Unidade 6. Fun»c~oes trigonom etricas Regras de L'Hopital. 6.1 Pequena revis~ao de trigonometria Trigonometria geom etrica

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1 Unidade 6 Fun»c~oes trigonom etricas Regras de L'Hopital Agora estaremos fazendo uma pequena revis~ao de fun»c~oes trigonom etricas e apresentando suas derivadas. Estaremos estudando tamb em um m etodo para calcular limites indeterminados atrav es de derivadas. 6. Pequena revis~ao de trigonometria 6.. Trigonometria geom etrica Consideremos os tri^angulos ABC e A 0 B 0 C 0 da gura 6.. s dois tri^angulos s~ao semelhantes, pois seus ^angulos internos s~ao iguais (congruentes). Assim, temos AB AC = AB0 AC 0 ; BC AC = B0 C 0 AC 0 ; BC AB = B0 C 0 AB 0 C' C A θ B B' Figura 6.. Assim, sendo ABC um tri^angulo ret^angulo, como na gura 6. as raz~oes AB BC e BC dependem somente da abertura µ = ^A. AC AB 58 AC,

2 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 59 Chamamos cosseno de µ =cosµ = AB AC seno de µ =senµ = BC AC tangente de µ =tgµ = BC AB Deduz-se imediatamente que tg µ = sen µ cos µ. S~ao bem conhecidos os valores µ cos µ sen µ tg µ ± p 3=2 =2 = p 3 p p 45 ± 2=2 2=2 p p 60 ± =2 3=2 3 = cateto adjacente ao ^angulo µ hipotenusa = cateto oposto ao ^angulo µ hipotenusa = cateto oposto ao ^angulo µ cateto adjacente ao ^angulo µ 90 ± 0 n~ao se de ne Se _ PQ e umarcodeumc ³rculo de raio r, correspondente a um ^angulo central de abertura, ocomprimentoc de _ PQ e dadopor c = r (medida de em radianos) Q r c P Figura 6.2. Assim, o comprimento c do arco PQ _ e diretamente proporcional a r ea. Quando = 360 ±,temos c = comprimento da circunfer^encia = 2¼ r

3 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 60 Assim sendo, 360 graus =2¼ radianos,ouseja,80 ± = ¼ Se r ==uma unidade de comprimento, o comprimento c do arco _ PQ e simplesmente a medida de em radianos. A area do setor circular de ^angulo central tamb em e proporcional a. Quando =2¼, temosa area de um c ³rculo de raio r: A = ¼r 2. Assim, um setor circular de abertura, tem area A = 2 r2 ( em radianos) Trigonometria anal ³tica Para de nir as fun»c~oes trigonom etricas de vari avel real, consideramos, em um sistema cartesiano ortogonal, a circunfer^encia de equa»c~ao =(de centro em (0; 0) e raio ). Esta circunfer^encia e o que chamaremos de c ³rculo trigonom etrico. Dado um n umero real, tomamos A =(; 0) e demarcamos, no c ³rculo trigonom etrico, um ponto P talqueamedidadopercursodea a P, sobre o c ³rculo trigonom etrico, e igual a j j ( gura 6.3). P = (, ) A=(,0) Figura 6.3. percurso _ AP e feito no sentido anti-hor ario se >0, e e feito no sentido hor ario se <0. Dizemos que e a medida alg ebrica do arco orientado AP. Assim, por eemplo, P ¼ = P ¼ =( ; 0), P ¼=2 =(0; ), P ¼=2 =(0; ), P ¼=4 =( p 2=2; p 2=2), P ¼=3 =( p 3=2; =2), ep 0 =(; 0) = P 2¼ = P 2n¼, para cada inteiro n. Sendo 2 R, consideremos P =( ; ), de nido como acima. De nimos

4 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 6 =cos = cosseno de ; =sen = seno de Para estendermos a de ni»c~ao de tangente de a arcos orientados, tomamos um eio 0,paraleloaoeio, de origem 0 = A, orientado positivamente para cima, no qual usaremos a mesma escala de medidas do eio. Sendo 2 R, consideramos aretap. Se 6= ¼ 2 n¼, paratodon 2 Z, esta reta intercepta o eio 0 em T. Veja gura 6.4. Sendo t aabcissadet no eio 0,de nimos t =tg = tangente de Assim sendo, tg = sen cos. Se 0 < <¼=2, osvalorescos, sen, etg coincidem com aqueles das de ni»c~oes geom etricas de cosseno, seno e tangente, dadas na se»c~ao 6... P ' T ' = A Figura 6.4. No sistema, T =(;t )=(; tg ). Tamb em de nem-se as fun»c~oes trigonom etricas cotangente de =cotg = cos sen secante de =sec = cos cossecante de = cosec = sen ( 6= n¼; 8n 2 Z) ( 6= ¼ + n¼; 8n 2 Z) 2 ( 6= n¼; 8n 2 Z) Na gura 6.5, ilustramos geom etricamente as seis fun»c~oes trigonom etricas de um arco no primeiro quadrante, isto e, satisfazendo 0 < < ¼=2. Listamos abaio algumas f ormulas uteis, envolvendo as fun»c~oes trigonom etricas. Aqui e sempre, cos 2 a = (cos a) 2, sen 2 a =(sena) 2, tg 2 a =(tga) 2,etc.

5 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 62 ' cotg ' cosec sen P tg cos A sec Figura 6.5. = sen - π 0 π /2 π 3π/2 2π - - π /2 0 π/2 π 3π /2 2π = cos - = tg - π /2 0 π /4 π /2 π 3π /2 - Figura 6.6. Gr a cos das fun»c~oes seno, cosseno e tangente.

6 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 63. cos 2 a +sen 2 a = (isto porque 2 a + 2 a =) 2. +tg 2 a =sec 2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»c~aoporcos 2 a) +cotg 2 a = cosec 2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»c~aopor sen 2 a) 3. sen(a + b) =sena cos b +senb cos a sen(a b) =sena cos b sen b cos a cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b cos(a b) = cos a cos b +sena sen b 4. cos( a) = cos a, sen( a) = sen a tg( a) = sen( a) cos( a) = sen a cos a = tg a 5. sen 2a =sen(a + a) =2senacos a cos 2a =cos(a + a) = cos 2 a sen 2 a 6. cos a =sen ¼ 2 a, sen a =cos ¼ 2 a 6.2 Derivando fun»c~oes trigonom etricas Apresentamos agora as derivadas das fun»c~oes trigonom etricas. Regra 3 Derivando em rela»c~ao a, temos (sen ) 0 =cos (cos ) 0 = sen (tg ) 0 =sec 2 (cotg ) 0 = cosec 2 (sec ) 0 =sec tg (cosec ) 0 = cosec cotg De um modo geral, pela regra da cadeia, temos (sen u) 0 = (cos u) u 0, (cos u) 0 = (sen u) u 0, (tg u) 0 =(sec 2 u) u 0, etc. As derivadas das quatro ultimas fun»c~oes trigonom etricas podem ser calculadas a partir das derivadas das fun»c~oes seno e cosseno, fazendo-se uso das rela»c~oes tg = sen cos ; cos cotg = sen sec = cos ; cosec = sen µ u 0 e aplicando-se a regra de deriva»c~ao de quociente, = u0 v uv 0. v v 2

7 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital Fun»c~oes trigonom etricas inversas esuasderivadas A fun»c~ao arco-seno. Para cada n umero real a, a, eisteum unico arco orientado, ¼=2 ¼=2, tal que sen = a. Dizemos que e o arco cujo seno e a, ou que e oarco-seno de a, e denotamos isto por =arcsena Sumarizando, =arcsena seesomentese ( sen = a ¼=2 ¼=2 = arc sen a a π/2 A - π /2 Assim, por eemplo (con ra), arc sen = ¼ p 3 2 ; arc sen 2 = ¼ µ ; arc sen = ¼ ; arc sen( ) = ¼ 2 A fun»c~ao arco-cosseno. Para cada n umero real a, a, eisteum unico arco orientado, 0 ¼, tal que cos = a. Dizemos que e o arco cujo cosseno e a, ou que e oarco-cosseno de a, e denotamos isto por =arccosa Sumarizando, = arccos a se e somente se ( cos = a 0 ¼

8 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 65 β = arc cos a π β a Assim, por eemplo, arccos = 0, arccos( p 2=2) = ¼=4, arccos( =2) = 2¼=3, arccos( ) = ¼. A fun»c~ao arco-tangente. Para cada n umero real a, <a<+, eiste um unico arco orientado, ¼=2 < <¼=2, tal que tg = a. Dizemos que e o arco cuja tangente e a, ouque e oarco-tangente de a, e denotamos isto por =arctga γ = arc tg a π/2 a ' γ - π/2 Sumarizando, =arctga se e somente se ( a =tg ¼=2 < <¼=2 Assim, de nem-se as fun»c~oes arc sen e arccos, para, e arc tg para todo 2 R. Algumas calculadoras cient ³ cas chamam essas fun»c~oes pelas teclas INV SIN, INV CS, INV TAN, e µas vezes pelas teclas SIN, CS, TAN.

9 Semana 6. Fun»c~oes trigonom etricas. Regras de L'Hopital. 66 Regra 4 (arc sen u) 0 = p u 2 u0 ; (arccos u) 0 = p u 2 u0 ; << << (arc tg u) 0 = +u 2 u0 ; <<+ 6.4 Problemas. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes. (a) =cotg( 3 2) (b) f() =cos3 2 cos 4 (c) = sen 4 (d) g() = cos 2 3 (cos 2 a signi ca (cos a) 2 ) (e) = 2 sec 2 5 Respostas. (a) (3 2 2) cosec 2 ( 3 2) (b) 6 sen 3 2 (c) (d) 3sen6 (e) 2 sec sec 2 5 tg 5 2. Calcule a derivada da fun»c~ao =arcsen p. Resposta. 2 p p 3. Determine 0 por deriva»c~ao impl ³cita. (a) = sen (b) e cos = e Respostas. (a) 0 = sen (b) 0 = e cos e cos e sen +e 4 sen 4 4. Esboce o gr a co da fun»c~ao =arctg, analisando-a previamente atrav es de derivadas e limites apropriados. Resposta. (Daremos as derivadas como suporte µa solu»c~ao.) 0 =, 00 = (+ 2 ) 2 π/2 π/4 0 - π /2