Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Universidade do Estado de Santa Catarina Centro de Ciências Técnológicas - CCT Departamento de Matemática - DMAT Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I t = f ( ) Q s = f ( ) = f ( ) 0 0 P 0 Home page: Joinville, fevereiro de 0.

2 Formulário Círculo Trigonométrico: Adaptado de: Acesso: 5//0. Funções trigonométricas: Hip CO θ CA. Seno: sen() = CO Hip ; 3. Tangente: tg() = CO CA = sen () cos () : CA. Cosseno: cos () = Hip ;

3 3 Relações Trigonométricas:. sen () + cos () = ;. tg () + = sec () ; 3. +cotg () =cossec () ; 4. sen(a b) = sen(a) cos (b) sen(b) cos (a) ; 5. cos(a b) = cos (a) cos (b) sen(a) sen(b) ; 6. sen() = sen() cos () ; 7. cos () = cos () sen (); 8. sen () = 9. cos () = cos (); cos (); Propriedades de Logarítmos:. log a (a) = ;. log a = 0; b 3. log a (bc) = log a b + log a c; 4. log a = log c a b log a c; 5. log a (b c ) = c log a b; 6. log b a = log c a log c b ; Propriedades de Eponenciais:. a b+c = a b :a c ;. a bc = a b c = (a c ) b ; cp 3. ab = a b c ; 4. np p ab = n r a: np b; n a np a 5. b = np ; 6. a log a b = b: b Funções Hiperbólicas:. Seno Hiperbólico: senh() = e e ;. Cosseno Hiperbólico: cosh () = e + e : Relações para Funções Hiperbólicas:. cosh () senh () = ;. senh() + cosh () = e ; 3. cosh () senh() = e ;

4 4 4. tgh () = sech () ; 5. cotgh () =cossech () ; 6. senh( + ) = senh() cosh () + cosh () senh() ; 7. cosh ( + ) = cosh () cosh () +senh() senh() ; 8. senh() = senh() cosh () ; 9. cosh () = cosh +sinh () ; 0. senh =. cosh = cosh () ; cosh () + : Função Par: f () = f ( ) Função ímpar: f ( ) = f () Função Periódica: f ( + T ) = f () Limites Notáveis: sen (u) cos (u). lim = ;. lim = 0; u!0 u u!0 u 3. lim + u a = e; 4. lim u! u u = ln a: u!0 u Formas Indeterminadas ou Indeterminações: 0 0,, 0, +, 00, e 0 : De nição de Derivada: f 0 f ( + ) () = lim!0 f () : Aproimação Linear Local: f ( 0 + ) ' f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) :

5 5 Tabela de Derivadas Sejam u = u () e v = v () funções deriváveis e n R. Função Derivada. = u n 0 = nu n ;. = uv 0 = u 0 v + v 0 u; 0 = vu0 uv 0 v ; 3. = u v 4. = a u, a > 0 e a 6= 0 = u 0 :a u ln a; 5. = e u 0 = u 0 e u ; 6. = log a u, a > 0 e a 6= 0 = u0 u a e; 7. = ln u 0 = u0 8. = sen(u) 0 = u 0 cos u; 9. = cos u 0 = u 0 sen(u); 0. = tg(u) 0 = u 0 sec (u);. = cotg(u) 0 = u 0 cossec (u);. = sec (u) 0 = u 0 tg(u) sec (u); 3. = cossec(u) 0 = u 0 cossec(u)cotg(u); 4. = senh(u) 0 = u 0 cosh (u); 5. = cosh u 0 = u 0 senh(u); 6. = tgh(u) 0 = u 0 sech (u); 7. = cotgh(u) 0 = u 0 cossech (u); 8. = sech(u) 0 = u 0 sech(u)tgh(u); 9. = cossech(u) 0 = u 0 cossech(u)cotgh(u) ; 0. = arcsen(u) 0 =. = arccos u 0 = u 0 p u ; u 0 p u. =arctg(u) 0 = u0 + u ; 3. =arccotg(u) 0 = 4. = arcsec u, juj 0 = u 0 + u ; u 0 juj p, juj > ; u 5. =arccossec(u), juj 0 = juj p, juj > ; u 6: =argsenh(u) 0 u 0 = p u + ; 7. =argcosh(u) 0 = u 0 u 0 p u, u > ; 8. =argtgh(u) 0 = u0, juj < ; u 9. =argcotgh(u) 0 = u0, juj > ; u 30. = argsech(u) 0 = 3. = argcossech(u) 0 = u 0 u p u, 0 < u < ; u 0 juj p, u 6= 0: + u

6 6 Tabela de Integrais Imediatas. R u n du = un+ + c, n 6= ; n +. R du u = ln juj + c; 3. R a u du = au + c, a > 0 e a 6= ; ln a 4. R e u du = e u + c; 5. R sin (u) du = cos u + c; 6. R cos (u) du = sin u + c; 7. R sec (u) du = tg(u) + c; 8. R cossec (u) du = cotg(u) + c; 9. R sec (u) du = ln jsec (u) + tg (u)j + c; 0. R cossec(u) du = ln jcossec (u) cotg (u)j + c;. R du u + a = u a arctg + c. a

7 7

8 Capítulo Números Reais, Intervalos e Funções Objetivos Identi car os conjuntos numéricos; Conhecer e aplicar as propriedades relativas à adição e multiplicação de números reais; Utilizar as propriedades relacionadas com as desigualdades estritas e não estritas; Operar com equações e inequações com e sem valor absoluto; Determinar o campo de de nição de uma função; Operar com funções; Obter funções compostas; Identi car funções pares, ímpares e periódicas; Determinar a inversa de uma função; Esboçar grá cos de funções usando translação; Reconhecer os tipos de funções: polinomiais; racionais; irracionais; potenciais; eponenciais; logarítmicas; trigonométricas; hiperbólicas; e hiperbólicas inversas;

9 9. Números Os primeiros números conhecidos foram os Números Contáveis, ou seja, o conjunto dos Números Naturais, representado por N, isto é: N = f0; ; ; 3; :::g: As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números negativos, assim: + a = b ) = b a, onde a e b são números naturais. Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos Números Inteiros, representado por Z, isto é: Z = f:::; 3; ; ; 0; ; ; 3; :::g: A resolução de equações do tipo a = b ) = b a, com a e b números inteiros onde a não é nulo, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta forma, os números da forma b com a e b números inteiros e a 6= 0 a formam um conjunto de números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais in nitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por =. São eemplos de números irracionais:, e, p, p p 3, 5,... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos Números Reais, representado por R Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas de nições e propriedades fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades são tiradas dos aiomas e teoremas., satisfazendo as propriedades: De nição : Soma: 8a; b R ) 9 (a + b) R Produto: 8a; b R ) 9 (a:b) R. Comutativa: 8a; b R ) a + b = b + a a:b = b:a ;

10 0 a + (b + c) = (a + b) + c. Associativa: 8a; b; c R ) a: (b:c) = a: (b:c) ; 3. Eistência de elemento neutro: 8a R; 90 R = a + 0 = 0 + a = a 8a R; 9 R = a: = :a = a ; 4. Elemento oposto: 8a R; 9 a R = a + ( a) = ( a) + a = 0; 5. Elemento inverso: 8a R e a 6= 0, 9 a R = a: (a ) = (a ) :a = ; 6. Distributiva: 8a; b; c R ) a: (b + c) = a:b + a:c. De nição : Subtração: 8a; b R ) 9 (a b) R: De nição 3: Divisão: 8a; b R e b 6= 0; 9 a b R:. Desigualdades Aioma de Ordem: No conjunto dos números reais, eiste um subconjunto, R +, dito reais positivos, tais que:. se a R, eatamente uma das três a rmações é verdadeira: a = 0, a é positivo ou a é positivo;. a soma e o produto de reais positivos é um número real positivo; De nição 4: O número real a é negativo se, e somente se, De nição 5: Desigualdade Estrita Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são de nidos por: i. a < b se, e somente se, b a é positivo; ii. a > b se, e somente se, a b é positivo. a é positivo. De nição 6: Desigualdade Não Estrita Os símbolos (menor ou igual) e (maior ou igual) são de nidos por: i. a b se, e somente se, a < b ou a = b; ii. a b se, e somente se, a > b ou a = b. As desigualdades de nidas acima, satisfazem as propriedades:. a > 0 se, e somentes se, a é positivo;. a < 0 se, e somentes se, a é negativo; 3. a > 0 se, e somentes se, a é negativo;

11 4. a < 0 se, e somentes se, a é positivo; 5. Transitiva: Se a < b e b < c, então a < c; 6. Se a < b e c R, então a + c < b + c; 7. Se a < b e c < d, então a + c < b + d; 8. Se a < b e c R +, então a:c < b:c; 9. Se a < b e c R, então a:c > b:c; 0. Se 0 < a < b e 0 < c < d, então a:c < b:d;. Se a > b e b > c, então a > c;. Se a > b e c R, então a + c > b + c; 3. Se a > b e c > d, então a + c > b + d; 4. Se a > b e c R +, então a:c > b:c; 5. Se a > b e c R, então a:c < b:c; 6. Se a > b > 0 e c > d > 0, então a:c > b:d; 7. Se a < b, com ambos positivos ou negativos, então > : a b De nição 7: R = f R : 6= 0g R + = f R : 0g R + = f R : > 0g R = f R : 0g R = f R : < 0g.3 Intervalos De nição 8: Intervalos são conjuntos in nitos de números reais. Geometricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eio coordenado. Por eemplo, se a < b, então o intervalo aberto de a a b, denotado por (a; b), é o segmento de reta que se estende de a até b, ecluindo-se os etremos; e o intervalo fechado de a até b, denotado por [a; b], é o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se os etremos. Estes intervalos podem ser epressos na notação de conjuntos como. (a; b) = f R = a < < bg; [a; b] = f R = a bg.

12 Um intervalo pode incluir um etremo, mas não outro. Estes intervalos são chamados semi-abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Além disso, é possível um intervalo estender-se inde nidamente em uma ou em outra direção, escrevemos + no lugar do etremo direito, e para indicar que o intervalo se estende inde nidamente na direção negativa, escrevemos, no lugar do etremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois números reais são chamados de intervalos nitos, enquanto que os que se estendem inde nidamente em uma ou em ambas as direções são chamados de intervalos in nitos. Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Classi cação (a; b) f R = a < < bg Finito; aberto [a; b] f R = a bg Finito; fechado [a; b) f R = a < bg Finito; semi-aberto (a; b] f R = a < bg Finito; semi-aberto ( ; b] f R = bg In nito; fechado ( ; b) f R = < bg In nito; aberto [a; +) f R = ag In nito; fechado (a; +) f R = > ag In nito; aberto ( ; +) R In nito; aberto e fechado. 3 0; Solução: Eemplo : Determinar os valores de que satisfazem a desigualdades: Subtraindo-se 0 em ambos os lados, obtém-se a inequação: 3 0 0: () As raízes da equação 3 0 = 0 são e 5. Estas raízes dividem o eio coordenado em três intervalos abertos: ( ; ) ; ( ; 5) e (5; +) : Analisando os sinais de 3 0 = ( + ) ( 5) em cada intervalo, temos que: Intervalo Ponto de teste Sinal ( + ) ( 5) no ponto de teste ( ; ) -3 ( ) ( ) = + ( ; 5) 0 (+) ( ) = (5; +) 6 (+) (+) = + Portanto, a solução da desigualdade () é S = [ ; 5] :. 5 < () Solução: Condição de eistência de solução: 6= 0 ) 6= : Observe que pode ser positivo ou negativo. Assim, temos casos a serem analisados: Caso: Para < 0, ou seja, <, temos que:

13 3 Multiplicando () por, temos que: 5 < ) ( 5) ( ) > ) > 0: () Resolvendo a equação = 0 conclui-se 7+p 7 = : e 7 p 7 = 4 4 0:79 são suas raízes Analisando os intervalos ; 7 p 7 7, 7; 7 7+ e 7; + ; obtém-se que a solução da desigualdade () é I = ; 7 p 7 7+ [ 7; + : 4 4 Dessa forma, neste intervalo, a solução é S = I \ ( ; ) ) S = : ; 7 p 7 4 Caso: Para > 0, temos que: Multiplicando () por, temos que: 5 < ) ( 5) ( ) < ) < 0: 7 A solução dessa desigualdade é I = p 7; 7+p 7 : 4 4 Logo, neste intervalo a solução é S = I \ (; +) ) S = ; 7+p 7 4 Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S ) S = [. ; 7 p 7 4 ; 7+p 7 4 :.4 Valor Absoluto e representado por: De nição 9: O valor absoluto ou módulo de um número real é de nido jj = ; se 0 ; se < 0 : Vemos que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo. Geometricamente, o valor absoluto de um número real é sua distância do ponto de origem, independentemente de sua direção. Eemplo : j7 4j = j3j = 3 e j4 7j = j 3j = 3: Vemos que j7 4j = j4 7j é a distância entre 4 e 7 sem a preocupação com qual dos números é maior..4. Propriedades do Valor Absoluto Sejam e dois números reais.. jj 0;

14 4. jj ; 3. j j = jj; A demonstração da cada uma das propriedades acima, decorre diretamente da de nição. 4. jj = e jj = p ; Demonstração: (a) Se 0, então da de nição vem que, j j = jj que veri ca a proposição; (b) Se < 0, então da de nição vem que, j j = jj e ( ) =, de onde jj = e, por conseguinte, jj = p. 5. jj = jj : jj; Demonstração: Pela propriedade 4, temos que: jj = 6. Desigualdade triangular: j + j jj + jj; Demonstração: Pela propriedade 4, temos que: j + j = ( + ) = jj + ) j + j jj + jj + jj = (jj + jj) ) j + j jj + jj. q () = p : p = jj : jj : 7. jj jj j j ; Demonstração: Fazendo = + e da propriedade 6; segue que: jj = j + j j j + jj : Somando jj a ambos os lados, temos que: jj jj j j : 8. jj jj j + j ; Demonstração: Fazendo = + e da propriedade f vem que jj = j + j j + j + j j = j + j + jj : Somando jj a ambos os lados, temos que:

15 5 jj jj j + j : 9. j j jj + jj ; Demonstração: Observe que: j j = j + ( )j jj + j j jj + jj : 0. = jj, com 6= 0. jj Demonstração: Note que: = : = jj : = jj : jj = jj jj. Seja a um número real positivo, então: (a) jj < a se, e somente se, a < < a; (b) jj a se, e somente se, a a (c) jj > a se, e somente se, < a ou > a; (d) jj a se, e somente se, a ou a. Demonstração: Somente do caso (a) Inicalmente, provaremos que jj < a se a < < a: i: Se > 0 ) jj =, uma vez que < a teremos jj < a; ii: Se < 0 ) jj =, uma vez que, mas < a teremos < a, mas j j =, então jj < a: Portanto jj < a se a < < a: Agora, mostraremos que jj < a somente se a < < a: i: Se 0, como jj = a, teremos < a, como a > 0 e a < 0, então a < 0 < < a de onde vem que a < < a. ii:se < 0 ) jj =, como jj < a teremos que < a e com > 0, então a < 0 < < a ou a < < a, de onde vem que a < < a: Portanto, jj < a se, e somente se, a < < a: Observação : A demonstração dos casos (b), (c) e (d) é análoga. Eemplo : Resolva a equação j 3j 4 j 3j = :

16 6 Solução: De nindo u = j 3j, temos que a equação acima pode ser escrita como u 4u = 0 () As raízes da equação () são e 6.? Para u =, segue que: j 3j =. Absurdo!!!! Por propriedade de módulo jj 0:? Para u = 6, segue que: j 3j = 6 () Pela de nição de módulo, temos que 3, se 3 j 3j = ( 3), se < 3 : o Caso: Se 3; temos que: 3 = 6 =) = 9 Como 9 [3; +), segue que uma solução é S = f9g : o Caso: Se < 3; temos que: + 3 = 6 =) = 3 Como 3 ( ; 3], segue que uma solução é S = f 3g : Portanto, a solução é S = f 3; 9g : Eemplo 3: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade j 5j < j + j : Solução : Elevando ao quadrado ambos os lados e usando a propriedade 4, temos que: j 5j < j + j ) ( 5) < ( + ) ) < + + ) > 4, ou seja, > : Solução : Pela de nição de módulo, temos que: 5; se 5 j 5j = e j + j = + 5; se < 5 + ; se ; se <. Caso: Se <, temos que: j 5j < j + j ) + 5 < ) 5 < :Absurdo!!! Logo, não há solução para <, isto é, S 0 = fg. Caso: Se < 5, temos que: j 5j < j + j ) + 5 < + ) < 4 ) < : Logo, a solução neste intervalo é S = (; 5) : 3 Caso: Se 5, temos que: j 5j < j + j ) 5 < + ) 5 <. Como a desigualdade é satisfeita para qualquer 5, temos que a solução é todo (5; +), ou seja, S = (5; +) : Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S 0 [ S [ S = (; +).

17 7 Eemplo 4: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade j j < : () Solução: Condição de eistência de solução: 6= Pela de nição de módulo, temos que: ; se j j = ( ) ; se < : Observe que pode ser positivo ou negativo. Assim, temos 3 casos a serem analisados: Caso: Se <, temos que: que: Para < ; temos que < 0. Assim, multiplicando () por, temos j j < ) ( ) ( ) > ) > 0: Resolvendo a inequação > 0: () Observe que = e = 3 são raízes da equação = 0: Dessa forma, analisando os intervalos ( ; ), ; 3 e 3 ; +, conclui-se que a solução da inequação () é I = ; 3. Logo, neste intervalo não há solução, pois I \ ; = fg: Caso: Se <, temos que: Para <, temos que < 0. Assim, multiplicando () por, temos que: j j < ) ( ) ( ) > ) 5 + > 0: Resolvendo a inequação 5 + > 0: (??) Observe que 5+p 7 e 5 p 7 4 são raízes da equação 5 + = 0: Dessa 4 forma, analisando os intervalos ; 5 p 7 5, p 7; 5+p 7 5+ e p 7; +, concluise que a solução da inequação () é I = ; 5 p [ p 7; Logo, neste intervalo a solução é S = I \ ; ) S = fg : 3 Caso: Se >, temos que: que: Para > ; temos que > 0. Assim, multiplicando () por, temos j j < ) ( ) ( ) < ) 5 + < 0: A solução da inequação < 0 é I 3 = p 7; 5+p 7 : 4 4 Logo, neste intervalo é S 3 = I 3 \ (; +) ) S 3 = : ; 5+p 7 4 Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S [ S 3 ) S =. ; 5+p 7 4 Eemplo 5: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade

18 j j < 4: Solução: Condição de eistência de solução: ) 6= : Pela de nição de módulo, temos que: Resolvendo a inequação = ; se > 0 ( ) ; se < 0 : > 0, obtém-se que: = ; se < ou > ( ) ; se < < : Observe que: = ( 4)( ) < 4: (#) j j j j Temos dois casos a serem analisados. Caso: Se > 0: Aplicando a de nição de módulo em (#), temos que: 4 4 < 0: A solução dessa inequação é I = p ; + p. Logo, a solução é S = I \ [( ; ) [ (; +)] ) S = ; + p : Caso: Se < 0: Aplicando a de nição de módulo em (), temos que: > 0: A solução dessa inequação é I = ; p [ + p ; +. Logo, a solução é S = I \ ( ; ) ) S = + p ; : Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S ) S 3 = + p ; [ ; + p..5 Função De nição 0: Sejam A e B dois subconjuntos de R. Uma função f : A! B é uma lei (ou regra) de correspondência entre dois conjuntos não vazios, tal que a cada elemento de A se associa um único elemento de B. O conjunto A é chamado de domínio de f e é denotado por Df, B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f. Denotamos por,

19 f : A! B! f () Eemplo 6:. A área do quadrado (A) é função do comprimento do lado (l), ou seja, A = l... A distância que alguém percorre (d) depende do tempo gasto (t). Representamos por d = d (t) : De nição : Seja f : A! B:. Dado A, o elemento f () B é chamado de valor da função f no ponto ou de imagem de por f:. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de conjunto imagem de f e é denotado por Im f:.5. Formas de Epressão das Funções. Forma Tabular: a correspondência entre os elementos é dada por meio de uma tabela. Por eemplo, se f ( o ) = 0, f ( ) =, f ( ) =,, f ( n ) = n : Eemplo 7: (a) Tábuas de logaritmos; (b) Tabelas trigonométricas. o n = f () 0 n. Forma Grá ca: A função pode ser escrita de duas formas: (a) Diagrama de Ven-Euler: As echas indicam que a correspondência é do conjunto A para o conjunto B. A f B

20 0 Observe que: Domínio de f: Df = A; Contradomínio de f: B; Imgem de f : Im f = f; 3; 5; 7g : (b) Diagrama Cartesiano: As retas e são perpendiculares; é chamado eio das abscissas e o eio das ordenadas Forma Analítica: A função é escrita, segundo uma lei, denotada por = f (). Eemplos: (a) f () = ; Domínio: Df = R; Imagem: Im f = [0; +). (b) g (t) = t t 4 Domínio: Dg = ft R : t 6= g ) Dg = R f ; g; Imagem: Im g = R. (c) h () = p Domínio: Dh = f R : 0g ) Dh = f R : ou g ) Dh = ( ; ] [ [; +); Imagem: Im h = [0; +). Na forma analítica, a segunda variável,, a qual se pode atribuir valores arbitrários dentro dos limites impostos pela natureza do problema, é dita variável independente ou argumento da função, e a primeira variável cujo valor é determinado quando se dá valores à variável independente é dita variável dependente ou simplesmente função. Observação:Uma maneira rápida de saber se a curva C dada representa ou não uma função é através do teste da reta vertical. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim, C só representa o grá co de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva C no máimo em um ponto. Na gura abaio, C respresenta o grá co de uma função, enquanto a curva C não representa.

21 C C.5. Operações com Funções De nição : Dadas as funções f e g. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são de nidas por:. (f g) () = f () g () ;. (f:g) () = f () :g () ; f 3. () = f() : g g() O domínio das funções f g e f:g é a interseção dos domínios de f e g. O domínio de f é a interseção dos domínios f e g, ecluindo-se os pontos onde g () = 0. g Eemplo 8: Sejam f () = e g () = p Determine as funções f g, f:g e f e seus domínios. g Solução: Pela de nição acima, temos que: (f g) () = p 5 + 6; (f:g) () = ( ) p 5 + 6; () = f g p 5+6. Como Df = R e Dg = ( ; ] [ [3; +), então o domínio de f g e f:g é ( ; ] [ [3; +). O domínio de f é ( ; ) [ (3; +). g Observação: Deve-se tomar cuidado, pois nem sempre a interseção dos domínios das funções é o domínio das funções resultantes. Por eemplo, se f () = p e g () = p o domínio da função h () = (f:g) () = é Dh = Df \ Dg = [0; +) e não R (que aparentemente seria o domínio da função h ()). De nição 3: Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g f é de nida por (g f) () = g (f ()). O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos do domínio de f tais que f () está no domínio de g. Simbolicamente, D (g f) = f Df : f () Dgg. O diagrama pode ser visualizado abaio.

22 f g f ( ) g ( f ( ) g o f Eemplo 9: Sejam f () = + 3 e g () = p. Encontre a função f () = (g f) () e f () = (f g) (). Solução: Pela de nição de função composta, temos que: f () = (g f) () = g ( + 3) = p + 3; f () = (f g) () = f ( p ) = + 3: Note que, g f 6= f g. Eemplo 0: Sejam f () = ln, g () = p e h () = sin ( + ). Encontre f () = (f g) () e f () = (g f h) (). Solução: Pela de nição de função composta, temos que: f () = (f g) () = f ( p ) = ln p = ln : f () = (g f h) () = g (f (sin ( + ))) = g (ln (sin ( + ))) = p ln (sin ( + )): Determine o domínio dessas funções compostas!.5.3 Funções Especiais. Função constante: f : R! fkg de nida por f () = k. Associa a qualquer número real um mesmo número real k. Gra camente, é uma reta paralela ao eio das abscissas. Se k =, o grá co é Função Identidade: f : R! R de nida por f () = : O grá co é a reta bissetriz do primeiro e do terceiro quadrante. 3. Função A m: f : R! R de nida por f () = a + b, onde a e b constantes e a 6= 0 são, respectivamente, o coe ciente angular e o coe ciente linear. O grá co

23 3 é uma reta. Se a > 0, a reta é crescente; se a < 0, a reta é decrescente; e se b = 0, a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Eemplo: f () = 3 + 4: Função Módulo: f : R! [0; +) de nida por f () = jj : 0 5. Função Quadrática: f : R! R de nida por f () = a + b + c, onde a, b e c constantes e a 6= 0. O grá co dessa função é uma parábola com eio de simetria paralelo ao eio dos : Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima. Se a < 0 a concavidade é voltada para baio. Eemplo: f () = Função polinomial: f : R! R de nida por f () = a 0 n + a n + + a n + a n, com a i, i = 0; ; ; n, constantes reais, a 0 6= 0, n N e n é o grau do polinômio. As funções constante, identidade, lineares e quadráticas são eemplos de funções polinomiais. Eemplo: f () = : Função Racional: função de nida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, f () = p(), onde q () 6= 0. O domínio da função racional é o conjunto dos q() reais ecluindo todos os tais que q () 6= 0: Eemplo: f () = :

24 4.5.4 Funções Pares, Ímpares e Periódicas De nição 4: Uma função f () é par se, para todo Df, f ( ) = f () : O grá co de uma função par é simétrico em relação ao eio dos. De nição 5: Uma função f () é ímpar se, para todo Df, f ( ) = f () : O grá co de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. tal que De nição 6: Uma função f () é periódica se eiste um número real T 6= 0, para todo Df. f ( + T ) = f () : Eemplo : Classi que as funções abaio, como par ou ímpar.. f () = 4 + ; Solução: f ( ) = ( ) 4 + ( ) = 4 + = f () : Logo, f é uma função par.. f () = ; Solução: f ( ) = 4 ( ) 3 + ( ) = 4 3 : Logo, f não é uma função par nem ímpar. 3. f () = 7 ; Solução: f ( ) = ( ) 7 = 7 = f () : Logo, f é uma função ímpar.

25 5 T =. Eemplo : Mostre que a função f () = sin () é periódica de perído Solução: Pela de nição de funções periódicas, temos que: f ( + ) = sin ( ( + )) = sin = f () : Portanto, f () = sin () é periódica com perído T =. Eemplo 3: Mostre que se f e g são funções ímpares, então f:g é uma função par. Solução: Seja h a função de nida por h () = (f:g) () = f () :g (). Nosso objetivo é mostrar que h é uma função par, ou seja, mostrar que h ( ) = h (). Note que: h ( ) = f ( ) :g ( ) () Por hipótese, sabemos que f e g são ímpares, ou seja, que f ( ) = f () e g ( ) = g (). Usando estes resultados em (), segue que: h ( ) = f () : [ g ()] = f () :g () = h (). Eemplo 4: Se f então a igualdade " [f ( )] = g ( ) é uma função par, g é uma função ímpar e não nula, # (g ()) g ( ) f () :f ( ) (#) g ( ) que são: é verdadeira? Solução: Para verii car se a igualdade dada é verdadeira ou não, usaremos as hipóteses, (i) f é uma função par, ou seja, f ( ) = f () ; (ii) g é uma função ímpar, ou seja, g ( ) = g (). Partindo " pelo lado direito de (#) e chamando-o # de A, temos que: A = (g ()) g ( ) f () g ( ) :f ( g ( ) " # ) (g ()) + g () f () g () ) A = # (ii) g () :f ( ) Colocando em evidência a função g (), temos que: g () [g () + f ()] A = g () + :f ( g () ) A = [ g () + g () + f ()] :f ( ) = f () :f ( ) ) A = f ( # ) :f ( ) = [f ( )] : (i) Conclusão: A igualdade dada em (#) é verdadeira.

26 6 Eemplo 5: Sejam f e g as funções de nidas por f () = 3 3 e g () = 3 : (a) A função h () = (g f) () é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justi que usando a de nição. (b) Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação j + g ()j f () 3 : Solução: (a) Temos que: 3 3 h () = (g f) () = g = = Veri cando se a função h é par, ímpar ou nem par nem ímpar. h ( ) = ( ) = h (). Portanto, como h () = h () a função h é ímpar. = : (b) Usando a de nição das funções f e g, temos que: j + g ()j f () ) 3 3 jj ) j 3j Resolvendo a inequação () : * Condição de eistência de solução: 6= 0 e 6= 3. Como j 3j > 0, podemos multiplicar a inequação () por j 3j sem que a desigualdade seja alterada. () (3; +) : ( ) j 3j jj () 3, se 3 * Pela de nição de módulo, temos que: j 3j = 3, se < 3 * Temos três intervalos a serem anlisados: I = ( ; 0), I = (0; 3) e I 3 = o Caso: Para I : Neste intervalo < 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) (3 ) ) + ) 0 4 3, Solution is: I 4 = 3 4 ; : Solução parcial : S = I \ I 4 = fg o Caso: Para I : Neste intervalo > 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) (3 ) ) +4 ) , Solution is: R Solução parcial : S = I \ R = (0; 3) 3 o Caso:Para I 3 : Neste intervalo > 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) ( 3) ) 4 + 3

27 7 ) , Solution is: I 4 = 3 4 ; Solução parcial 3: S = I 3 \ I 4 = (3; +) Solução nal: S = S [ S [ S 3 ) S = (0; +) f3g.5.5 Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Quando para quaisquer valores de e do domínio de uma função f tais que 6= tivermos f ( ) 6= f ( ), dizemos que a função é injetora. Quando o conjunto imagem de uma função f dizemos que a função é sobrejetora. for igual ao seu contradomínio, Quando uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dizemos que ela é bijetora. Eemplo 6: Considere a função dada pela lei de formação f() = : Se de nirmos f : R! R; f não será nem injetora e nem sobrejetora. Se de nirmos f : R +! R; f será injetora mas não será sobrejetora. Se de nirmos f : R! R + ; f será sobrejetora, mas não será injetora e se de nirmos f : R +! R + ; f será bijetora. (Sugestão: construa os grá cos e veri que as a rmações acima). Observação: Note que dada uma lei de formação, uma função pode ser bijetora ou não, dependendo do seu campo de de nição (domínio) e de seu contradomínio..5.6 Funções Inversas Seja = f () = 3 +. Nesta epressão, temos que é uma função de, mas podemos escrever como uma função de, ou seja, = g () = 3p. Observe que, (g f) () = g (f ()) = g 3 + = ; p 3 (f g) () = f (g ()) = f =. Neste eemplo, compondo as funções f e g obtivemos as funções identidades. Os pares de funções com essas duas propriedades são chamadas de funções inversas. De nição 6: Se as funções f e g satisfazem as duas condições (g f) () =, 8 Df, (f g) () =, 8 Dg,

28 8 então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f: De nição 7: Seja = f () uma função ou f : A! B. Se, para cada B, eistir eatamente um valor de A tal que = f (), então podemos de nir uma função g : B! A. A função g de nida desta maneira é chamada de inversa de f: inversas. Eemplo 7: As funções f () = 3 + e g () = 3p são funções Uma função não pode ter duas inversas. Assim, se uma função f tiver uma inversa, a inversa é única. A inversa de uma função é comumente denotada por f (lê-se: inversa de f). Sabemos que, função está determinada pela relação que estabelece entre suas entradas e saídas e não pela letra usada para variável independente. Assim, no eemplo 3, temos que f () = 3p é a função inversa de f: Se usarmos a notação f, em vez de g, na de nição 5, e se usarmos como variável independente, temos que se f e f 0 são inversas, então: f f () =, 8 Df, f f () =, 8 Df. ATENÇÃO: f é apenas uma notação para a função inversa, f 6= f : Eemplo 8:. A função f : ; +! R 3 + de nida por = f () = p 3 tem como função inversa f : R +! ; +, de nida por f () = 3 3 ( + ).. A função f : R f3g! R f g de nida por = f () = 3 inversa f : R f g! R f3g, de nida por f () = tem como função Uma maneira de determinar as funções inversas é resolvendo = f () para como uma função de e, a seguir, substituir por na fórmula nal para f : Nem toda função tem uma função inversa. Gra camente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passndo uma reta paralela ao eio dos, esta deve cortar o grá co em apenas um ponto. Este é o teste da reta horizontal. A função f () = não possui função inversa, mas fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa

29 9 Para fazermos o grá co da função inversa basta traçarmos a reta = e observarmos a simetria. Eemplo 9: Se f : [0; +)! [0; +) de nida por f () = tem como inversa a função f : [0; +)! [0; +) dada por f () = p : Algumas Funções Elementares. Função Potencial: função de nida por f () = n, onde n R. Eemplo: f () = 3 = 3p 5 5. Função Eponencial: f : R! (0; +) de nida por f () = a, com a R e 0 < a 6=. Com relação ao grá co dessa função, podemos a rmar que: (a) está acima do eio das abscissas; (b) corta o eio das ordenadas no ponto (0; ) ; (c) f é crescente se a > e decrescente se 0 < a < : 3. Função Logarítmica: f : R +! R de nida por f () = log a, com a R e 0 < a 6=. Com relação ao grá co dessa função, podemos a rmar que: (a) está todo a direita eio das ordenadas; (b) corta o eio das abcissas no ponto (; 0) ;

30 (c) f é crescente se a > e decrescente se 0 < a < : (d) é simétrico ao grá co da função g () = a em relação à reta = (ou seja, funções eponenciais e logarítmicas são inversas uma da outra). 0 4 Observação: Quando a base for o número e o logaritmo é dito logaritmo natural ou neperiano, escrevemos f () = ln. Eemplo 0: Seja g a função de nida por g () = ln p : Encontre a função inversa de g, o domínio e a imagem da função da função g Solução: Sabemos que para que eista inversa uma função deve ser bijetora. Consequentemente, Dg = Im g e Im g = Dg : * Domínio de g: Dg = f R : > 0g = ( ; ) * Determinando g : = g () = ln p ) e = p ) e = ) e = ) = e : Logo, a função inversa de g é g () = E ainda, Dg = R. e : Portanto, g : R! ( ; ) e g () = e : 4. Funções Trigonométricas: (a) Função Seno: f : R! [ ; ] de nida por f () =sen : A função seno é uma função periódica e de período T = :

31 (b) Função Cosseno: f : R! [ ; ] de nida por f () = cos : A função cosseno é uma função periódica e de período T = : (c) Função Tangente: de nida por f () =tg() = sen, para todo tais que cos cos 6= 0, isto é, para 6= (k+), com k Z : A função tangente é uma função periódica e de período T = : 4 4 (d) Função Cotangente: de nida por f () =cotg() = cos, para todo tais sen que sen 6= 0, isto é, para 6= k, com k Z: A função cotangente é uma função periódica e de período T = : 4 4 (e) Função Secante: de nida por f () = sec =, para todo tais que cos cos 6= 0, isto é, para 6= (k+), com k Z : A função secante é uma função periódica e de período T = :

32 3 (f) Função Cossecante: de nida por f () =cossec() =, para todo sen tais que sen 6= 0, isto é, para 6= k, com k Z : A função cossecante é uma função periódica e de período T = : Eemplo : Solução: p Detemine o domínio da função f () = e ln(sen()) : De nindo f () = p e f () = ln (sen ()), temos que: f () = e f ():f () : * Domínio de f : Df = Df \ Df. * Determinando o domínio das funções f e f : Domínio de f : Df = f R : 0g = [ ; ] Domínio de f : Df = f R : sen () > 0g = (k; (k + ) ), com k Z. Conclusão: Df = (0; ]: 5. Funções Trigonométricas Inversas: como as funções trigonométricas são periódicas é impossível de nir funções inversas das trigonométricas em todo o seu domínio. Portanto, para de nirmos a funções trigonométricas inversas necessitamos restringir os domínios. (a) Função Arco Seno: Seja f : ;! [ ; ] a função de nida por f () =sen. A função inversa de f () é chamada de arcsen e denotada por f : [ ; ]! ;, onde f () = arcsin : (b) Função Arco Cosseno: Seja f : [0; ]! [ ; ] a função de nida por f () = cos. A função inversa de f () é chamada de arccos e denotada por f : [ ; ]! [0; ], onde f () = arccos : 0

33 33 (c) Função Arco Tangente: Seja f : ;! R a função de nida por f () =tg. A função inversa de f () é chamada de arctg e denotada por f : R! ;, onde f () =arctg() : 4 4 (d) Função Arco Cotangente: f : R! (0; ) de nifa por f () =arccotg() : (e) Função Arco Secante: de nida por f () = arcsec (), cujo domínio é Df = ( ; ] [ [; +) e imagem Im f = 0; [ ; (f) Função Arco Cossecante: de nida por f () =arcossec(), cujo domínio é Df = ( ; ] [ [; +) e imagem Im f = ; 0 [ 0; : Funções Hiperbólicas: As funções eponenciais e e e e + e, ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada. Estas epressões de nem as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólibo de, respectivamente. O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas. (a) Seno Hiperbólico: f : R! R de nida por f () = sinh = e e. O grá co dessa função pode ser obtido pelo método chamado adição de coordenadas. Para usar esta técnica, esboçamos os grá cos das funções e e e (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas.

34 (b) Cosseno Hiperbólico: f : R! [; +) de nida por f () = cosh = e +e : (c) Tangente Hiperbólica: f : R! ( ; ) de nida por f () =tgh() = sinh = e e : cosh e +e 4 4 (d) Cotangente Hiperbólica: f : R! [( ; ) [ (; +)] de nida por f () = +e : tgh() e e (e) Secante Hiperbólica: f : R! (0; ] de nida por f () = cosh = e +e : (f) Cossecante Hiperbólica: f : R! R de nida por f () = sinh = e e :

35 Observação: Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Algumas identidades das funções hiperbólicas estão abaio relacionadas: i. cosh sinh = ; ii. sinh + cosh = e ; iii. cosh sinh = e ; iv. tgh () =sech () ; v. cotgh () =cossech () ; vi. sinh ( + ) = sinh cosh + cosh sinh ; vii. cosh ( + ) = cosh cosh + sinh sinh ; viii. sinh () = sinh cosh ; i. cosh () = cosh + sinh ;. sinh cosh () = ; i. cosh cosh () + = : Eemplo : Considere as funções f () =, f () = j + 5 4j, f 3 () =senh() e f 4 () = ln. Determine o domínio da função F, sendo que: F () = f 4 [f 3 (f () + f ())] : Solução: Sabemos que F é de nida por F () = f 4 [f 3 (f () + f ())] : Então: F () = f 4 [f 3 ( + j + 5 4j)] = f 4 [senh ( + j + 5 4j)] ) F () = ln (senh ( + j + 5 4j)) : Domínio de F : DF = f R : senh ( + j + 5 4j) > 0g : Sabemos que: senh(u) > 0, u > 0 Dessa forma: senh( + j + 5 4j) > 0, + j + 5 4j > 0 Pela de nição de módulo, temos que: j + 5 4j = + 5 4, se , se < ou > 4 Para [; 4], temos que: > 0 ) > 0, (; 3) Solução parcial : S = [; 4] \ (; 3) ) S = (; 3)

36 36 Para ( ; ) [ (4; +), temos que: > 0 ) 6+5 > 0, Solution is: ( ; )[(5; ) Solução parcial : S = ( ; ) [ (5; ) Conclusão: DF = S [ S = (( ; 3) fg) [ (5; ) : 7. Funções Hiperbólicas Inversas: (a) Inversa do Seno Hiperbólico: f : R! R de nida por f () = arg sinh = ln + p +, chamada de argumento do seno hiperbólico: 4 4 (b) Inversa do Cosseno Hiperbólico: f : [; +)! [0; +) de nida por f () = arg cosh = ln + p, chamada de argumento do cosseno hiperbólico: (c) Inversa da Tangente Hiperbólica: f : ( ; )! R de nida por f () =argtgh() = + ln, chamada de argumento da tangente hiperbólica. 4 4 (d) Inversa da Cotangente Hiperbólica: f : ( ; ) [ (; +)! R de nida por f () =argcotgh() = + ln :

37 37 (e) Inversa dasecante Hiperbólica: f : (0; ]! R de nida por f () =argsech() = ln : + p (f) Inversa da Cossecante Hiperbólica: f : R! R de nida por f () =argcossech() = ln + p + : jj Eemplo 3: Mostrar que o arg sinh = ln + p +, 8 R. Solução: Sejam R e = arg sinh Como a função argumento do seno hiperbólico é a função inversa do seno, temos que: = sinh = e e ) e e = 0: Multiplicando ambos os lados por e, temos que: e e = 0: Resolvendo essa equação quadrática, segue que: e = p 4 +4 = p +. Como e > 0, 8, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, e = + p +. Aplicando o neperiano em ambos os membros, obtemos que: = ln + p + ) arg sinh = ln + p + :

38 38.6 Eercícios. Resolva as desigualdade em R: + a. > ; b. > ; c. (6 9) > ; d e. p ; f. + < g. 3 < ; h. < ; 7 i. < ; j. + 3 ; k. 4 < ; l > ; m. 0 < < ; n ; o. + 3 ; p. ep 0; q < 0; r > 0; 4 s. 4 > + ; t ; 3 > 6 ;. Resolva as equações em <: a. j7j = 4 b. + j 4j + j5 j = 0; c. j3 j j4 j + jj = 54; d. j 3 + j = 8; j j 7 e. = 0; f. j+5j = 8 ; 3 g. 5 = 4 h. jj j 7j = 6; i. j 5 + 6j + j 5 + 6j = 8 3. Resolva as inequações em <: a. j6 j 7; b. j + 4j j 6j; c ; d. j9 j j4j; e. + 3 < 4; f. + 6; g. < j j + jj + j + j < 9; h. jj + < 0; i. 0 3 < jj + jj < 6 5 ; j. 5 < j4 j < ; k. 9 < j 6j 6; l. jj > ; jj

39 39 m. jj + p j + j 3 < ; n. jj j + j o. j3 j > 4; p. < jj ; j + j j + 3j ; 5 q. 3 j j + jj < ; r. j3 j < ; s. jj < jj ; t. j + j j + 3j ; 5 u. + jj < jj ; v ; w. ;. 3 j 3j p < 0; 4. Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante (a) Se f () = +, então i. f + ; ii. (f f) () : (b) Se f () = +, então i. g () = f () f () ii. g () = f () f iii. f ( ) n + iv. f n (c) Se f () = 3 + 4, então encontre h() = f ( + h) f (). (d) Se f () = 4 3 +, então obtenha g (h) = (e) Se f () = f () f ( ), então g () = + + f () f ( ). f (a + h) f (a). h (f) Se f () = sin (), então f +. (g) Se f () = ln e g () = 3, então i. (f g) () ii. (g f) () 5. Determine o domínio das funções:

40 40 a. f () = e + 3p + ; b. f () = + ( e ) ( + ) ; c. f () = arcsen ln ( ) ; d. f () = p j j j + j ; r jj e. f () = + ; f. f () = ln (e + ) + 3 ; p g. f () = p ln ( + ) ; h. f () = + p + p + ; r i. f () = e p ln(sen ). j. f () = cosh 3+5 ; j 5j r k. f () = ( j3 j) ; l. f () = 3+5 senh ( j 5j ); s p m. f () = ln + jj ; n. f () = e j3 j senh ( ) : 6. Use a de nição de módulo para rede nir as funções abaio. A seguir, esboce o grá co de f. (a) f () = jj + j j + j j (b) f () = j9 j 7. A função f () é uma função do o grau. Escreva a função sabendo que f ( ) = e f () = 3: 8. Determine, nas guras abaio, se o grá co é simétrico em relação ao eio, ao eio, à origem ou nenhum dos procedentes. 9. A gura em aneo mostra a parte de um grá co. Complete o grá co de forma que ele seja simétrico com relação: (a) ao eio ; (b) ao eio ; (c) à origem.

41 4 0. A gura em aneo mostra a parte de um grá co. Complete os grá cos supondo que: (a) f é uma função par; (b) f é uma função ímpar.. Classi que as funções cujos grá cos estão na gura abaio em aneo, como pares, ímpares ou nenhum dos dois casos Determine quais das funções são pares ou ímpares. (a) f () = 5 3 ; (b) f (s) = s + s + ; (c) f (t) = jtj ; (d) f (v) = av +a v ; (e) f () = ln + p + ; (f) f (u) = ln +u 3. Mostre que se f e g são funções ímpares, então (f + g) e (f g) são também funções ímpares. u : 4. Mostre que se f e g são funções ímpares, então f g é uma função par. 5. Mostre que a função [f () + f ( )] é par e que a função [f () f ( )] é ímpar. 6. Demostre que qualquer função f : R! R pode ser epressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. 7. Mostre que a função f () = e pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar. 8. Determine a fórmula da função inversa. Faça os grá cos da função dada e de sua inversa.

42 4 (a) f () = +a; (b) f () = p ; ; a (c) f () = ; 0; (d) f () = 5p 4 + ; + (e) f () = 5 ; 0; + 9. Em cada parte, combine a equação e um dos grá cos em aneo. (a) = 5p ; (b) = 5 (c) = 8 (d) = 8 ; (e) = 4p (f) = Mostre que a função f () = + coincide com a sua inversa.. Seja a função de nida por f () = j 4j + jj : (a) A função f é par ou ímpar? Use a de nição de função par ou ímpar para justi car sua resposta. (b) Use a de nição de módulo para reescrever f como uma função de nida por partes. (c) Construa o grá co da função f: _

43 43.7 Respostas Eercício (a) ( 7; +) [ ( ; 8) (b) ; [ (0; +) (c) ; 5 (d) (; +) 3 (e) [; +) (f) ( ; 0) [ (; 4) (g) (; ) [ (3; +) (h) (0; ) 5 (i) ( ; 0) [ (; +) (j) ; [ ( ; ) (k) (0; ) (l) ( 4; 4) (m) ; 3 [ (; +) (n) 7 ; 8 3 [ (; ) (o) ( ; ) [ 3; + (p) [; +) (q) ( ; 3) [ (; +) (r) ( ; 0) [ (; 3) [ (4; +) (s) ( ; 0) [ (4; +) (t) ( ; 4) [ p 6; [ p 6; Eercício (a) ; (b) f g [ [5; +) 3 (c) f0g (d) 3; 9 (e) f9g (f) 3; ; ; (g) 4 ; 4 (h) f ; ; 3; 5g 9 (i) f; 4g Eercício 3 a. ; [ 3 ; b. ; 3 [ [0; +) c. 9 ; 5 d. 9 ; 3 3 e. ; 0 9 [ [; +) f. ; p 3 [ 3 + p ; 3 p [ p + 3; f0g g. ( 3; 3) f0g h. ( ; 0) i. ( 5; 3) [ ; 3 5 [ ; 5 3 [ (3; 5) j. ( 4; 3] [ (3; 4) k. ; 3 3 p [ p ; 8 l. (; +) m. p 0; n. ( 5; 0) [ (0; 3) o. (; 3) [ 3; 4 p. ( ; 3) [ ( 3; ) [ ( ; +) 3 q. fg r. (; ) [ ; p + s. R t. p 6 ; + p 6 [ ( 3; ) 7 u. ( ; ) f0g v. ; [ ; + 6 w. ; 3 p i 3 [ 3 ; + f0; 3g. fg Eercício 4 (a) (i) ; (ii) + 4 (b) (i) 4 9 ; (ii) ; (iii) ( +)(4 +) ( +) (c) 4h + h 3h (d) 8a + 4h 3 (e) (f) sen () (g) (i) 3 ln ; (ii) ln 3 Eercício 5 (+) ++ ; (iv) n n +

44 44 (a) R (b) R f ; 0g (c) (; ) (d) ; 3 (e) ( ; +) (f) (0; +) (g) R f0g (h) R (i) (0; ] (j) R f5g (k) (; +) 5 (l) f0g [ [; +) f5g (m) p ; [ ( ; ) (n) [; +) Eercício 7: f () = +7 3 Eercício 8: origem; eio ; eio ; não há simetria. Eercício : (a) ímpar (b) nem par nem ímpar (c) par (d) par (e) nem par nem ímpar (f) ímpar f () + f ( ) f () f ( ) Eercício 6: Sugestão: f () = + : Eercício 7: Sugestão: escreva e como e = cosh () +sinh() : Eercício 8: (a) f a ( + ) () = (b) f () = +, para R + : r (c) f () = ; f : [0; )! R + (d) = 5 r 4 5 (e) f () = ; para (0; 5] Eercício 9: e; b; c; a; f; d. Eercício : 8 >< 4, se (a) par; (b) f () = + 4, se < < 0 >: + + 4, se 0 < + 4, se (c) 6 0

45 Capítulo Limite e Continuidade de uma Função Objetivos Interpretar geometricamente a de nição de limite; Provar os limites, pela de nição; Determinar limites gra camente (usando os limites bilaterais); Calcular limites usando propriedades; Encontrar limites utilizando os limites notáveis; Estudar a continuidade de uma função; Classi car as descontinuidades de uma função; Aplicar o teorema do Valor Intermediário.

46 46. Limite de uma Variável A idéia de uma variável aproimando-se de um valor limite aparece de forma clara quando se procura estabelecer a fórmula que representa a área de um círculo. Assim, considerando a área de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, vemos que a medida que n cresce a área do polígono se aproima da área do círculo. Fazendo n crescer inde nidamente, a área do polígono tende a um limite e este é de nido como a área do círculo. Neste eemplo, observamos geometricamente a ideia de limite. Agora, vamos construir a noção de limite trabalhando com o conjunto dos R. Analisemos os seguintes eemplos de sucessões numéricas:. f; ; 3; 4; 5; g;. ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ; ; 3. f; 0; ; ; 3; g; 4. ; 3 ; 3; 5 4 ; 5; 7 6 ; 7;. Observe que, na sucessão () os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um limite; em (), os temos estão se aproimando de, ou seja, é seu limite; em (3), os termos da sucessão decrescem inde nidamente sem atingir um limite; e, em (4), os termos estão oscilando, não havendo um limite. Vamos estabelecer agora, a de nição de limite de uma variável. De nição : Seja uma variável, diz-se que tende a uma constante a, ou que o limite de é a, se para um número qualquer positivo ", por pequeno que seja, os valores sucessivos de se aproimam de a de tal modo que a diferença a em valor absoluto seja menor que ", isto é, j aj < ". Matematicamente, lim = a ou! a. Lê-se: tende para a. Geometricamente, a desigualdade j aj < ", estabelecida de nição, signi ca que, para qualquer (a "; a + ") tem limite a, isto é, tende para a. ε a ε a a + ε Eemplo : Se a = 3, então (3 "; 3 + ") ) 3 " < < 3 + " ) j 3j < ". Se " = 0; 00, então ; 999 < < 3; 00 ) lim = 3 )! 3.

47 47 Estudaremos agora o limite de uma função de uma variável real com todas as suas interpretações.. Limite de uma Função.. Noção Intuitiva O uso básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor. Eemplo : Eaminemos o comportamento da função f () = +, quando se aproima de. 0 8 f ( ) 6 f ( ) Representando f na forma tabular, temos que: ; 99 ; 995 ; 999 ; 00 ; 005 ; 05 f () ; 855 ; 970 ; ; ; ; 55 Observando a tabela e o grá co é fácil constatar que o limite de + quando tende a é 3 por qualquer um dos lados de, ou seja, lim! ( + ) = 3. Note que, na análise precedente estivemos preocupados com os valores de f próimos do ponto = e não com o valor de f em =. Informalmente, temos que se os valores de f () puderem ser tomados tão próimos quanto quisermos de b, fazendo su cientemente próimo de a (não igual a a), então escrevemos limf () = b, ou f ()! b se! a.!a Observação: No eemplo anterior, a função f () estava de nida em = (ponto de interesse), mas quando falamos em limite nos interessa saber o comportamento da função na vizinhança de um certo a; não necessita que a função f esteja de nida no ponto a ser analisado. Observe isso, no eemplo a seguir. Eemplo 3: Seja f () = p + : Veri que que lim Solução: Observe a tabela abaio: p!0 + =. 0; 00 0; 000 0; ; ; 000 0; 00 f () ; 9995 ; ; ; ; ; 0005

48 48 Por evidências numéricas estamos sendo induzidos a concluir que p = : + lim!0 Podemos con rmar este resultado por manipulações algébricas. Veja: f () = p + = p + : p p = p + +, se 6= 0. A partir daí, é evidente que f ()!, quando! 0.. Limites Laterais Nem sempre uma função tem limites iguais quando se aproima pela direita ou pela esquerda de um número real a. Vamos analisar agora, funções que estão de nidas em intervalos onde eistem pontos nos quais o grá co da função dá um salto. Assim, Isto pode ser observado no próimo eemplo. Eemplo 4: Se f () = jj : Solução: Note que: f () = jj =, se > 0;, se < 0: Gra camente, temos que: superior lim!0 +f () = e lim f () = :!0 Com esta notação, o índice superior + indica um limite à direita e o índice indica um limite à esquerda. De nição : Se a função f () tende a b, nito ou não, quando tende a a por valores inferiores ao a, então dizemos que b é o limite à esquerda de f () no ponto a, ou seja

49 49 lim f () = b.!a De nição 3: Se a função f () tende a b, nito ou não, quando tende a a por valores superiores ao a, então dizemos que b é o limite à direita de f () no ponto a, ou seja Estes limites laterais podem ser: i. iguais, isto é, b = b ; ii. diferentes, isto é, b 6= b ; iii. pode eistir um e outro não; iv. ambos não eistirem. lim!a +f () = b. Relação entre limites laterais e bilaterais O limite bilateral eiste se, e somente se, eistirem os limites laterais e forem iguais. Escrevemos, limf () = b, lim!a!a f () = lim!a +f ().. f () = Solução: Eemplo 4: Determine o limite (limite bilateral) das funções abaio: O grá co de f é:, se ; +, se >. Gra camente, os limites laterais são: lim! f () = lim! = ; lim! +f () = lim + =.! + Conclusão, como o bilateral). lim! f () 6= lim! +f (), então não eiste o limf () (limite!

50 50. f () = Solução: (, se > 0;, se = 0;, se < 0; O grá co de f é: Gra camente, os limites laterais são: lim!0 lim!0 f () = lim!0 +f () = lim!0 = 0; + ( ) = 0. Conclusão, como o lim f () = Solução:! , se ; 4, se >. Gra camente, os limites laterais são: lim! lim! f () = lim! f () = lim!0 +f (), então eiste o limite bilateral e lim f () =!0 (6 + 7) = 5; +f () = lim (4 ) = 6. +! Conclusão, como o 4. f () = j 3j : Solução: O grá co de f é: lim! f () 6= lim! +f (), então limite bilateral não eiste Gra camente, os limites laterais são: lim!3 lim!3 f () = lim!3 +f () = lim!3 ( + 3) = 0; + ( 3) = 0. Conclusão, como o lim!3 f () = lim!3 +f (), então lim!3 f () = 0.

51 5 8 < 3, se > ; 5. f () =, se = ; :, se <. Solução: Gra camente, os limites laterais são: lim! f () = lim! = ; lim! +f () = lim ( 3) =.! + Conclusão, como o lim! f () 6= lim! +f (), então não eiste lim f ().! Observação: Intuitivamente, dizemos que uma curva é contínua quando não apresenta quebras ou buracos. Estas quebras ou buracos são chamados de descontinuidades. salto buraco..3 Limites pela de nição Introdução Inicialmente, suponhamos que uma família pretende disciplinar o uso da água em sua residência. Admitimos que o custo do m 3 de água seja R$ ; 0 e que esta família decide gastar R$ 90; 00 por mês com uma tolerância de R$ 6; 00 para mais ou para menos. A questão que se põe é: qual a faia de consumo em m 3 de água para que o custo que dentro do padrão estabelecido? Solução: Sejam : o número de m 3 de água a serem consumidos; p : o valor pago pela água em R$. É fácil ver que a função que relaciona o valor a pagar com o consumo é p () = ; : Como foi decidido gastar R$ 90; 00 por mês com uma tolerância de R$ 6; 00 para mais ou para menos, conclui-se que o valor a ser pago deve pertencer ao intervalo [84; 96]. Na seqüência, é necessário estabelecer o intervalo de consumo. Para isso, determinamos os valores de a e b tais que

52 5 p (a) = 84 e p (b) = 96: Ou seja, p (a) = 84 ) ; a = 84 ) a = 70; p (b) = 96 ) ; b = 96 ) b = 80. Conclusão: Para que os gastos quem no intervalo [84; 96] o consumo deve car entre 70m 3 e 80m 3 de água, isto é, pertencer ao intervalo [70; 80]. Ao estudarmos limites das funções, o valor p () = 90 é denominado limite de p () quando tende a 75, a tolerância R$ 6; 00 é denominado " e a margem 5 m 3 em torno de 75 é denominado. O grá co a seguir retrata esta situação: ε 90 + ε ε δ 75 + δ δ A próima questão que se põe é: eiste uma relação entre a tolerância admitida em torno do valor monetário ado como referência (R$ 90; 00) e a margem em torno do valor central de consumo (75 m 3 )? Isto, é, dado " > 0 é possível encontrar > 0 tal que dependa de "? A resposta é sim e, o procedimento, para determinar esta relação consiste em estabelecer a relação entre as desigualdades Desse modo, jp () 90j < " e j 75j < : jp () 90j = j; 90j = ; j 75j < ": () Por outro lado, j 75j <. () Das relações () e (), podemos admitir a relação ; = " ) = " ;. Portanto, para cada tolerência de gastos " podemos encontrar a margem de consumo. Vejamos os valores de para alguns valores de ". Valor de " Valer de Intervalo de gastos Intervalo de consumo 6 5 [84; 96] [70; 80] 5 4; 667 [85; 95] [70:833; 79:67] 4 3; 3333 [86; 94] [7:667; 79:333] 3 ; 5 [84; 93] [7:5; 77:5] ; 6667 [88; 9] [73:833; 76:6666] ; [89; 9] [74; 76]

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