Derivando fun»c~oes exponenciais e logar ³tmicas

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1 Aula 0 Derivando fun»c~oes eponenciais e logar ³tmicas Nesta aula estaremos deduzindo as derivadas das fun»c~oes f() =a e g() =log a, sendo a uma constante real, a>0 e a 6=. O que faz do n umero e uma constante t~ao especial? A resposta est a no seguinte teorema Teorema 0.. Se f() =e,ent~ao f 0 () =e. Ou seja, a derivada da fun»c~ao eponencial de base e coincide com a pr opria fun»c~ao. 2. Se f() =a (a>0, a 6= ), ent~ao f 0 () =a ln a. Demonstra»c~ao. Seja f() =e.ent~ao f lim!0 f( + ) f()!0 e e e!0!0 e e = e lim!0 e = e =e e + e!0 Para justi car o ultimo passo na dedu»c~ao acima, nos resta demonstrar: Proposi»c~ao 0. e h lim = h!0 h 88

2 Derivando func»~oes eponenciais e logar ³tmicas 89 Demonstra»c~ao. Faremos o c alculo do limite atrav es de uma interessante mudan»ca de vari avel. Fazendo e h =z, temose h =+z, eent~ao h =log e ( + z) Assim sendo, h! 0 seesomentesez! 0, eent~ao e h z lim h!0 h z!0 log e ( + z) z!0 log e ( + z) z h z!0 log e ( + z) =zi = log e e = = Portanto, sendo f() =e f,temos lim!0 = e. Para calcular a derivada de a,fazemos Pela regra da cadeia, (e u ) 0 = e u u 0,logo a = e log e a = e log e a = e ln a (ln a) = e (a ) 0 = e (ln a) 0 = e (ln a) ((ln a)) 0 = e (ln a) ln a = a ln a Quanto a fun»c~oes logar ³tmicas, temos o seguinte Teorema 0.2. (ln ) 0 = 3. (log a ) 0 = ln a 2. (ln jj) 0 = 4. (log a jj) 0 = ln a Demonstra»c~ao. Se y =ln, ent~ao y =log e,eportanto = e y. Por deriva»c~ao impl ³cita em rela»c~ao a, temos() 0 =(e y ) 0,logo=e y y 0. Portanto y 0 = e y =,ouseja,(ln )0 ==. Assim sendo, (log a ) 0 = µ 0 ln = ln a (ln )0 ln a = ln a. Para derivar ln jj, oulog a jj, lembremo-nos de que jj = quando >0, e jj = quando <0. Assim, se >0, reca ³mos nos itens e 3. Se <0, (ln jj) 0 =(ln( )) 0 = ( )0 = ( ) =. O item 4 e deduzido analogamente. Proposi»c~ao 0.2 Sendo uma constante real, racional ou irracional, e > 0, ( ) 0 =

3 Derivando func»~oes eponenciais e logar ³tmicas 90 Demonstra»c~ao. Se y = ent~ao ln y =ln = ln. Por deriva»c~ao impl ³cita, em rela»c~ao a, temos(ln y) 0 =( ln ) 0. Logo, y y0 =. Portanto, y 0 = y = =. No eemplo seguinte, fazemos uso da fun»c~ao ln para derivar uma fun»c~ao eponencial de base e epoente vari aveis. Eemplo 0. (Uma fun»c~ao eponencial de base e epoente vari aveis) Calcular aderivadadef() =. Solu»c~ao. Sendo y =,temosln y =ln = ln. Derivando ambos os membros em rela»c~ao a, temos (ln y) 0 =( ln ) 0 y y0 =ln + (ln ) 0 µ y 0 = y ln + = ( + ln ). Portanto ( ) 0 = ( + ln ). 0. Problemas. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes. (a) y = e 3 (b) y = e 4+5 (c) y = a 2 (d) y = (e) y = e ( 2 ) (f) y = e e + (g) y = = (h) y = ¼ ¼ Respostas. (a) 3e 3 (b) 4e 4+5 (c) 2a 2 ln a (d) 2( +) ln 7 (e) e ( 2 2 ) 2e (f) (e +) 2 (g) = ln 2 (h) ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ln ¼ 2. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes. (a) y =lnja + bj (b) y =log a ( 2 +) (c) y =ln e +e (d) y =ln +2 (e) y =lnj 2 +2j (f) y =log 2 0 (3 2 +2) 5 (g) y = ln (h) y =(ln) 3 (i) y =ln( + p 2 + ) ( 6= 0) (j) y =log 0 (ln ) (k) y = ln a+ 2a a (a 6= 0) a 2 4 Respostas. (a) a+b (b) (c) ( 2 +) ln a +e (d) (e) (ln )2 (f) (g) +ln (h) (3 2 +2) ln 0 (i) p (j) 2 + ln ln 0 (k) a 2 2

4 Derivando func»~oes eponenciais e logar ³tmicas 9 3. Calcule y 0, calculando ln y, epandindo o segundo membro, utilizando propriedades de logaritmos, e ent~ao derivando implicitamente. q (a) y = 3 ( 2 +) (b) y = (+)2 (c) y = (+2 ) ( ) 2 (+2) 3 (+3) 4 p 2 q (d) y = (3 2 +2) p 6 7 q ³ Respostas. (a) 3 3 ( 2 +) ( ) (b) (+)( ) (+2) 4 (+3) ³ q 5 (c) +32 p 2 4 (d) 3 ( 2 ) (6 7) (3 2 +2) p Calcule dy=d, sey = f() e de nida implicitamente pela equa»c~ao (a) 3y 2 +ln(y) =2 (b) ln y y ln = (c) e y 3 +3y 2 = Respostas. (a) dy d = (22 )y (3y+) (b) dy d = y2 y ln y 2 y ln (c) dy d = 32 ye y e y +6y 5. Determine a equa»c~ao da reta tangente µa curvay = 2 +ln(2 5) no ponto dessa curva de abcissa 3. Resposta. y = Mostre que a fun»c~ao y = C e + C 2 e 2 e solu»c~ao da equa»c~ao diferencial y 00 +3y 0 +2y =0. 7. A posi»c~ao s de um ponto m ovel P sobre um eio horizontal s e dadapors(t) = t 2 4ln(+t), t 0, sendo s dado em cent ³metros e t em segundos. Determine a velocidade e a acelera»c~ao do ponto P em um instante t qualquer. Determine os intervalos de tempo em que o ponto P se move (a) para a esquerda, isto e, em dire»c~ao contr aria µa do eio s, e(b)paraadireita.resposta. v(t) = 2(t2 +t 2), t+ a(t) =2+ 4.(a)0 t<, (b)t>. (t+) 2 8. Esboce o gr a co de f() =e =, analisando a fun»c~ao f atrav es de derivadas e c alculos de limites apropriados. Resposta. Areta =0(eio y) eass ³ntota vertical do gr a co (somente para >0). y Aretay = e ass ³ntota horizontal do 6 gr a co. f 0 () = e = = 2 f 00 () =e = (2 +)= Esboce o gr a co de f() = 2 +e =, analisando a fun»c~ao f atrav es de derivadas e c alculos de limites apropriados.

5 Derivando func»~oes eponenciais e logar ³tmicas 92 Resposta y E util saberque f e uma fun»c~ao ³mpar,ou seja, f( ) = f(), paracada 6= 0 (veri que). f 0 2e = () = 2 ( + e = ) 2 - f 00 () = 2e= [e = (2 ) + 2 +] ( + e = ) 3 4 Dado num erico. Ra ³zes de f 00 : ¼ 0; 4. Sendo f uma fun»c~ao ³mpar, temos que f 0 e uma fun»c~ao par (f 0 ( ) =f 0 ()), e f 00 e tamb em fun»c~ao ³mpar (veja problema 9, aula 3). 0. (a) Qual n umero real e maior,(0; ) 0; ou (0; 2) 0;2? (b) Qual e o menor valor de, sendo real e positivo? Respostas. (a) (0; ) 0; > (0; 2) 0;2 (b) (=e) =e. Sugest~ao para ambos os itens. Veri que os intervalos de crescimento e de decrescimento de f() =.. Mostre que ¼ e <e ¼,semousodem aquinas de calcular. Sugest~ao. Considere f() = ln. Mostre que f e crescente no intervalo ]0;e] e decrescente no intervalo [e; +[. Use ent~ao ofatodeque¼>e.

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