Capítulo Discussão geométrica

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1 Capítulo Traçado de Gráficos. Introdução Em capítulos anteriores, tivemos a oportunidade de observar a utilidade da representação gráfica de uma função: um gráfico, adequadamente traçado, pode e deve mostrar características importantes do comportamento da função, daí a necessidade de sabermos esboçar gráficos de funções de uma maneira precisa. Já vimos também que um programa de computador, como o Maple, traça gráficos de quaisquer funções em questões de segundos. Por que, então, nos preocuparmos em aprender técnicas para traçar gráficos? Esta seção tem como objetivo mostrar que o computador e o Maple, quando corretamente utilizados, podem nos fornecer todas as informações importantes a respeito de uma função, mas para isso é preciso entender e utilizar o conceito de derivada para traçar o gráfico de funções. Nos eemplos estudados a seguir, mostraremos como o potencial e as facilidades computacionais do Maple podem ser usados para entender os conceitos matemáticos utilizados na construção do gráfico de uma função e como é possível utilizar estes conceitos matemáticos, em conjunto com o Maple, para obter uma representação gráfica adequada da função em eame. Nesta seção faremos uma discussão puramente geométrica dos vários conceitos matemáticos envolvidos no traçado do gráfico de uma função. As demonstrações das conclusões a que chegarmos neste capítulo serão apresentadas nos capítulos a seguir.. Discussão geométrica Como o gráfico de uma função é o conjunto de pontos do plano da forma (, f()), a primeira idéia que surge ao tentarmos traçar um gráfico é marcar alguns destes pontos no sistema de eios coordenados e ligá-los por segmentos de reta. Este método, além de primitivo, pode levar a uma série de equívocos. Vejamos alguns eemplos do que pode acontecer: Eemplo Considere a função f() = 5 + Veja a seguir a figura obtida unindo, por seguimentos, os pontos (, 0), (, 0), (0, ), (, 0) e (, 0), que fazem parte do gráfico desta função Será esta uma representação adequada para o gráfico da função f() = 5 +? A segunda idéia que temos, como dignos representantes de uma espécie racional, habitantes do planeta Terra, em pleno século XXI, é lançar mão de um computador e usar um programa que nos salve. Mesmo usando um programa como o Maple, podemos ser levados a erros. Veja o resultado que obtivemos usando este recurso computacional:

2 08 Cap.. Traçado de Gráficos O gráfico parece indicar que a função assume somente valores positivos. No entanto, por simples inspeção constatamos que, para alguns valores de, a função deve assumir valores negativos. Usando o Maple para calcular os valores desta função em alguns pontos obtemos: > f:= ->^-5*^+; > valores_f:=[f(-),f(-.5),f(-),f(-0.5),f(0),f(0.5),f(),f(. > 5),f()]; valores f := [0,.875, 0,.85,,.85, 0,.875, 0] o que mostra que nossa conjectura era verdadeira. O comportamento desta função é melhor representado pelo gráfico a seguir, onde os intervalos de variação de e de y foram escolhidos criteriosamente. > plot(^-5*^+,=-5..5,y=-3..); y Este eemplo nos leva a pensar que o problema de traçar adequadamente gráficos de funções estará resolvido se desenvolvermos uma grande habilidade com os comandos do Maple na manipulação de gráficos, em particular na escolha da melhor janela para o traçado do gráfico em questão. O próimo eemplo nos mostra que a questão não é tão simples quanto parece. Eemplo Vamos tentar achar a melhor janela para obter, com a ajuda do Maple, uma representação gráfica adequada para a função g() = ( 000 ). Veja a seguir o resultado de nossas tentativas. Observe em cada caso a janela escolhida para o traçado do gráfico, isto é, os intervalos de variação de e de y. > g:=->/^-*(000/)^; g := > plot(g(),=-0..0,aesfont=[times,roman,]); e+3 e+3 3e+3 e+3 5e+3 > plot(g(),=-..,aesfont=[times,roman,]);

3 W.Bianchini, A.R.Santos 09 e+0 e+0 e > plot(g(),= ,aesfont=[times,roman,]); 8e+ e+ e+ e > plot(g(),= ,aesfont=[times,roman,]); 8e+00 e+00 e+00 e+00 e 05 8e 0 e 0 e 0 e 0 e 0 e 0 e 0 8e 0 e 05 > plot(g(),= ,y=-^00..^00,aesfont=[times,roman,]);.e+0.e+0.e+0 e+0 y 8e+59 e+59 e+59 e e+59 e+59 e+59 8e+59 e+0.e+0.e+0.e+0 Os gráficos obtidos não nos fornecem nenhuma informação a respeito do comportamento desta função, por isso não são uma representação gráfica adequada para a mesma. Usando a versão eletrônica deste teto, tente obter uma representação melhor para o gráfico desta função! Este eemplo nos faz concluir que para traçar o gráfico de algumas funções teremos que ter muita habilidade (ou sorte) no uso do Maple para conseguirmos alguma coisa razoável. Tanta habilidade que talvez seja mais fácil (e útil) aprender cálculo! Os eemplos seguintes ilustram que, além do problema da escolha da melhor janela, outras dúvidas podem surgir ao tentarmos traçar gráficos de funções. Eemplo 3 > plot(^3,=-0..0,aesfont=[times,roman,]);

4 0 Cap.. Traçado de Gráficos Será que a concavidade deste gráfico se mantém para valores grandes de? Vamos tentar responder a esta questão com a ajuda do Maple, traçando este mesmo gráfico no intervalo (, + ). Veja o resultado obtido! > plot(^3,=-infinity..infinity); infinity -infinity infinity -infinity Será esta uma representação adequada para a função f() = 3? Vamos repetir o mesmo procedimento para a função f() =. Veja o gráfico obtido: > plot(^,=-infinity..infinity); infinity -infinity 0 infinity Estranho, não? Estivemos sempre errados ou é o Maple que não serve para traçar gráficos de funções?.3 Derivadas e traçado de gráficos No Cap. 5 vimos que a reta tangente é aquela que aproima a curva próimo ao ponto de tangência. Programas de computador como o Maple utilizam esta propriedade para traçar o gráfico de uma função (Veja no mesmo capítulo o projeto Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções). Vimos também que a derivada de uma função num dado ponto é definida, geometricamente, como a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, portanto, a derivada de uma função deve, de alguma maneira, fornecer informações a respeito do gráfico da função. Vamos agora tentar estabelecer a relação que eiste entre o gráfico de uma função f e sua derivada. Considere a função f() = + 3.

5 W.Bianchini, A.R.Santos Sabemos que o gráfico desta função é uma parábola, portanto, a figura obtida acima é uma representação adequada para esta função. Além disso, podemos observar que esta função é decrescente para valores de < 0 e é crescente para valores de > 0. Não custa lembrar que, em matemática, dizemos que uma função é crescente num certo intervalo do eio se, quaisquer que sejam os pontos e desse intervalo, tais que <, tivermos necessariamente f( ) < f( ). Geometricamente, isto significa que o gráfico da função é ascendente quando o percorremos da esquerda para a direita. Analogamente, a função é dita decrescente em um certo intervalo (isto é, o seu gráfico é descendente quando percorrido da esquerda para a direita) se, quaisquer que sejam e no intervalo considerado, tais que <, tivermos necessariamente f( ) > f( ). Para esboçarmos o gráfico de uma função qualquer, é importante conhecermos os intervalos onde ela é crescente e aqueles em que é decrescente. A derivada nos fornece uma importante informação a esse respeito. Observe no diagrama a seguir, as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função, em vários de seus pontos. Se lembrarmos que o coeficiente angular de uma reta é positivo se ela aponta para cima, à direita, e negativo, se ela aponta para baio, à direita, é fácil concluir que eiste uma relação entre os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função e o sinal de sua derivada. Veja no diagrama a seguir, o gráfico da função e de sua derivada, traçados na mesma janela É geometricamente fácil perceber que nos intervalos onde a derivada é positiva a função é crescente, e onde a derivada é negativa a função é decrescente. A demonstração desta afirmação, no entanto, depende de um dos teoremas mais importantes de Cálculo, chamado Teorema do Valor Médio. Este teorema e a demonstração da afirmação acima serão vistos na próima seção. Por ora, vamos nos deiar guiar por nossa intuição geométrica e considerar verdadeira a afirmação feita. Assim, o problema de determinar os intervalos onde uma função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente se reduz a determinar os valores de para os quais a derivada da função é positiva, isto é, resolver uma inequação da forma f () > 0, e os intervalos onde ela é negativa, isto é, determinar os valores de para os quais f () < 0. Podemos usar o Maple para determinar tais intervalos usando o comando solve: > df:=->diff(^+3,);

6 Cap.. Traçado de Gráficos > df(); > solve({df()>=0},{}); df := diff( + 3, ) {0 } Podemos, agora, usar o comando signum, que fornece o sinal de uma função qualquer, para obter o sinal da derivada de f (que chamamos de df). > plot(signum(df()),=-5..5); O gráfico indica que a derivada de f é positiva para > 0 e negativa para < 0. Portanto, a função é decrescente para < 0 e crescente para 0 <.. Derivada primeira e etremos locais Vamos aplicar as conclusões obtidas na seção anterior para estudar o comportamento da função f() = sen(). Em que intervalos esta função é crescente? Em que intervalos é decrescente? Observe o diagrama a seguir. Neste diagrama, o gráfico da função seno é traçado em linha cheia e o da sua derivada, a função cosseno, em linha pontilhada. Estes gráficos estão de acordo com as conclusões a que chegamos acima? Este diagrama nos ajuda a deduzir outras informações importantes a respeito da relação entre os gráficos da função e da sua derivada. É claro que uma curva suave só pode mudar de crescente para decrescente passando por um pico, onde o coeficiente angular da reta tangente, isto é, a sua derivada é zero. Analogamente, ela só pode mudar de decrescente para crescente passando por uma depressão, onde o coeficiente angular da reta tangente também é zero. Na versão eletrônica, eecute a animação correspondente, desta vez quadro a quadro, para visualizar geometricamente esta afirmação. Como foi visto no capítulo anterior, nos pontos de picos ou de depressão ocorrem, respectivamente, um valor máimo ou um valor de mínimo (relativos) da função. Vimos também que estes valores devem ocorrer nos pontos onde a derivada se anula ou nos pontos onde a derivada não eiste. Vimos ainda que eistem pontos onde a derivada é zero ou onde ela não eiste que não são nem máimo local, nem mínimo local para a função dada. Os eemplos a seguir ilustram os problemas que podem ocorrer. 0 8 y Neste eemplo, em = 0 o gráfico não tem pico nem depressão, mas simplesmente se achata, momentaneamente, entre dois intervalos, em cada um dos quais a derivada é positiva.

7 W.Bianchini, A.R.Santos Neste outro eemplo, em = 0 ocorre um máimo local (que é também um máimo global) da função. Neste ponto a derivada não eiste (por quê?), mas a função passa de crescente a decrescente, isto é, a sua derivada é positiva à esquerda de zero e é negativa à direita. Estas observações nos permitem deduzir um critério que leva em conta o sinal da derivada na vizinhança de um ponto crítico para determinação dos pontos de máimo e de mínimo locais de uma função, critério que é enunciado a seguir... Teste da derivada primeira para determinação de etremos locais Seja c um ponto crítico de uma função f pertencente ao interior de um intervalo I onde f está definida. Suponha que f seja contínua e derivável em I, eceto eventualmente em c. Então:. Se f () < 0 à esquerda de c e f () > 0 à direita de c, então f(c) será um mínimo local de f em I.. Se f () > 0 à esquerda de c e f () < 0 à direita de c, então f(c) será um máimo local de f em I. 3. Se f () < 0 tanto à esquerda como à direita de c ou se f () > 0 tanto à direita como à esquerda de c, então f(c) não será máimo nem mínimo local de f. Demonstração Demonstraremos apenas o item (). Os outros ítens são demonstrados de maneira análoga. Para demonstrar que f(c) é um mínimo local de f, é preciso provar que f(c) f(), qualquer que seja numa vizinhança de c, isto é, para todo num intervalo aberto (a, b) que contém c. Suponhamos que as hipóteses do teorema se verifiquem, isto é, que f seja contínua em I, que c seja um ponto crítico de f e que f seja derivável em I eceto, eventualmente, em = c. Suponhamos também que f () < 0 à esquerda de c e que f () > 0 à direita de c. Isto quer dizer que eistem dois intervalos (a, c) e (c, b), ambos contidos em I, tais que f () < 0 em (a, c), o que implica que f é decrescente em (a, c] e f () > 0 em (c, b) e, consequentemente, f será crescente em (c, b] (note que ainda precisamos provar estas duas afirmações!). Consideremos um ponto pertencente ao intervalo (a, b). Então, ou < c e, portanto, estará em (a, c), ou = c, ou > c e, então, estará em (c, b). Se (a, c), como f é decrescente em (a, c], teremos que f(c) < f(). Se (c, b), como f é crescente em (c, b], teremos que f(c) < f(). No caso restante, f(c) = f(). Assim, teremos que f(c) f() para todo em (a, b) e, portanto, f(c) é um mínimo local de f. Em resumo O teste acima afirma que, se c é um ponto crítico de f, f(c) será um etremo local de f se a derivada primeira mudar de sinal em uma vizinhança de c. Se o sinal de f mudar de positivo para negativo, isto é, se a função f crescer à esquerda de c e decrescer a sua direita, f(c) será um máimo local. Se o sinal de f mudar de negativo para positivo (a função decresce à esquerda de c e cresce a sua direita), f(c) será um mínimo local. O intervalo I, onde f está definida, pode ser toda a reta. Eemplo Voltemos ao estudo da função f() = 5 +, apresentada no Eemplo, tentando, desta vez, pensar um pouco antes de tentar traçar cegamente o seu gráfico. Uma informação importante a respeito de uma função e que, portanto, deve ser claramente mostrada no seu gráfico, são os seus zeros, isto é, as raízes da equação f() = 0. Geometricamente, os zeros de uma função correspondem aos pontos onde o gráfico intercepta o eio. O comando solve do Maple pode nos ajudar a determinar tais pontos: > solve({^-5*^+=0},{}); { = }, { = }, { = }, { = }

8 Cap.. Traçado de Gráficos A seguir, vamos calcular a derivada desta função, pois, como já vimos, a derivada fornece informações a respeito dos intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. > diff(^-5*^+,); > df:=unapply(%,); 3 0 df := 3 0 Esta função é contínua e derivável em toda a reta e, portanto, os seus únicos pontos críticos são aqueles onde f () = 0. Usando o comando solve para calculá-los, obtemos: > solve({df()=0}); { = 0}, { = 0}, { = 0} Calculando os valores da função f nestes pontos, obtemos os seguintes pontos que pertencem ao gráfico de f d := ( 9 0, ) d := (0, ) d3 := ( 9 0, ) Vamos agora, com a ajuda do Maple, determinar o sinal da derivada de f e usar o teste da derivada primeira para classificar os seus pontos críticos. > plot(signum(df()),=-..); O gráfico indica que f () < 0 em (, 0 ) e em (0, 0 em ( 0, 0) e em ( 0 ), portanto f é decrescente nestes intervalos e f () > 0, ), sendo f crescente nestes intervalos. Você é capaz de determinar analiticamente o sinal de f ()? Pelo teste da derivada primeira podemos concluir que os pontos d e d3 são pontos de mínimo locais e que d é um ponto de máimo local. Marcando estes pontos em um sistema coordenado e fazendo uso das informações acima, obtemos o seguinte gráfico para a função f: > plot(^-5*^+,=-..); 3 No entanto, sem contrariar nenhuma das informações que já conhecemos a respeito do comportamento desta função, o seu gráfico pode ser qualquer um dos dois traçados a seguir:

9 W.Bianchini, A.R.Santos y 3 3 Para que possamos afirmar com segurança qual dos gráficos é o correto, necessitamos de informações adicionais a respeito da concavidade da função, isto é, precisamos saber o sentido em que o gráfico se curva. Quando o gráfico, percorrido da esquerda para a direita, se curva para cima dizemos que a função é convea (ou côncava para cima), quando o gráfico se curva para baio dizemos que a função é côncava (ou côncava para baio)..5 Derivada segunda e concavidade No eemplo anterior, observamos que as duas alternativas apresentadas para o gráfico da função em estudo diferiam pela tipo de concavidade da função para < e para >. O estudo da concavidade é feito por meio da derivada segunda da função. Observe os diagramas a seguir. O primeiro deles mostra o gráfico da função f() =, que é côncava para cima, traçado em conjunto com o de sua derivada. O segundo diagrama traça o gráfico da função f() =, que é côncavo para baio, juntamente com o gráfico da sua derivada. O que é possível concluir a partir destes dois eemplos? Eles nos permitem concluir que, nos intervalos onde a derivada primeira é crescente, a função é côncava para cima, e nos intervalos onde a derivada primeira é decrescente, a função tem sua concavidade voltada pra baio. Mas, para saber em que intervalos a derivada primeira é crescente e onde é decrescente, precisamos estudar o sinal da sua derivada, isto é, precisamos estudar o sinal da derivada segunda de f. Assim, se a derivada segunda é positiva, a derivada primeira é crescente e a função é côncava para cima. Isto significa que, quando nos movemos ao longo da curva, a tangente ao gráfico da função gira no sentido anti-horário e a curva está acima da sua reta tangente, eceto no ponto de tangência. Analogamente, se a derivada segunda é negativa, a derivada primeira é decrescente e a função é côncava para baio, e a tangente gira no sentido horário quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita. Neste caso, o gráfico da função fica abaio da sua reta tangente, eceto no ponto de tangência. Eecute as animações da versão eletrônica deste teto para comprovar visualmente a veracidade destas afirmações. Os gráficos seguintes mostram a função e suas derivadas primeira e segunda. Comprove a influência do sinal da derivada segunda na concavidade do gráfico da função. y Eemplo 5 Voltemos a eaminar a função estudada no Eemplo. Seja f() = 5 +. Calculemos sua derivada segunda e estudemos o seu sinal: > diff(^-5*^+,,);

10 Cap.. Traçado de Gráficos > df:=unapply( *^-0,); 0 df := 0 Repare que a derivada segunda da função f é uma função do segundo grau cujas raízes são: > solve({diff(^-5*^+,,)=0},); { = 30}, { = 30} Portanto, esta função será negativa para valores de entre 30 e 30 e será positiva para > 30 e < 30. Assim, a função f é côncava para cima para < 30 e > 30 e é côncava para baio para entre 30 e 30. Como f( 30 ) = f( 30 ) = 9 3 temos que nos pontos ( 30, 9 3 ) e ( 30, 9 3 ) a concavidade troca de sentido. Veja o gráfico da função f, traçado em conjunto com o gráfico da sua derivada segunda. 0 y 8 0 Como a curva eaminada neste eemplo, a maioria das funções são côncavas para cima em alguns intervalos e côncavas para baio em outros. Um ponto no qual o sentido da concavidade muda chama-se um ponto de infleão. Assim, temos a seguinte definição: Definição: Ponto de Infleão Um ponto 0 é chamado ponto de infleão de uma função f, se f é contínua em 0 e se o gráfico de f muda de concavidade em P = ( 0, f( 0 )). É usual chamarmos o ponto P = ( 0, f( 0 )) também de ponto de infleão. 30 No eemplo acima, os pontos = ( e = ( 30 são os pontos de infleão da função f. Se f () é contínua e tem sinais opostos em cada lado de P = ( 0, f( 0 )), deve se anular em 0. Assim, a busca de pontos de infleão se reduz, basicamente, a uma questão de resolver a equação f () = 0 e conferir o sentido da concavidade em ambos os lados de cada raiz. Note que pontos de infleão podem ocorrer, também, nos pontos onde a derivada segunda não esteja definida, como mostra o gráfico a seguir. Neste caso, na busca por pontos de infleão devemos eaminar também os pontos onde a derivada segunda não eiste Teste da derivada segunda para a determinação de etremos locais A derivada segunda nos fornece, também, um critério para a determinação dos máimos e mínimos locais de uma função. Como vimos neste capítulo, os máimos e mínimos locais de uma função derivável f só podem ocorrer em um ponto crítico c onde f (c) = 0, de modo que a tangente à curva y = f() no ponto (c, f(c)) seja horizontal. No entanto, como vimos, esta condição é necessária mas não suficiente: eistem pontos onde a derivada é zero, que não são nem máimos nem mínimos locais. Um eemplo deste tipo de comportamento ocorre na função f() = 3. No ponto = 0 a derivada desta função é zero (a reta tangente ao gráfico é horizontal), mas este ponto não é um etremo local.

11 W.Bianchini, A.R.Santos 7 Vimos que o teste da derivada primeira fornece um bom critério para decidir se um ponto crítico é um máimo ou um mínimo local. Este teste se baseia na observação de que, em curvas suaves, um pico (máimo local) ou uma depressão (mínimo local) só pode ocorrer se a função passar, naquele ponto, de crescente para decrescente ou de decrescente para crescente, respectivamente. Suponhamos agora que num ponto c, onde f (c) = 0, o gráfico de y = f() se encurve para cima numa vizinhança de c, isto é, em algum intervalo aberto contendo o ponto crítico = c. Neste caso, é claro que f(c) é um mínimo local. Analogamente, f(c) deve ser um valor máimo local de f se f (c) = 0 e se o gráfico de f se encurvar para baio numa vizinhança de c, como mostram as figuras: f(c) f(c) c c Como o sinal de f () nos diz se o gráfico está se encurvando para cima ou para baio, o critério a seguir, baseado neste sinal e conhecido como teste da derivada segunda, nos permite decidir quando um ponto crítico é um etremo de f. Teste da derivada segunda Considere uma função f duas vezes derivável em um intervalo aberto I contendo o ponto crítico c, i.é., f (c) = 0.. Se f () > 0 para todo I, então f(c) é um ponto de mínimo de f em I.. Se f () < 0 para todo I, então f(c) é um ponto de máimo de f em I. Demonstração Demonstraremos apenas a parte (), a parte () é análoga. Se f () > 0 para todo I, então f é uma função crescente em I. Desde que f (c) = 0, se tomarmos e se tomarmos < c f () < f (c) = 0 > c f () > f (c) = 0 Pelo teste da derivada primeira, concluímos que c é um ponto de mínimo de f em I. O critério a seguir mostra que, para decidir se um ponto crítico é de máimo ou mínimo local, basta calcular o valor da derivada segunda neste ponto. Teste da derivada segunda para etremos locais Suponhamos que a função f seja duas vezes derivável em um intervalo aberto I contendo o ponto crítico c, i.é., f (c) = 0.. Se f (c) > 0, então f(c) é um mínimo local de f em I.. Se f (c) < 0, então f(c) é um máimo local de f em I. Demonstração Demonstraremos apenas a parte (). A parte () se demonstra analogamente. Pela definição de derivada, temos que f f () f (c) f () (c) = lim = lim c c c c. Se f (c) > 0, pela definição de limite, eiste um δ > 0, tal que f () > 0, para todo que satisfaz 0 < c < δ. c Logo, f () e c têm o mesmo sinal. Assim, f () < 0 para todo (c δ, c) e f () > 0 para todo (c, c + δ). Logo, pelo teste da derivada primeira f(c) é um valor mínimo local de f.

12 8 Cap.. Traçado de Gráficos Eemplo Considere a função f() = Temos que f () = 3 ( ) e f () = ( ). Então, f tem dois pontos críticos = 0 e =. Como f (0) < 0, o teste da derivada segunda implica que f(0) = 3 é um máimo local de f e como f () > 0, temos que f() = é um mínimo local. Observação O teste da derivada segunda nada nos diz sobre o que acontece quando f (c) = 0. Na realidade, se f (c) = 0 e f (c) = 0, qualquer coisa pode acontecer. Considere, por eemplo, as funções y =, y = e y = 3. Nos três casos temos que f (0) = 0 e f (0) = 0, e, como mostram os seus gráficos, o ponto (0, 0) é, respectivamente, mínimo local, máimo local e ponto de infleão. O teste da derivada segunda é muito útil na resolução de problemas de máimos e mínimos, como veremos no Cap. 8.. Traçado de gráficos - Resumo A eperiência acumulada no estudo dos eemplos apresentados neste capítulo sugere algumas regras informais que serão úteis no esboço do gráfico de uma função f. Se possível, devemos:. Determinar o domínio e as interseções do gráfico da função com os eios coordenados.. Procurar por simetrias e periodicidade. (Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho. Por eemplo, se a função f for par, isto é, se f() = f( ) o seu gráfico é simétrico em relação ao eio y. Assim, se conhecermos o gráfico da função para > 0, para obter o gráfico completo basta refletir a parte conhecida em relação ao eio y, o que reduz à metade o trabalho de traçar o gráfico desta função. Se a função for periódica de período p e conhecermos o seu gráfico em um intervalo de comprimento p, podemos obter o gráfico inteiro por meio de translações do pedaço conhecido.) 3. Determinar os pontos críticos e os valores críticos de f.. Determinar o sinal de f () entre os pontos críticos e, a partir daí, os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde é decrescente. 5. Determinar os máimos e os mínimos locais de f.. Determinar os pontos críticos de f e os valores de f, nestes pontos. 7. Determinar o sinal de f () entre os pontos críticos de f e, a partir daí, os intervalos onde f é côncava para cima e os intervalos onde é côncava para baio. 8. Determinar os pontos de infleão de f. 9. Determinar as assíntotas horizontais ao gráfico de f. Para isso é preciso estudar o comportamento de f quando + e quando. 0. Determinar as assíntotas verticais ao gráfico de f.. Esboçar o gráfico de f. Eemplo Vamos esboçar o gráfico da função f() = anula. Sua derivada é dada por > df:=normal(diff(/(^-),));. O domínio desta função é R \ {, } e esta função nunca se df := ( )

13 W.Bianchini, A.R.Santos 9 cujo domínio é o mesmo da função original. Seus pontos críticos, portanto, serão as raízes da equação f () = 0. Neste caso, = 0. Como o denominador da derivada é sempre positivo, esta derivada será positiva quando < 0 e negativa quando > 0. Assim, a função é crescente em (, 0) e decrescente em (0, ). Logo, o ponto (0, ) é um ponto de máimo local. A derivada segunda é dada por: > df:=normal(diff(/(^-),,)); df := 3 + ( ) 3 cujo domínio é o mesmo da função original. Pela epressão acima para a derivada segunda, podemos concluir que esta derivada nunca se anula e, portanto, não eistem pontos de infleão. Como o numerador é sempre positivo, o seu sinal depende do sinal do denominador, que será positivo nos pontos onde > 0, isto é, para > e <,e negativo quando < 0, isto é para (, ). Assim, temos que a função f é côncava para cima em (, ) e (, ) e é côncava para baio em (, ). Seu comportamento no infinito é determinado por lim = 0 e lim = 0. Estes limites mostram que a reta y = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico da função. Vamos agora estudar o comportamento desta função na vizinhança dos pontos e, onde ela não está definida. Temos que lim = + e lim + = lim = e lim + = + Estes limites indicam que as retas = e = são assíntotas verticais ao gráfico da função. Reunindo todas as informações obtidas acima, podemos traçar com segurança o gráfico da função. Repare que o gráfico está de acordo com todas as conclusões obtidas anteriormente. y 0.7 Atividades de laboratório Utilizando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labgraf.mws da versão eletrônica deste teto..8 Eercícios. A seguir traçamos o gráfico da derivada primeira f de uma função f definida no intervalo [, ]. Determine os valores de para os quais f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baio. 0. Determine os intervalos onde as funções são crescentes e onde são decrescentes, bem como os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baio. Determine e classifique os etremos da função e os seus pontos de infleão. (a) f() = (b) f() = 3 + (c) f() = (d) f() = (e) f() = +

14 0 Cap.. Traçado de Gráficos 3. Esboce o gráfico das seguintes funções: (a) f() = (e) f() = (f) f() = (b) f() = + (c) f() = + (d) f() = + sen() (g) g() = 3 + (h) f() = 3 3 (i) f() = ( 3 ) + ( 3 ) (j) f() = (k) f() = 3 < < 7 +. (a) Esboce o gráfico de uma função h com as seguintes características: i. h( ) = 8, h(0) =, h() = 0 ii. h () > 0 para > iii. h () = h ( ) = 0 iv. h () < 0 para < e v. h () < 0 para < 0 e h () > 0, para > 0 e vi. vii. lim h() = + e lim h() = ( ) lim h() = 3 e lim h() =. + (b) Em quantos pontos a função h() se anula? Justifique sua resposta. 5. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições enumeradas: (a) f ( ) = f () = 0, f( ) = f() = e f( 3) = (b) f () = 0 se < 3; f () < 0 em ( 3, ) e (0, ); f () > 0 em (, 0) e (, ) (c) f () > 0 em ( 3, 0) e (0, 5); f () < 0 em (5, ). Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições enumeradas: (a) f () = 0, f() = e f(0) = 0 (b) f () < 0 se 0 < < ; f () > 0 se > (c) f () < 0 se 0 < ou > ; f () > 0 se < < (d) lim f() = (e) f( ) = f() para todo 7. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições enumeradas: (a) f () = 0, f (0) = (b) f () > 0 se 0 < < ; f () < 0 se > (c) f () < 0 se 0 < ; f () > 0 se > (d) lim f() = 0 (e) f( ) = f() para todo 8. (a) Para que valores de a e b a função f() = 3 + a + b + tem um máimo local em = 3 e um mínimo local em = (b) Se f() = a 3 + b, determine a e b para que o gráfico de f tenha um ponto de infleão em (, ). (c) Se f() = a 3 + b + c, determine a, b e c de maneira que o gráfico de f tenha um ponto de infleão em (, ) e tal que a inclinação da tangente neste ponto seja igual a. 9. A seguir, traçamos na mesma janela o gráfico da função f, da sua derivada f e da sua derivada segunda derivada f. Identifique cada um dos gráficos, justificando a sua resposta.

15 W.Bianchini, A.R.Santos 0. Estabeleça a correspondência entre as funções (de (a) a (d)) com o gráfico da respectiva derivada (de (i) a (iv)). Justifique suas escolhas. (a) (b) (c) (d) (i) (ii) (iii) (iv). Estabeleça a correspondência entre as funções (gráficos de (a) a (f)) e suas respectivas derivadas segundas (gráficos de (i) a (vi)). Justifique suas escolhas. (a) (b) (c) (d) (i) (ii) (iii) (iv).9 Problemas propostos. A função f() = 3 +, sendo um polinômio de terceiro grau, corta o eio (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz real. Eaminando f (), mostre que esta função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que f() = tem uma e somente uma raiz real.. Considere a função y = m ( ) n, onde m e n são inteiros positivos, e mostre que: (a) se m é par, y tem um mínimo em = 0. (b) se n é par, y tem um mínimo em =. (c) y tem um máimo em = m m+n independente da paridade de m e n. 3. Dê uma epressão analítica para uma função f que apresente um máimo local em = e um mínimo local em =.

16 Cap.. Traçado de Gráficos. (a) Prove que a desigualdade ( + ) n > + n é verdadeira para > 0 e n >. Sugestão: Mostre que a função f() = ( + ) n ( + n ) é crescente em [0, ). (b) Prove que, para > 0, as desigualdades abaio são verdadeiras: i. sen > 3 ii. cos > (a) Mostre que o gráfico de uma função quadrática y = a + b + c não tem ponto de infleão. (b) Dê uma condição para que o gráfico desta função seja i. côncavo para cima ii. côncavo para baio (c) Mostre que um polinômio cúbico y = a 3 + b + c + d tem um único ponto de infleão e três formas possíveis, conforme seja 3 a c < b, b = 3 a c ou b < 3 a c. Esboce estas possíveis formas. (d) Prove que um polinômio de quarto grau ou não tem pontos de infleão ou tem eatamente dois pontos de infleão. (e) Mostre que a função y = + a tem um mínimo mas não um máimo, para qualquer valor da constante a. Esboce o gráfico desta família de funções. 5. Suponha que todas as funções a seguir sejam duas vezes diferenciáveis (a) Se f é uma função positiva e côncava para cima em um intervalo I, mostre que a função g() = (f()) é côncava para cima em I. (b) Se f e g são funções crescentes, positivas e côncavas para cima, mostre que a função produto f g é côncava para cima. (c) Suponha que as funções f e g sejam côncavas para cima no intervalo (, ). Que condições sobre f garantem que a função composta h = f(g()) é côncava para cima?. Prove que a função f() = não tem máimo nem mínimo local. 7. Suponha que a pressão p (em atmosferas), o volume V (em centímetros cúbicos) e a temperatura T (em kelvins) de n moles de dióido de carbono (CO ) verifiquem a equação de Van Der Waals (p + n a ) (V nb) = nrt, V onde a, b e R são constantes determinadas empiricamente. Realizou-se o seguinte eperimento para determinar os valores das constantes: comprimiu-se um mol de CO à temperatura constante de 30 K. Os dados pressãovolume (pv ) foram então anotados e verificou-se que o gráfico da pressão como função do volume apresentava um ponto de infleão horizontal em V = 8, e p = 7, 8. Com estes dados calcule a, b e R..0 Para você meditar: Interpretando gráficos. Considere a função f() = 3 + ( +3) (7 ). Com a ajuda do Maple, traçamos o gráfico desta função no intervalo [ 000, 000]. > plot((*^3-*^-*+)/((*+3)*(7-)),= , > y= ); y Evidentemente, esta não é uma representação gráfica adequada para a função considerada; no entanto, esta imagem sugere uma característica especial e importante do gráfico desta função. Que característica é esta?

17 W.Bianchini, A.R.Santos 3. Considere a função f() = 3 +9 ( ) ( 7). Dividindo o numerador pelo denominador obtemos: Esta epressão indica que, para valores grandes de, a função dada deve se comportar como a reta y = + 3. De fato, calculando os limites + 9 lim [3 ( + 3)] ( ) ( 7) + 9 lim [3 ( + 3)] ( ) ( 7) podemos provar que esta reta é uma assíntota inclinada ao gráfico da função dada. Calcule estes limites e eplique como eles provam que a reta y = + 3 é realmente uma assíntota inclinada ao gráfico da função. 3. A seguir traçamos o gráfico desta função 0 y A imagem parece indicar que o gráfico da função intercepta a sua assíntota em algum ponto entre 0 e 5. De fato, resolvendo a equação f() = + 3, concluímos que as duas curvas se interceptam em = 7. (a) Use o comando solve para resolver a equação acima e comprovar a afirmação feita. (Contrariando a opinião popular, você está vendo que é possível o gráfico de uma função interceptar o gráfico da sua assíntota.) (b) Eplique por que a interseção de f() com a sua assíntota y = + 3 em = 7 implica, necessariamente, na eistência de um ponto de infleão de f, para < 7. Determine este ponto e esboce a mão o gráfico de f.. Projetos.. Determinando a janela adequada para o traçado de gráficos em computador Observe o gráfico da função y = ( ( ) ( )), traçado com a ajuda do Maple. > plot((*(-)*(*-))^,=-..,y=-..); 5 y Determine os etremos locais desta função e trace o seu gráfico numa janela onde estes etremos sejam claramente visíveis. (9 5) ( ). Idem para f() = ( ). 3. Considere a função y = a + b + c, onde os coeficientes a, b e c são definidos por a = n, b = n e c = n e n é um número qualquer entre 0 e 9, gerado pela linha de comando abaio: > c:=rand(..9):n:=c();

18 Cap.. Traçado de Gráficos (a) Eecute este comando e calcule os valores de a, b e c, eecutando as linhas de comando abaio. > a:=300+*n; > b:=300+*n; > c:= 000+*n; (b) Ache os pontos de máimo e mínimo locais e o ponto de infleão de f. (c) Faça um gráfico de f que eiba claramente estes pontos. (Se não for possível obter este gráfico no computador, trace-o manualmente.) (d) Idem para a função y = (0 + n) + (89 3 n). Considere a função f() = ( ( ) ( ) ( 9 )). Afirmamos que f tem pelo menos quatro mínimos locais, três máimos locais e seis pontos de infleão em [0, ]. Faça um gráfico de f, em uma escala adequada, onde apareçam claramente todos estes pontos. 5. Ache os etremos locais da função f() = ( ) 000. Trace um gráfico desta função, em uma janela adequada, onde estes pontos apareçam claramente... Aproimando os zeros de uma função - Método de Newton Vimos que, para funções suaves, a reta tangente é aquela que se confunde com a curva perto do ponto de tangência. Então, o seguinte raciocínio, devido a Isaac Newton, parece ser válido: Suponha que você de alguma maneira (eperimentos numéricos, dedução física, inspiração divina ou outro meio qualquer) saiba que o zero da função y = f() está perto do ponto = a. Como a equação da reta tangente à curva y = f() nesse ponto é dada por y = D(f(a)) ( a) + f(a), onde por D(f(a)) estamos denotando a derivada da função f calculada em = a, é um eercício de álgebra elementar calcular o ponto b onde esta reta intercepta o eio. Então, como a curva é suave, o seu gráfico e o gráfico da sua reta tangente no ponto (a, f(a)) estão próimos, portanto, o ponto b deve estar bastante próimo do zero procurado da função. Embora esta eplicação esteja repleta de epressões que pecam por falta de precisão e rigor matemáticos, vamos tentar esclarecer o método com um eemplo numérico. Considere o polinômio y = Tracemos o seu gráfico com a ajuda do Maple: > plot(^5+9*^-9*^3-*^-50*+00,=-0..0); Para tentar localizar os seus zeros, que parecem estar todos localizados nesse intervalo, vamos traçar um outro gráfico, restringindo agora a variação de y: > plot(^5+9*^-9*^3-*^-50*+00,=-0..0,y=-0..0); 0 8 y

19 W.Bianchini, A.R.Santos 5 Embora este gráfico pareça nos dar menos informações que o anterior, ele nos permite afirmar que, aparentemente, o ponto = está próimo de um dos zeros dessa função (os outros zeros devem estar próimos de 5,, 5 e 8). No entanto, calculando o valor da função nesse ponto, vemos que = não é um zero para essa função: > f:=->^5+9*^-9*^3-*^-50*+00; > f(); f := Vamos agora traçar o gráfico dessa função e da sua reta tangente no ponto (, 00) na mesma janela: > m:=d(f); > 0:=; > m(0); > T0:=->m(0)*(-0)+f(0); > plot([f(),t0()],=-..3,y= ); m := := 8 T0 := m(0 ) ( 0 ) + f(0 ) y Por este gráfico podemos ver claramente que a interseção da reta tangente com o eio é uma aproimação melhor que = para este zero da função. De fato: > :=solve(t0()=0,);:=evalf(%); := 5 8 := Calculando o valor da função em podemos constatar que, de fato, este valor é uma aproimação melhor para o zero da função: > y:=f(); y :=.9000 Para conseguir uma aproimação ainda melhor, podemos repetir todo o processo considerando, agora, o ponto (, f( )) como o novo ponto de tangência. A equação da nova tangente será dada por: > T:=->m()*(-)+f(); T := m( ) ( ) + f( ) Vamos, novamente, traçar o gráfico da função e dessa nova reta tangente, para comprovar o aumento da precisão. > plot([f(),t],= ,-5..);

20 Cap.. Traçado de Gráficos Nesse ponto, a reta tangente e o gráfico da função estão tão próimos que não é mais possível distingui-los. A nova aproimação para o zero da função será dada por: > :=solve(t()=0,); := Calculando o valor da função nesse ponto obtemos: > f();.533 Repetindo o processo mais uma vez teremos: > T:=->m()*(-)+f(); > 3:=solve(T()=0,); > f(3); T := m( ) ( ) + f( ) 3 := Note que 3 já deve ser uma razoável aproimação para o zero da função.. Trace na mesma janela os gráficos de f e de T 3 para ilustrar essa última afirmação.. Claramente podemos repetir este processo quantas vezes quisermos. O que aconteceria se tivéssemos iniciado o processo acima com um valor diferente de =, para construir a primeira tangente? 3. Vamos automatizar o procedimento acima: (a) Sejam 0,,..., n as primeiras n aproimações para a raiz da equação f() = 0, dadas pelo Método de Newton. Supondo 0 conhecido, deduza uma fórmula para obter. (b) Como é possível obter a partir de? (c) Supondo k a k-ésima aproimação para a raiz da equação conhecida, deduza uma fórmula que permita obter a próima aproimação, isto é, k+. (d) Usando a estrutura for... from... to... do... od; do Maple, implemente um algoritmo no computador para calcular as primeiras n aproimações da raiz da equação f() = 0 a partir de uma primeira aproimação inicial 0 e do número n de iterações. (e) Quando devemos parar o processo acima? (Para responder a essa pergunta, note que a seqüencia formada por,, 3,..., é uma seqüencia convergente e, portanto, deve satisfazer o critério de convergência de Cauchy, isto é, podemos tornar a diferença (em valor absoluto) entre os termos da seqüencia tão pequena quanto quisermos, a partir de um certo n, desde que este n seja suficientemente grande. Se isto acontecer, a diferença, em valor absoluto, entre os termos da seqüencia e o seu limite será da mesma ordem de grandeza.) (f) O que acontece se a inclinação da reta tangente for muito pequena, em valor absoluto, isto é, se a declividade da tangente for por eemplo 0, 00, isso afetará os cálculos? (g) Suponha que, por sorte, nossa primeira aproimação 0 venha a ser a raiz da equação f() = 0, que estamos procurando. O que podemos dizer sobre,,...?. Use o seu algoritmo para achar aproimações para os outros zeros da função estudada no eemplo desse projeto eplicitando a precisão do resultado obtido. 5. Aplicando o Método de Newton à equação a = 0, mostre que aproimações numéricas para a raiz quadrada de um número positivo a qualquer podem ser encontradas por iterações sucessivas da epressão n+ = a+n n.. Mostre que esta fórmula é a mesma usada pelos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo. (Veja: projeto Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo.) 7. Usando o Método de Newton, calcule 0 com duas decimais eatas. 8. Aplique o Método de Newton para encontrar uma fórmula que forneça aproimações sucessivas para a raiz enésima de um número a. Use a sua fórmula para calcular a raiz cúbica de três com duas casas decimais eatas. 9. Mostre que = 0 tem somente uma raiz real e calcule-a com duas casas decimais de precisão.

21 W.Bianchini, A.R.Santos 7 0. A equação + = 0 não tem soluções reais. Tente achar uma solução pelo Método de Newton e descreva o que acontece. Use a estimativa inicial 0 =.. O Método de Newton não se restringe à solução de equações polinomiais. Ele pode ser aplicado também a qualquer equação contendo funções cujas derivadas possam ser calculadas. Por eemplo, ache uma aproimação para o recíproco de um número positivo C, definindo a função f() = C e aplicando o Método de Newton descrito acima. Observação: O Método de Newton aplicado a essa função nos permite calcular o inverso de um número sem efetuar nenhuma divisão! Este método é útil porque, na maioria dos computadores de alta velocidade, a operação de divisão consome mais tempo do que várias multiplicações e adições juntas.. Use o Método de Newton para achar aproimações para todas as raízes reais da equação = cos. 3. Um grande problema de Arquimedes consistiu em utilizar um plano para cortar uma esfera em duas partes com volumes em uma dada razão prefiada. Arquimedes mostrou que o volume de uma parte altura h de uma esfera de raio r é dado por V = π h (3 r h) 3. (a) Se um plano à distância do centro de uma esfera de raio corta a esfera em duas partes, uma com o dobro do volume da outra, mostre que é a raiz da equação = 0. (b) Aplique o Método de Newton para achar uma aproimação para com quatro decimais eatas.. Em alguns casos, a seqüencia das aproimações produzida pelo Método de Newton pode deiar de convergir para a raiz procurada. Os eemplos a seguir ilustram os problemas que podem surgir: (a) Mostre que o método de Newton aplicado à função y = ( 3 ) leva a = 0 e é, portanto, inútil para calcular tal que f() = 0. Esboce um gráfico para ilustrar essa situação. { a a (b) Considere a função y = f() definida por f() = a a. Mostre que, para todo número positivo r, se = a + r, então = a r, e se = a r, então = a + r. Esboce um gráfico que ilustre essa situação.

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