Fun»c~oes trigonom etricas e o \primeiro limite fundamental"

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1 Aula Fun»c~oes trigonom etricas e o \primeiro ite fundamental" Nesta aula estaremos fazendo uma pequena revis~ao de fun»c~oes trigonom etricas e apresentando um ite que lhes determina suas derivadas.. Pequena revis~ao de trigonometria.. Trigonometria geom etrica Consideremos os tri^angulos ABC e A 0 B 0 C 0 da gura.. s dois tri^angulos s~ao semelhantes, pois seus ^angulos internos s~ao iguais (congruentes). Assim, temos AB AC = AB0 AC 0 ; BC AC = B0 C 0 AC 0 ; BC AB = B0 C 0 AB 0 BC AC e BC AB Assim, sendo ABC um tri^angulo ret^angulo, como na gura. as raz~oes AB dependem somente da abertura µ = ^A. AC, C' C A θ B B' Figura.. Chamamos 93

2 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 94 cosseno de µ =cosµ = AB AC seno de µ =senµ = BC AC tangente de µ =tgµ = BC AB = cateto adjacente ao ^angulo µ hipotenusa = cateto oposto ao ^angulo µ hipotenusa = cateto oposto ao ^angulo µ cateto adjacente ao ^angulo µ Deduz-se imediatamente que tg µ = sen µ cos µ. Da trigonometria do ensino m edio, s~ao bem conhecidos os valores µ cos µ sen µ tg µ ± p 3=2 =2 = p 3 p p 45 ± 2=2 2=2 p p 60 ± =2 3= ± 0 n~ao se de ne Se PQ _ e umarcodeumc ³rculo de raio r, correspondente a um ^angulo central de abertura, ocomprimentoc de PQ _ e dadopor c = r (medida de em radianos) Q r c P Figura.2. c = r (quando e medido em radianos). Assim, o comprimento c do arco _ PQ e diretamente proporcional a r ea. Quando = 360 ±,temos Assim sendo, c = comprimento da circunfer^encia = 2¼ r 360 ± = 360 graus =2¼ radianos,ouseja80 ± = ¼

3 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 95 Se r = = uma unidade de comprimento, o comprimento c do arco simplesmente a medida de em radianos. _ PQ e A area do setor circular de ^angulo central tamb em e proporcional a. Quando =2¼, temosa area de um c ³rculo de raio r: A = ¼r 2. Assim, um setor circular de abertura, tem area A = 2 r2 ( em radianos)...2 Trigonometria anal ³tica Para de nir as fun»c~oes trigonom etricas de vari avel real, consideramos um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas no plano. Nele, consideramos a circunfer^encia de equa»c~ao = (de centro em (0; 0) eraio). Esta circunfer^encia e o que chamaremos de c ³rculo trigonom etrico. Dado um n umero real, tomamos A =(; 0) e demarcamos, no c ³rculo trigonom etrico, um ponto P tal que a medida do percurso de A a P, sobre o c ³rculo trigonom etrico, e igual a j j ( gura.3). Teremos o percurso AP passando uma ou v ariasvezespelopontoa, quando j j > 2¼. A partir do ponto A, opercurso AP _ e feito no sentido anti-hor ario (contr ario ao sentido do movimento dos ponteiros do rel ogio) se >0, e e feito no sentido hor ario (no mesmo sentido do movimento dos ponteiros do rel ogio) se <0. Talpercurso e um arco orientado. Dizemos que e a medida alg ebrica do arco orientado AP. Assim, por eemplo, P ¼ = P ¼ = ( ; 0), P ¼=2 = (0; ), P ¼=2 = (0; ), P ¼=4 =( p 2=2; p 2=2), P ¼=3 =( p 3=2; =2), ep 0 =(; 0) = P 2¼ = P 2n¼,paracada inteiro n. Sendo 2 R, consideremosp =( ; ), de nido como acima. De nimos =cos = cosseno de ; =sen = seno de Para estendermos a de ni»c~ao de tangente de a arcos orientados, tomamos um eio 0, paralelo ao eio, de origem 0 = A, orientado positivamente para cima, no qual usaremos a mesma escala de medidas do eio. Sendo 2 R, consideramos aretap. Se 6= ¼ 2 n¼, paratodon 2 Z, esta reta intercepta o eio 0 em T. Sendo t aabcissadet no eio 0,de nimos t =tg = tangente de Assim sendo, tg = sen cos. Se 0 < <¼=2, osvalorescos, sen, etg coincidem com aqueles das de ni»c~oes geom etricas de cosseno, seno e tangente, dadas na se»c~ao... Tamb em de nem-se as fun»c~oes trigonom etricas

4 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 96 P = (, ) A=(,0) Figura.3. ' P T ' = A Figura.4. No sistema, T =(;t )=(; tg ). cotangente de = cotg = cos sen secante de =sec = cos cossecante de =cosec = sen ( 6= n¼; 8n 2 Z) ( 6= ¼ + n¼; 8n 2 Z) 2 ( 6= n¼; 8n 2 Z) Na gura.5, ilustramos geom etricamente as seis fun»c~oes trigonom etricas de um arco no primeiro quadrante, isto e, satisfazendo 0 < < ¼=2. Listamos abaio algumas f ormulas uteis, envolvendo as fun»c~oes trigonom etricas. Aqui e sempre, cos 2 a =(cosa) 2, sen 2 a =(sena) 2, tg 2 a =(tga) 2,etc.. cos 2 a +sen 2 a = (isto porque 2 a + 2 a =) 2. +tg 2 a =sec 2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»c~aoporcos 2 a) +cotg 2 a =cosec 2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»c~ao por sen 2 a)

5 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 97 ' cotg ' cosec sen P tg cos A sec Figura.5. Geometria das seis fun»c~oes trigonom etricas, no primeiro quadrante. = sen - π 0 π/2 π 3π/2 2π - π - /2 0 π/2 π 3π /2 2π = cos - = tg π - /2 0 π/4 π /2 π 3π /2 - Figura.6. Gr a cos das fun»c~oes seno, cosseno e tangente. 3. sen(a + b) =sena cos b +senb cos a sen(a b) = sen a cos b sen b cos a

6 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 98 cos(a + b) =cosa cos b sen a sen b cos(a b) =cosa cos b +sena sen b 4. cos( a) = cosa, sen( a) = sen a tg( a) = sen( a) cos( a) = sen a cos a = tg a 5. sen 2a =sen(a + a) =2sena cos a cos 2a = cos(a + a) =cos 2 a sen 2 a 6. cos a = sen ¼ 2 a, sen a =cos ¼ 2 a.2 primeiro ite fundamental Vamos admitir que as seis fun»c~oes trigonom etricas s~ao cont ³nuas nos pontos onde est~ao de nidas. Na pr oima aula estaremos de nindo as fun»c~oes trigonom etricas inversas e calculando as derivadas de todas as fun»c~oes trigonom etricas. Para calcular a derivada de sen, e ent~ao calcular as derivadas das demais fun»c~oes trigonom etricas, deduziremos primeiramente o seguinte resultado, chamado na literatura do c alculo de primeiro ite fundamental. Proposi»c~ao. (Primeiro ite fundamental) sen!0 = Demonstra»c~ao. Seja um n umero real, 0 < < ¼=2, e consideremos, no c ³rculo trigonom etrico, o arco AP _ de comprimento, sendo A =(; 0) e P = P. Sejam P 0 aproje»c~ao ortogonal do ponto P no eio (PP 0? ), e T ainterse»c~ao da reta P com o eio 0 das tangentes. Temos ent~ao PP 0 < AP _,ousejasen <. Al em disso, a area do setor circular AP e dadapora = 2 r2 = 2. A area do tri^angulo AT e dadapor = tg A AT =. 2 2 bviamente A <, da ³ < tg,eportanto <tg. 2 2 Sumarizando, sendo 0 < <¼=2, sen < <tg

7 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 99 ' T P P' A Figura.7. Como sen >0, temosent~ao < sen < tg sen =. Comparando os inversos cos dos tr^es termos, obtemos cos < sen < Para ¼=2 < <0 tamb em valem as desigualdades acima, j a que, se 0 < <¼=2, cos( ) =cos e sen( ) = sen = sen. Agora faremos uso de um teorema sobre ites (que s o pode ser demonstrado a partir de um tratamento formal da teoria de ites), o teorema do confronto ou teorema do sandu ³che: Teorema. (Teorema do confronto, ou teorema do sandu ³che) Sendo I ½ R um intervalo, sendo a 2 I, ef, g e h fun»c~oes de nidas para 2 I, 6= a, se f() g() h() para todo 2 I; 6= a, ese f() = h() =L, ent~ao!a!a!a g() =L. Vale o mesmo resultado para ites laterais (neste caso, a pode ser o etremo inferior ou superior do intervalo I). Vale o mesmo resultado se a =+ ou. No nosso caso, temos f( ) =cos, g( ) = sen e h( ) =,todasde nidas para ¼=2 < <¼=2, 6= 0, satifazendo f( ) <g( ) <h( ). Temos f( ) = cos =,e h( ) = =.!0!0!0!0 Portanto g( ) =,ouseja,!0 sen!0 = sen Veremosadiantequeoresultado =, primeiro ite fundamental, e!0 imprescind ³vel para a dedu»c~ao das derivadas das fun»c~oes trigonom etricas. Note que as

8 Func»~oes trigonom etricas e o primeiro ite fundamental 00 desigualdades sen <<tg, empregadas no c alculo desse ite, s o fazem sentido se 2 R, quando ent~ao jj e a medida de um arco orientado (em radianos), em um c ³rculo trigonom etrico. segundo ite fundamental e aquele j a visto na aula 9, + n n!+ n = e..3 Problemas. Calcule os seguintes ites, lembrando-se de que!0 sen =. sen(=3) (a)!0 sen 2 t (e) t!0 cos t (i)!+ sen 2 (b)!0 sen a b (c) t!0 sen 2 2t t 2 cos a (f) cotg (g)!0!0 b (j)!+ sen (k)!0 cos(=) sen (d)!¼ ¼ sen 3 (h)!0 sen 5 sen(=3) Respostas. (a) =3. Sugest~ao. Fa»ca!0 =3 sen(=3)!0 =3 (b) a=b (c) 4 (d). Sugest~ao. Fa»ca primeiramente a mudan»ca de vari avel ¼ =. (e). sen Sugest~ao. 2 t t!0 cos t = sen 2 t(+cos t) t!0 ( cos t)(+cost) (f) (g) 0 (h) 3=5 (i) 2 (j) 0. Sugest~ao. Se >0, sen (k) 0. Sugest~ao. Mostre que j cos(=)j =!0 0, considerando que j cos(=)j jj, e use o teorema do confronto (teorema.).