >0) seesomentese =1. 1 Agora, lim f() =0+ =+1 e lim! valor m aimo em ]0; +1[.!+1 f() =+1. Portanto, f n~ao tem Temos ainda f 00 () = e f 00 (1) > 0. Assim, 3 1 =1 e pontodem ³nimo local de f. Comof n~ao tem outros pontos cr ³ticos, 1 e opontodem ³nimo global de f, sendo f(1) = ovalorm ³nimo de f no intervalo ]0; +1[. 8. Aplica»c~oes a problemas de otimiza»c~ao Eemplo 8.4 Qual e amaior area retangular que pode ser cercada com 00 mdetela de arame? Solu»c~ao. (Passo 1) Analisamos o problema, e desenhamos um diagrama incluindo toda a informa»c~ao. Introduzimos vari aveis. Fazemos isto na gura 8.6 y y Figura 8.6. O per ³metro do ret^angulo e +y. (Passo ) Epressamos a quantidade a ser maimizada como uma fun»c~ao de uma vari avel. Determinamos o dom ³nio dessa fun»c~ao a partir das condi»c~oes do problema.

7 M aimos e m ³nimos 75 A area do ret^angulo deve ser maimizada, sob a condi»c~ao de que o per ³metro e 00 m. Essa area e dadapora = y. Como y = 100, temos A = A() =(100 ) e, nas condi»c~oes do problema, temos (Passo 3) Determinamos o ponto de m aimo e o valor m aimo da fun»c~ao, no intervalo em que ela est a de nida. Usando os procedimentos discutidos anteriormente, sendo A() = 100, temos A 0 () = 100. A 0 () =0se e somente se =50.TemosA(50) = 50 (100 50) = 50 = 500. Temos ainda A(0) = A(100) = 0 (valor m ³nimo da area). Assim, o valor m aimo de A() e atingido quando =50m. Assim, o ret^angulo de per ³metro 00 m, com area m aima, e um quadrado de 50 mdelado. Eemplo 8.5 Uma grande caia deve ser constru ³da cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 3 mpor8 m, dobrando-se os quatro lados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que caram justapostas. Encontre o maior volume poss ³vel para esta caia. Solu»c~ao. (1) Um diagrama contendo todas as informa»c~oes do problema, bem como a introdu»c~ao de uma vari avel, e mostrado na gura Figura 8.7. () O volume da caia da gura 8.7 e dadopor V = V () =(8 )(3 ); para 0 3= (3) V 0 () =0se e somente se ==3 ou =3(esta ultima solu»c~ao est a descartada, pois 3 6 D(V )).

8 M aimos e m ³nimos 76 O unico ponto cr ³tico de V e =3. Nas etremidades do dom ³nio temos V =0. Como V 0, o ponto cr ³tico s o pode ser m aimo local, e portanto m aimo absoluto. Assim, ==3 e ponto de m aimo de V, e as dimens~oes da caia de volume m aimo s~ao 0=3, 5=3 e =3 m, tendo ela volume 00=7 m 3. Eemplo 8.6 Deseja-se construir uma lata cil ³ndrica totalmente fechada, de volume v, gastando-se, em sua confec»c~ao, a menor quantidade de material poss ³vel. Determine a raz~ao entre a altura e o di^ametro dessa lata. Solu»c~ao. (1) Diagramas contendo todas as informa»c~oes do problema, bem como a introdu»c~ao de uma vari avel, est~ao na gura 8.8 área do topo = π r r v = π r h h h área da superfície lateral = π rh π r área da base = π r área da superfície eterna total = π r + π r + π rh Figura 8.8. () A superf ³cie eterna total da lata cil ³ndrica, ilustrada na gura 8.8, e dada por S =¼r +¼rh Como ¼r h = v, temosh = v ¼r,eent~ao sendo S(r) de nida somente para r>0. (3) S 0 (r) =4¼r v r. S = S(r) =¼r + v r r v S 0 =0seesomenteser = 3,eeste eo unico ponto cr ³tico de S no intervalo ¼ r>0. Temos tamb em que lim S(r) =+1 e lim S(r) =+1. Assim, S(r) n~ao tem r!0 r!+1 valor m aimo, e seu unico ponto cr ³tico s o podeserpontodem ³nimo local. Isto e con rmado observando-se que S 00 (r) =4¼ + 4v > 0 para todo r>0. Portanto, o r 3

9 M aimos e m ³nimos 77 gr a co de S = S(r) tem convavidade voltada para cima, o que con rma r = 3 r v ¼ como seu ponto de m ³nimo local, e tamb em ponto de m ³nimo absoluto da fun»c~ao S. Sendo r = 3p v=(¼), temos h r = v ¼r 3 = v µ r 3 = 3 v ¼ ¼ v ³ v = ¼ ¼ Portanto, h =r, ou seja, a altura da lata deve ser igual ao di^ametro da base se quisermos minimizarmos o material a ser gasto em sua confec»c~ao. Este e o padr~ao, ao menos aproimado, de algumas latas de conservas, tais como latas de creme de leite e de leite condensado. Por quest~oes de praticidade, muitas latas fogem deste padr~ao, como por eemplo as latas de oleo comest ³vel. 8.3 Problemas Encontre os pontos de m aimo e de m ³nimo, bem como os valores m aimo e m ³nimo, das fun»c~oes dadas, nos intervalos indicados. 1. f() = 3p ( +4), [ 4; ] Resposta. min = 1, ma =, f( 1) = 3, f() = 6 3p ¼ 7; 6.. f() = + 4, [ ; ]. Resposta. min = 1, ma =, f( 1) = 5, f() = f() = 1+, R. Resposta. min = 1, ma =1, f( 1) = 1=, f(1) = 1=. 4. f() =, 6= 1. 1 Resposta. f n~ao tem m aimo, nem m ³nimo. Resolva os seguintes problemas de otimiza»c~ao. 1. Um recipiente de lata, de forma cil ³ndrica e aberto no topo, deve ter capacidade de v litros. Determine a raz~ao entre a altura h eodi^ametro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabrica»c~ao seja a menor poss ³vel. Resposta. h = d=.

10 M aimos e m ³nimos 78. Um estudante quer construir um viveiro ret^angular para seu hamster, usando a parede de um c^omodo como um dos lados e cercando os demais tr^es lados com 3 metros de tela dispon ³veis, obtendo a maior area retangular poss ³vel. Quais devem ser as dimens~oes deseuviveiro? Resposta. O viveiro deve ter 1;5 mnafrentee0;75 m nos lados. 3. Determinar as dimens~oes de um cilindro, de volume m aimo, inscrito em uma esfera de raio R. Sugest~ao. Fa»ca um desenho visualizando o cilindro de per l dentro da esfera. No desenho, voc^e ter a umret^angulo dentro de um c ³rculo. Demarque a altura h do cilindro, e di^ametro da sua base, r. Demarque tamb em o raio R da esfera. Use o teorema de Pit agoras obter rela»c~oes entre h e r. O volume do cilindro e dado por V =( area da base) (altura) =¼r h. Resposta. r = raio da base = q 3 R. h = altura do cilindro = p r. 4. Determinar as dimens~oes de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cuja area da superf ³cie eterna total e am aima poss ³vel. q 5+ Resposta. r = raio da base = p q 5 R, h = 5 p 5 R Na elipse + y =1, inscreva um ret^angulo, de a b area m aima, com dois de seus lados paralelos ao eio (e os outros dois paralelos ao eio y). Sugest~ao. Os quatro v ertices do ret^angulo, todos pertencentes µa elipse, ser~ao pontos (; y), ( ; y), (; y) e ( ; y). (-a,0) y (0,b) (0,-b) (a,0) Resposta. Oret^angulo tem dimens~oes p a e p b. 6. Quer-se construir um tanque de a»co para armazenar g as propano, com a forma de um cilindro circular reto, com um hemisf erio (semi-esfera) em cada etremidade. Se a capacidade desejada para o tanque e 100 dec ³metros c ubicos (litros), quais as dimens~oes que eigem a menor quantidade de a»co? (Despreze a espessura das paredes do tanque). Resposta. O tanque deve ser esf erico, de raio 3p 75=¼ ¼ ; 88 metros. 7. Qual ponto da par abola y = +1est a maispr oimodopontoa =(3; 1)? Sugest~ao. Adist^ancia de um ponto qualquer P =(; y) ao ponto A e dadapor d = p ( 3) +(y 1). Se P e um ponto da par abola, temos y = +1, eent~ao d = p ( 3) + 4. Como d 0, temos que d ter a seu valor m ³nimo quando d assumir seu valor m ³nimo. Assim, basta procurarmos o valor m ³nimo de f() =( 3) + 4. Resposta. (1; ). 8. Um veterin ario tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis, primeiro cercando uma regi~ao retangular e depois subdividindo essa regi~ao em seis

11 M aimos e m ³nimos 79 ret^angulos menores, atrav es de cinco cercas divis orias internas, paralelas a um dos lados. Que dimens~oes eternas, dessa regi~ao retangular, maimizam sua area total, se o veterin ario gasta os 100 m de tela nessa constru»c~ao? Resposta. 5 mpor50=7 ¼ 7; 14 m. 9. Ao procurar o ponto da hip erbole y =1mais pr oimo da origem, Jo~aozinho raciocinou da seguinte maneira. ptemosqueprocurar,dentreospontosdahip erbole, aquele para o qual d = + y tem valor m ³nimo. Como d 0, d ser a m ³nimo quando d for m ³nimo. Agora, sendo P =(; y) um ponto da hip erbole, temos y = 1, logod = + y = 1. Procurando o valor m ³nimo de d = f() = 1, calculamos f 0 () =4. Temos f 0 () =0seesomentese =0.Para =0por em, temos y =0 1= 1, uma impossibilidade. Logo, n~ao h a nenhum ponto da hip erbole cuja dist^ancia µa origemsejam ³nima. Epliqueoerronoracioc ³nio de Jo~aozinho, y j a que um esbo»co da hip erbole (fa»ca-o) revela que os pontos ( 1; 0) s~ao seus pontos y = 1 a b (0,b) mais pr oimos da origem. Sugest~ao. Para quais valores de de ne-se d? (-a,0) (a,0) (0,-b)