5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações"

Transcrição

1 5. O Teorema do Valor Médio & Aplicações. Se f () = + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do Valor Médio) no intervalo [; 8] : 2. Seja f () = j j. Mostre que não eiste um número c satisfazendo 3f 0 (c) = f (3) f (0). Isso contradiz o TVM? 3. Considere f () = 3p 2. Veri que que f ( ) = f (), mas não eiste um número c 2] ; [, satisfazendo f 0 (c) = 0. Isso contradiz o Teorema de Rolle? Por quê? 4. Prove que a equação 3 + = 0 tem eatamente uma raiz real. 5. Prove que eiste um único número real talque e + = 0: 6. Seja f : [a; b]! R uma função contínua. Se f é derivável em (a; b) e f 0 () = 0; 8 2 (a; b), mostre que f é uma função constante. 7. Mostre que arctg + arccotg = =2: (sug.: mostre que a função f () = arctg + arccotg é constante e, então, calcule f ()). 8. Seja f : [a; b]! R uma função contínua. Se f é diferenciável em (a; b) e f 0 () = f () ; 8 2 (a; b), mostre que eiste uma constante C tal que f () = Ce ; 8 2 [a; b] : (sug.: veri que que a função ' () = f () e é constante). 9. Sejam f; g : [a; b]! R funções contínuas. Se ambas são diferenciáveis em (a; b) e f 0 () = g 0 (), para todo 2 (a; b), mostre que essas funções diferem por uma constante, isto é, f () = g ()+C: 0. Considere g () = Encontre a função f que satisfaz f 0 () = g 0 () e f () = 2:. Mostre que e +, para 0: Mostre, em seguida, que e =2, com a mesma restrição > 0. Use o processo indutivo para provar, em geral, que: e ! + 3 3! + + n ; para 0: (5.) n! E se < 0 a desigualdade (5.) continua válida? 2. Mostre que < ln ( + ) <, seja qual for o > 0: +

2 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 3. Mostre que sen <, seja qual for o > 0: 4. Mostre que a equação 2 sen cos = 0 tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva. 5. Mostre que < tg, para 0 < < =2: 5.2 Máimos & Mínimos. Considere a função f () = : (a) Decida sobre a eistência de máimos ou mínimos locais e absolutos de f: (b) Calcule os valores máimo e mínimo de f no intervalo [ esses valores são assumidos. 2; 3] e determine os pontos nos quais 2. Considere a função f () = : (a) Decida sobre a eistência de máimos ou mínimos locais e absolutos de f: (b) Calcule os valores máimo e mínimo de f no intervalo [0; 3] e determine os pontos nos quais esses valores são assumidos. (c) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [=2; 3] : (d) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [=2; 5=2] : (e) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [3=4; 9=4] : 3. Analise cada uma das funções de nidas abaio com relação à eistência de máimos ou mínimos locais e absolutos. (a) f () = sen + cos ; 2 [0; 2] (b) f () = e ; 2 R (c) f () = 3 cos (2) ; 2 [0; ] (d) f () = p 2 ; 2 [ ; ] (e) f () = 2 + =; 6= 0 (f) f () = 2p 2 ; 2 [ ; ] 4. A função f () = 2 j j, de nida para 0 2; admite algum ponto de máimo ou de mínimo? 5. Determine, se eistirem, os pontos de mínimo e de máimo da função y = 2e 2 : Analise, ainda, o grá co dessa função quanto à concavidade.

3 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 3 6. Esboce o grá co de cada uma das funções de nidas abaio. (a) f () = 3 3 (b) f () = (c) f () = 4 3 (d) f () = + 2 (e) f () = + (i) f () = (f) f () = (g) f () = + 2 (h) f () = (j) f () = (k) f () = (l) f () = 2 2 (m) f () = sen + cos (n) f () = sen (o) f () = e (p) f () = e 2 7. Na Figura 5. ilustramos uma função real y = f (), suposta derivável no intervalo [; 4): (a) Em que intervalo f é crescente? (b) Em que intervalo f é decrescente? (c) Essa função possui pontos de máimo ou de mínimo? E ponto de in eão ela possui? (d) O que representa, no grá co, a reta y = 4? 8. Suponha que a Figura 5.2 corresponda ao grá co da derivada f 0 () de certa função y = f (). (a) Qual a inclinação da tangente ao grá co de f em =? (b) Com relação ao crescimento e à concavidade, descreva o grá co de f no intervalo [; 2]. (c) O grá co de f possui alguma tangente horizontal? (d) A função f possui ponto de máimo ou de mínimo local? 9. Eiste algum valor para m, de modo que a função f () = m m 2 ln + 2 tenha = 2 como ponto de mínimo local? 0. Se a 2 < 3b, deduza que a função f () = 3 + a 2 + b + c não possui máimo nem mínimo. 5.3 Problemas de Máimos & Mínimos. Determine dois números positivos e y com produto p e cuja soma seja a menor possível.

4 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 2. Determine as dimensões de uma caia retangular de base quadrada, sem tampa, de forma que sua área total tenha um valor pre ado A e seu volume V seja o maior possível. 3. Demonstre que o retângulo de área máima inscrito em um círculo de raio r é um quadrado. 4. De todos os triângulos isóceles de igual perímetro, o que tem maior área é o triângulo eqüilátero. 5. Dois corretores, de larguras a e b, encontram-se num ângulo reto, como indica a Figura 5.3, e desejamos construir uma viga de comprimento mínimo l passando horizontalmente de um corredor ao outro. Sabendo que tal comprimento l coincide com o mínimo da função l() = determine l, em função de a e b. a sen + b cos ; 6. Encontre sobre a curva y 2 2 =, o ponto mais próimo do ponto A ( ; 0) : 7. Qual o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado resulta no maior valor possível? 8. Qual ponto da parábola y = 2 está mais próimo da origem? (sug.: esse problema consiste em minimizar a função f () = 2 + y 2 = , que representa o quadrado da distância de um ponto da parábola à origem). 9. Qual ponto da parábola y = 2 está mais próimo da reta y = 2? (sug.: minimize o quadrado da distância de um ponto a uma reta!). 0. Dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro p, mostre que o quadrado é o de maior área.. Para encontrar a reta que passa no ponto A (3; 2) e forma com os eios coordenados um triângulo de área mínima, proceda assim: (a) Observe a ilustração na Figura 5.4. (b) Admita a reta na forma y = a + b e note que 3a + b = 2: (c) A função a ser minimizada é a função área: A(a; b) = 0y 0 2 = b2 2a : (d) Determine a e b e, em seguida, a equação da reta.

5 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 5 2. Encontre os comprimentos dos lados do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r, estando a base do retângulo sobre o diâmetro do semicírculo. (sug.: a função a ser maimizada é a área e esta vem dada por: A = 2y = 2 p r 2 2 : 3. Uma indústria de embalagens de metal onde você trabalha é escolhida para fornecer latinhas de cerveja de 500ml para um fabricante multinacional. O gerente da fábrica descobre que você é um funcionário que já estudou cálculo e, por essa razão, lhe procura e pergunta: as dimensões da lata (altura e raio) podem in uir no custo da produção? (sug.: lembre-se das fórmulas básicas da área total e volume do cilindro de raio e altura y: A T = y e V = 2 y = 500). 4. Uma indústria produz determinado artigo e vende-o com um lucro mensal dado pela epressão L (q) = q 3 + 2q q 4, onde q representa a quantidade produzida mensalmente. Qual a produção que maimiza o lucro? Qual é esse lucro máimo? 5. Duas torres têm, respectivamente, 50 e 30 metros de altura, estando separadas por uma distância de 50 metros e um cabo guia deve ser estendido do ponto A até o topo de cada torre. (veja Figura 5.6). (a) Localize eatamente o ponto A de modo que o comprimento total do cabo seja mínimo. (b) Mostre que o comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são iguais, independente da altura das torres.

6 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 6. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um o. Com 800m de o à disposição, qual é a maior área que se pode cercar e quais são suas dimensões? 7. Uma folha com perímetro de 36m será enrolada para formar um cilindro, como é mostrado na gura ao lado. Que valores de e y fornecem o maior volume? A mesma folha sofrerá uma revolução em torno de seu lado y gerando um outro cilindro. Que valores de e y fornecem, agora, o maior volume? 8. Determine o raio r e a altura h do maior cilindro circular reto que pode ser colocado dentro de uma esfera de raio p 3, como sugere a gura 5.9 ao lado. (recorde-se que o volume da esfera e do cilindro sã o dados, respectimaente por: V E = 4 3 R3 e V C = r 2 h): 9. Se o perímetro do setor circular apresentado na gura 5.0 ao lado for ado em 00m, que valores de r e s darão ao setor a maior área? O perímetro e a área do setor são dados, respectivamente, por: 00 = 2r + s e S = rs A Regra de L Hôpital John Bernoulli descobriu uma regra para o cálculo de ites de frações cujos numeradores e denominadores tendem para zero. A regra é conhecida atualmente como Regra de l Hôpital, em homenagem ao marquês de St. Mesme, Guillaume François Antoine de l Hôpital (66-704), um nobre francês que

7 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 7 escreveu o primeiro teto elementar de cálculo diferencial, onde a regra foi impressa pela primeira vez. FORMA INDETERMINADA 0=0 Se as funções contínuas f () e g () são zero em = a, então f ()!a g () não pode ser calculado com a substituição = a: A substituição gera a epressão 0=0, sem signi cado algum. Recorde-se dos argumentos que utilizamos em sala de aula para calcular!0 (sen ) =, em que a substituição = 0 produziu a forma indeterminada 0=0. Por outro lado, fomos bem sucedidos com o ite!a f () f (a) a com o qual calculamos a derivada f 0 (a) e que sempre resulta na forma 0=0 com a substituição = a: A Regra de l Hôpital nos permite usar derivadas para calcular ites que, abordados de outra forma, conduzem à formas indeterminadas. Teorema 5. (Regra de l Hôpital) Suponha que f (a) = g (a) = 0, que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto contendo a e que g 0 () 6= 0 nesse intervalo eceto, possivelmente, em = a: Então: desde que eista o ite do lado direito de (5:2). f ()!a g () = f 0 ()!a g 0 () ; (5.2) Alerta! Ao aplicar a Regra de l Hôpital não caia na armadilha de usar a derivada de f=g. O quociente a ser usado é f 0 =g 0 e não (f=g) 0. Ilustração Aplicando a Regra de l Hôpital A epressão cos + 2 com = 0 produz a indeterminação 0=0 e aplicando a regra (5.3), encontramos: cos sen!0 + 2 =!0 + 2 = 0 = 0 FORMAS INDETERMINADAS =; 0 e Uma versão da Regra de l Hôpital também se aplica a quocientes que produzem as formas indeterminadas =; 0;. Por eemplo, se f () e g () tendem ao in nito, quando! a, então a fórmula (5.2) continua válida, desde que o ite do lado direito eista. Aqui, como também na forma indeterminada 0=0, o ponto a onde investigamos o ite pode ser nito ou. Eemplo 5.2 Calcular os ites: (a)!=2 sec + tg ln (b) 2 p :

8 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Solução (a) Note que o numerador e o denominador sendo descontínuos em = =2, investigaremos os ites laterais nesse ponto. Temos:!(=2) sec + tg = = (l Hôpital) =!(=2) sec tg sec 2 =!(=2) O ite lateral à direita também é e, neste caso, a forma indeterminada é eiste e tem valor. sen = :. Logo, o ite (b) Temos ln 2 p = = (l Hôpital) = = = p = p = 0: Eemplo 5.3 (Usando as formas 0 e (a) sen (b) :!0 sen ) Calcular os ites: Solução (a) Temos que sen = 0 = (fazer t = =) = t!0 + t sen t = : (b) Se! 0 +, então sen! 0 + e, portanto, então sen! saída é combinarmos as frações: sen sen!. De maneira similar, se! 0 ; + : Nenhuma das duas formas revela o que acontece com o ite. A e, então, aplicamos a Regra de l Hôpital ao resultado: sen =!0 sen!0 sen = 0 0 = sen sen = (l Hôpital) =!0 =!0 sen 2 cos sen = 0 2 = 0: FORMAS INDETERMINADAS ; 0 0 e 0 cos sen + cos = 0 0 = (l Hôpital) = Os ites que produzem essas formas indeterminadas podem, às vezes, ser tratados utilizando-se logarítmos. De fato, da relação f () = ep [ln f ()] deduzimos que: h i ln [f ()] = L =) ep [ln f ()] = ep ln f () = e L : (5.3)!a!a!a Em (5.3) o ponto a pode ser nito ou :

9 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 9 Eemplo 5.4 Calcular os seguintes ites: (a) + (b)!0 (c) + = Solução (a) Trata-se de uma indeterminação do tipo, a qual será convertida em 0=0 por aplicação do logarítimo. Considerando f () = ( + =) ; temos: e, portanto: ln f () = ln + = ln + ln ( + =) ln ( + =) = =) f () = ep = = f () = = ep ep [ln f ()] = ep + = = e = e: ln ( + =) = ep( 0 = 0 ) = (l Hôpital) = (b) Trata-se de uma indeterminação do tipo 0 0 e procederemos como no ítem (a). Temos:!0 = 0 0 = ep [ln +!0 ] = ep ln +!0 + = (l Hôpital) = ep =!0 + = 2 = ep = ep ( )!0 + ln!0 + = = e 0 = : = ep( ) = (c) Temos agora uma indeterminação do tipo 0 e procederemos como no ítem (a). Temos: = = 0 = ep h = (l Hôpital) = ep ln =i = ep = = ep ln = ep( ) = = e 0 = : 5.4. Escrevendo para aprender Como parte do processo de treinamento, vamos demonstrar a Regra de l Hôpital (5.2), no caso em que o ite é nito, isto é, quando a for um número real. A demonstração é na verdade uma aplicação do Teorema do Valor Médio de Cauchy, que é uma versão um pouquinho mais geral do Teorema do Valor Médio apresentado em sala de aula.

10 0 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Teorema 5.5 (Valor Médio de Cauchy) Suponha que as funções f e g sejam contínuas no intervalo fechado [a; b] e deriváveis no intervalo aberto (a; b) e suponha, ainda, que g 0 () 6= 0 em qualquer do intervalo (a; b) : Então eiste um número c em (a; b) tal que: f (b) g (b) f (a) g (a) = f 0 (c) g 0 (c) : (5.4) Demonstração Daremos o roteiro e deiaremos os detalhes da demonstração para você preencher. Não deie de fazê-lo. (i) Aplique o Teorema de Rolle para a função g em [a; b] e deduza que g (b) 6= g (a) ; essa condição é necessária em (5.5). (ii) Aplique o Teorema de Rolle à função F () = f () f (a) f (b) f (a) [g () g (a)] g (b) g (a) para deduzir que eiste c em (a; b) tal que F 0 (c) = 0 e a partir dessa igualdade obtenha (5.4) Demonstração da Regra de L Hôpital Comece revendo as condições eigidas na regra. Suponha que esteja à direita de a e aplique o TVM de Cauchy ao intervalo [a; ] : Eiste c entre a e tal que: f 0 (c) g 0 (c) = f () g () f (a) g (a) = f () g () (lembre-se que f (a) = g (a) = 0). Logo, f 0 (c) g 0 (c) = f () g () : Conforme tende para a, o número c também se aproima de a, porque está entre e a. Conseqüentemente, tomando o ite na última igualdade, com! a + ; obtemos: f ()!a + g () = f 0 (c)!a + g 0 (c) = f 0 ()!a + g 0 () ; (5.5) que estabelece a Regra de l Hôpital. O caso em que está à esquerda de a o TVM de Cauchy é aplicado ao intervalo [; a] e o ite obtido é o ite lateral à esquerda. Observação 5.6 (Sobre as formas 0 e 0 :) Seriam as formas 0 e 0 indeterminadas. Presuma que uma função f () não é negativa em um intervalo aberto contendo c e que!c f () = 0: (a) Se!c g () =, então!c f () g() = 0 e (b) (b) Se!c g () =, então!c f () g() = :

11 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações De fato: primeiro, recorde-se que ep (+) = + e ep ( ) = 0 e, depois, que h i f!c ()g() = ep g () ln f () = ep [() ( )] = ep () :!c Eercícios Complementares 5.4. Calcule os ites indicados. ln p (a) (b) ln (c)!0 +!+ = (e) (f)!+ +!0 sen ln ( ) (g) + 2 ln ( + t) (i) y tg y (j) y!=2 2 t! log 2 t (d)!0 ( + ) = (h)!0 ( cos ) cotg (k) ( + e ) = (l) (=2 arctg )!0 2. A Regra de l Hôpital não ajuda a encontrar os ites apresentados abaio. Tente, você voltará sempre ao mesmo ponto. Calclule os ites de outra maneira. p p 9 + sec cotg (a) p (b) (c) p (d) +!(=2) tg!0 + sen!0 + cosec 3. Qual está correto e qual está errado? Justi que suas respostas. 3 (a)!3 2 3 =!3 2 = 6 (b)! = 0 6 = 0 4. Em cada caso, construa duas funções deriváveis f e g; com f () = g () = ; que satisfaçam à condição especi cada. (a) f () g () = 3 5. Considere as funções f () (b) g () = f () (c) g () = 0: f () = ( + 2; se 6= 0 0, se = 0 e g () = ( + ; se 6= 0 0, se = 0: f 0 () f () (a) Mostre que!0 g 0 = ; e, contudo, ()!0 g () = 2: (b) Por que isso não contradiz a Regra de l Hôpital?

12 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 5.5 Assíntotas Quando a distância do grá co de certa função y = f () a uma reta a se aproima de zero, à medida que a curva se afasta da origem, diremos que a curva se aproima assintóticamente da reta ou que a reta é uma assíntota do grá co da função y = f (). Eemplo 5.7 (Assíntota Horizontal) A reta y = b é uma assíntota horizontal do grá co da função y = f () se: f () = b ou f () = b: (5.6)! Eemplo 5.8 (Assíntota Vertical) A reta = a é uma assíntota vertical do grá co da função y = f () se: f () = ou!a +!a Se a função y = f () é invertível, a condição (5:7) é equivalente a f () = : (5.7) f (y) = a ou f (y) = a: (5.8) y! y! Eemplo 5.9 (Assíntota Oblíqua) A reta y = a + b; a 6= 0; é uma assíntota oblíqua do grá co da função y = f () se: jf () (a + b)j = 0: (5.9) jj! Eemplo 5.0 A função y = + = tem o eio y como assíntota vertical e a reta y = como uma assíntota oblíqua. De fato: (a) jf () j = j=j = 0. jj! jj! (isso indica que y = é uma assíntota oblíqua) (b) f () = + e!0 +!0 f () = : (isso indica que = 0 é uma assíntota vertical) 5.5. Eercícios Complementares 5.5. Veri que que o grá co de cada uma das funções y = f () de nidas abaio possui ao menos um tipo de assíntota. (a) y = + ln (b) y = 2 (c) y = (f) y = p 3 (g) y = p 2 + (h) y = (d) y = (i) y = p 2 (e) y = 2 + (j) y = 2 e 2. Determine a e b, de modo que y = a + b seja uma assíntota oblíqua da curva y = :

13 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 3 3. Veri que que as retas ay b = 0 são assintotas da hipérbole b a 2 y 2 = a 2 b 2 : RESPOSTAS & SUGESTÕES 5. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. c = 2 p 2 2. Não há contradição, porque f não é derivável em ]0; 3[: 3. Não há contradição, porque f não é derivável em ] ; [: 4. Estamos diante de um problema de eistência e unicidade. A eistência é consequência do Teorema do valor Intermediário, tendo em vista que 3 + = : Aunicidade é obtida como conseqüência do Teorema de Rolle, utilizando-se, para tanto, um argumento de contradição. De fato, se eistissem dois valores a e b, tais que f (a) = f (b) = 0, eistiria um número c, entre a e b, tal que f 0 (c) = 0. Ocorre que a derivada da função f () = 3 + não se anula em ponto algum. 5. Se f () = e +, então f () > 0 e f ( ) < 0: A eistência de uma raiz segue do TVI. Para a unicidade, use o raciocício do eercício precedente. 6. Dados e 2 no intervalo [a; b], com < 2, então eiste, pelo TVM, um número c, entre e 2, tal que f ( 2 ) f ( ) = f 0 (c) ( 2 ) = 0 ) f ( 2 ) = f ( ) : 7. Se f () = arctg + arccotg, então f 0 () = 0, de onde resulta que f () é constante. Como f () = =2, então f () = =2; 8 ; e daí segue o resultado. 8. A função ' () = f () e tem derivada nula em (a; b) e, sendo assim, ela é constante, isto é, f () e = C: 9. A função f g tem derivada nula no intervalo (a; b) ; sendo, portanto, constante nesse intervalo. 0. Se f 0 = g 0, então f () = g () + C e o valor da constante C é calculado com o dado f () = 2. A função f é, portanto, f () = :

14 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS. inicialmente, recordamos que e ; 8 0, e considerando f () = e, temos f 0 () = e 0; 8 0; e, portanto, f é não decrescente em [0; +). Logo, se 0, então f () f (0) =, isto é, e : Para concluir que e ; considere g () = e 2 2 e note que g 0 () 0; 8 0: 2. Se > 0 e f () = + ln ( + ), então f 0 () = e isso indica que f é decrescente em (0; +) : Logo, ( + ) 2 + < 0 > 0 ) f () < f (0) ) + ln ( + ) < 0: 3. Use o raciocínio de Eercício 2, com f () = sen : 4. Se f () = 2 sen cos, então f (0) = e f () = +, e do TVI segue que f () tem ao menos uma raiz positiva e uma raiz negativa. Se f tivesse duas raízes positivas (resp. negativas), então pelo Teorema de Rolle a derivada se anularia em algum positivo (resp. negativo). Ocorre que derivada f 0 () é nula apenas quando = 0: 5. Use o raciocínio de Eercício 2, com f () = tg ; 0 < < =2: Recorde-se que f 0 () = sec 2 < 0, no intervalo 0 < < =2: 5.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. Uma maneira e ciente de comprovar que uma dada função f () não tem máimo e/ou mínimo absolutos é mostrar que f () = + e/ou f () =. (a) A função não tem etremos absolutos porque = e 2 = 2 são, respectivamente, pontos de máimo e de mínimo locais. (b) = 0 e 2 = 3 são pontos de máimos absolutos, nos quais f atinge o valor 3; 3 = 2 é ponto de mínimo local com f (2) = ; 4 = 2 é ponto de mínimo absoluto com f ( 2) = 7:

15 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 5 2. Representemos por M e m os pontos de máimos absolutos e mínimos absolutos, respectivamente. Ma Loc Ma Abs Min Loc Min Abs f ( M ) e f ( m ) (a) = não há 2 = 2 não há f () = (b) = M = 3 2 = 2 m = 0 f ( M ) = 2; f ( m ) = 3 (c) = M = 3 não há m = 2 e m = 2 f ( M ) = 2; f ( m ) = 7 (d) não há M = e M = 5 2 não há m = 2 e m = 2 f ( M ) = 8; f ( m ) = 7 (e) = M = 2 = 2 m = 2 f ( M ) = 8; f ( m ) = 7 3. Veja a tabela abaio. Ma Loc Ma Abs Min Loc Min Abs f ( M ) e f ( m ) (a) =4 =4 5=4 5=4 f ( M ) = p 2; f ( m ) = p 2 (b) não há não há f ( M ) = =e;! f = (c) não há 0 e não há =2 f ( M ) = 3; f ( m ) = 3 (d) não há 0 não há f ( M ) = ; f ( m ) = 0 (e) não há não há = 3p 2 não há (f) não há p 2=3 não há ; 0 e 4. Mín. Abs. m = e m = 2; Má. Abs. M = : 5. = =2 é ponto de mínimo local; a concavidade f é voltada para baio no intervalo ( ; ) e voltada para cima em ( ; +) : 6. Antes de esboçar o grá co não esqueça de determinar os pontos etremos, as regiões de crescimento ou decrescimento e as in eões da função, caso eistam.

16 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS

17 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 7 7. Leitura do grá co. (a) f decresce em 2:6 e cresce em > 2:6: (b) Min. Abs. em m = 2:6 e Ma. Abs. em M = : (c) = 3:2 é um ponto de in eão. (d) y = 4 é uma assíntota horizontal. 8. Leitura do grá co. (a) 2: (b) Em [; 2] ; f 0 positiva e decrescente. Logo, f é crescente e seu grá co tem concavidade para baio. (c) Sim, em = 3: (d) = 3 é máimo local, pois f 0 < 0, para > 3; e f 0 > 0, para < 3: 9. m = 0 ou m = 5=4: 0. Um ponto de máimo ou mínimo de f seria um ponto crítico. Ocorre que f não tem ponto crítico! 5.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. = p p e y = p p: 2. b = p A=3 e h = b=2: 3. Quadrado de lado l = r p 2: p 4. Se é a base e p = + 2y é o perímetro, então a área do triângulo é S = 4 p 2 2p, cujo ponto de máimo ocorre em = p=3: Logo = y = p=3 e o triângulo é equilátero. 5. Temos que 0 < < =2 e, portanto, dl d = b sen3 a cos 3 (cos sen ) 2 = 0, tan = (a=b) =3 : Logo, cos = e sen = q + (a=b) 2=3 a =3 b =3 q + (a=b) 2=3 e substituindo na epressão de l (), encontramos l = [ a 2 b =3 + b] q + (a=b) 2=3 :

18 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 6. ( =2; p 5=2) 7. =2: 8. ( p 2=2; =2): 9. (=2; =4): 0. O problema consiste em maimizar a função área A () = y, sendo 2 + 2y = p:. Temos y 0 = b = 4 e 0 = b=a = 6. A equação da reta é 2 + 3y = 2: 2. r p 2 e r p = 3 q 250 e y = : 4. q = 0 e L ma = L (0) 5. Observando a Figura 5.7 vemos que o comprimento total do cabo é: L = p p y 2 ; sendo + y = 50: Por derivaçção implícita, e notando que y 0 =, encontramos: dl d = p y p y 2 = 0, p y 2 = y p , 9 2 = 25y 2, (3 5y) (3 + 5y) = 0, 3 = 5y = 0; já que ; y > 0: Ao comparar as equações + y = 50 e 3 = 5y = 0, obtemos = 93:75 e y = 56:25: 6. = 200 e y = 400: 7. As dimensões da folha são = 2 e y = 6: Já o cilindro tem altura h = 6 e r = 6=: 8. h = 2 e r = p 2: 9. r = 25 e s = 50: 5.4 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. Após a indeterminação especi cada no bo, aplicamos a Regra de L Hôpital. ln (a) = 0 0 = = = :

19 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 9 (b) (c) p ln ln =!0 +!0 + = p = = = = ep (d)!0 ( + ) = = ep (e) (f) (g) + = =23=2 (2p ) = 0:!0 + ln ln = ep = ep = ep = : ln ( + ) = ep 0!0 0 = ep = e 2:7:! ln = ep = 5 = ep 0 0 = ep = = e : + ln!0 sen = ep +!0 + = sen ln ( )! 2 = =!0 + = = ep = ep 2 ( ) = 0: ( cos ) cos (h) ( cos ) cotg =!0!0 sen (i) y!=2 2 y tan y = y!=2 ln ( + t) (j) = t! log 2 t = t ln 2 t! + t (k)!0 ( + e ) = = =!0 ep (l) 2 y sen y cos y = ln 2: sen 2 = :!0 + cos = 0 0 = sen (2 cos )!0 cos = 0 0 = y!=2 ln ( + e ) = ep 0 0 = 0: sen y + 2 y cos y sen y = ep!0 = : + e + e = e 2 : 2 arctan 2 arctan = 0 = = 0 = 0 = = : 2. Limite sem a Regra de L Hôpital. (a) (b) (c) (d) p p = p = p = p 9 = 3: + + = sec tan = p r p = sen!(=2)!0 +!(=2)!0 + sen cotg!0 + cosec = cos = :!0 + sen = : = : (ite fundamental:!0 sin = ) 3. O ítem (a) está incorreto, porque a Regra de l Hôpital não se aplica. O ítem (b) está correto; o ite é calculado com a substituição = 3: 4. Considere os seguintes pares de funções: (a) f () = 3 2 e g () = 2 (b) f () = 3 2 e g () = (c) f () = 3 e g () = 2 :

20 20 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 5. A regra de L Hôpital não se aplica. (a) Temos que f 0 ()!0 g 0 () =!0 = e f ()!0 g () = + 2!0 + = 2: (b) Esse eemplo não viola a Regra de l Hôpital, porque as funções envolvidas não são deriváveis em = 0 e, portanto, a regra não se aplica. 5.5 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. As conclusões se baseiam em (5.6), (5.7) e (5.9). (a) = 0 é uma assíntota vertical, porque f () = :!0 + (b) = 0 é uma assíntota vertical, porque f () = +: O eio é uma assíntota horizontal.!0 (c) Temos que f () = e isso indica que as retas = 2 são assíntotas verticais. Por!2 outro lado, usando a regra de l Hôpital, temos y () = e, portanto, y = é uma assíntota horizontal. (d) Ao calcular jf () j, obtemos = jj jf () j = 2 + = 0: de onde concluímos que y = é uma assíntota (oblíqua) ao grá co de f () : (e) A reta = é uma assíntota vertical e y = é uma assíntota oblíqua. (f) = é uma assíntota vertical. (g) y = são assíntotas oblíquas. (h) y = é uma assíntota horizontal. (i) Temos 2 p + 2 = + e, portanto, = são assíntotas verticais. Para veri car que y = é uma assíntota oblíqua, note que 2 p 2 = + p p = 2 = 2 = 0:

21 COMPLEMENTOS 5 DERIVADAS: aplicações 2 De modo similar, temos p 2! 2 + = p p = 2 = 2 = 0: e isto indica que y = é também assintota oblíqua. (j) Temos e, portanto, a curva é assintótica ao eio : 2 e = 0 2. O problema consiste em determinar a e b, com a 6= 0, tais que 4 2 (a + b) + = 0: Um cálculo direto nos dá a = b = : 3. Se y 0, então mostre que ap b a b a = 0: Racicocínio semelhante se aplica no caso em que y 0:

5.1 Máximos e Mínimos

5.1 Máximos e Mínimos 5. Máximos e Mínimos 5.A Se f (x) = x + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do x Valor Médio) no intervalo [; 8] : 5.B Seja f (x) = jx j : Mostre que não existe um número c

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru REGRA DE LHÔPITAL Teorema: Suponhamos que f (a) g(a) e que f (a) e g (a) eistam com g(a). Então: lim a f() g() f(a) g(a). in det er min ação. Forma mais avançada do Teorema de L Hospital: Suponhamos que

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

Lista de Exercícios do capítulo 4

Lista de Exercícios do capítulo 4 Lista de Eercícios do capítulo 4 1. Eplique a diferença entre um mínimo local e um mínimo absoluto. 2. Nos gráficos abaio, diga se a função tem um máimo local, um mínimo local, um máimo absoluto, um mínimo

Leia mais

MAT Cálculo I - POLI a Lista de Exercícios

MAT Cálculo I - POLI a Lista de Exercícios MAT 453 - Cálculo I - POLI - 003 a Lista de Eercícios. Calcule a derivada indicada em cada caso: a) y se y = ; b) y se y = ( ) d ; c) ; d + ( d) d d 3 + ); e) d500 3 d 500 (3 3 79 + 4).. Calcule dy por

Leia mais

Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Seja f() = 5 + + 1. Justique a armação: f tem pelo menos uma raiz no

Leia mais

CÁLCULO I - MAT Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções.

CÁLCULO I - MAT Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções. UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO I - MAT0009 9 a Lista de eercícios.

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x.

= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x. INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B a LISTA DE EXERCÍCIOS - 008. - Prof a Graça Luzia Dominguez Santos. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função

Leia mais

Rafael A. Rosales 29 de maio de Diferencial 1. 4 l Hôpital 3. 5 Série de Taylor 3 01.

Rafael A. Rosales 29 de maio de Diferencial 1. 4 l Hôpital 3. 5 Série de Taylor 3 01. Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Física Médica Rafael A. Rosales 9 de maio de 07 Sumário Diferencial Teorema do Valor Médio 3 Máimos e Mínimos. Gráficos 4 l Hôpital 3 5 Série

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco

Leia mais

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R

Leia mais

4.1 Funções Deriváveis

4.1 Funções Deriváveis 4. Funções Deriváveis 4.A Em cada caso, encontre a derivada da função y = f (), usando a de nição. (a) y = + (b) y = 3 (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = +

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada Eercícios de Derivada Eercícios de Fiação Cálculo I (0/) IM UFRJ Lista : Derivadas Prof Milton Lopes e Prof Marco Cabral Versão 7040 Fi : Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto =

Leia mais

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos.

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 007- Professor:

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

Limite e Continuidade

Limite e Continuidade Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Limite e Continuidade Neste caítulo aresentaremos as idéias básicas sobre ites e continuidade de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e algumas de suas conseqüências como: determinar os intervalos de

Leia mais

Volume de um gás em um pistão

Volume de um gás em um pistão Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia

Leia mais

Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I

Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 27 de Março de 26 Questão [8 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio. Caso não eista, eplique por quê. 5 2 + 3 c ) lim 2 ( 2) 2 2 e ) lim 5

Leia mais

Lista de Exercícios 3 1

Lista de Exercícios 3 1 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM122 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Encontre os pontos críticos das funções a seguir: Lista de Eercícios 1 a f = + 7 2 5 b g = 7/ +

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 05 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Escolhendo os lugares das etremidades para os dois rapazes, eistem hipóteses correspondentes a uma troca entre os rapazes.

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 5ª Lista de Exercícios de MAT140 Cálculo /2

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 5ª Lista de Exercícios de MAT140 Cálculo /2 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas 5ª Lista de Eercícios de MAT Cálculo / ) Resolva as integrais definidas abaio a) ( + )d c) (5 ) d e) +

Leia mais

2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1

2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 2.1 Domínio e Imagem 2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaio. (a) f () = 3 (b) g () = (c) h () = (d) f () = 1 3 + 5 1 3 (e) g () 2 (f) g () = jj 8 8

Leia mais

1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT /02/2011 Professores: Rosane (Coordenadora), Allan e Cristiane. = 2x. , determine os valores de x tais que:

1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT /02/2011 Professores: Rosane (Coordenadora), Allan e Cristiane. = 2x. , determine os valores de x tais que: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 3657-000 - VIÇOSA - MG BRASIL. Resolva as equações: a) 3 7 + b) 5 3 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 4 8/0/0 Professores: Rosane (Coordenadora),

Leia mais

Derivada de funções na forma paramétrica

Derivada de funções na forma paramétrica Derivada de funções na forma paramétrica Sejam ( t) y y( t) (1) duas funções da mesma variável t [a,b]. Tomando e y como as coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t, corresponde um

Leia mais

1 Definição de Derivada

1 Definição de Derivada Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

O limite trigonométrico fundamental

O limite trigonométrico fundamental O ite trigonométrico fundamental Meta da aula Continuar a apresentação de ites de funções. Objetivo Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular ites usando o ite trigonométrico fundamental.

Leia mais

Aula 25. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 25. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Assíntotas, Esboço de Gráfico e Aplicações Aula 25 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 09 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia

Leia mais

Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005

Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005 Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005 Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR, 17 de Abril de 008 - provas005.te TOME CUIDADO COM OS GRÁFICOS E DETALHES DA SUBSTITUIÇÃO UTILIZADA.....................................................................................................

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

13 Fórmula de Taylor

13 Fórmula de Taylor 13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =

Leia mais

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal

Leia mais

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites 0. Formas Indeterminadas 0=0 = 0 0 02. Oerações com os símbolos + = = ( ) = = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k=0 = ; k 6= 0 03.

Leia mais

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais. Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a Regra de L Hôpital, que será utilizada para solucionar indeterminações de ites de qualquer

Leia mais

Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS

Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS Curso de Férias de IFVV (Etapa ) INTEGAIS UPLAS VOLUMES E INTEGAIS UPLAS Objetivando resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. A idéia é aplicar procedimento semelhante

Leia mais

PROFMAT AV2 MA

PROFMAT AV2 MA PROFMAT AV MA 11 011 Questão 1. Calcule as seguintes epressões: [ ] (1,0) (a) log n log n (1,0) (b) log a/ log, onde a > 0, > 0 e a base dos logaritmos é fiada arbitrariamente. (a) Como = n 1/n 3, temos

Leia mais

DERIVADA. A Reta Tangente

DERIVADA. A Reta Tangente DERIVADA A Reta Tangente Seja f uma função definida numa vizinança de a. Para definir a reta tangente de uma curva = f() num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizino Q(,), em que a e traçamos a S,

Leia mais

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 2.1 Domínio e Imagem 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x (f) g (x) = jx 1j x, se x 2

Leia mais

1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?

1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm? MAT 001 1 ō Sem. 016 IMC UNIFEI Lista 4: Aplicações da Derivação 1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?.

Leia mais

AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA

AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA As derivadas têm inúmeras aplicações. Com o estudo da primeira e da segunda derivada podemos esboçar o gráfico de uma

Leia mais

Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas. Funções Quadráticas

Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas. Funções Quadráticas Lista 8 Bases Matemáticas Funções Quadráticas, Eponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas Funções Quadráticas Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8

Leia mais

Exercícios sobre Trigonometria

Exercícios sobre Trigonometria Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Prof Saponga uff Rua Mário Santos Braga s/n 400-40 Niterói, RJ Tels:

Leia mais

Lista de Exercícios 03: Derivadas e Aplicações

Lista de Exercícios 03: Derivadas e Aplicações Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA Disciplina: Cálculo Professor: Paulo Pamplona

Leia mais

Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim

Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim Lista de Férias Bases Matemáticas/FUV Encontre uma epressão para a função inversa: + 3 a) 5 2 + e b) e c) 2 + 5 d) ln( + 3) 6 Prove a partir da definição de ite que: a) 3 ( + 6) = 9 b) = c) 2 = 4 2 d)

Leia mais

D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas

D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas ac C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L I 02 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 02: Assíntotas NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática

Leia mais

CAPITULO I PRIMITIVAS. 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata

CAPITULO I PRIMITIVAS. 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata CAPITULO I PRIMITIVAS. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata Sendo f () uma função real de variável real definida no intervalo não degenerado I, chama-se primitiva de f () em I a qualquer

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

Boa Prova! arcsen(x 2 +2x) Determine:

Boa Prova! arcsen(x 2 +2x) Determine: Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologia - CCT Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME - Tarde Prova Estágio Data: 5 de setembro de 006. Professor(a):

Leia mais

Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites

Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites www.cursoeduardochaves.com Cálculo I ª Lista de Eercícios Limites Calcule os ites: a (4 7 +5 b + 5 c ( 5 ++4 d + 5 4 e 5 + 4 + ++ f 6 4 Resp. : a b 0 c /8 d / e 9 5 f Calcule os ites abaio: a 4 b + c +5

Leia mais

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1 Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa

Leia mais

TRABALHO 1 CURSO DE VERÃO CÁLCULO I NOME DO ACADÊMICO: =, no ponto x = 2?

TRABALHO 1 CURSO DE VERÃO CÁLCULO I NOME DO ACADÊMICO: =, no ponto x = 2? TRABALHO CURSO DE VERÃO CÁLCULO I NOME DO ACADÊMICO: Questão 0 Ache a derivada das seguintes funções: 0 y 0 y 5 5 y e) y y Questão 0 Qual é a derivada da função, no ponto? Questão 0 Se, calcule () f Questão

Leia mais

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são

Leia mais

Notas sobre primitivas

Notas sobre primitivas MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada

Leia mais

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por = LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade

Leia mais

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18 Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de

Leia mais

1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência.

1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. 3.1 A Circunferência EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3.1 1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. (a) Centro C ( 2; 1) e raio r = 5: (b) Passa elos ontos A (5; 1) ; B (4; 2) e

Leia mais

Lista 0: Revisão Números Reais e Funções Elementares

Lista 0: Revisão Números Reais e Funções Elementares GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/ BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista 0: Revisão

Leia mais

3.2 Determine a equação da circunferência de raio 5, tangente à reta 3x +4y =16no ponto A (4, 1).

3.2 Determine a equação da circunferência de raio 5, tangente à reta 3x +4y =16no ponto A (4, 1). 3.1 Obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência caracterizada por: (a) Centro C (, 1) eraior =5; (b) Passa pelos pontos A (1, ),B(1, 1) e C (, 3) ; (c) Inscrita no triângulo determinado pelas

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1),

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ

Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) +

Leia mais

GABARITO COMENTADO EN Prova Amarela(2º Dia)

GABARITO COMENTADO EN Prova Amarela(2º Dia) PROFESSORES: Carlos Eduardo (Cadu) ndré Felipe Bruno Pedra nderson Izidoro le Ricardo Rafael Sabino Noronha Jean Pierre QUESTÃO 0 (E) Temos da solução do sistema: y 5 y 6 y 9 y y 6 9 5 y 6 6 y 8 Reescrevendo

Leia mais

Matemática A Extensivo v. 5

Matemática A Extensivo v. 5 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão,

Leia mais

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções

Leia mais

Esbo»cando gr a cos: primeiros passos

Esbo»cando gr a cos: primeiros passos Aula 6 Esbo»cando gr a cos: primeiros passos Eiste o processo simples de esbo»car-se o gr a co de uma fun»c~ao cont ³nua ligando-se um n umero nito de pontos P 1 =( 1 ;f( 1 ));::: ;P n =( n ;f( n )), deseugr

Leia mais

III Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17

III Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17 UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 010-16 Sumário III Números reais - módulo e raízes 17 3.1 Módulo valor absoluto...................................... 17 3.1.1 Definição

Leia mais

MAT 140 (Cálculo I) 2017/I Lista de Derivadas e Aplicações

MAT 140 (Cálculo I) 2017/I Lista de Derivadas e Aplicações Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática MAT 140 (Cálculo I) 2017/I Lista de Derivadas e Aplicações 1) Determine a função derivada de f definida por: a) ( 2 + 4 5) 4 b) (2 4 7 3 ) e c)

Leia mais

Gráficos de Funções Trigonométricas

Gráficos de Funções Trigonométricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Gráficos de Funções

Leia mais

GABARITO. tg B = tg B = TC BC, com B = 60 e tg 60 = 3 BC BC. 3 = TC BC = TC 3. T Substituindo (2) em (1): TC. 3 = 3TC 160.

GABARITO. tg B = tg B = TC BC, com B = 60 e tg 60 = 3 BC BC. 3 = TC BC = TC 3. T Substituindo (2) em (1): TC. 3 = 3TC 160. Matemática Intensivo V. Eercícios 0) No triângulo abaio: teto adjacente ao ângulo. omo 5 e,8 km, vamos relacionar essas informações através da razão tangente: tg cat. oposto cat. adjacente y om: 5, cateto

Leia mais

Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas

Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas Lista 8 Bases Matemáticas Funções Quadráticas, Eponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas Funções Quadráticas Esboceográficodas seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes

Leia mais

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D A Prática Leva à Perfeição Cálculo William D. Clark, P.D e Sandra Luna McCune, P.D Rio de Janeiro, 01 Para Sirley e Donice. Vocês estão sempre em nossos corações. Sumário Prefácio i I Limites 1 1 O conceito

Leia mais

Atividades Práticas Supervisionadas (APS)

Atividades Práticas Supervisionadas (APS) Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba epartamento Acadêmico de Matemática Prof: Lauro César Galvão Cálculo II Entrega: junto com a a parcial ATA E ENTREGA: dia da a PROVA (em sala

Leia mais

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par.

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par. Funções Elementares Sadao Massago Maio de 0. Apresentação Neste teto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O teto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

Prova Escrita de Matemática A 12. O Ano de Escolaridade Prova 635/Versões 1 e 2

Prova Escrita de Matemática A 12. O Ano de Escolaridade Prova 635/Versões 1 e 2 Eame Nacional de 0 (. a fase) Prova Escrita de Matemática A. O Ano de Escolaridade Prova /Versões e GRUPO I. Versão : (B); Versão : (A) Se apenas são distinguíveis pela cor, os discos brancos entre si

Leia mais

01- Assunto: Função Polinomial do 1º grau. Determine o domínio da função f(x) =

01- Assunto: Função Polinomial do 1º grau. Determine o domínio da função f(x) = EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - ª ETAPA ============================================================================================== 0- Assunto: Função Polinomial do

Leia mais

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite. Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a

Leia mais

1ª Avaliação. 1) Obtenha a fórmula que define a função linear f, sabendo que (3) 7 f =.

1ª Avaliação. 1) Obtenha a fórmula que define a função linear f, sabendo que (3) 7 f =. 1ª Avaliação 1) Obtenha a fórmula que define a função linear f, sabendo que (3) 7 f. ) Determine o domínio da função abaio. f ( ) 3 3 8 9 + 14 3) Determine o domínio da função abaio. f ( ) 1 ( 3)( ) 4)

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta lista de Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 1 1. Nos eercícios a seguir admita

Leia mais

Capítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais

Capítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Cálculo 2 - Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais 27 - Teorema do Valor Médio 272 - Diferenciabilidade

Leia mais

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x 2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma

Leia mais

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: ou na pasta J18, no xerox (sala1036)

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços:  ou na pasta J18, no xerox (sala1036) As listas de eercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: www.mat.ufmg.br/calculoi ou na pasta J8, no ero (sala06) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS. Derive: a) y = 6 + b) y = c) d) y = + y = 0

Leia mais

Capítulo 3 Limite de uma função

Capítulo 3 Limite de uma função Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 3 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo

Leia mais

3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites 3.A Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 (b) f () = 3 3 + + ; a = 0 (c) f () = 2 + 3 0 ; a = 5 (d) f () = 2 4 + 5 3 + 2 2 ; a = 2 (e) f () =

Leia mais

MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75

MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75 MATEMÁTICA 3 17. Sejam f() sen() e g() /2. Associe cada função abaio ao gráfico que melhor a representa. Para cada associação feita, calcule i k, onde i é o número entre parênteses à direita da função,

Leia mais

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18 A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106

Leia mais

MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0.

MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Considere a equação TRIGONOMETRIA II ( cos ) + tg MÓDULO 5 tg = 0. a) Determine todas as soluções no intervalo [0, [. b) Para as soluções

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Matemática B Etensivo v. 8 Eercícios y = Eio real = a = a = C = A + B ( = ( + B B = a y b = D C y = y = 6 9 Daí, a = 6 e b = 9 c = a + b c = 9 + 6 c = c = c = Portanto, a distância focal é dada por: c

Leia mais