Esbo»cando gr a cos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas

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1 Aula 7 Esbo»cando gr a cos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»c~oes cont ³nuas em R, com derivadas primeira e segunda tamb em cont ³nuas. Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»c~ao para fun»c~oes alg ebricas. Uma fun»c~ao e alg ebrica quando sua f ormula f() envolve todas ou algumas das quatro opera»c~oes racionais +,, e, e eventualmente etra»c~oesdera ³zes n- esimas ( np ). Na verdade, as fun»c~oes da aula 6 s~ao tamb em fun»c~oes alg ebricas. As fun»c~oes alg ebricas que estaremos estudando agora, por em, tem uma ou v arias das seguintes peculiaridades: (i) o denominador na f ormula de f() se anula para um ou mais valores de ; (ii) para alguns valores de, f e cont ³nua em, masf n~ao o e; (iii) para alguns valores de, f e f s~ao cont ³nuas em, masf n~ao o e; (iv) quando! +1 (ou quando! 1), a curva = f() aproima-se inde nidamente de uma reta (chamada reta ass ³ntota da curva = f()). (Os gr a cos das fun»c~oes dos problemas 4 e 6, p agina 55, tem ass ³ntotas horizontais). A apresenta»c~ao desses novos aspectos no esbo»co de gr a cos de fun»c~oes ser a feita atrav es de eemplos. Vamos a eles. Eemplo 7.1 Esbo»car o gr a co de f, sendo f() = = , ou seja, esbo»car a curva Detectando ass ³ntotas verticais Repare que D(f) =R fg. 57

2 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 58 Agora, f() =! +! > = 5 =+1, e f() = +!! < = 5 = 1 Esses ites laterais, sendo in nitos, detectam que a reta vertical de equa»c~ao = e uma ass ³ntota vertical do gr a co de f. Mais precisamente, esses ites laterais detectam que quando! +, os pontos correspondentes, no gr a co, \sobem" no plano, aproimando-se inde nidamente dessa reta. Quando!,ospontosdogr a co \descem" no plano, tamb em aproimando-se inde nidamente da reta ass ³ntota. Crescimento e decrescimento Temos f () = ( +1) ( ) ( ) ( +1) ( ) = Portanto f () = 5 ( ) ( ) ( +1) ( ) Assim sendo f () < para todo em D(f) =R fg. Esta fun»c~ao f n~ao pode ter m aimos nem m ³nimos locais. Temos o seguinte diagrama de sinais de f eintervalosdecrescimentoedecrescimento de f: f ' f f() Concavidades do gr a co Temos f 5 () = ( ) =[ 5( ) ] =1( ) Temos o seguinte diagrama de sinais de f edire»c~oesdeconcavidadesdogr a co de f: f '' _ + = f() Como 6 D(f), ogr a co n~ao tem ponto de in e~ao. Comportamento no in nito (outras ass ³ntotas) f() = +1!+1!+1 =

3 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 59 de f. Tamb em f() =! 1 Assim, a reta = e umaass ³ntota horizontal µa direitae µa esquerdadogr a co Esbo»co do gr a co de f, com base nos aspectos estudados acima: gura = = -4 Figura 7.1. Eemplo 7. Esbo»car o gr a co de = +. 1 Detectando ass ³ntotas verticais Repare que D(f) =R f1g. Agora,! = 1 + =+1, e +!1 1 = 1 = 1 A reta vertical de equa»c~ao =1 e umaass ³ntota vertical do gr a co da curva = +. 1 Quando est a pr oimo de 1, pontos da curva \sobem" no plano, aproimandose da ass ³ntota, µa direita, e \descem", aproimando-se da ass ³ntota, µa esquerda. Crescimento e decrescimento. M aimos e m ³nimos locais Temos = ( + +) ( 1) ( 1) ( + +) ( 1) = ( )( 1) ( +) ( 1) = ( 1)

4 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 6 Portanto = ( ) = ( 1) ( 1) Assim, =para =epara =. As ra ³zes do numerador de s~ao e, enquanto que 1 e raiz do denominador. Al em disso, em cada um dos intervalos ] 1; [, ]; 1[, ]1; [ e ]; +1[, aderivada mant em-se positiva ou negativa. Este fato nos e garantido por um teorema da An alise Matem atica, chamado teorema do anulamento, ou teorema de Bolzano, que enuncia Teorema de Bolzano Se uma fun»c~ao cont ³nua f n~ao tem ra ³zes em um intervalo, ent~ao f() mant em-se positiva ou negativa em todos os pontos do intervalo. Com base nessas observa»c~oes, para analisar a varia»c~ao de sinais de podemos recorrer ao seguinte argumento: Quando e muito grande, >. Assim, > no intervalo >. Quando passa por, troca de sinal. Portanto, < para 1 <<. Quando passa por 1, n~ao muda de sinal porque o termo 1 aparece elevado ao quadrado no denominador. Assim sendo, temos ainda < no intervalo <<1. Ao passar por, troca de sinal novamente e temos ent~ao > quando <. Temos ent~ao o seguinte diagrama de sinais de e intervalos de crescimento e decrescimento de : ' + _ 1 _ + pto de ma local ' = (1) pto de min local ' = Temos ent~ao que cresce em ] 1; ], decresce em [; 1[ eem]1; ], e cresce em [; +1[. Concavidades e in e~oes do gr a co Temos = = ( ) ( 1) [( 1) ] ( ) ( 1) ( 1) 4 = ( )( 1) ( 1)( ) ( 1) 4 = ( )( 1) ( ) ( 1) = ( 1)

5 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 61 '' _ 1 + = () Temos o seguinte diagrama de sinais de edire»c~oes de concavidades da curva = (): Como n~ao h a para =1,ogr a co n~ao tem ponto de in e~ao. Comportamento no in nito (outras ass ³ntotas) () =!+1 Temos ainda + =!+1 1!+1 = () =! 1! 1 = Assim, a curva n~ao tem ass ³ntota horizontal. = 1! 1!+1 =+1 Esbo»co do gr a co de f, com base nos elementos coletados acima: gura = Figura 7.. Ass ³ntotas inclinadas! H a algo mais que pode ser destacado no gr a co esbo»cado na gura 7.: a eist^encia, at e aqui insuspeita, de uma ass ³ntota inclinada (tamb em chamada ass ³ntota obl ³qua). Se [f() (a + b)]=,paracertosn umeros reais a e b, temosqueareta!+1 = a + b e umaass ³ntota do gr a co de f µa direita,umaass ³ntota inclinada se a 6=.

6 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 6 Neste caso, µa medida em que cresce, tornando-se muito grande, com valores positivos, f() torna-se cada vez mais pr oimo de a + b. Por raz~oes an alogas, a reta = a+b e umaass ³ntota do gr a co de f, µa esquerda, quando [f() (a + b)] =.! 1 Como determinar os coe cientes a e b? Para determinar a, note que se [f() (a + b)] =, ent~ao! 1 f()! 1 = [f() (a + b)] + (a + b)! 1 =! 1 = +1 + a = a f() (a + b) a + b +! 1 Assim, se a reta = a + b e umaass ³ntota do gr a co de f ent~ao f()!+1 Para determinar b, basta agora calcularmos f() = a ou! 1 = a (f() a) =b! 1 No caso da curva que estamos estudando, f()! 1 =! 1 = +! 1 ( 1) e assim obtemos a =1. Al em disso,! 1 e assim obtemos b = 1. µ + 1 =! 1 + =! 1 =1 µ + a =! 1 1 =! 1 =! 1 + ( 1) = 1 Portanto, a reta = 1 e ass ³ntota inclinada da curva. Com base nos elementos coletados acima, incluindo a informa»c~ao adicional sobre a ass ³ntota inclinada, temos um novo esbo»co, mais preciso, da curva da gura 7., na gura 7..

7 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas = = Figura 7.. Eemplo 7. Esbo»car o gr a co de = f() =( +) p ( ). O gr a co desta fun»c~ao f n~ao apresenta ass ³ntotas verticais, visto que a fun»c~ao f e cont ³nua em todo o conjunto R, isto e, em todos os pontos de R. Crescimento e decrescimento. M aimos e m ³nimos locais Temos =( +) p ( ). Para calcular, primeiro faremos =( +)( ) = Desse modo, pela regra da derivada de um produto, =( ) = +( +) ( ) 1= Agora, para facilitar os c alculos, colocamos em evid^encia a fra»c~ao 1=, e tamb em a pot^encia de de menor epoente: = 1 ( ) 1= [( ) 1 +( +)] = 1 ( ) 1= (5 5) = 5 ( ) 1= ( 1) Para termos clareza quanto aos sinais de, reescrevemos usando radicais: = 5( 1) p

8 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 64 Note que a fun»c~ao f e cont ³nua em todos os pontos de R, masf () n~ao se de ne quando =. As ra ³zes do numerador e do denominador de s~ao 1 e, sendo =para =1. Temos ent~ao o seguinte diagrama de sinais de, e correspondentes intervalos de crescimento e decrescimento de f: ' + 1 _ + pto de ma local ' = '() pto de min local Temos ent~ao que f cresce em ] 1; 1], decresce em [1; ] ecrescenovamente em [1; +1[. Aqui temos algo novo: f n~ao tem derivada em =,mas = e um ponto de m ³nimo local de f! Como e a geometria do gr a co de f nas proimidades do ponto =? A resposta a esta quest~ao vir a com o estudo das concavidades do gr a co. Concavidades e in e~oes da curva Temos 5 = ( ) 1= ( 1) = 5 9 ( ) 4= ( 1) + 5 ( ) 1= = 5 9 ( ) 4= [ ( 1) + ( ) 1 ] Assim, = 5 9 ( ) 4= ( 8) = 1 9 ( ) 4= ( 4) f 1( 4) () = 9 p ( ) 4 Temos o seguinte diagrama de sinais de edire»c~oesdeconcavidadesdogr a co de f (resista µa tenta»c~ao de simpli car o radical p ( ) 4 ): '' 4 + = f()

9 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 65 Oponto(4;f(4)) = (4; 6) e ponto de in e~ao do gr a co. Deiamos ao leitor a veri ca»c~ao de que o gr a co de f n~ao tem retas ass ³ntotas no in nito, pois! 1 f() =+1. Com base nos elementos coletados acima, temos um esbo»co da curva = f() na gura Figura 7.4. Neste esbo»co levamos em conta as aproima»c~oes f(1) = p 4 ¼ (1; 6) = 4; 8, f() = p 9 ¼ (; 1) = 4;. Levamos em conta tamb em que e s~ao ra ³zes de f (isto e, solu»c~oes de f() =). Note que, antes e pouco depois de =, o gr a co tem concavidade voltada para baio. Como f decresce em [1; ] ecresceem[; +1[, temos,nogr a co de f, a forma»c~ao de um \bico" agudo no ponto (; ). Isto eplica a ineist^encia de derivada em.n~ao h a retatangenteaogr a co no ponto (; ). Observa»c~ao 7.1 (O gr a co de f em pontos com derivadas in nitas) Quando f e cont ³nua em um intervalo contendo um ponto no seu interior, e f e cont ³nua em todos os pontos desse intervalo, eceto em e, al em disso, f () =! +1 ou 1, temos uma reta vertical tangente ao gr a co de f em P =( ;f( )). Estes dois casos s~ao ilustrados na gura 7.5. Quando f () =+1 e f () = 1, o gr a co forma um bico em P =! +! ( ;f( )), tal como no ponto (; ) da gura 7.4 ou no ponto P do gr a co µa esquerda na gura 7.6. Quando! + f () = 1 e! f () =+1, temos novamente um bico em P,s o que agora apontando para cima, tal como no gr a co µa direita na gura 7.6.

10 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 66 P P Figura 7.5. µ A esquerda,! f () = 1. µ A direita,! f () =+1 P P Figura 7.6. A µ esquerda,! + f () =+1, e! f () = 1. µ A direita,! + f () = 1, e! f () = Problemas Um importante teorema sobre fun»c~oes cont ³nuas, chamado teorema de Bolzano ou teorema do anulamento, enuncia o seguinte: Teorema de Bolzano Se f e uma fun»c~ao cont ³nua no intervalo [a; b], comf(a) < e f(b) > (ou com f(a) > e f(b) < ), ent~ao f tem uma raiz no intervalo ]a; b[, isto e, eiste, a< <b, tal que f( )=. Na p agina 6, desta aula, temos uma vers~ao equivalente desse teorema. Este teorema est a ilustrado nos gr a cos das fun»c~oes (cont ³nuas) dos problemas e5,p agina 56, da aula 6. A fun»c~ao do problema satisfaz f() > e f(1) <, e tamb em f() < e f() >, o que lhe garante a eist^encia de uma raiz entre e 1, e de uma outra entre e. J aafun»c~ao do problema 5 possui uma raiz no intervalo ]; [. 1. Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que (a) f() = possui uma raiz no intervalo ] 1; [. (b) A equa»c~ao 4 +=tem tr^es ra ³zes reais distintas entre si.. Mostre que todo polin^omio p(), degrau ³mpar, com coe cientes reais, tem ao menos uma raiz real. Sugest~ao. Considere os ites Para cada uma das fun»c~oes dadas abaio, p() e!+1 p().! 1

11 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas 67 (a) Determine o dom ³nio da fun»c~ao e, com base nisto, veri que se a curva = f() tem retas ass ³ntotas verticais. (b) Calcule f () e determine os intervalos em que f e crescente e aqueles em que f e decrescente; (c) Determine os pontos de m aimolocaiseospontosdem ³nimo locais de f, bem como os valores de f() nesses pontos; (d) Calcule f () e determine os intervalos em que a curva = f() e c^oncava para cima e aqueles em que ela e c^oncava para baio; (e) Determine os pontos de in e~ao da curva = f(); (f) Calcule as ra ³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f() =), quando isto n~ao for dif ³cil; (g) Veri que se a curva = f() tem retas ass ³ntotas horizontais ou inclinadas. (h) A partir dos dados coletados acima, fa»ca um esbo»co bonito do gr a co de f. (i) Indique os pontos do gr a co onde a reta tangente e vertical e os pontos onde ineiste tal reta tangente (procure por pontos onde f e cont ³nua, mas f n~ao e de nida).. f() = 4. f() = f() = p 1 6. f() = p 1 7. f() = p 6 8. f() = p Respostas e sugest~oes Para os problemas de a 8, daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda, eoesbo»co do gr a co.. f () = + ( ), f () = +1 ( ) 4. f () = + (1 + ), f () = 5. f () = p, f () = 9 p 4 (1 + )

12 Esboc»ando gr aficos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas f () = p (1 ), f () = p (1 ) 5 7. f () = 4 p (6 ), f () = 8 p (6 ) 5 8. f () = p ( +1), f () = 4 p ( +1) 5 Esbo»cos dos gr a cos:. 4. = - 1 = (-,-4) (,1) (1,) (,-1) = _ (4, 4 ) (6,) (-1,) (- 1/, -4 1/ ) (,-) = - + Dado num erico: p 1= ¼ ;8 Dado num erico: p 4 ¼ 1;6