5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações
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- Nelson Azeredo Assunção
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1 5. O Teorema do Valor Médio & Aplicações. Se f () = + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do Valor Médio) no intervalo [; 8] : 2. Seja f () = j j. Mostre que não eiste um número c satisfazendo 3f 0 (c) = f (3) f (0). Isso contradiz o TVM? 3. Considere f () = 3p 2. Veri que que f ( ) = f (), mas não eiste um número c 2] ; [, satisfazendo f 0 (c) = 0. Isso contradiz o Teorema de Rolle? Por quê? 4. Prove que a equação 3 + = 0 tem eatamente uma raiz real. 5. Prove que eiste um único número real talque e + = 0: 6. Seja f : [a; b]! R uma função contínua. Se f é derivável em (a; b) e f 0 () = 0; 8 2 (a; b), mostre que f é uma função constante. 7. Mostre que arctg + arccotg = =2: (sug.: mostre que a função f () = arctg + arccotg é constante e, então, calcule f ()). 8. Seja f : [a; b]! R uma função contínua. Se f é diferenciável em (a; b) e f 0 () = f () ; 8 2 (a; b), mostre que eiste uma constante C tal que f () = Ce ; 8 2 [a; b] : (sug.: veri que que a função ' () = f () e é constante). 9. Sejam f; g : [a; b]! R funções contínuas. Se ambas são diferenciáveis em (a; b) e f 0 () = g 0 (), para todo 2 (a; b), mostre que essas funções diferem por uma constante, isto é, f () = g ()+C: 0. Considere g () = Encontre a função f que satisfaz f 0 () = g 0 () e f () = 2:. Mostre que e +, para 0: Mostre, em seguida, que e =2, com a mesma restrição > 0. Use o processo indutivo para provar, em geral, que: e ! + 3 3! + + n ; para 0: (5.) n! E se < 0 a desigualdade (5.) continua válida? 2. Mostre que < ln ( + ) <, seja qual for o > 0: +
2 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 3. Mostre que sen <, seja qual for o > 0: 4. Mostre que a equação 2 sen cos = 0 tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva. 5. Mostre que < tg, para 0 < < =2: 5.2 Máimos & Mínimos. Considere a função f () = : (a) Decida sobre a eistência de máimos ou mínimos locais e absolutos de f: (b) Calcule os valores máimo e mínimo de f no intervalo [ esses valores são assumidos. 2; 3] e determine os pontos nos quais 2. Considere a função f () = : (a) Decida sobre a eistência de máimos ou mínimos locais e absolutos de f: (b) Calcule os valores máimo e mínimo de f no intervalo [0; 3] e determine os pontos nos quais esses valores são assumidos. (c) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [=2; 3] : (d) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [=2; 5=2] : (e) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [3=4; 9=4] : 3. Analise cada uma das funções de nidas abaio com relação à eistência de máimos ou mínimos locais e absolutos. (a) f () = sen + cos ; 2 [0; 2] (b) f () = e ; 2 R (c) f () = 3 cos (2) ; 2 [0; ] (d) f () = p 2 ; 2 [ ; ] (e) f () = 2 + =; 6= 0 (f) f () = 2p 2 ; 2 [ ; ] 4. A função f () = 2 j j, de nida para 0 2; admite algum ponto de máimo ou de mínimo? 5. Determine, se eistirem, os pontos de mínimo e de máimo da função y = 2e 2 : Analise, ainda, o grá co dessa função quanto à concavidade.
3 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 3 6. Esboce o grá co de cada uma das funções de nidas abaio. (a) f () = 3 3 (b) f () = (c) f () = 4 3 (d) f () = + 2 (e) f () = + (i) f () = (f) f () = (g) f () = + 2 (h) f () = (j) f () = (k) f () = (l) f () = 2 2 (m) f () = sen + cos (n) f () = sen (o) f () = e (p) f () = e 2 7. Na Figura 5. ilustramos uma função real y = f (), suposta derivável no intervalo [; 4): (a) Em que intervalo f é crescente? (b) Em que intervalo f é decrescente? (c) Essa função possui pontos de máimo ou de mínimo? E ponto de in eão ela possui? (d) O que representa, no grá co, a reta y = 4? 8. Suponha que a Figura 5.2 corresponda ao grá co da derivada f 0 () de certa função y = f (). (a) Qual a inclinação da tangente ao grá co de f em =? (b) Com relação ao crescimento e à concavidade, descreva o grá co de f no intervalo [; 2]. (c) O grá co de f possui alguma tangente horizontal? (d) A função f possui ponto de máimo ou de mínimo local? 9. Eiste algum valor para m, de modo que a função f () = m m 2 ln + 2 tenha = 2 como ponto de mínimo local? 0. Se a 2 < 3b, deduza que a função f () = 3 + a 2 + b + c não possui máimo nem mínimo. 5.3 Problemas de Máimos & Mínimos. Determine dois números positivos e y com produto p e cuja soma seja a menor possível.
4 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 2. Determine as dimensões de uma caia retangular de base quadrada, sem tampa, de forma que sua área total tenha um valor pre ado A e seu volume V seja o maior possível. 3. Demonstre que o retângulo de área máima inscrito em um círculo de raio r é um quadrado. 4. De todos os triângulos isóceles de igual perímetro, o que tem maior área é o triângulo eqüilátero. 5. Dois corretores, de larguras a e b, encontram-se num ângulo reto, como indica a Figura 5.3, e desejamos construir uma viga de comprimento mínimo l passando horizontalmente de um corredor ao outro. Sabendo que tal comprimento l coincide com o mínimo da função l() = determine l, em função de a e b. a sen + b cos ; 6. Encontre sobre a curva y 2 2 =, o ponto mais próimo do ponto A ( ; 0) : 7. Qual o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado resulta no maior valor possível? 8. Qual ponto da parábola y = 2 está mais próimo da origem? (sug.: esse problema consiste em minimizar a função f () = 2 + y 2 = , que representa o quadrado da distância de um ponto da parábola à origem). 9. Qual ponto da parábola y = 2 está mais próimo da reta y = 2? (sug.: minimize o quadrado da distância de um ponto a uma reta!). 0. Dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro p, mostre que o quadrado é o de maior área.. Para encontrar a reta que passa no ponto A (3; 2) e forma com os eios coordenados um triângulo de área mínima, proceda assim: (a) Observe a ilustração na Figura 5.4. (b) Admita a reta na forma y = a + b e note que 3a + b = 2: (c) A função a ser minimizada é a função área: A(a; b) = 0y 0 2 = b2 2a : (d) Determine a e b e, em seguida, a equação da reta.
5 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 5 2. Encontre os comprimentos dos lados do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r, estando a base do retângulo sobre o diâmetro do semicírculo. (sug.: a função a ser maimizada é a área e esta vem dada por: A = 2y = 2 p r 2 2 : 3. Uma indústria de embalagens de metal onde você trabalha é escolhida para fornecer latinhas de cerveja de 500ml para um fabricante multinacional. O gerente da fábrica descobre que você é um funcionário que já estudou cálculo e, por essa razão, lhe procura e pergunta: as dimensões da lata (altura e raio) podem in uir no custo da produção? (sug.: lembre-se das fórmulas básicas da área total e volume do cilindro de raio e altura y: A T = y e V = 2 y = 500). 4. Uma indústria produz determinado artigo e vende-o com um lucro mensal dado pela epressão L (q) = q 3 + 2q q 4, onde q representa a quantidade produzida mensalmente. Qual a produção que maimiza o lucro? Qual é esse lucro máimo? 5. Duas torres têm, respectivamente, 50 e 30 metros de altura, estando separadas por uma distância de 50 metros e um cabo guia deve ser estendido do ponto A até o topo de cada torre. (veja Figura 5.6). (a) Localize eatamente o ponto A de modo que o comprimento total do cabo seja mínimo. (b) Mostre que o comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são iguais, independente da altura das torres.
6 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 6. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um o. Com 800m de o à disposição, qual é a maior área que se pode cercar e quais são suas dimensões? 7. Uma folha com perímetro de 36m será enrolada para formar um cilindro, como é mostrado na gura ao lado. Que valores de e y fornecem o maior volume? A mesma folha sofrerá uma revolução em torno de seu lado y gerando um outro cilindro. Que valores de e y fornecem, agora, o maior volume? 8. Determine o raio r e a altura h do maior cilindro circular reto que pode ser colocado dentro de uma esfera de raio p 3, como sugere a gura 5.9 ao lado. (recorde-se que o volume da esfera e do cilindro sã o dados, respectimaente por: V E = 4 3 R3 e V C = r 2 h): 9. Se o perímetro do setor circular apresentado na gura 5.0 ao lado for ado em 00m, que valores de r e s darão ao setor a maior área? O perímetro e a área do setor são dados, respectivamente, por: 00 = 2r + s e S = rs A Regra de L Hôpital John Bernoulli descobriu uma regra para o cálculo de ites de frações cujos numeradores e denominadores tendem para zero. A regra é conhecida atualmente como Regra de l Hôpital, em homenagem ao marquês de St. Mesme, Guillaume François Antoine de l Hôpital (66-704), um nobre francês que
7 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 7 escreveu o primeiro teto elementar de cálculo diferencial, onde a regra foi impressa pela primeira vez. FORMA INDETERMINADA 0=0 Se as funções contínuas f () e g () são zero em = a, então f ()!a g () não pode ser calculado com a substituição = a: A substituição gera a epressão 0=0, sem signi cado algum. Recorde-se dos argumentos que utilizamos em sala de aula para calcular!0 (sen ) =, em que a substituição = 0 produziu a forma indeterminada 0=0. Por outro lado, fomos bem sucedidos com o ite!a f () f (a) a com o qual calculamos a derivada f 0 (a) e que sempre resulta na forma 0=0 com a substituição = a: A Regra de l Hôpital nos permite usar derivadas para calcular ites que, abordados de outra forma, conduzem à formas indeterminadas. Teorema 5. (Regra de l Hôpital) Suponha que f (a) = g (a) = 0, que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto contendo a e que g 0 () 6= 0 nesse intervalo eceto, possivelmente, em = a: Então: desde que eista o ite do lado direito de (5:2). f ()!a g () = f 0 ()!a g 0 () ; (5.2) Alerta! Ao aplicar a Regra de l Hôpital não caia na armadilha de usar a derivada de f=g. O quociente a ser usado é f 0 =g 0 e não (f=g) 0. Ilustração Aplicando a Regra de l Hôpital A epressão cos + 2 com = 0 produz a indeterminação 0=0 e aplicando a regra (5.3), encontramos: cos sen!0 + 2 =!0 + 2 = 0 = 0 FORMAS INDETERMINADAS =; 0 e Uma versão da Regra de l Hôpital também se aplica a quocientes que produzem as formas indeterminadas =; 0;. Por eemplo, se f () e g () tendem ao in nito, quando! a, então a fórmula (5.2) continua válida, desde que o ite do lado direito eista. Aqui, como também na forma indeterminada 0=0, o ponto a onde investigamos o ite pode ser nito ou. Eemplo 5.2 Calcular os ites: (a)!=2 sec + tg ln (b) 2 p :
8 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Solução (a) Note que o numerador e o denominador sendo descontínuos em = =2, investigaremos os ites laterais nesse ponto. Temos:!(=2) sec + tg = = (l Hôpital) =!(=2) sec tg sec 2 =!(=2) O ite lateral à direita também é e, neste caso, a forma indeterminada é eiste e tem valor. sen = :. Logo, o ite (b) Temos ln 2 p = = (l Hôpital) = = = p = p = 0: Eemplo 5.3 (Usando as formas 0 e (a) sen (b) :!0 sen ) Calcular os ites: Solução (a) Temos que sen = 0 = (fazer t = =) = t!0 + t sen t = : (b) Se! 0 +, então sen! 0 + e, portanto, então sen! saída é combinarmos as frações: sen sen!. De maneira similar, se! 0 ; + : Nenhuma das duas formas revela o que acontece com o ite. A e, então, aplicamos a Regra de l Hôpital ao resultado: sen =!0 sen!0 sen = 0 0 = sen sen = (l Hôpital) =!0 =!0 sen 2 cos sen = 0 2 = 0: FORMAS INDETERMINADAS ; 0 0 e 0 cos sen + cos = 0 0 = (l Hôpital) = Os ites que produzem essas formas indeterminadas podem, às vezes, ser tratados utilizando-se logarítmos. De fato, da relação f () = ep [ln f ()] deduzimos que: h i ln [f ()] = L =) ep [ln f ()] = ep ln f () = e L : (5.3)!a!a!a Em (5.3) o ponto a pode ser nito ou :
9 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 9 Eemplo 5.4 Calcular os seguintes ites: (a) + (b)!0 (c) + = Solução (a) Trata-se de uma indeterminação do tipo, a qual será convertida em 0=0 por aplicação do logarítimo. Considerando f () = ( + =) ; temos: e, portanto: ln f () = ln + = ln + ln ( + =) ln ( + =) = =) f () = ep = = f () = = ep ep [ln f ()] = ep + = = e = e: ln ( + =) = ep( 0 = 0 ) = (l Hôpital) = (b) Trata-se de uma indeterminação do tipo 0 0 e procederemos como no ítem (a). Temos:!0 = 0 0 = ep [ln +!0 ] = ep ln +!0 + = (l Hôpital) = ep =!0 + = 2 = ep = ep ( )!0 + ln!0 + = = e 0 = : = ep( ) = (c) Temos agora uma indeterminação do tipo 0 e procederemos como no ítem (a). Temos: = = 0 = ep h = (l Hôpital) = ep ln =i = ep = = ep ln = ep( ) = = e 0 = : 5.4. Escrevendo para aprender Como parte do processo de treinamento, vamos demonstrar a Regra de l Hôpital (5.2), no caso em que o ite é nito, isto é, quando a for um número real. A demonstração é na verdade uma aplicação do Teorema do Valor Médio de Cauchy, que é uma versão um pouquinho mais geral do Teorema do Valor Médio apresentado em sala de aula.
10 0 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Teorema 5.5 (Valor Médio de Cauchy) Suponha que as funções f e g sejam contínuas no intervalo fechado [a; b] e deriváveis no intervalo aberto (a; b) e suponha, ainda, que g 0 () 6= 0 em qualquer do intervalo (a; b) : Então eiste um número c em (a; b) tal que: f (b) g (b) f (a) g (a) = f 0 (c) g 0 (c) : (5.4) Demonstração Daremos o roteiro e deiaremos os detalhes da demonstração para você preencher. Não deie de fazê-lo. (i) Aplique o Teorema de Rolle para a função g em [a; b] e deduza que g (b) 6= g (a) ; essa condição é necessária em (5.5). (ii) Aplique o Teorema de Rolle à função F () = f () f (a) f (b) f (a) [g () g (a)] g (b) g (a) para deduzir que eiste c em (a; b) tal que F 0 (c) = 0 e a partir dessa igualdade obtenha (5.4) Demonstração da Regra de L Hôpital Comece revendo as condições eigidas na regra. Suponha que esteja à direita de a e aplique o TVM de Cauchy ao intervalo [a; ] : Eiste c entre a e tal que: f 0 (c) g 0 (c) = f () g () f (a) g (a) = f () g () (lembre-se que f (a) = g (a) = 0). Logo, f 0 (c) g 0 (c) = f () g () : Conforme tende para a, o número c também se aproima de a, porque está entre e a. Conseqüentemente, tomando o ite na última igualdade, com! a + ; obtemos: f ()!a + g () = f 0 (c)!a + g 0 (c) = f 0 ()!a + g 0 () ; (5.5) que estabelece a Regra de l Hôpital. O caso em que está à esquerda de a o TVM de Cauchy é aplicado ao intervalo [; a] e o ite obtido é o ite lateral à esquerda. Observação 5.6 (Sobre as formas 0 e 0 :) Seriam as formas 0 e 0 indeterminadas. Presuma que uma função f () não é negativa em um intervalo aberto contendo c e que!c f () = 0: (a) Se!c g () =, então!c f () g() = 0 e (b) (b) Se!c g () =, então!c f () g() = :
11 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações De fato: primeiro, recorde-se que ep (+) = + e ep ( ) = 0 e, depois, que h i f!c ()g() = ep g () ln f () = ep [() ( )] = ep () :!c Eercícios Complementares 5.4. Calcule os ites indicados. ln p (a) (b) ln (c)!0 +!+ = (e) (f)!+ +!0 sen ln ( ) (g) + 2 ln ( + t) (i) y tg y (j) y!=2 2 t! log 2 t (d)!0 ( + ) = (h)!0 ( cos ) cotg (k) ( + e ) = (l) (=2 arctg )!0 2. A Regra de l Hôpital não ajuda a encontrar os ites apresentados abaio. Tente, você voltará sempre ao mesmo ponto. Calclule os ites de outra maneira. p p 9 + sec cotg (a) p (b) (c) p (d) +!(=2) tg!0 + sen!0 + cosec 3. Qual está correto e qual está errado? Justi que suas respostas. 3 (a)!3 2 3 =!3 2 = 6 (b)! = 0 6 = 0 4. Em cada caso, construa duas funções deriváveis f e g; com f () = g () = ; que satisfaçam à condição especi cada. (a) f () g () = 3 5. Considere as funções f () (b) g () = f () (c) g () = 0: f () = ( + 2; se 6= 0 0, se = 0 e g () = ( + ; se 6= 0 0, se = 0: f 0 () f () (a) Mostre que!0 g 0 = ; e, contudo, ()!0 g () = 2: (b) Por que isso não contradiz a Regra de l Hôpital?
12 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 5.5 Assíntotas Quando a distância do grá co de certa função y = f () a uma reta a se aproima de zero, à medida que a curva se afasta da origem, diremos que a curva se aproima assintóticamente da reta ou que a reta é uma assíntota do grá co da função y = f (). Eemplo 5.7 (Assíntota Horizontal) A reta y = b é uma assíntota horizontal do grá co da função y = f () se: f () = b ou f () = b: (5.6)! Eemplo 5.8 (Assíntota Vertical) A reta = a é uma assíntota vertical do grá co da função y = f () se: f () = ou!a +!a Se a função y = f () é invertível, a condição (5:7) é equivalente a f () = : (5.7) f (y) = a ou f (y) = a: (5.8) y! y! Eemplo 5.9 (Assíntota Oblíqua) A reta y = a + b; a 6= 0; é uma assíntota oblíqua do grá co da função y = f () se: jf () (a + b)j = 0: (5.9) jj! Eemplo 5.0 A função y = + = tem o eio y como assíntota vertical e a reta y = como uma assíntota oblíqua. De fato: (a) jf () j = j=j = 0. jj! jj! (isso indica que y = é uma assíntota oblíqua) (b) f () = + e!0 +!0 f () = : (isso indica que = 0 é uma assíntota vertical) 5.5. Eercícios Complementares 5.5. Veri que que o grá co de cada uma das funções y = f () de nidas abaio possui ao menos um tipo de assíntota. (a) y = + ln (b) y = 2 (c) y = (f) y = p 3 (g) y = p 2 + (h) y = (d) y = (i) y = p 2 (e) y = 2 + (j) y = 2 e 2. Determine a e b, de modo que y = a + b seja uma assíntota oblíqua da curva y = :
13 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 3 3. Veri que que as retas ay b = 0 são assintotas da hipérbole b a 2 y 2 = a 2 b 2 : RESPOSTAS & SUGESTÕES 5. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. c = 2 p 2 2. Não há contradição, porque f não é derivável em ]0; 3[: 3. Não há contradição, porque f não é derivável em ] ; [: 4. Estamos diante de um problema de eistência e unicidade. A eistência é consequência do Teorema do valor Intermediário, tendo em vista que 3 + = : Aunicidade é obtida como conseqüência do Teorema de Rolle, utilizando-se, para tanto, um argumento de contradição. De fato, se eistissem dois valores a e b, tais que f (a) = f (b) = 0, eistiria um número c, entre a e b, tal que f 0 (c) = 0. Ocorre que a derivada da função f () = 3 + não se anula em ponto algum. 5. Se f () = e +, então f () > 0 e f ( ) < 0: A eistência de uma raiz segue do TVI. Para a unicidade, use o raciocício do eercício precedente. 6. Dados e 2 no intervalo [a; b], com < 2, então eiste, pelo TVM, um número c, entre e 2, tal que f ( 2 ) f ( ) = f 0 (c) ( 2 ) = 0 ) f ( 2 ) = f ( ) : 7. Se f () = arctg + arccotg, então f 0 () = 0, de onde resulta que f () é constante. Como f () = =2, então f () = =2; 8 ; e daí segue o resultado. 8. A função ' () = f () e tem derivada nula em (a; b) e, sendo assim, ela é constante, isto é, f () e = C: 9. A função f g tem derivada nula no intervalo (a; b) ; sendo, portanto, constante nesse intervalo. 0. Se f 0 = g 0, então f () = g () + C e o valor da constante C é calculado com o dado f () = 2. A função f é, portanto, f () = :
14 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS. inicialmente, recordamos que e ; 8 0, e considerando f () = e, temos f 0 () = e 0; 8 0; e, portanto, f é não decrescente em [0; +). Logo, se 0, então f () f (0) =, isto é, e : Para concluir que e ; considere g () = e 2 2 e note que g 0 () 0; 8 0: 2. Se > 0 e f () = + ln ( + ), então f 0 () = e isso indica que f é decrescente em (0; +) : Logo, ( + ) 2 + < 0 > 0 ) f () < f (0) ) + ln ( + ) < 0: 3. Use o raciocínio de Eercício 2, com f () = sen : 4. Se f () = 2 sen cos, então f (0) = e f () = +, e do TVI segue que f () tem ao menos uma raiz positiva e uma raiz negativa. Se f tivesse duas raízes positivas (resp. negativas), então pelo Teorema de Rolle a derivada se anularia em algum positivo (resp. negativo). Ocorre que derivada f 0 () é nula apenas quando = 0: 5. Use o raciocínio de Eercício 2, com f () = tg ; 0 < < =2: Recorde-se que f 0 () = sec 2 < 0, no intervalo 0 < < =2: 5.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. Uma maneira e ciente de comprovar que uma dada função f () não tem máimo e/ou mínimo absolutos é mostrar que f () = + e/ou f () =. (a) A função não tem etremos absolutos porque = e 2 = 2 são, respectivamente, pontos de máimo e de mínimo locais. (b) = 0 e 2 = 3 são pontos de máimos absolutos, nos quais f atinge o valor 3; 3 = 2 é ponto de mínimo local com f (2) = ; 4 = 2 é ponto de mínimo absoluto com f ( 2) = 7:
15 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 5 2. Representemos por M e m os pontos de máimos absolutos e mínimos absolutos, respectivamente. Ma Loc Ma Abs Min Loc Min Abs f ( M ) e f ( m ) (a) = não há 2 = 2 não há f () = (b) = M = 3 2 = 2 m = 0 f ( M ) = 2; f ( m ) = 3 (c) = M = 3 não há m = 2 e m = 2 f ( M ) = 2; f ( m ) = 7 (d) não há M = e M = 5 2 não há m = 2 e m = 2 f ( M ) = 8; f ( m ) = 7 (e) = M = 2 = 2 m = 2 f ( M ) = 8; f ( m ) = 7 3. Veja a tabela abaio. Ma Loc Ma Abs Min Loc Min Abs f ( M ) e f ( m ) (a) =4 =4 5=4 5=4 f ( M ) = p 2; f ( m ) = p 2 (b) não há não há f ( M ) = =e;! f = (c) não há 0 e não há =2 f ( M ) = 3; f ( m ) = 3 (d) não há 0 não há f ( M ) = ; f ( m ) = 0 (e) não há não há = 3p 2 não há (f) não há p 2=3 não há ; 0 e 4. Mín. Abs. m = e m = 2; Má. Abs. M = : 5. = =2 é ponto de mínimo local; a concavidade f é voltada para baio no intervalo ( ; ) e voltada para cima em ( ; +) : 6. Antes de esboçar o grá co não esqueça de determinar os pontos etremos, as regiões de crescimento ou decrescimento e as in eões da função, caso eistam.
16 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS
17 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 7 7. Leitura do grá co. (a) f decresce em 2:6 e cresce em > 2:6: (b) Min. Abs. em m = 2:6 e Ma. Abs. em M = : (c) = 3:2 é um ponto de in eão. (d) y = 4 é uma assíntota horizontal. 8. Leitura do grá co. (a) 2: (b) Em [; 2] ; f 0 positiva e decrescente. Logo, f é crescente e seu grá co tem concavidade para baio. (c) Sim, em = 3: (d) = 3 é máimo local, pois f 0 < 0, para > 3; e f 0 > 0, para < 3: 9. m = 0 ou m = 5=4: 0. Um ponto de máimo ou mínimo de f seria um ponto crítico. Ocorre que f não tem ponto crítico! 5.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. = p p e y = p p: 2. b = p A=3 e h = b=2: 3. Quadrado de lado l = r p 2: p 4. Se é a base e p = + 2y é o perímetro, então a área do triângulo é S = 4 p 2 2p, cujo ponto de máimo ocorre em = p=3: Logo = y = p=3 e o triângulo é equilátero. 5. Temos que 0 < < =2 e, portanto, dl d = b sen3 a cos 3 (cos sen ) 2 = 0, tan = (a=b) =3 : Logo, cos = e sen = q + (a=b) 2=3 a =3 b =3 q + (a=b) 2=3 e substituindo na epressão de l (), encontramos l = [ a 2 b =3 + b] q + (a=b) 2=3 :
18 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 6. ( =2; p 5=2) 7. =2: 8. ( p 2=2; =2): 9. (=2; =4): 0. O problema consiste em maimizar a função área A () = y, sendo 2 + 2y = p:. Temos y 0 = b = 4 e 0 = b=a = 6. A equação da reta é 2 + 3y = 2: 2. r p 2 e r p = 3 q 250 e y = : 4. q = 0 e L ma = L (0) 5. Observando a Figura 5.7 vemos que o comprimento total do cabo é: L = p p y 2 ; sendo + y = 50: Por derivaçção implícita, e notando que y 0 =, encontramos: dl d = p y p y 2 = 0, p y 2 = y p , 9 2 = 25y 2, (3 5y) (3 + 5y) = 0, 3 = 5y = 0; já que ; y > 0: Ao comparar as equações + y = 50 e 3 = 5y = 0, obtemos = 93:75 e y = 56:25: 6. = 200 e y = 400: 7. As dimensões da folha são = 2 e y = 6: Já o cilindro tem altura h = 6 e r = 6=: 8. h = 2 e r = p 2: 9. r = 25 e s = 50: 5.4 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. Após a indeterminação especi cada no bo, aplicamos a Regra de L Hôpital. ln (a) = 0 0 = = = :
19 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 9 (b) (c) p ln ln =!0 +!0 + = p = = = = ep (d)!0 ( + ) = = ep (e) (f) (g) + = =23=2 (2p ) = 0:!0 + ln ln = ep = ep = ep = : ln ( + ) = ep 0!0 0 = ep = e 2:7:! ln = ep = 5 = ep 0 0 = ep = = e : + ln!0 sen = ep +!0 + = sen ln ( )! 2 = =!0 + = = ep = ep 2 ( ) = 0: ( cos ) cos (h) ( cos ) cotg =!0!0 sen (i) y!=2 2 y tan y = y!=2 ln ( + t) (j) = t! log 2 t = t ln 2 t! + t (k)!0 ( + e ) = = =!0 ep (l) 2 y sen y cos y = ln 2: sen 2 = :!0 + cos = 0 0 = sen (2 cos )!0 cos = 0 0 = y!=2 ln ( + e ) = ep 0 0 = 0: sen y + 2 y cos y sen y = ep!0 = : + e + e = e 2 : 2 arctan 2 arctan = 0 = = 0 = 0 = = : 2. Limite sem a Regra de L Hôpital. (a) (b) (c) (d) p p = p = p = p 9 = 3: + + = sec tan = p r p = sen!(=2)!0 +!(=2)!0 + sen cotg!0 + cosec = cos = :!0 + sen = : = : (ite fundamental:!0 sin = ) 3. O ítem (a) está incorreto, porque a Regra de l Hôpital não se aplica. O ítem (b) está correto; o ite é calculado com a substituição = 3: 4. Considere os seguintes pares de funções: (a) f () = 3 2 e g () = 2 (b) f () = 3 2 e g () = (c) f () = 3 e g () = 2 :
20 20 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 5. A regra de L Hôpital não se aplica. (a) Temos que f 0 ()!0 g 0 () =!0 = e f ()!0 g () = + 2!0 + = 2: (b) Esse eemplo não viola a Regra de l Hôpital, porque as funções envolvidas não são deriváveis em = 0 e, portanto, a regra não se aplica. 5.5 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. As conclusões se baseiam em (5.6), (5.7) e (5.9). (a) = 0 é uma assíntota vertical, porque f () = :!0 + (b) = 0 é uma assíntota vertical, porque f () = +: O eio é uma assíntota horizontal.!0 (c) Temos que f () = e isso indica que as retas = 2 são assíntotas verticais. Por!2 outro lado, usando a regra de l Hôpital, temos y () = e, portanto, y = é uma assíntota horizontal. (d) Ao calcular jf () j, obtemos = jj jf () j = 2 + = 0: de onde concluímos que y = é uma assíntota (oblíqua) ao grá co de f () : (e) A reta = é uma assíntota vertical e y = é uma assíntota oblíqua. (f) = é uma assíntota vertical. (g) y = são assíntotas oblíquas. (h) y = é uma assíntota horizontal. (i) Temos 2 p + 2 = + e, portanto, = são assíntotas verticais. Para veri car que y = é uma assíntota oblíqua, note que 2 p 2 = + p p = 2 = 2 = 0:
21 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 2 De modo similar, temos p 2! 2 + = p p = 2 = 2 = 0: e isto indica que y = é também assintota oblíqua. (j) Temos e, portanto, a curva é assintótica ao eio : 2 e = 0 2. O problema consiste em determinar a e b, com a 6= 0, tais que 4 2 (a + b) + = 0: Um cálculo direto nos dá a = b = : 3. Se y 0, então mostre que ap b a b a = 0: Racicocínio semelhante se aplica no caso em que y 0:
5.1 Máximos e Mínimos
5. Máximos e Mínimos 5.A Se f (x) = x + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do x Valor Médio) no intervalo [; 8] : 5.B Seja f (x) = jx j : Mostre que não existe um número c
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4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS ANÁLISE NO CORPO R - 208. 4. Preinares. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = =x; x 6= 0 (c) f (x) = = p x; x > 0: 2. Mostre que
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