Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de limites e derivadas. 38

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1 Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de ites e derivadas Derivadas de ordem superior Sendo f uma fun»c~ao, de nimos f 00 (l^e-se \f duas linhas") como sendo a derivada da derivada de f, ou seja f 00 () =(f 0 ()) 0 Outras maneiras diferentes de escrever a segunda derivada de = f() s~ao: f 00 () =f () () = d d = d µ d d d Anota»c~ao d e lida \de dois de dois". d Analogamente, de ne-se a terceira derivada de f(): f 000 () =f (3) () =(f 00 ()) 0 = d3 d 3 = d d µ d Para cada n, a derivada de ordem n, def() e de nida e escrita de diferentes formas: f (n) () =(f (n 1) ()) 0 = dn d = d µ d n 1 n d d n 1 d 4.3 Concavidades do gr a co De ni»c~ao O gr a co de = f() e c^oncavo para cima (ou tem concavidade voltada para cima) no intervalo aberto I se, eceto pelos pontos de tang^encia, a curva = f() est a, nesse intervalo, sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a ela nesse intervalo (veja gura 4.7).. O gr a co de = f() e c^oncavo para baio (ou tem concavidade voltada para baio) no intervalo aberto I se, eceto pelos pontos de tang^encia, a curva = f() est a, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaio de cada reta tangente a ela (veja gura 4.8). Teorema 4. Sendo f() deriv avel duas vezes nos pontos do intervalo aberto I, 1. Se f 00 () > 0 para todo I, acurva = f() e c^oncava para cima no intervalo I.. Se f 00 () < 0 para todo I, acurva = f() e c^oncava para baio no intervalo I.

2 Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de ites e derivadas. 39 Figura 4.7. Neste gr a co a curva = f() e c^oncava para cima, para valores de em um certo intervalo aberto I. Neste caso, a derivada f 0 () e crescente em I, e assim (f 0 ()) 0 > 0, ouseja,f 00 () > 0 Figura 4.8. Neste gr a co a curva = f() e c^oncava para baio, para valores de em um certo intervalo aberto I. Neste caso, a derivada f 0 () e decrescente em I, e assim (f 0 ()) 0 < 0, ouseja,f 00 () < 0. De ni»c~ao 4.4 (Pontos de in e~ao da curva = f()) OpontoP =( 0 ;f( 0 )) e umponto de in e~ao da curva = f() se, ao menos em um pequeno intervalo, esta curva e c^oncava para cima antes de 0,e ec^oncava para baio depois de 0,ouvice-versa.Al em disso a curva deve ter reta tangente no ponto P. Isto quer dizer que o ponto P =( 0 ;f( 0 )) e um ponto de mudan»ca do sentido de concavidade do gr a co de f. Veja gura 4.9. P 0 Figura 4.9. P e um ponto de in e~ao do gr a co de f. Nesta ilustra»c~ao, a curva = f() e c^oncava para baio antes de 0,ec^oncava para cima depois de 0. Tendo em vista o resultado do teorema 4., se f 00 () e cont ³nua, os candidatos a pontos de in e~ao s~ao os pontos (; f()) para os quais f 00 () =0.

3 Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de ites e derivadas. 40 Eemplo 4.1 Como primeiro eemplo, consideremos a fun»c~ao f() = 3. Temos f 0 () = 3 e f 00 () =. Assim, f esuasderivadasf 0 e f 00 s~ao todas cont ³nuas em R. Analisando a varia»c~ao de sinal de f 0 (), deduzimos: f 0 () > 0, 3 > 0, >3= Assim, f() e crescente no intervalo 3= (ou seja, no intervalo [3=; +1[). Por outro lado, f() e decrescente no intervalo ] 1; 3=]. Desse modo, em 0 =3=, temos um ponto m ³nimo local, que acontece ser o ponto de m ³nimo de f(). Note que f 0 (3=) = 0, pois se 0 eumpontodem aimo ou m ³nimo local, de uma fun»c~ao deriv avel, a reta tangente ao gr a co em ( 0 ;f( 0 )) deve ser horizontal. Como f 00 () => 0 para todo, o gr a co de f tem a concavidade sempre voltada para cima. Com os elementos deduzidos acima, notando que f(3=) = 9=4, e que 0 e 3 s~ao as ra ³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f() = 0), temos o esbo»co da curva = 3 na gura / /4 Figura Eemplo 4. Consideremos agora a fun»c~ao f() = 3 3. Temos f 0 () =3 6 e f 00 () =6 6. Assim, f esuasderivadasf 0 e f 00 s~ao todas cont ³nuas em R. Analisando a varia»c~ao de sinal de f 0 (), deduzimos: f 0 () =3( ) > 0, <0 ou >

4 Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de ites e derivadas. 41 Faremos ent~ao um diagrama de sinais da derivada. Neste diagrama indicamos os intervalos em que a derivada de f() e positiva (+) ounegativa( ) e, simultaneamente, indicamos os intervalos nos quais f() e crescente(%), e aqueles nos quais f() e decrescente (&). Indicamos tamb em pontos de m ³nimo locais e pontos de m aimo locais de f(). ' = 0 ' = 0 _ ' = f() pto. de ma. local pto. de min. local Assim, f() e crescente no intervalo ] 1; 0] e tamb em e crescente no intervalo [; +1[, sendo decrescente no intervalo [0; ]. Desse modo 0 e ponto de m aimo local de f e e pontodem ³nimo local. Repare que 0 e s~ao ra ³zes de f 0 (). Assim, nos pontos (0;f(0)) = (0; 0) e (;f()) = (; 4) as retas tangentes ao gr a co de f s~ao horizontais. Analisando a varia»c~ao de sinal de f 00 (), temos f 00 () =6 6 > 0, >1 Assim, a curva = 3 3,gr a co de f, tem concavidade voltada para cima quando >1, e para baio quando <1. OpontoP =(1;f(1)) = (1; ) e pontode in e~ao do gr a co Figura Com os elementos deduzidos acima, notando que 0 e 3 s~ao as ra ³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f() =0), temos o esbo»co da curva = 3 3 na gura Aqui levamos em conta tamb em que f() =+1 e f() = 1.!+1! 1

5 Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de ites e derivadas Problemas Cada uma das fun»c~oes f() dadas abaio tem como dom ³nio todo o conjunto R. Para cada uma delas, (a) Calcule f 0 () e, analisando em um eio os sinais de f 0 (), determine os intervalos em que f e crescenteeaquelesemquef e decrescente; (b) Determine os pontos de m aimo locais e os pontos de m ³nimo locais de f, bem como os valores de f() nesses pontos; (c) Calcule f 00 () e, analisando em um eio os sinais de f 00 (), determine os intervalos em que a curva = f() e c^oncava para cima e aqueles em que ela e c^oncava para baio; (d) Determine os pontos de in e~ao da curva = f(); (e) Calcule os ites f() e f().!+1! 1 (f) A partir dos dados coletados acima, fa»ca um esbo»co bonito do gr a co de f. 1. f() = f() = f() = 4 +1 Respostas e sugest~oes 1. (a) f 0 () = +. f % ( e crescente) em ] 1; 1], e& ( e decrescente) em [1; +1[. (b) 1 e pontodem aimo local de f. f(1) =. (c) f 00 () =. Acurva = f() e semprec^oncava para baio. (d) A curva = f() n~aotempontosdein e~ao. (e)!+1 f() = 1,! 1 f() = 1.. (a) f 0 () = f % em ] 1; 1], & em [1; 3], e% novamente em [3; +1[. (b) 1 e pontodem aimo local de f, 3 e pontodem ³nimo local. f(1) = 4, f(3) = 0. (c) f 00 () = 6 1. A curva = f() e _ (c^oncava para baio) em ] 1; [ e ^ (c^oncava para cima) em ]; +1[. (d) P =(; ) e o unico ponto de in e~ao do gr a co de f. (e)!+1 f() =+1,! 1 f() = 1.

6 Semana 4. Desenhando gr a cos de fun»c~oes, atrav es de ites e derivadas (a) f 0 () = 4(1 ) (1 + ). f & em ] 1; 1], % em [ 1; 1], e& em [1; +1[. (b) 1 e pontodem ³nimo local de f, 1 e pontodem aimo local. f( 1) =, f(1) =. (c) f 00 () = 8( 3) (1 + ). 3 Acurva = f() e _ em ] 1; p 3[, ^ em ] p 3; 0[, _ em ]0; p 3[ e ^ em p 3; +1[. (d)ospontosdein e~ao do gr a co s~ao ( p 3; p 3), (0; 0) e ( p 3; p 3) (e)!+1 f() =0,! 1 f() =0. Esbo»cos dos gr a cos