REVISÃO DE TRIGONOMETRIA

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1 UNIVERSIDADE CATÓLICA DO SALVADOR CURSO: INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO II PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES PRIMEIRO SEMESTRE DE 006 Prezados Alunos, sejam bem-vindos ao nosso curso de Cálculo II Um agradecimento muito especial à Professora Sirlane Barreto e ao Professor Eron, pelo incentivo e constante auílio que eles me prestaram. Muito do que se encontra aqui, devo agradecer às anotações deles. Outro agradecimento especial aos meus e-alunos ( e amigos ), Leonardo Leandro ( Webmaster ), Dioney Mascarenhas e Caio Moreira por disponibilizarem este material na Internet. Quero registrar também minha admiração, respeito e especial carinho à Professora Eliana Prates do Instituto de Matemática da UFBa cujas notas de aula me inspiraram a redigir este trabalho, ao Prof. Antônio Andrade Souza da UCSal e ao meu orientador o Dr. José Nelson Bastos Barbosa. Desde que desejamos aprimorar este trabalho, sugestões e críticas serão bem vindas. amferraznovaes@ig.com.br ou ataualpa@im.ufba.br. Telefones: 5-78 ou REVISÃO DE TRIGONOMETRIA. PRINCIPAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) sen + cos = ( relação fundamental, fique ligado nela! ) b) tg = sen / cos c) cotg = cos / sen = / tg d) sec = / cos e) cossec = / sen f) sec = + tg g) cossec = + cotg h) sen =. sen. cos i) cos = cos sen,. SINAIS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: A circunferência abaio chama-se circunferência trigonométrica, tem raio =, centro coincidente com a origem do sistema cartesiano ortogonal e é o palco para a apresentação das funções trigonométricas. O seno é medido no eio vertical e o cosseno é medido no eio horizontal. Os arcos ( com seus ângulos centrais correspondentes ) são medidos a partir do ponto A e têm como sentido positivo, o sentido anti-horário.

2 o 80 Eio dos senos 90 o sen 0 cos A 0 o Eio dos cossenos o + o o 70 o o Quadrante o Quadrante o Quadrante o Quadrante SEN X + + COS X + + TG X + + COTG X + + SEC X + + COSSEC X + +

3 Pelo gráfico acima, podemos concluir que: 0 o 90 o 80 o 70 o 60 o SENO COSSENO 0 0 TABELA DE DERIVADAS ( CÁLCULO I ) No que segue abaio, a representa uma constante, e u e v são funções de. ) y = a y' = 0 ) y = a y' = a ) y = au. y ' = au. ' ) y = u + v y' = u' + v' 5) y = u. v y' = ( u. v') + ( v. u' ) 6) y = u v ' 7) y = u α,( 0) u 8) y ( ) y = ( v. u' ) ( u. v' ) v α a y ' = a.( u ). u' u = a a 0, a y' = a.ln a u' u u 9) y = e y' = e. u' 0) u' y = ln u y' = u ) y = sen u y ' = cos u u' ) y = cos u y' = sen u u' ) y = tg u y' = sec u u' ) y = cotg u y' = cossec u u'

4 5) y = sec u y ' = (sec u) ( tgu) u' 6) y = cossec u y ' = (cossec u) (cotg u) u' 7) y = arcsenu y' = u' u 8) y = arccosu y' = u' u u ' 9) y = arctgu y' = + u EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE DERIVADAS a ) Derive as funções abaio a) y = + b) ( z ) = c) w = + y y y + y d) g) t / / u = e) y = +.ln π f) y = ( ) t g( ) 5 =. h) ( / 5 )sen + 9 sec = y i) y = sen + cos j) g( t ) tg t = l) sect g( ) sen + cos = m) sen cos y = [sen + cos()] n) t e h( t) = t o) f ( ) = arctg( + ) p) f ( ) = arcsen( ) a π ) Uma partícula possui equação de posição ( t) =.cos t ( em metros ), onde t [ 0, π[ ( em segundos ). Determine: a) o instante em que a partícula atinge altura máima ( velocidade nula );

5 b) a aceleração da partícula, decorridos π segundos. a ) Calcule a derivada de cada função abaio ( onde a é uma constante 0 ). ( Os resultados abaio são de etrema importância para o estudo posterior da Integral indefinida ): a) y a = ln + ±. b) a y = ln a + a. a ) Seja s ( t) = t 6t +, a função posição de um móvel em cada instante t. Determine: a) posição e velocidade quando a aceleração é nula; b) posição e aceleração quando a velocidade é nula. 5 a ) Resolva os problemas a seguir: a) A equação do movimento de uma partícula é s ( t) = t, s em metros, t em segundos. + Determinar: a.) o instante em que a velocidade é de / m/s; a.) a distância percorrida até esse instante; a.) a aceleração da partícula quando t = seg. b) Em economia a taa de variação instantânea ( derivada ) do custo total de produção em relação ao número de unidades produzidas denomina-se custo marginal. Freqüentemente, é uma boa aproimação do custo de produção de uma unidade adicional. Sendo C(q) o custo total de produção de q unidades, então, o custo marginal é igual a C (q), que é aproimadamente o custo de produção de uma unidade adicional, ou seja, C (q) custo de produção da ( q +) -ésima unidade. Sendo assim, suponha que o custo total para se fabricar q unidades de um certo produto seja de C ( q) = q + 5q + 0 b.) deduza a fórmula do custo marginal b.) estime o custo de produção da 5 a unidade empregando aproimação fornecida pelo custo marginal. b.) calcule o custo real de produção da 5 a unidade. 5

6 c) Certo estudo ambiental em uma comunidade suburbana indicou que o nível médio diário de CO no ar será de C ( p ) = 0,5 p + 7 partes por milhão quando a população for de p milhares de habitantes. Calcula-se que daqui a t anos a população será de p ( t) =, + 0,t milhares de habitantes. Qual será a taa de variação ( derivada ) em relação ao tempo do CO daqui a três anos? GABARITO ª) a) y' = 8 9+ b) y ' = c) 0. y w' = + d) y. y u ' = ( t 7) e) y 90 ' = +.ln ( 6 ) π y ' = g) f) / 0 g '( ) = 5. h) y ' = ( /5)cos+ 9sec tg. i) y ' =.cos j) g '( t) = cos t+ sent l) g ( ) = ( sen cos ) m) y =.[sen + cos( )].[ sencos sen] n) 6te + e h'( t) = t t ( t ) o) f '( ) = + + p) f ( ) ' = 6 6 π ª) a) t = segundos b) aceleração = 6 metros por segundo ao quadrado 8 ª) a) ª) a) y ' = ( ) ( ) ± a s = 5 v = y ' = a b) 5ª) a) a.) t 6 segundos distância ( ) s 0 = b) Para t = 0, temos e a ( 0) = = a.) ( ) metros ( ) ( ) s = Para t =, temos v = a = m/ s = a.) ( ) b) b.) C' ( q) = 6q+ 5 b.) C '( 50) = 05 b.) C( ) C( ) c) 0, 5 50 =

7 TEXTO DO PROFESSOR ERON, MESTRE EM MATEMÁTICA E PROFESSOR DE VÁRIAS FACULDADES. INTRODUÇÃO A INTEGRAL Os dois problemas fundamentais do cálculo o cálculo da reta tangente e o cálculo de áreas dividem esta matéria em duas partes: O Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. Veremos como estes dois problemas estão intimamente relacionados. As idéias básicas do Cálculo Integral têm origem bem remota e começaram com o problema de calcular a área de uma figura plana ou o volume de um sólido. Estas foram questões centrais da matemática na Grécia antiga desde cerca de séculos A.C. Arquimedes (87 A.C.) se ocupou intensamente com estes problemas calculando áreas e volume de diversas figuras geométricas. O procedimento usado nesses cálculos empregava o chamado método da eaustão que consistia em eaurir ou esgotar a figura dada por meio de outras áreas e volumes conhecidos. Este método é atribuído a Eudoo (06-55 A.C.) que foi quem primeiro deu uma prova satisfatória de que o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura. O método da eaustão foi desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes que é considerado, juntamente com Newton e Gauss, como um dos três grandes matemáticos da história e certamente é o maior matemático da antigüidade. Arquimedes usou técnicas para encontrar áreas de regiões limitadas por parábolas, espirais e várias outras curvas. O PROBLEMA DA ÁREA As fórmulas para as áreas das figuras geométricas básicas, como retângulos, polígonos e círculos, datam dos primeiros registros sobre matemática. Vamos considerar o problema de encontrar a área da região limitada pelo gráfico de uma função y = f(), contínua, não negativa, num intervalo [a,b], o eio OX e as retas verticais = a e = b ( veja a figura abaio ). Vamos usar o método dos retângulos para calcular a área dessa região. O método consiste em dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais e em cada subintervalo construir um retângulo que 7

8 8 se estende desde o eio OX até algum ponto sobre a curva y = f(). O retângulo tem base igual ao comprimento do subintervalo e altura igual a f(ε) sendo ε um ponto qualquer do subintervalo (em geral é tomado como uma das etremidades do subintervalo ou o ponto médio). Para cada subintervalo S i consideremos a base como i = i i- e altura f(ε i ), onde ε i [ i-, i ]. A área total dos retângulos, que escrevemos = n i i i f ) (ε, pode ser vista como uma aproimação da área da figura sob a curva y = f() no intervalo [a,b]. Fica intuitivamente evidente que quando n cresce essas aproimações vão ficando cada vez melhores e tendem à área eata, como um limite. Assim, a área da região corresponde a S = ) ) ( ( lim = + n i i i n f ε. EXEMPLO: Vamos calcular a área da região limitada pela curva y = no intervalo [0,]. Dividindo o intervalo [0,] em n subintervalos, cada subintervalo tem comprimento /n e os etremos dos subintervalos ocorrem em,,...,,, 0, n n n n n. Vamos construir retângulos em cada um desses intervalos cuja altura pode ser o valor da função em qualquer ponto do intervalo. Vamos escolher, nesse caso, os etremos direitos. Assim, as alturas dos retângulos serão,,...,,, n n n n n. Uma vez que cada intervalo tem comprimento /n, a área total dos intervalos será A(n) = n n n n n n ),..., ( Por eemplo, se n = a área total dos quatros subintervalos será A()= , 5 ) ( = =

9 Vejamos os resultados para alguns valores crescentes de n: n A(n) 0,6875 0,8500 0,850 0,8 0,8 0,8 Vejamos alguns eemplos de divisões feitas no intervalo [0,] (Gráficos construídos no Winplot) 0 subintervalos: - 0 subintervalos:

10 50 subintervalos: subintervalos: - - Na maioria das vezes o limite que epressa a área tem cálculo difícil e trabalhoso. Eiste um outro método para o cálculo dessa área que tem coneão com a diferenciação (ou derivação). Para o eemplo visto, consideremos a função F() =. Calculando a diferença dos valores dessa função nos etremos do intervalo considerado, ou seja, F() F(0), obtemos / = 0,... que foi a aproimação obtida para a área. O que tem essa função de especial e qual a ligação dela com a função y =? Observamos que derivando F() obtemos f(), ou seja, =!!! 0

11 OS GÊNIOS NEWTON E LEIBNITZ Historicamente os conceitos básicos da integral foram usados pelos gregos muito tempo antes do cálculo diferencial ter sido descoberto. No século XVII, vários matemáticos descobriram como obter áreas mais facilmente usando limites. O maior avanço em relação a um método geral para o cálculo da área foi feito independentemente por Newton e Leibnitz, os quais descobriram que as áreas poderiam ser obtidas revertendo o processo da derivação. Esta descoberta vista como o começo do Cálculo, foi veiculada por Newton em 679 e publicada em 7 num artigo intitulado Sobre a Análise Através de Equações com Infinitos Termos ; e foi descoberto por Leibnitz em cerca de 67 e declarado num manuscrito não publicado datado de de novembro de 675. n O limite lim ( f ( ε i ) i ) irá receber uma notação especial n + i= n b lim ( f ( ε i ) i ) = f ( ) d e será chamado de integral definida. n + i= a b O que Newton e Leibnitz mostraram foi que f ( ) d = F(b) F(a) onde F() é uma função a tal que F () = f(). Este é um dos resultados mais importantes do Cálculo conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo ou Fórmula de Newton - Leibnitz. A nossa questão agora será aprender métodos para encontrar a função F(), ou seja, dada uma função f(), encontrar a função F() tal que F () = f(). Este processo é chamado de antidiferenciação. A Integral Indefinida Para cada uma das funções f() dadas a seguir tente encontrar uma função F() tal que F ()= f(). a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = e e) f() = cos() f) f() = sen() g) f() = sec () h) f() = / Definição: Uma função F() é chamada de uma antiderivada ou uma primitiva de uma função f() em um dado intervalo I se F () = f() para todo no intervalo. EXEMPLOS: F() = / é uma primitiva de f() =. F() = / + uma primitiva de f() =. F() = e é uma primitiva de f() = e. F() = e + é uma primitiva de f() = e. Os eemplos anteriores nos mostram que a antiderivada de uma função não é única!! Temos os seguintes resultados

12 Se F() for qualquer primitiva de f() num intervalo I, então para qualquer constante C, a função F() + C é também uma primitiva de f() naquele intervalo. Além disso, cada primitiva de f() pode ser escrita na forma F() + C, escolhendo-se apropriadamente a constante C. Como conseqüência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma constante. A cada primitiva está associada uma família de primitivas. A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva mais geral de uma função é encontrada. d d F() + C. Se ( F( ) ) f ( ) =, então integrando-se ou antidiferenciando-se f(), obtém-se as antiderivadas Denotamos isso escrevendo f ( ) d = F( ) + C e temos a equivalência d d ( F( ) ) f ( ) = f ( ) d = F( ) + C O símbolo é chamado de sinal de integração ou uma integral indefinida. A função f() é chamada de integrando ( ou função integranda ). A constante C é chamada de constante de integração. O símbolo d nas operações de diferenciação e antidiferenciação servem para identificar a variável independente. O adjetivo indefinida estabelece que não se encontra uma função definida quando se integra mas um conjunto (família) de funções. Esta notação para a integral foi dada por Leibnitz em 675.

13 EXEMPLOS d. ( ) = d = + C. d d. ( ) = d = + C. d d. ( ) = d = + C. d n d + n+ n. Generalizando: n = d n d = + C + n + d 5. (sen ) = cos cos d = sen + C. d d 6. (cos ) = sen sen d = cos + C. d d 7. ( e ) = e e d = e + C. d ( n ). Observação: Através do conhecimento das derivadas das funções podemos obter as epressões de suas integrais indefinidas que podem ser catalogadas numa tabela onde os resultados podem ser checados mediante a derivação do o membro. ( Consulte um livro de Cálculo e obtenha uma tabela de integrais ou veja a página 7 ). Geometricamente, a integral indefinida é um conjunto ou família de curvas que se obtém pelo deslocamento de uma primitiva qualquer sobre o eio OY. Por eemplo, para f() = a família de primitivas d = + C é uma família de parábolas com eio de simetria em OY. Vejamos alguns eemplos para C =,,, 0,. y = ^ y = ^+ y = ^- y = ^

14 Uma pergunta que surge naturalmente é: Toda função tem primitiva e consequentemente integral indefinida? A resposta a esta questão é negativa. Mas toda função contínua em [a,b] tem integral indefinida em [a,b]. Vale observar que ainda que a derivada de uma função elementar é uma função elementar, a primitiva de uma função elementar pode não se epressar como um número finito de funções elementares, como, por eemplo, as integrais e / d eemplos que serão vistos em cursos mais avançados). sen ; d (Eistem outros Propriedades da Integral Indefinida Suponhamos que f ( ) d = F( ) + C. Temos as seguintes propriedades: P : A derivada de uma integral indefinida é igual ao integrando. ( f ( ) d) = ( F( ) + C) = F ( ) = f ( ). Observe que o resultado vem da própria definição de integral indefinida. Eemplos:. d = + C + C =. e. e d = + C e + C = e. sen sen. cos d = + C + C = cos. P : A integral indefinida da soma de duas ou mais funções é igual à soma de suas integrais: + + = + C. f( ) ± g( ) d = f( ) d ± g( ) d. E: sen( ) d= d sen( ) d cos( ) P : A integral indefinida do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função: Kf ( ) d = K f ( ) d ( K R). E: 5sec ( d ) = 5 sec ( d ) = 5 tg ( ) + C.

15 EXEMPLOS: + d = + + C. e ) ( e + ) d = + + C. 5 ) ( ) d = C. 5 ) ( ) Observação: Quando integramos uma função multiplicada por uma constante ou uma soma de funções englobamos as constantes de integração em uma única constante C. RESOLVA.... ( + ) d / 5. ( ) d d 7. ( t ) 8. + e d cos + sec d 0. sec (sec + tg) d. sen( + ) d. cos( + ) d 9. ( ) + dt d. + ATENÇÃO: A integral indefinida do produto de duas funções não é igual ao produto das integrais indefinidas de cada função: f ( ). g( ) d f ( ) d. g( ) d. Eemplo:. d d. d TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO. (verifique!!!) Nem sempre podemos identificar diretamente e imediatamente uma integral que se quer determinar com alguma da tabela. Entretanto, em muitas delas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. Consideremos o eemplo anterior cos( + ) d. Observemos que fazendo u = +, a diferencial é du = d. Assim, a integral pode ser rescrita como cos udu = sen u + C e voltando à variável original temos que cos( + ) d = sen( + ) + C. De uma maneira geral, se temos a integral na forma f ( g( )) g ( ) d e se F é uma primitiva de f, temos que f ( g( )) g ( ) d = F(g()) + C. Isto corresponde a fazer u = g(); du = g ()d e portanto integrar f ( u) du. 5

16 EXEMPLOS: 0. ( + ) d ( Faça u = + ) Nos eemplos,, e faça u = ( + ) d. +. e d.. cos( + ) d. 5. e d. ( Faça u = ). 8. e d. ( Faça u = ). 9. e 6. d. ( Faça u = ). d. + ( Faça u = + ). 7. t t dt. ( Faça u = 5t ). Prezados alunos, eistem outras técnicas de integração, que estudaremos mais adiante, pois infelizmente, nem todas as integrais podem ser resolvidas por substituição direta. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: O Cálculo - Novos Horizontes Anton (vol ). Cálculo A Diva Fleming. Cálculo com Geometria Analítica Swokowski (vol ). 6

17 . d = + C TABELA DE ALGUMAS INTEGRAIS IMEDIATAS 0. cosec( d ) = lncosec( ) cotg( ) + C d. = ln + C n+ n. d = + C, ( n -). n a a d = + C, ( a >0 e a ). ln( a) e d = e + C 6. sen( d ) = cos( ) + C 7. cos( d ) = sen( ) + C 8. tg( ) d = lnsec( ) + C. sec( d ) = lnsec ( ) + tg( ) + C. sec. ( d ) = tg ( ) + C. sec ( ). tg( ) d = sec( ) + C 5. cosec( ). cotg( ) d = cosec( ) + C d 6. = arc sen + C a a 7. cosec ( d ) = cotg( ) + C d a a arc tg = + C + a 9. cotg( d ) = lnsen( ) + C 8. d a a arc = sec + C a Após este show de bola do Professor Eron, vamos ler algumas páginas que escrevi. 7

18 INTEGRAL DEFINIDA UMA VISÃO INTUITIVA Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocuparam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da eaustão, que consiste em aproimar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Um caso muito comentado é como se calculava a área do círculo ( antes da fórmula π r ). Consideremos um polígono regular de n lados, inscrito nesse círculo. Quando n + o polígono torna-se uma aproimação do círculo. Para calcular a área de uma figura plana ( com certas restrições, isto é, para alguns tipos de figuras planas ) procedemos de forma análoga. Seja S a área de uma região plana, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eio O e pelas retas = a e = b ( veja na figura abaio a parte listrada ). 0 = a i i b = n Faremos uma partição do intervalo [ ab, ], isto é, dividiremos o intervalo [, ] ab em n subintervalos. Esta partição pode ser regular ou qualquer ( ou seja, todos os subintervalos podem ter ou não o mesmo comprimento ). Escolhemos os pontos a = 0 < <...< i- < i <... < b = n e sejam: o comprimento do i-ésimo subintervalo e o comprimento do maior subintervalo. i Em cada um desses subintervalos tomamos um número c i e construímos o retângulo de base de altura f ( c i ). A soma S n das áreas desses retângulos é dada por n S = f c. + f c. + + f c. = f c.. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n i i i= i i e Se fizermos o número de subintervalos crescer indefinidamente, isto é, n +, teremos, com toda certeza i 0 e assim a soma S n acima se aproima do valor de S ( que é a área da figura acima ). 8

19 DEFINIÇÃO: Nas condições estabelecidas sobre a função f no início do nosso estudo, temos n n lim f c. = lim f c.. A área S será denotada por f ( ) Área = S = ( ) ( ) i i i i n + i 0 i= i= ( lê-se integral definida de a até b da função f ). Portanto: S = f ( ) b d. Vamos fazer alguns eemplos numéricos, com funções conhecidas para você entender melhor: p Seja calcular f ( ) d, onde ( ) 0 f =, isto é, queremos achar p 0 a b a d d. Graficamente, pelo que foi eposto, desejamos determinar a área do triângulo retângulo de base e altura iguais a p que é bh. p. p p naturalmente A = = =, veja a figura abaio: y p 0 p p n n S = d= lim f ci. i lim f ci. i i 0 = n +. 0 i= i= p 0, p em n partes iguais, teremos i = e lembrando que, para n p n p p n f ci = ci, chegamos a : d = lim. ci lim ci n + n 0 i n = + = n. i= c de duas maneiras Por outro lado, pela definição dada acima: ( ) ( ) Subdividindo o intervalo [ ] f ( ) = temos, naturalmente, ( ) Falta agora escolher o valor de c i, para cada subintervalo, tomaremos cada i diferentes, para mostrar a você que o resultado independe do c i escolhido: i n PRIMEIRA MANEIRA: c = ; c = ;...; ci = ;...; cn = = ( isto é, o valor de c i é o limite n n n n superior de cada subintervalo ), assim: 9

20 0 + p. n p p p i p n p d= lim. ci lim ci lim p lim. n + n n n i n = + n = i n n n n = = + = = n Soma dos termos de uma P.A. de razão n p n n SEGUNDA MANEIRA Se escolhêssemos o valor de c i como sendo o limite inferior de cada subintervalo, teríamos o mesmo resultado para a área! Senão vejamos: i np p c = 0; c = ;...; ci = ;...; cn =, assim: n n n p 0 np 0 +. n p i np p n n p d= lim lim. n n n n n = = n + n Soma dos termos de uma P.A. de razão n. Mesmo que usássemos um c i na metade, ou na terça parte, etc... de cada subintervalo o resultado ( por incrível que pareça! ) seria o mesmo. Foi isso que Isaac Newton e Leibnitz demonstraram, independentemente, o primeiro na Inglaterra e o segundo na Alemanha. Fazendo cálculos mais cansativos, podemos provar que: a) b) c) p p d= 0 ; p p d= 0 ; p 5 p d= 5 0. Será que você consegue perceber uma relação geral? Pense um pouco... Posteriormente ( próima página! ) você verá o importantíssimo Teorema Fundamental do Cálculo ele permitirá, dentre outras coisas, que você não tenha o imenso trabalho que tivemos acima para p p calcular d= 0 0

21 Enunciaremos, sem demonstração, um resultado fundamental e com inúmeras aplicações nas mais diversas ramificações do conhecimento, ele se chama: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Se f ( ) é uma função contínua em um intervalo [ a, b ] e F ( ) é uma primitiva de f ( ) em [ a, b ] ( isto é, F ( ) = f ( ), para todo pertencente a [ a, b ] ) então b b f ( ) d= F( ) = F( b) F( a). a a Propriedades da integral definida: No que segue ( do item ao item ), considere as funções f e g integráveis em um intervalo [ a, b ] e k uma constante real: b kf d k f d; ). ( ) =. ( ) a b a b b b f g d f d g d; ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) a a a b f d f d; ) ( ) = ( ) a a ) ( ) 0 f d= ; a a b 5) Se f é contínua em um intervalo ao qual pertencem os números a, b e c, então b c b ( ) = ( ) + ( ) f d f d g d, quaisquer que sejam os valores de a, b e c. a a c APLICAÇÕES: Calcular as integrais definidas ( em sala nós veremos que em muitos dos casos abaio estamos calculando áreas de figuras planas que no segundo grau você nem sonhava em calcular... ): a) d ; b) 0 e d ; c) ( + 5 8) d; d) π π sen d ; e) sen d 0 ; π

22 f) + d ; g) d ; h) 7 + d ; i) 0 d ; ( ) 5 + Meus nobres alunos, nem sempre, como comentamos na página 6, conseguimos resolver integrais por substituição direta, precisamos então conhecer novas técnicas de integração. Antes vamos revisar alguns tópicos sobre integral indefinida, já mencionados pelo Professor Eron em seu teto iniciado na página 7. IMPORTANTE: INTEGRAL INDEFINIDA De um modo geral trabalharemos com funções contínuas em um intervalo real. DEFINIÇÃO : Se F ( ) = f ( ) então F ( ) é denominada uma primitiva ou antiderivada de f ( ). EXEMPLOS: a) sen é uma primitiva de cos pois ( sen ) = cos ; b) cos é uma primitiva de sen pois ( cos ) = sen ; c) é uma primitiva de pois ( ) = ; d) Note que + também é uma primitiva de pois ( + ) = ; e) De um modo geral + C ( onde C representa um número real qualquer ) é uma primitiva de pois ( + C ) =. PROPOSIÇÃO : Se F ( ) é uma primitiva de f ( ) e C é um número real então F ( ) + C é também uma primitiva de f ( ). Demonstração: ( F ( ) + C ) = F ( ) + C = f ( ) + 0 = f ( ) PROPOSIÇÃO : Se F ( ) e G ( ) são ambas primitivas de f ( ) então eiste um número real C tal que G ( ) = F ( ) + C. Demonstração: ( G ( ) F ( ) ) = G ( ) F ( ) = f ( ) f ( ) = 0 Logo, G ( ) F ( ) é uma função constante, isto é, eiste um número real C tal que G ( ) F ( ) = C. Portanto G ( ) = F ( ) + C

23 DEFINIÇÃO : O conjunto de todas as primitivas de f ( ) é a integral indefinida de f ( ) que é indicada por f ( d ). Pelas Proposições e temos que se F ( ) é uma primitiva qualquer de f ( ) então f ( d ) = F ( ) + C, sendo que C pode ser qualquer número real. OBSERVAÇÕES: a) Na epressão f ( d ) a função f ( ) é chamada de integrando ( ou função integranda ); b) A integral indefinida, por uma questão de simplificação, será chamada apenas de integral. EXEMPLOS: a) ( sen ) = cos, portanto cos d = sen + C ; b) ( arc tg ) =, logo + d = arc tg + C; + c) ( arc sen ) =, logo d = arc sen + C; d) ( tg ) = EXERCÍCIOS: sec, logo sec d = tg + C ) Determine as integrais abaio, utilizando o conceito de integral indefinida: a) sen d = RESPOSTA: cos + C b) ed= RESPOSTA: e + C c) d = d = + RESPOSTA: C d) d = RESPOSTA: e) f) d = RESPOSTA: d = RESPOSTA: n g) Para n, d = RESPOSTA: d h) d = = + C + C + C n+ + C n + RESPOSTA: ln + C i) Para a > 0 e a, a ad= RESPOSTA: C ln a +

24 j) k) d = + RESPOSTA: arctg + C l) sec d = RESPOSTA: tg + C d = RESPOSTA: arcsen + C m) d= RESPOSTA: n) d= RESPOSTA: 5/ 5 + C 0/ 0 + C o) d = RESPOSTA: + C p) d = RESPOSTA: + C q) d = RESPOSTA: + C r) 8 d = RESPOSTA: + C s) ( + + ) = RESPOSTA: C 6 7 t) ( ) 7 = RESPOSTA: C u) 7 ( ) d= RESPOSTA: + C / / v) ( 7 / / + + ) d= RESPOSTA:.ln C / 5 / / 5 w) ( / + + ) d= RESPOSTA:.ln C 6 ) + d = RESPOSTA: + ln + C y) d = RESPOSTA: ln + C z) 5 5 e e d= RESPOSTA: + C 5 ) Determine as integrais indefinidas abaio, utilizando as idéias apresentadas acima: a) e e d= RESPOSTA: + C b) 8 8 e e d = RESPOSTA: + C 6 8 c) sen d = cos RESPOSTA: + C

25 d) sen 6 d = cos 6 RESPOSTA: + C e) cos 6 d = RESPOSTA:. sen 6 + C 9 f) + sen 6 d = 5.cos6 + C 5 g) e cos 6 d= 7 e sen6 + C 6 h) sen d = cos RESPOSTA: cos + C i) ( sen 5) ( ) d = RESPOSTA: cos( 5) j) sen( 5) d = RESPOSTA: 5 + C k) e + e e e d = RESPOSTA: + C l) 5 d = RESPOSTA: 5 arcsen C e + sen8+ 7 e cos8 7 m) d = RESPOSTA: C n) d = + RESPOSTA: arctg + C o) + + d = RESPOSTA: + ln + + C p) e + sen5+ 7cos e cos5 7 d = RESPOSTA: + + sen + C q) e d= ( Foi só uma provocação... trata-se da técnica II, página ) r) sen d = ( Foi outra provocação... página ) s) e d ( impossível usando um número finito das funções que você conhece! Pesquise! ) Ao fazer os eercícios acima, você deve ter notado que a integral indefinida tem algumas propriedades: sen 5 + C PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA ; ) Se k é um número real ( isto é, uma constante real ): kf. ( d ) = k. f( d ) ) [ f ( ) ± g ( )] d = f ( d ) ± gd ( ). 5

26 Nos eercícios que faremos adiante, você poderá consultar a tabela de integrais abaio: TABELA DE INTEGRAIS ( CHAMADAS IMEDIATAS ) ( DEPOIS AUMENTAREMOS ESTA TABELA ) n+ n ) Se n : d = + C ; n + ) d d = d = = ln + C ; a ) ad= + C, como caso particular, temos: ln a ) cos d = sen + C ; 5) sen d = cos + C ; 6) d= arc tg + C ; + 7) d= arc sen + C ; 8) d = sec d = tg + C cos ; 9) d = cossec d = cotg + C sen ; 0) sec tgd. = sec + C; ) cosec.cotg d = cossec + C. ed e = + C ; Técnicas de Integração Como você pôde ver nas nossas aulas anteriores, algumas integrais indefinidas não são diretas ( lembre como eemplos as letras q), r), do eercício ) ). Vamos então aprender algumas técnicas que podem ser úteis quando você encarar algumas integrais que não sejam imediatas. ª ) MUDANÇA DE VARIÁVEL ( OU REGRA DA SUBSTITUIÇÃO ) EXEMPLO e d=? Acredito que você saiba fazer de cabeça! Mas vamos tentar uma técnica: Faça = u, daí, derivando ( ou diferenciando ) ambos os membros: 6

27 d = du, logo: du d =, voltando à epressão acima e substituindo: du = = = + = + u u u e d e e du e C e C EXEMPLO sen 6 d =? Faça agora 6 = u, daí, e derive ambos os membros: 6d = du, logo: du d =, voltando à epressão acima e substituindo: 6 du sen 6 d == sen u = sen u du = cos u + C = cos 6 + C EXEMPLO d =? 5 Use como substituição 5 = u, daí d = du e portanto: d 5 dt = = ln t + C = ln 5 + C t EXEMPLO e d =? + e Use como substituição + e = u, daí e + e EXEMPLO 5 ed dt d = = ln t + C = ln + e + C t = due portanto: cos d=? Tente = u: 7

28 d = du, logo: du d =, voltando à epressão acima e substituindo: du du cos = cos = cos = cos = + = + d u u udu senu C sen C EXEMPLO 6 d =? + Faça agora + = u: du d = du, daí: d =, portanto: du du du d = = = = ln u + C = ln + + C + u u u Será que você sacou? ABRA OS OLHOS: Na integral + ) e derivamos, aparece a outra epressão ( na verdade, a outra epressão seria apenas, e é por isso que se costuma dizer que temos a outra epressão a menos de um fator constante ). Mas você já sabe que a constante multiplicando não atrapalha, pois pode sair da integral. d quando substituímos alguma epressão por u ( no eemplo + = u Se ligue no próimo eemplo: EXEMPLO 7 sen d cos =? E agora? Qual a melhor substituição? Pense um pouco! Arrisque! Se você tentar sen = u... não dá! Pode conferir que o negócio vai ficar pior! Qual o problema? Se não deu, tente outra substituição! Que tal cos = u, daí: sen d = du, du portanto d =, sen assim 8

29 sen == sen du = du = u + u d u du = u du = + C = + C = + C = + C cos u sen u + u cos EXEMPLO 8 + = d? Se tentarmos + = u, ao derivarmos, não aparecerá o outro termo, isto é, o. E aí? Vamos tentar = u, daí: du d =, portanto: = du = du = + = u + u d arctg u C arctg C Nos eemplos que seguem, a representa um número real ( constante ) diferente de zero: EXEMPLO 9 d a + =? Faça = t a ( conseqüentemente t = ), logo d = adt, portanto: a d = adt adt a dt dt = = = = arctg t + C = arctg + C + a ( ta) a a t a a t a t a a a EXEMPLO 0 Considere agora a > 0 : d a =? Faça a mesma substituição anterior, isto é: ( ta) = t a, logo d = adt, daí: d adt adt adt dt = = = = = arcsent + C = arcsen C + a a a t a a t t a 9

30 EXEMPLO tg d =? sen Note que, pela definição de tangente, podemos escrever: tg d = d cos substituição cos = t temos que sen d = dt, fazendo os cálculos, você encontrará: sen tg d = d = ln cos + C cos EXEMPLO cotg d=?. Portanto, fazendo a Note que, pela definição de cotangente, podemos escrever: a substituição sen = t temos que cos d = dt, daí: cos cotg d = d. Portanto, fazendo sen cos cotg d = d = ln sen + C sen OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Precisaremos de dois resultados que já foram demonstrados quando estudamos derivadas: O primeiro deles é: d ± a = + ± ln a + C. d a O segundo é = ln + C. a a + a VAMOS AGORA AMPLIAR A NOSSA TABELA DE INTEGRAIS: TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS n+ n ) Se n : d = + C ; n + d ) d = d = = ln + C ; a ) ad= + C, como caso particular, temos: ln a ed = e + C ; 0

31 ) cos d = sen + C ; 5) sen d = cos + C ; 6) d= arc tg + C ; + 7) d= arc sen + C ; 8) d = sec d = tg + C cos ; 9) d = cossec d = cotg + C sen 0) sec tgd. = sec + C; ) cosec.cotg d = cossec + C ; d ) = arctg C + ; a + a a ) d = arcsen C + a a ) d = ln + ± a ± a + C ; d a 5) = ln + C ; a a + a 6) tg d= ln cos + C; 7) cotg d = ln sen + C ; Resolva as integrais abaio, usando o método da substituição: ) ( ) d Re sp.: ( ) + C ; Re.: ( ) ) d sp + C ; 9 d ) 7 Re sp. : ln 7 + C ; ) 5) e d e d e Re sp.: + C ; e Re sp.: + C ;

32 Re.: ( ) 6) e e + d sp + e + C ; 7) 8) cos sen d 5 cos sen d Re sp.: cos + C ; Re.: 6 + ; 6 sp sen C sen 9) d cos 0) cos sen d Re sp.: C cos + ; Re sp.: cos + C ; ) sec d + tg Re sp.: ln + tg + C; ) d Re sp.: ( + ) + C ; + ) cos d sen Re sp.: + C ; ) +. d Re sp.: ( + ) + C ; 5) d + Re sp. : + + C ; ln( + ) 6) d + cos d 7) sen + Resp. : ln ( + ) + C ; Re sp. : sen + + C ; 8) sen()d + sen Resp. : + sen + C ; arcsen d 9) Resp. : arcsen + C ;

33 arctg d 0) + + ) d + + d ) ln ) ( ) d Resp. : arctg + C ; Resp. : ln C ; Re sp. : ln ln + C ; + + Re sp.: + C;.ln() ) sen sen( cos ) d Re.: cos( cos ) sp + C; 5) d + 9 Resp.ln C ; d 6) + Re sp. arctg(.) + C ; 7) d 6 9 Re sp. arcsen + C ; d 8) 9 + Re sp. ln + C. Resolva as seguintes integrais indefinidas: sen ( + ln ) a) d d c) (ln + ) + e b) + e + tg d) cos d d e) sen d + sen f) + e d + g) ( cos + ) d h) + d sen

34 sen ( ) cos ( ) i) ( ) d j) d 5 + l) + d m) e + d e + 6 d n) [ + ( ) + ( ) ] d o) tg cos RESPOSTAS a) cos (+ ln ) + C b) + e + C c) ln ln + + C d) tg + tg C e) + sen + C f) ln ( + ) + e + C g) 7 5 ( ) ( ) ( ) C h) arctg () + C sen i) 7 ( ) ( ) + C sen ( ) j) C 6 l) arctg + ln ( + ) + C m) e arctg + + C n) ( ) ( ) C o) tg ln ln ln + C ª ) INTEGRAÇÃO POR PARTES Será que agora que você está fera em calcular integrais pelos métodos vistos acima, você poderia resolver a integral abaio: ed =... Hum! Tá difícil, né! Pois bem, vamos aprender uma nova técnica para resolver integrais como essa. Você lembra da regra da derivada do produto? Vamos relembrar:

35 Se f ( ) = u( ) v( ) então f '( ) = u'( ) v( ) + u( ) v'( ), em outras palavras: [ ] u ( ) v ( ) ' = u'( ) v ( ) + u ( ) v'( ), que também pode ser escrita: [ ] u ( ) v'( ) = u ( ) v ( ) ' u'( ) v ( ), integrando ambos os membros, em relação a : u ( ) v '( d ) = ([ u ( ) v ( )]' u '( ) v ( )) d separando: u ( ) v '( ) d = [ u ( ) v ( )]' d u '( ) v ( ) d, como, por definição, [ ] u ( ) v ( ) + C, temos: u ( ) v ( ) ' d = u ( ) v '( d ) = u ( ) v ( ) + C u '( ) vd ( ), como na fórmula ao lado ainda há integrais a serem calculadas, podemos desprezar a constante C, obtendo assim: u ( ) v'( d ) = u ( ) v ( ) u'( ) vd ( ) A fórmula acima é colocada numa forma simplificada para melhor memorização: udv = uv v du Vamos fazer alguns eemplos para você se sentir mais seguro: EXEMPLO ed =? Você pode naturalmente perguntar... Quem faz o papel de u? e quem é dv? Vamos tentar u = e dv = e d ; diferenciamos ( ou derivamos ) a epressão que contém u e integramos a que possui dv. Assim:, prezados alunos, pode-se demonstrar que ao usarmos o du = d e dv = e d v = e + C método da integração por partes, ao calcularmos o valor da função v, podemos esquecer a constante, deste modo, ao invés de v= e + C, temos v= e. Voltando à fórmula udv = uv v du temos:, e d e e d e d e e = = + C ( Note que colocamos a constante C, apenas no final de todo o processo de integração ). Portanto: ed = e e + C. 5

36 Vamos fazer uma brincadeira? Que tal se nós seguíssemos o caminho errado? Isto é: u = e e dv = d diferenciando ( ou derivando ) a epressão que contém u e integrando a que possui dv, teremos: du = e d e fórmula udv = uv v du dv = d v = + C, esquecendo a constante, temos, obtemos: v =. Voltando à ed= e ed ed = e ed. Será que você está vendo que o negócio piorou??? Antes nós queríamos calcular, apenas ed =, mas agora nós caímos na integral ed ( observe que o epoente do aumentou ao invés de diminuir! ). Conclusão: É importante a escolha certa de u e de dv! A prática lhe trará mais segurança, portanto... eercite seus neurônios!!! EXEMPLO sen d =? Quem faz o papel de u? e quem é dv? Vamos tentar u = e dv = sen d ; diferenciando ( ou derivando ) a epressão que contém u e integrando a que possui dv teremos:, esquecendo a constante, temos v cos du = d e dv = sen d v = cos + C Voltando à fórmula udv = uv v du, obteremos: sen d = cos cos d sen d = cos + cos d sen d = cos + sen + C Portanto: sen d = cos + sen + C =. 6

37 EXEMPLO ln d =? E agora? quem faz o papel de u? e quem é dv? Vamos tentar u = ln e dv = d, assim: d du = e v=, utilizando a fórmula udv = uv v du : d ln d = ln ln d = ln d ln d = ln + C EXEMPLO arcsen d =? E aí? quem é u? e quem é dv? Vamos tentar u = arcsen e dv = d, assim: du = d : e v=, usando a fórmula udv = uv v du d arcsen d = arcsen e agora, como é que faz para calcular d? dt Faça por substituição, = t d= dt d=, deste modo: + d dt dt t t t = d = = = t dt = + C = + ( ) t + C = + C Finalmente: arcsen d = arcsen + + C 7

38 EXEMPLO 5 E se nós quisermos calcular ln d =? Vamos fazer em sala... Usando integração por partes, calcule as integrais abaio: ) cos d Re sp.: sen+ cos + C ; ) arctg d ) ln d sp arctg + + C ; Re.:. ln( ) Re sp.: ln + C; ) lnd Re sp.: ln + C; 5) 6) s en d Re.: cos cos sp + sen + + C ; e d Re sp.: e ( + ) + C ; 7) e cos d Re sp.: e ( sen + cos ) + C ; 8) 9) ( + ) ed Re.: sp e C + ; ( + )send ( ) Re sp.: cos + sen + C ; d Re sp.:. arctg ( ) ln ( 9 + ) + C ; 6 0) arctg ( ) ) arcsen ( ) d ( ) ( ) Re sp.: arcsen C ; ) d Re sp.: cotg() + ln sen() + C ; sen ) (6 + + ) ln d Re.:( ) ln ( ) sp C. 8

39 ª ) INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES DOS TIPOS A + B A + B d e d a b c a b c Observe que as integrais acima contêm trinômios do segundo grau. Para resolver tais integrais normalmente usamos o método de completar quadrados. Antes de ver os eemplos abaio lembre das integrais imediatas: d = arctg + C ; a + a a d = arcsen C + a a d = ln + ± a ± a + C ; d a = ln + C. a a + a ) ) ) ) EXEMPLO d + 9 =? Será que dá pra perceber que ( ) + 9= + 5? Se não deu, em sala agente conversa melhor! Deste modo: d d = E agora? Olhe para a integral imediata número ) acima! ( ) Dá para notar que com a substituição = u resolvemos nosso problema? Acompanhe: = u d= du daí: d du du u = = = arctg + C = arctg + C 5 u + 5 u ( ) ( ) 9

40 EXEMPLO d =? + 7 Note que + 7= ( + 7) = ( + ) = ( + ) Assim: d d ( ). = E aí? Compare com a integral imediata número ), acima. Usando a substituição + = u, teremos: + = u d= du, portanto: d d du d u = = = = arcsen + C = u u + arcsen + C EXEMPLO d =? + 7 ( ) ( ) Perceba que ( ) Conseqüentemente: + 7= +. d d =. Compare com a integral imediata número ), listada acima. ( ) Usando a substituição = u d= du, teremos: d d d d = = = = ln u+ u + + C = + 7 u + ( ) = ln C ( ) + u + ( ) 0

41 EXEMPLO d + =? Escrevendo ( ) + =, obteremos: d d = +. Compare com a integral imediata número ). ( ) Substitua = u d= du daí: d du du u = = = ln + C = ln + C u u+ + ( ) u ( ) EXEMPLO 5 d + =? Esta nós faremos em sala! EXEMPLO 6 ( + 7) d + =? Dever de casa! Calcule as integrais abaio ( observe os trinômios do segundo grau... ): d ) C sp. + Re : arctg + ; d ) C 6+ 5 sp. 5 Re : ln + ; ) ( + 5)d + + sp arctg + + C; Re.: ln. [ ( )] + ) d + Resp. : arcsen + C ; 5) ( + 5)d + + Re sp.: ln ( + ) + C.

42 ª ) INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES RACIONAIS Primeiramente vamos citar alguns resultados importantes: ) Sejam α, β, m e n números reais dados, com α β. Então eistem constantes A e B tais que: m + n A B = + ; α β α β a) ( )( ) m + n A B b) = + ( α ) α ( α ) APLICAÇÃO: d a Demonstre que = ln + C. a a + a. ( Algumas vezes é mais direto, substituir α = t ) ) Sejam α, β, γ, m, n, p, números reais dados, com α, β, γ distintos entre si. Então eistem constantes A, B e C, tais que: m + n + p A B C a) ( )( )( ) = + + α β γ α β γ ; m + n + p A B C b) = + + ( α )( β ) α β ( β ). ) Sejam α, a, b, c, m, n, p, números reais dados, tais que = b ac < 0. Então eistem constantes A, B e C, tais que: m + n + p A B + C = + ; a b c α a + b + c ( α )( + + ) VAMOS APLICAR OS RESULTADOS ACIMA NOS EXERCÍCIOS ABAIXO: EXEMPLO d 9 =? ( note que, na verdade, esta integral é imediata! ).

43 EXEMPLO d + anterior ). =? ( observe que podemos usar a estratégia de completar quadrados vista na seção EXEMPLO ( 5 ) d =? ( podemos também usar a estratégia de completar quadrados ). + EXEMPLO ( 7 ) ( ) d =? EXEMPLO 5 ( + ) d =? + EXEMPLO 6 ( + ) =? ( ) d EXEMPLO d =? EXEMPLO 8 + d =? + EXEMPLO d =?

44 EXEMPLO d =? EXEMPLO d =? EXERCÍCIOS: Resolva as integrais das funções racionais abaio: ) ) + d Re sp. + ln + + C ; + d ( + ) Resp. ln + C ; ( + )( + )( + 5) 8 5 ( + 5) ( + ) 6 d ) Re sp. + ln + C ; ( ) ( ) 8 d Re sp. + ln + C ; + ) 8 6 5) d 6 sp arctg C ; Re.: ln ln 6) ( + )d Re sp : arctg ln + ln + + C ( + )( ) + ; d Re sp. + arctg C ( + 9) + ; 8( + 9) 5 7) ( + )d 9 Re sp. + arctg C ( + 9) +. 8( + 9) 5 8)

45 5ª ) INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES IRRACIONAIS EXEMPLO Será que você está preparado para fazer esta integral. d? Algumas integrais onde há uma ou mais raízes podem ser resolvidas com o seguinte artifício: Faça = t, conseqüentemente, quadrando ambos os membros: = t +, logo d = tdt, substituindo na integral pedida: = t e é claro que ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 5 t. t + tdt = t + t dt = t + t + C = + + C 5 5 EXEMPLO d + =? Faça = t, conseqüentemente, quadrando ambos os membros: na integral pedida: = t logo d = tdt, substituindo tdt t = dt + t e agora? Lembre que: nas divisões de polinômios, quando o grau do numerador + t for maior ou igual ao grau do denominador, usualmente dividimos o numerador pelo denominador ( divisão de polinômios, sétima série... tudo bem, em sala nós resolveremos ). Assim: tdt t dt = dt = dt = dt = t ln + t + C = ln + + C + t + t + t + t que, como + é sempre positivo, não há necessidade do módulo, e a resposta pode ser: tdt ln( ) C + t = + +., note ATENÇÃO! Poderíamos também ter substituído + = t. Tente e veja que também dá certo! OS EXEMPLOS E QUE SEGUEM SERÃO FEITOS EM SALA: EXEMPLO + d =? ( + ) 5

46 EXEMPLO d? = Resolva as integrais das funções irracionais: ) d 9 Re sp.: + C ; 7 6 ) d ( ) ( ) 5 Re sp.: C 5 ; ) d Re sp.: ln + C ; + 9+ ) d + Re sp.: ln + C ; 5) + d + Re sp.: ln C ; + + 6) 7) 8) 9) ( + )d C ( + ) sp. Re : ln + arctg + ; d 6 Resp. : ln arctg + C ; 6 5 ( ) ( ) 6 + ( ).( + ) d 8 5 Resp. : ( + ) ( + ) + C ; 8 5 d 6 6 Resp. : 6 + 8ln( + ) + + C ; 6 6

47 LISTA DE CÁLCULO II DA PROFESSORA SIRLANE COELHO Com o intuito de relacionar mais eercícios para vocês, pedi à colega, Professora Sirlane para disponibilizar na internet a lista que ela elaborou. I) Resolva as integrais abaio por substituição: ) sen cos d Re.: + ; sp sen C ) d arcsen Re sp.: + C ; ) cos( ln ) d Re.: ( ln ) sp sen + C; ) ln ( cos ) tg d ( cos ) ln Re sp.: + C ; d ln 5) Re sp.: + C ; 5 ln 6) e sene d Re.: cos( ) sp e + C ; 7) 8) e d + e sec d + tg sp e + + C; Re.: ln Re sp.: ln + tg + C ; 9) + d Re sp.: ( + ) + C ; sp + + C ; 0) ( + ) sen ( + 6) d Re.: cos( 6) ) tg ( ) d ln cos Re sp.: ln + C; ) ( arcsen ) d arcsen Re sp.: + C ; 7

48 sen cos ) d Re sp.: ln sen+ cos + C; sen + cos d ) Re sp.: ln e + + C ; + e sen 5) d Re sp.: ln + cos + C; + cos sen sen a 6) a cos d Re sp.: C ln a + ; sec tg 7) d Re sp.: arcsen + C ; tg 8) d ( tg+ ) cos Re sp.: ln tg + + C ; 9) sec cos d Re sp.: + C ; 0) ( arcsen + ) d arcsen Re sp.: + C ; sp sen + + C ; ) cos( + ) d Re.: ( ) ) sen()d + sen Resp. : + sen + C ; ) d 6 9 Re sp. arcsen + C ; d ) 9 + d 5) 9 6) e d Re sp. arctg( ) + C ; 6 + Re sp. ln + C ; e Re sp.: + C. + ln 8

49 II) Resolva as seguintes integrais por partes: ) ed Re sp.: e e C + ; ) cos d sen cos Re sp.: + + C ; ) ln d Re sp.: ln + C; ) ln ( ln ) d ( ) Re sp.: ln ln ln ln + C; 5) arctg d sp arctg + + C ; Re.:. ln( ) 6) sec tg d Re sp.: sec ln sec + tg + C; 7) arcsen d 8) d 9) se n cosd Re sp.: arcsen + + C ; Re sp.: + + C ; ln ln ( ) cos sen Re sp.: + + C ; 8 0) d sen Re sp.:. cotg + ln sen + C ; cos ) d sen Re sp.:. cossec + ln cossec cotg + C ; ). arctg d Re sp.: arctg arctg + + C. III) Resolva as seguintes integrais: d ) Re sp.: arctg + C ; 9

50 ) d + Re sp.: arctg + C; ) d + ) d Re sp.: + C ; + Re sp.: arctg + C; 6 6 d 5) + sp arctg + C; Re.: ( ) 6) d ) ( +)d 5 6 Re sp.: ln + C ; 5 6 sp + + C. + 6 Re.: ln 5 6 ln IV) Resolva as integrais por frações parciais: ) ) ( + ) d Re.: 7ln 9ln 5+ 6 sp + + C; ( + ) d Re.: 5 ( ) ( ) ( ) sp + C; d ) + d ( + ) ) d 5) sp + + C ; Re.: ln ln sp C ; Re.: ln ln ( + ) Re sp.: ln + ln + ln + + C ; 6 6) d ( + ) Re sp.: ln + ln + + C ; d 7) - Re sp.: ln ln + arctg + C. 50

51 V) Resolva as integrais das funções irracionais: ) + d sp C ; 5 5 Re.: ln ) + d + Re sp.: ln C ; + + ) + d Re.: ln sp + + C; ) d Re sp.: ln + C ; ) d C Re sp. 9 : INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ) Integrais da forma: cos m.cos n d ; sen m. sen n d e sen m.cos n d Da trigonometria do segundo grau, temos as fórmulas abaio: cos m.cos n d = cos( m + n) + cos( m n) d ; sen m. sen n d = cos( m + n) + cos( m n) d ; sen m.cos n d = sen( m + n) + sen( m n) d. EXEMPLOS a) cos.cos 7d; b) sen. sen d ; c) sen.cos d. 5

52 cos. send. Usualmente, a substituição conveniente é cos = t ; ) Integrais da forma: R( sen ).cos d. Usualmente, a substituição conveniente é sen = t ; ) Integrais da forma: R ( ) EXEMPLOS ( para os casos e ) cos d a) ; b) sen cos d sen ( quebre cos como cos.cos ); c) sen d. + cos m ) Integrais da forma: tg d.. Normalmente, a substituição conveniente é tg = t. Note que dt = arctgt d=. + t EXEMPLOS a) d tg d ; b) ; c) cot g tg d. m n 5) Integrais da forma: sen.cos d em que pelo menos um dos epoentes naturais m ou n é um número ímpar. Normalmente, a substituição conveniente é sen = t ( se n for ímpar ) ou cos = t ( se m for ímpar ). Lembre que sen + cos =. EXEMPLOS a) sen.cos d ; b) sen.cos d ; c) 5 sen.cos d. n m 6) Integrais da forma: R( sen ) EXEMPLOS,cos. d, onde as potências de sen e cos são pares. Normalmente, a substituição conveniente é tg = t que tem como conseqüência: dt t = arctg t d =, sen = e cos + t + t = + t. d d d sen a) ; b) sen ; c) sen ; d) 6 cos d. cos 5

53 7) Integrais da forma: n m sen.cos d onde as potências de sen e cos são números não cos + cos negativos e pares. Normalmente, usa-se sen = e / ou cos =. EXEMPLOS a) sen d ; b) cos d ; c) sen.cos d.,cos. d. Usualmente, a substituição conveniente é tg chamada substituição universal, pois quando o bicho pega normalmente usamos esta 8) Integrais da forma: R( sen ) EXEMPLOS dt substituição ), que tem como conseqüência: = arctg t, d = + t, t sen = e + t t cos =. + t = t ( a) d ; b) sen d ; c) sen + cos d ; d) 5cos d ; e) + 5cos sen d. + sen 9) Integração de certas funções irracionais por meio de substituições trigonométricas. Quando as funções irracionais são do tipo positiva. As substituições sugeridas são: a ; a + ; a onde a é uma constante Para a, usar = asent. ; Para a +, usar = atgt. ; Para a, usar = a.sec t. EXEMPLOS a) a d ; b) d; c) d ; d) + a d ; e) d. 5 ( + ) 5

54 Lista de eercícios ) cos.cos 7 d ) sen.cos d ) sen.sen d ) sen 5.sen d 5) sen.cos 5 d cos 6) d sen sen sen Re sp.: + + C ; 6 cos 5 cos Re sp.: + C ; 0 sen sen Re sp.: + + C ; 8 sen8 Re sp.: sen + C ; cos6 cos Re sp.: + + C ; 8 Re sp.: + C ; sen 7) cos sen d Re ; sp. : cos sec cos sec + C 8) sen d + cos ( + cos) ( ) ( ) Re sp.: + cos + ln + cos + C; 9) sen + sen d Re sp.: + sen + C ; Sugestão: faça + sen = t. 0) ) ) tg d tg d sen cos d d ) sen tg Re sp.: tg + + C ; tg Re sp.: + ln cos + C ; 5 cos cos Re sp.: + + C ; 5 tg Re sp.: arctg + C ; 5

55 ) sen cos d sen sen Re sp.: + C ; d 5) sen Re sp.: C tg tg + 6) 7) 8) sen cos 6 d sen d sen cos d 5 tg tg Re sp.: + + C; 5 sp + C ; Re : cos cos 5 Re sp: sen sen + C; 5 9) sec d + sen Re sp : ln sen + C ; 0) ) ) sen d cos sen d sen.cos d 5 Re sp.: cos + + C; 5 cos sen 6 Re sp.: + C ; sen Re sp.: + C ; 8 ) d tg Re sp.: ln ln( + ) tg tg + C ; d ) sen + tg tg Re sp.: cot g + arctg C + ; 5) 6) sen + cos d Re.: tg sp arctg + C; sen d Re sp.: + + C ; + sen + tg 55

56 d 7) Re sp.: ln tg + C, ou, ln cossec cotg + C ; sen 8) d 5sen tg Re sp.:.ln tg + + C ; 9) d Re sp.: ln tg( / ) + C; sen + cos 0) d + Resp. + : + C ; a ) d C Resp. a : arcsen + ; a ) d Resp.: arcsen + + C ; ) d + + Re sp.: + C; a ) d C Resp. a : a a.arccos +. 56

57 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Dada a função y =, fiemos b e tomemos a área A ( b ) da região do plano limitada pelo gráfico da função, o eio O e as retas = e = b ( figura abaio ). Temos então que b d = = = b. ( ) Ab b A área da figura limitada pelo gráfico da função, o eio O e a reta = ( veja a figura abaio ) é dada por Ab ( ) = lim Ab ( ) lim 0 b + = = = b + b 57

58 DEFINIÇÃO : Seja y = f ( ) uma função contínua em [, ) de f em [ a, + ) converge e é igual a lim ( ) a +. Dizemos que a integral imprópria b I = f d b + caso este limite eista ( seja finito ), a caso contrário dizemos que a integral imprópria de f em [ a, + ] diverge. + I = f d. Por comodidade, usaremos a notação: ( ) d OBSERVAÇÃO: No eemplo anterior, I = converge e I =. b b b De modo análogo definimos I = f ( ) d, assim ( ) lim ( ) APLICAÇÃO: Estude a convergência das integrais impróprias: a + I = f d= f d a a. a) + d I = ( resposta: diverge, fazendo as contas, acharemos pois I = + ); b) I = 0 d ( resposta: converge, pois + π I = ). DEFINIÇÃO : Seja y = f ( ) uma função contínua em. Tomemos a um número qualquer. Dizemos que a integral imprópria de f em converge e é igual a = ( ) + ( ) a + caso I f d f d estas integrais sejam ambas convergentes. Caso contrário ( isto é, se pelo menos uma dessas integrais divergir ) dizemos que a integral imprópria de f em diverge. + I = f d. Por comodidade, usaremos a notação: ( ) OBSERVAÇÃO: pode-se demonstrar que a definição acima independe do número real a considerado. Estude a convergência das integrais impróprias: + d a) I = ( resposta: converge, pois I = π ); + a 58

59 b) + I = e d ( resposta: converge, neste caso I = 0 ). EXERCÍCIOS DIVERSOS º) Determine as seguintes integrais indefinidas: 5 e a) tg. ln (cos ) d b) + e 0 d c) e d d) sen. cos d + d 6 + º) Determine () f, sabendo que f é uma função derivável, f é contínua, ( ) ( + ) f '( ) d = + C, com C constante real. π f = e que º) Utilize integral definida para calcular o valor da área de cada região indicada: a) b) º) Determine as integrais indefinidas utilizando o método da substituição (mudança de variáveis): a) ( + ) 5 d b) cos. sen d c) sen( ) d 5º) Determine f (), sabendo que d) d + 5 f '( ) = + e ( ) f ( ) =. 59

60 6º) Determine o valor da área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas abaio: a) y =, = + y. b) y =, = 0, y = º) Calcule as seguintes integrais indefinidas: 7.) + d / / e sen 7.) ( e + ) d + d 7 cos ) Calcule as integrais: LISTA DE CÁLCULO II a) e lnd ; b).ln d ; c) e d ; d).ln e. e d. ) Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem: + d d a) ; b) I = + ; c) sen d ; e) 0 + d. ) Determine a área da região limitada pela curva y = +, o eio O e as retas = e =. ) Encontre a área limitada por y = sen e o eio O de 0a π. 0 60

61 5) Determine a área da região limitada pelas curvas y = e y = +. 6) Determine a área da região limitada pelas curvas y = e y = +. 7) Determine a área da região limitada por y = ln e =. 8) Determine a área da região limitada pelas curvas y=. e + y = 5. 9) Calcule a área da região limitada pelas curvas y = e y = e as retas = 0 e =. 0) Encontre a área limitada por y =, y = o eio Oy e a reta =. ) Determine a área da região limitada pelas curvas y =. = e y ) Ache a área limitada pela curva y = a + a e o eio O. ) Encontre a área limitada pela parábola y = e a reta y = 5 o eio O e a reta =. ) Encontre o volume do sólido formado pela rotação, em torno do eio O, da superfície contida entre as parábolas y = e y =. 5) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eio O, da região limitada por y = e, 0 e y = 0. 6) Determine o volume gerado pela rotação, em torno do eio O, da região limitada por y = > 0, o eio O e a reta =. ( ) 7) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eio O, da região limitada por y = + e a reta y = +. 8) Encontre, por integração, o volume de um cone reto, de altura h unidades e raio da base r. 6