Apostila de. Centro de Ciências Técnológicas - CCT Departamento de Matemática - DMAT

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1 Centro de Ciências Técnológicas - CCT Departamento de Matemática - DMAT Apostila de Home page: Apostila editada pela Profa. Eliane Bihuna de Azevedo, com contribuições dos Profs. Dario Noli e Elisandra Bar de Figueiredo. Joinville, fevereiro de 05.

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3 3 Formulário Círculo Trigonométrico: Adaptado de: Acesso: 5//0. Funções trigonométricas: Hip CO θ CA. Seno: sen() = CO Hip ; 3. Tangente: tg() = CO CA = sen () cos () : CA. Cosseno: cos () = Hip ;

4 4 Relações Trigonométricas:. sen () + cos () = ;. tg () + = sec () ; 3. +cotg () =cossec () ; 4. sen(a b) = sen(a) cos (b) sen(b) cos (a) ; 5. cos(a b) = cos (a) cos (b) sen(a) sen(b) ; 6. sen() = sen() cos () ; 7. cos () = cos () sen (); 8. sen () = cos (); 9. cos () = + cos (); Propriedades de Logarítmos:. log a (a) = ;. log a = 0; b 3. log a (bc) = log a b + log a c; 4. log a = log c a b log a c; 5. log a (b c ) = c log a b; 6. log b a = log c a log c b ; Propriedades de Eponenciais:. a b+c = a b :a c ;. a bc = a b c = (a c ) b ; cp 3. ab = a b c ; 4. np p ab = n r a: np b; n a np a 5. b = np ; 6. a log a b = b: b Funções Hiperbólicas:. Seno Hiperbólico: senh() = e e ;. Cosseno Hiperbólico: cosh () = e + e : Relações para Funções Hiperbólicas:. cosh () senh () = ;. senh() + cosh () = e ; 3. cosh () senh() = e ;

5 5 4. tgh () = sech () ; 5. cotgh () =cossech () ; 6. senh( + ) = senh() cosh () + cosh () senh() ; 7. cosh ( + ) = cosh () cosh () +senh() senh() ; 8. senh() = senh() cosh () ; 9. cosh () = cosh +sinh () ; 0. senh =. cosh = cosh () ; cosh () + : Função Par: f () = f ( ) Função ímpar: f ( ) = f () Função Periódica: f ( + T ) = f () Limites Notáveis: sen (u) cos (u). = ;. = 0; u!0 u u!0 u 3. + u a = e; 4. u! u u = ln a: u!0 u Formas Indeterminadas ou Indeterminações: 0 0,, 0, +, 00, e 0 : De nição de Derivada: f 0 f ( + ) () =!0 f () : Aproimação Linear Local: f ( 0 + ) ' f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) :

6 6 Tabela de Derivadas Sejam u = u () e v = v () funções deriváveis e n R. Função Derivada. = u n 0 = nu n u 0 ;. = uv 0 = u 0 v + v 0 u; 0 = vu0 uv 0 v ; 3. = u v 4. = a u, a > 0 e a 6= 0 = u 0 :a u ln a; 5. = e u 0 = u 0 e u ; 6. = log a u, a > 0 e a 6= 0 = u0 u a e; 7. = ln u 0 = u0 8. = sen(u) 0 = u 0 cos u; 9. = cos u 0 = u 0 sen(u); 0. = tg(u) 0 = u 0 sec (u);. = cotg(u) 0 = u 0 cossec (u);. = sec (u) 0 = u 0 tg(u) sec (u); 3. = cossec(u) 0 = u 0 cossec(u)cotg(u); 4. = senh(u) 0 = u 0 cosh (u); 5. = cosh u 0 = u 0 senh(u); 6. = tgh(u) 0 = u 0 sech (u); 7. = cotgh(u) 0 = u 0 cossech (u); 8. = sech(u) 0 = u 0 sech(u)tgh(u); 9. = cossech(u) 0 = u 0 cossech(u)cotgh(u) ; 0. = arcsen(u) 0 =. = arccos u 0 = u 0 p u ; u 0 p u. =arctg(u) 0 = u0 + u ; 3. =arccotg(u) 0 = 4. = arcsec u, juj 0 = u 0 + u ; u 0 juj p, juj > ; u 5. =arccossec(u), juj 0 = juj p, juj > ; u 6: =argsenh(u) 0 u 0 = p u + ; 7. =argcosh(u) 0 = u 0 u 0 p u, u > ; 8. =argtgh(u) 0 = u0, juj < ; u 9. =argcotgh(u) 0 = u0, juj > ; u 30. = argsech(u) 0 = 3. = argcossech(u) 0 = u 0 u p u, 0 < u < ; u 0 juj p, u 6= 0: + u

7 7 Tabela de Integrais Imediatas. R u n du = un+ + c, n 6= ; n +. R du u = ln juj + c; 3. R a u du = au + c, a > 0 e a 6= ; ln a 4. R e u du = e u + c; 5. R sin (u) du = cos u + c; 6. R cos (u) du = sin u + c; 7. R sec (u) du = tg(u) + c; 8. R cossec (u) du = cotg(u) + c; 9. R sec (u) du = ln jsec (u) + tg (u)j + c; 0. R cossec(u) du = ln jcossec (u) cotg (u)j + c;. R du u + a = u a arctg + c. a

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9 Capítulo Números Reais, Intervalos e Funções Objetivos Identi car os conjuntos numéricos; Conhecer e aplicar as propriedades relativas à adição e multiplicação de números reais; Utilizar as propriedades relacionadas com as desigualdades estritas e não estritas; Operar com equações e inequações com e sem valor absoluto; Determinar o campo de de nição de uma função; Operar com funções; Obter funções compostas; Identi car funções pares, ímpares e periódicas; Determinar a inversa de uma função; Esboçar grá cos de funções usando translação; Reconhecer os tipos de funções: polinomiais; racionais; irracionais; potenciais; eponenciais; logarítmicas; trigonométricas; hiperbólicas; e hiperbólicas inversas;

10 0. Números Os primeiros números conhecidos foram os Números Contáveis, ou seja, o conjunto dos Números Naturais, representado por N, isto é: N = f0; ; ; 3; :::g: As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números negativos, assim: + a = b ) = b a, onde a e b são números naturais. Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos Números Inteiros, representado por Z, isto é: Z = f:::; 3; ; ; 0; ; ; 3; :::g: A resolução de equações do tipo a = b ) = b a, com a e b números inteiros onde a não é nulo, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta forma, os números da forma b com a e b números inteiros e a 6= 0 a formam um conjunto de números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais in nitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por =. São eemplos de números irracionais:, e, p, p p 3, 5,... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos Números Reais, representado por R Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas de nições e propriedades fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades são tiradas dos aiomas e teoremas., satisfazendo as propriedades: De nição : Soma: 8a; b R ) 9 (a + b) R Produto: 8a; b R ) 9 (a:b) R. Comutativa: 8a; b R ) a + b = b + a a:b = b:a ;

11 a + (b + c) = (a + b) + c. Associativa: 8a; b; c R ) a: (b:c) = a: (b:c) ; 3. Eistência de elemento neutro: 8a R; 90 R = a + 0 = 0 + a = a 8a R; 9 R = a: = :a = a ; 4. Elemento oposto: 8a R; 9 a R = a + ( a) = ( a) + a = 0; 5. Elemento inverso: 8a R e a 6= 0, 9 a R = a: (a ) = (a ) :a = ; 6. Distributiva: 8a; b; c R ) a: (b + c) = a:b + a:c. De nição : Subtração: 8a; b R ) 9 (a b) R: De nição 3: Divisão: 8a; b R e b 6= 0; 9 a b R:. Desigualdades Aioma de Ordem: No conjunto dos números reais, eiste um subconjunto, R +, dito reais positivos, tais que:. se a R, eatamente uma das três a rmações é verdadeira: a = 0, a é positivo ou a é positivo;. a soma e o produto de reais positivos é um número real positivo; De nição 4: O número real a é negativo se, e somente se, De nição 5: Desigualdade Estrita Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são de nidos por: i. a b se, e somente se, a b é positivo. a é positivo. De nição 6: Desigualdade Não Estrita Os símbolos (menor ou igual) e (maior ou igual) são de nidos por: i. a b se, e somente se, a b ou a = b. As desigualdades de nidas acima, satisfazem as propriedades:. a > 0 se, e somentes se, a é positivo;. a < 0 se, e somentes se, a é negativo; 3. a > 0 se, e somentes se, a é negativo;

12 4. a < 0 se, e somentes se, a é positivo; 5. Transitiva: Se a b:c; 0. Se 0 < a b e b > c, então a > c;. Se a > b e c R, então a + c > b + c; 3. Se a > b e c > d, então a + c > b + d; 4. Se a > b e c R +, então a:c > b:c; 5. Se a > b e c R, então a:c < b:c; 6. Se a > b > 0 e c > d > 0, então a:c > b:d; 7. Se a < b, com ambos positivos ou negativos, então > : a b De nição 7: R = f R : 6= 0g R + = f R : 0g R + = f R : > 0g R = f R : 0g R = f R : < 0g.3 Intervalos De nição 8: Intervalos são conjuntos in nitos de números reais. Geometricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eio coordenado. Por eemplo, se a < b, então o intervalo aberto de a a b, denotado por (a; b), é o segmento de reta que se estende de a até b, ecluindo-se os etremos; e o intervalo fechado de a até b, denotado por [a; b], é o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se os etremos. Estes intervalos podem ser epressos na notação de conjuntos como. (a; b) = f R = a < < bg; [a; b] = f R = a bg.

13 3 Um intervalo pode incluir um etremo, mas não outro. Estes intervalos são chamados semi-abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Além disso, é possível um intervalo estender-se inde nidamente em uma ou em outra direção, escrevemos + no lugar do etremo direito, e para indicar que o intervalo se estende inde nidamente na direção negativa, escrevemos, no lugar do etremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois números reais são chamados de intervalos nitos, enquanto que os que se estendem inde nidamente em uma ou em ambas as direções são chamados de intervalos in nitos. Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Classi cação (a; b) f R = a < < bg Finito; aberto [a; b] f R = a bg Finito; fechado [a; b) f R = a < bg Finito; semi-aberto (a; b] f R = a < bg Finito; semi-aberto ( ; b] f R = bg In nito; fechado ( ; b) f R = < bg In nito; aberto [a; +) f R = ag In nito; fechado (a; +) f R = > ag In nito; aberto ( ; +) R In nito; aberto e fechado. 3 0; Solução: Eemplo : Determinar os valores de que satisfazem a desigualdades: Subtraindo-se 0 em ambos os lados, obtém-se a inequação: 3 0 0: () As raízes da equação 3 0 = 0 são e 5. Estas raízes dividem o eio coordenado em três intervalos abertos: ( ; ) ; ( ; 5) e (5; +) : Analisando os sinais de 3 0 = ( + ) ( 5) em cada intervalo, temos que: Intervalo Ponto de teste Sinal ( + ) ( 5) no ponto de teste ( ; ) -3 ( ) ( ) = + ( ; 5) 0 (+) ( ) = (5; +) 6 (+) (+) = + Portanto, a solução da desigualdade () é S = [ ; 5] :. 5 < () Solução: Condição de eistência de solução: 6= 0 ) 6= : Observe que pode ser positivo ou negativo. Assim, temos casos a serem analisados: Caso: Para < 0, ou seja, <, temos que:

14 4 Multiplicando () por, temos que: 5 < ) ( 5) ( ) > ) > 0: () Resolvendo a equação = 0 conclui-se 7+p 7 = : e 7 p 7 = 4 4 0:79 são suas raízes Analisando os intervalos ; 7 p 7 7, 7; 7 7+ e 7; + ; obtém-se que a solução da desigualdade () é I = ; 7 p 7 7+ [ 7; + : 4 4 Dessa forma, neste intervalo, a solução é S = I \ ( ; ) ) S = : ; 7 p 7 4 Caso: Para > 0, temos que: Multiplicando () por, temos que: 5 < ) ( 5) ( ) < ) < 0: 7 A solução dessa desigualdade é I = p 7; 7+p 7 : 4 4 Logo, neste intervalo a solução é S = I \ (; +) ) S = ; 7+p 7 4 Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S ) S = [. ; 7 p 7 4 ; 7+p 7 4 :.4 Valor Absoluto De nição 9: O valor absoluto ou módulo de um número real é representado e de nido por: jj = ; se 0 ; se < 0 : Vemos que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo. Geometricamente, o valor absoluto de um número real é sua distância do ponto de origem, independentemente de sua direção. Eemplo : j7 4j = j3j = 3 e j4 7j = j 3j = 3: Vemos que j7 4j = j4 7j é a distância entre 4 e 7 sem a preocupação com qual dos números é maior..4. Propriedades do Valor Absoluto Sejam e dois números reais.. jj 0;

15 5. jj ; 3. j j = jj; A demonstração da cada uma das propriedades acima, decorre diretamente da de nição. 4. jj = e jj = p ; Demonstração: (a) Se 0, então da de nição vem que, j j = jj que veri ca a proposição; (b) Se < 0, então da de nição vem que, j j = jj e ( ) =, de onde jj = e, por conseguinte, jj = p. 5. jj = jj : jj; Demonstração: Pela propriedade 4, temos que: jj = 6. Desigualdade triangular: j + j jj + jj; Demonstração: Pela propriedade 4, temos que: j + j = ( + ) = jj + ) j + j jj + jj + jj = (jj + jj) ) j + j jj + jj. q () = p : p = jj : jj : 7. jj jj j j ; Demonstração: Fazendo = + e da propriedade 6; segue que: jj = j + j j j + jj : Somando jj a ambos os lados, temos que: jj jj j j : 8. jj jj j + j ; Demonstração: Fazendo = + e da propriedade f vem que jj = j + j j + j + j j = j + j + jj : Somando jj a ambos os lados, temos que:

16 6 jj jj j + j : 9. j j jj + jj ; Demonstração: Observe que: j j = j + ( )j jj + j j jj + jj : 0. = jj, com 6= 0. jj Demonstração: Note que: = : = jj : = jj : jj = jj jj. Seja a um número real positivo, então: (a) jj < a se, e somente se, a < < a; (b) jj a se, e somente se, a a (c) jj > a se, e somente se, < a ou > a; (d) jj a se, e somente se, a ou a. Demonstração: Somente do caso (a) Inicalmente, provaremos que jj < a se a < < a: i: Se > 0 ) jj =, uma vez que < a teremos jj < a; ii: Se < 0 ) jj =, uma vez que, mas < a teremos < a, mas j j =, então jj < a: Portanto jj < a se a < < a: Agora, mostraremos que jj < a somente se a < < a: i: Se 0, como jj = a, teremos < a, como a > 0 e a < 0, então a < 0 < < a de onde vem que a < < a. ii:se < 0 ) jj =, como jj < a teremos que < a e com > 0, então a < 0 < < a ou a < < a, de onde vem que a < < a: Portanto, jj < a se, e somente se, a < < a: Observação : A demonstração dos casos (b), (c) e (d) é análoga. Eemplo : Resolva a equação j 3j 4 j 3j = :

17 7 Solução: De nindo u = j 3j, temos que a equação acima pode ser escrita como u 4u = 0 () As raízes da equação () são e 6.? Para u =, segue que: j 3j =. Absurdo!!!! Por propriedade de módulo jj 0:? Para u = 6, segue que: j 3j = 6 () Pela de nição de módulo, temos que 3, se 3 j 3j = ( 3), se < 3 : o Caso: Se 3; temos que: 3 = 6 =) = 9 Como 9 [3; +), segue que uma solução é S = f9g : o Caso: Se < 3; temos que: + 3 = 6 =) = 3 Como 3 ( ; 3], segue que uma solução é S = f 3g : Portanto, a solução é S = f 3; 9g : Eemplo 3: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade j 5j < j + j : Solução : Elevando ao quadrado ambos os lados e usando a propriedade 4, temos que: j 5j < j + j ) ( 5) < ( + ) ) < + + ) > 4, ou seja, > : Solução : Pela de nição de módulo, temos que: 5; se 5 j 5j = e j + j = + 5; se < 5 + ; se ; se <. Caso: Se <, temos que: j 5j < j + j ) + 5 < ) 5 < :Absurdo!!! Logo, não há solução para <, isto é, S 0 = fg. Caso: Se < 5, temos que: j 5j < j + j ) + 5 < + ) < 4 ) < : Logo, a solução neste intervalo é S = (; 5) : 3 Caso: Se 5, temos que: j 5j < j + j ) 5 < + ) 5 <. Como a desigualdade é satisfeita para qualquer 5, temos que a solução é todo (5; +), ou seja, S = (5; +) : Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S 0 [ S [ S = (; +).

18 8 Eemplo 4: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade j j < : () Solução: Condição de eistência de solução: 6= Pela de nição de módulo, temos que: ; se j j = ( ) ; se < : Observe que pode ser positivo ou negativo. Assim, temos 3 casos a serem analisados: Caso: Se <, temos que: que: Para < ; temos que < 0. Assim, multiplicando () por, temos j j < ) ( ) ( ) > ) > 0: Resolvendo a inequação > 0: () Observe que = e = 3 são raízes da equação = 0: Dessa forma, analisando os intervalos ( ; ), ; 3 e 3 ; +, conclui-se que a solução da inequação () é I = ; 3. Logo, neste intervalo não há solução, pois I \ ; = fg: Caso: Se <, temos que: Para <, temos que < 0. Assim, multiplicando () por, temos que: j j < ) ( ) ( ) > ) 5 + > 0: Resolvendo a inequação 5 + > 0: (??) Observe que 5+p 7 e 5 p 7 4 são raízes da equação 5 + = 0: Dessa 4 forma, analisando os intervalos ; 5 p 7 5, p 7; 5+p 7 5+ e p 7; +, concluise que a solução da inequação () é I = ; 5 p [ p 7; Logo, neste intervalo a solução é S = I \ ; ) S = fg : 3 Caso: Se >, temos que: que: Para > ; temos que > 0. Assim, multiplicando () por, temos j j < ) ( ) ( ) < ) 5 + < 0: A solução da inequação < 0 é I 3 = p 7; 5+p 7 : 4 4 Logo, neste intervalo é S 3 = I 3 \ (; +) ) S 3 = : ; 5+p 7 4 Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S [ S 3 ) S =. ; 5+p 7 4 Eemplo 5: Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade

19 j j < 4: Solução: Condição de eistência de solução: ) 6= : Pela de nição de módulo, temos que: Resolvendo a inequação = ; se > 0 ( ) ; se < 0 : > 0, obtém-se que: = ; se < ou > ( ) ; se < < : Observe que: = ( 4)( ) < 4: (#) j j j j Temos dois casos a serem analisados. Caso: Se > 0: Aplicando a de nição de módulo em (#), temos que: 4 4 < 0: A solução dessa inequação é I = p ; + p. Logo, a solução é S = I \ [( ; ) [ (; +)] ) S = ; + p : Caso: Se < 0: Aplicando a de nição de módulo em (), temos que: > 0: A solução dessa inequação é I = ; p [ + p ; +. Logo, a solução é S = I \ ( ; ) ) S = + p ; : Portanto, a solução da desigualdade é a união das soluções acima, ou seja, S = S [ S ) S 3 = + p ; [ ; + p..5 Função De nição 0: Sejam A e B dois subconjuntos de R. Uma função f : A! B é uma lei (ou regra) de correspondência entre dois conjuntos não vazios, tal que a cada elemento de A se associa um único elemento de B. O conjunto A é chamado de domínio de f e é denotado por Df, B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f. Denotamos por,

20 f : A! B! f () Eemplo 6:. A área do quadrado (A) é função do comprimento do lado (l), ou seja, A = l... A distância que alguém percorre (d) depende do tempo gasto (t). Representamos por d = d (t) : De nição : Seja f : A! B:. Dado A, o elemento f () B é chamado de valor da função f no ponto ou de imagem de por f:. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de conjunto imagem de f e é denotado por Im f:.5. Formas de Epressão das Funções. Forma Tabular: a correspondência entre os elementos é dada por meio de uma tabela. Por eemplo, se f ( o ) = 0, f ( ) =, f ( ) =,, f ( n ) = n : Eemplo 7: (a) Tábuas de logaritmos; (b) Tabelas trigonométricas. o n = f () 0 n. Forma Grá ca: A função pode ser escrita de duas formas: (a) Diagrama de Ven-Euler: As echas indicam que a correspondência é do conjunto A para o conjunto B. A 3 4 f B

21 Observe que: Domínio de f: Df = A; Contradomínio de f: B; Imgem de f : Im f = f; 3; 5; 7g : (b) Diagrama Cartesiano: As retas e são perpendiculares; é chamado eio das abscissas e o eio das ordenadas Forma Analítica: A função é escrita, segundo uma lei, denotada por = f (). Eemplos: (a) f () = ; Domínio: Df = R; Imagem: Im f = [0; +). (b) g (t) = t t 4 Domínio: Dg = ft R : t 6= g ) Dg = R f ; g; Imagem: Im g = R. (c) h () = p Domínio: Dh = f R : 0g ) Dh = f R : ou g ) Dh = ( ; ] [ [; +); Imagem: Im h = [0; +). Na forma analítica, a segunda variável,, a qual se pode atribuir valores arbitrários dentro dos ites impostos pela natureza do problema, é dita variável independente ou argumento da função, e a primeira variável cujo valor é determinado quando se dá valores à variável independente é dita variável dependente ou simplesmente função. Observação:Uma maneira rápida de saber se a curva C dada representa ou não uma função é através do teste da reta vertical. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim, C só representa o grá co de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva C no máimo em um ponto. Na gura abaio, C respresenta o grá co de uma função, enquanto a curva C não representa.

22 C C.5. Operações com Funções De nição : Dadas as funções f e g. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são de nidas por:. (f g) () = f () g () ;. (f:g) () = f () :g () ; 3. f g () = f(), para g () 6= 0:: g() O domínio das funções f g e f:g é a interseção dos domínios de f e g. O domínio de f é a interseção dos domínios f e g, ecluindo-se os pontos onde g () = 0. g Eemplo 8: Sejam f () = e g () = p Determine as funções f g, f:g e f e seus domínios. g Solução: Pela de nição acima, temos que: (f g) () = p 5 + 6; (f:g) () = ( ) p 5 + 6; () = f g p 5+6. Como Df = R e Dg = ( ; ] [ [3; +), então o domínio de f g e f:g é ( ; ] [ [3; +). O domínio de f é ( ; ) [ (3; +). g Observação: Deve-se tomar cuidado, pois nem sempre a interseção dos domínios das funções é o domínio das funções resultantes. Por eemplo, se f () = p e g () = p o domínio da função h () = (f:g) () = é Dh = Df \ Dg = [0; +) e não R (que aparentemente seria o domínio da função h ()). O grá co da função h pode ser observado na próima gura De nição 3: Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g f é de nida por

23 3 (g f) () = g (f ()). O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos do domínio de f tais que f () está no domínio de g. Simbolicamente, D (g f) = f Df : f () Dgg. O diagrama pode ser visualizado abaio. f g f ( ) g ( f ( ) g o f Eemplo 9: Sejam f () = + 3 e g () = p. Encontre a função f () = (g f) () e f () = (f g) (). Solução: Pela de nição de função composta, temos que: f () = (g f) () = g ( + 3) = p + 3; f () = (f g) () = f ( p ) = + 3: Note que, g f 6= f g. Eemplo 0: Sejam f () = ln, g () = p e h () = sin ( + ). Encontre f () = (f g) () e f () = (g f h) (). Solução: Pela de nição de função composta, temos que: f () = (f g) () = f ( p ) = ln p = ln : f () = (g f h) () = g (f (sin ( + ))) = g (ln (sin ( + ))) = p ln (sin ( + )): Determine o domínio dessas funções compostas!.5.3 Funções Especiais. Função constante: f : R! fkg de nida por f () = k. Associa a qualquer número real um mesmo número real k. Gra camente, é uma reta paralela ao eio das abscissas. Se k =, o grá co é Função Identidade: f : R! R de nida por f () = : O grá co é a reta bissetriz do primeiro e do terceiro quadrante.

24 4 3. Função A m: f : R! R de nida por f () = a + b, onde a e b constantes e a 6= 0 são, respectivamente, o coe ciente angular e o coe ciente linear. O grá co é uma reta. Se a > 0, a reta é crescente; se a < 0, a reta é decrescente; e se b = 0, a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Eemplo: f () = 3 + 4: Função Módulo: f : R! [0; +) de nida por f () = jj : 0 5. Função Quadrática: f : R! R de nida por f () = a + b + c, onde a, b e c constantes e a 6= 0. O grá co dessa função é uma parábola com eio de simetria paralelo ao eio dos : Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima. Se a < 0 a concavidade é voltada para baio. Eemplo: f () = Função polinomial: f : R! R de nida por f () = a 0 n + a n + + a n + a n, com a i, i = 0; ; ; n, constantes reais, a 0 6= 0, n N e n é o grau do polinômio. As funções constante, identidade, lineares e quadráticas são eemplos de funções polinomiais. Eemplo: f () = :

25 Função Racional: função de nida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, f () = p(), onde q () 6= 0. O domínio da função racional é o conjunto dos q() reais ecluindo todos os tais que q () 6= 0: Eemplo: f () = :.5.4 Funções Pares, Ímpares e Periódicas De nição 4: Uma função f () é par se, para todo Df, f ( ) = f () : O grá co de uma função par é simétrico em relação ao eio dos. De nição 5: Uma função f () é ímpar se, para todo Df, f ( ) = f () : O grá co de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. tal que De nição 6: Uma função f () é periódica se eiste um número real T 6= 0, para todo Df. f ( + T ) = f () : Eemplo : Classi que as funções abaio, como par ou ímpar.. f () = 4 + ; Solução: f ( ) = ( ) 4 + ( ) = 4 + = f () : Logo, f é uma função par.

26 6. f () = ; Solução: f ( ) = 4 ( ) 3 + ( ) = 4 3 : Logo, f não é uma função par nem ímpar. 3. f () = 7 ; Solução: f ( ) = ( ) 7 = 7 = f () : Logo, f é uma função ímpar. T =. Eemplo : Mostre que a função f () = sin () é periódica de perído Solução: Pela de nição de funções periódicas, temos que: f ( + ) = sin ( ( + )) = sin = f () : Portanto, f () = sin () é periódica com perído T =. Eemplo 3: Mostre que se f e g são funções ímpares, então f:g é uma função par. Solução: Seja h a função de nida por h () = (f:g) () = f () :g (). Nosso objetivo é mostrar que h é uma função par, ou seja, mostrar que h ( ) = h (). Note que: h ( ) = f ( ) :g ( ) () Por hipótese, sabemos que f e g são ímpares, ou seja, que f ( ) = f () e g ( ) = g (). Usando estes resultados em (), segue que: h ( ) = f () : [ g ()] = f () :g () = h (). Eemplo 4: Se f então a igualdade " [f ( )] = g ( ) é uma função par, g é uma função ímpar e não nula, # (g ()) g ( ) f () :f ( ) (#) g ( ) que são: é verdadeira? Solução: Para verii car se a igualdade dada é verdadeira ou não, usaremos as hipóteses, (i) f é uma função par, ou seja, f ( ) = f () ; (ii) g é uma função ímpar, ou seja, g ( ) = g (). Partindo " pelo lado direito de (#) e chamando-o # de A, temos que: (g ()) g ( ) f () A = g ( ) :f ( ) g ( )

27 7 " # (g ()) + g () f () :f ( ) g () ) A = g () # (ii) Colocando em evidência a função g (), temos que: g () [g () + f ()] A = g () + :f ( g () ) A = [ g () + g () + f ()] :f ( ) = f () :f ( ) ) A = f ( # ) :f ( ) = [f ( )] : (i) Conclusão: A igualdade dada em (#) é verdadeira. Eemplo 5: Sejam f e g as funções de nidas por f () = 3 3 e g () = 3 : (a) A função h () = (g f) () é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justi que usando a de nição. (b) Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação j + g ()j f () 3 : Solução: (a) Temos que: 3 3 h () = (g f) () = g = = Veri cando se a função h é par, ímpar ou nem par nem ímpar. h ( ) = ( ) = h (). Portanto, como h () = h () a função h é ímpar. = : (b) Usando a de nição das funções f e g, temos que: j + g ()j f () ) 3 3 jj ) j 3j Resolvendo a inequação () : * Condição de eistência de solução: 6= 0 e 6= 3. Como j 3j > 0, podemos multiplicar a inequação () por j 3j sem que a desigualdade seja alterada. () (3; +) : 4 3 ( ) j 3j jj () 3, se 3 * Pela de nição de módulo, temos que: j 3j = 3, se < 3 * Temos três intervalos a serem anlisados: I = ( ; 0), I = (0; 3) e I 3 = o Caso: Para I : Neste intervalo < 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) (3 ) ) + ) 0 4 3, Solution is: I 4 = 3 4 ; :

28 8 3 Solução parcial : S = I \ I 4 = fg o Caso: Para I : Neste intervalo > 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) (3 ) ) +4 ) , Solution is: R Solução parcial : S = I \ R = (0; 3) 3 o Caso:Para I 3 : Neste intervalo > 0, então multiplicando por a inequação (), temos que: jj ( ) j 3j ) ( ) ( 3) ) ) , Solution is: I 4 = 3 ; 4 Solução parcial 3: S = I 3 \ I 4 = (3; +) Solução nal: S = S [ S [ S 3 ) S = (0; +) f3g.5.5 Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Quando para quaisquer valores de e do domínio de uma função f tais que 6= tivermos f ( ) 6= f ( ), dizemos que a função é injetora. Quando o conjunto imagem de uma função f dizemos que a função é sobrejetora. for igual ao seu contradomínio, Quando uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dizemos que ela é bijetora. Eemplo 6: Considere a função dada pela lei de formação f() = : Se de nirmos f : R! R; f não será nem injetora e nem sobrejetora. Se de nirmos f : R +! R; f será injetora mas não será sobrejetora. Se de nirmos f : R! R + ; f será sobrejetora, mas não será injetora e se de nirmos f : R +! R + ; f será bijetora. (Sugestão: construa os grá cos e veri que as a rmações acima). Observação: Note que dada uma lei de formação, uma função pode ser bijetora ou não, dependendo do seu campo de de nição (domínio) e de seu contradomínio..5.6 Funções Inversas Seja = f () = 3 +. Nesta epressão, temos que é uma função de, mas podemos escrever como uma função de, ou seja, = g () = 3p. Observe que,

29 9 (g f) () = g (f ()) = g 3 + = ; p 3 (f g) () = f (g ()) = f =. Neste eemplo, compondo as funções f e g obtivemos as funções identidades. Os pares de funções com essas duas propriedades são chamadas de funções inversas. De nição 6: Se as funções f e g satisfazem as duas condições (g f) () =, 8 Df, (f g) () =, 8 Dg, então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f: De nição 7: Seja = f () uma função ou f : A! B. Se, para cada B, eistir eatamente um valor de A tal que = f (), então podemos de nir uma função g : B! A. A função g de nida desta maneira é chamada de inversa de f: inversas. Eemplo 7: As funções f () = 3 + e g () = 3p são funções Uma função não pode ter duas inversas. Assim, se uma função f tiver uma inversa, a inversa é única. A inversa de uma função é comumente denotada por f (lê-se: inversa de f). Sabemos que, função está determinada pela relação que estabelece entre suas entradas e saídas e não pela letra usada para variável independente. Assim, no eemplo 3, temos que f () = 3p é a função inversa de f: Se usarmos a notação f, em vez de g, na de nição 5, e se usarmos como variável independente, temos que se f e f 0 são inversas, então: f f () =, 8 Df, f f () =, 8 Df. ATENÇÃO: f é apenas uma notação para a função inversa, f 6= f : Eemplo 8:. A função f : ; +! R 3 + de nida por = f () = p 3 tem como função inversa f : R +! ; +, de nida por f () = 3 3 ( + ).. A função f : R f3g! R f g de nida por = f () = 3 inversa f : R f g! R f3g, de nida por f () = tem como função Uma maneira de determinar as funções inversas é resolvendo = f () para como uma função de e, a seguir, substituir por na fórmula nal para f : Nem toda função tem uma função inversa. Gra camente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passndo uma reta paralela ao eio dos, esta

30 deve cortar o grá co em apenas um ponto. Este é o teste da reta horizontal. A função f () = não possui função inversa, mas fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Para fazermos o grá co da função inversa basta traçarmos a reta = e observarmos a simetria. Eemplo 9: Se f : [0; +)! [0; +) de nida por f () = tem como inversa a função f : [0; +)! [0; +) dada por f () = p : Algumas Funções Elementares. Função Potencial: função de nida por f () = n, onde n R. Eemplo: f () = 3 = 3p 5 5

31 3. Função Eponencial: f : R! (0; +) de nida por f () = a, com a R e 0 < a 6=. Com relação ao grá co dessa função, podemos a rmar que: (a) está acima do eio das abscissas; (b) corta o eio das ordenadas no ponto (0; ) ; (c) f é crescente se a > e decrescente se 0 < a < : Função Logarítmica: f : R +! R de nida por f () = log a, com a R e 0 < a 6=. Com relação ao grá co dessa função, podemos a rmar que: (a) está todo a direita eio das ordenadas; (b) corta o eio das abcissas no ponto (; 0) ; (c) f é crescente se a > e decrescente se 0 < a < : (d) é simétrico ao grá co da função g () = a em relação à reta = (ou seja, funções eponenciais e logarítmicas são inversas uma da outra). 0 4 Observação: Quando a base for o número e o logaritmo é dito logaritmo natural ou neperiano, escrevemos f () = ln. Eemplo 0: Seja g a função de nida por g () = ln p : Encontre a função inversa de g, o domínio e a imagem da função da função g Solução: Sabemos que para que eista inversa uma função deve ser bijetora. Consequentemente, Dg = Im g e Im g = Dg : * Domínio de g: Dg = f R : > 0g = ( ; ) * Determinando g : = g () = ln p ) e = p ) e =

32 3 ) e = ) = e : Logo, a função inversa de g é g () = E ainda, Dg = R. e : Portanto, g : R! ( ; ) e g () = e : 4. Funções Trigonométricas: (a) Função Seno: f : R! [ ; ] de nida por f () =sen : A função seno é uma função periódica e de período T = : (b) Função Cosseno: f : R! [ ; ] de nida por f () = cos : A função cosseno é uma função periódica e de período T = : (c) Função Tangente: de nida por f () =tg() = sen, para todo tais que cos cos 6= 0, isto é, para 6= (k+), com k Z : A função tangente é uma função periódica e de período T = : 4 4 (d) Função Cotangente: de nida por f () =cotg() = cos, para todo tais sen que sen 6= 0, isto é, para 6= k, com k Z: A função cotangente é uma função periódica e de período T = : 4 4

33 33 (e) Função Secante: de nida por f () = sec =, para todo tais que cos cos 6= 0, isto é, para 6= (k+), com k Z : A função secante é uma função periódica e de período T = : (f) Função Cossecante: de nida por f () =cossec() =, para todo sen tais que sen 6= 0, isto é, para 6= k, com k Z : A função cossecante é uma função periódica e de período T = : Eemplo : Solução: p Detemine o domínio da função f () = e ln(sen()) : De nindo f () = p e f () = ln (sen ()), temos que: f () = e f ():f () : * Domínio de f : Df = Df \ Df. * Determinando o domínio das funções f e f : Domínio de f : Df = f R : 0g = [ ; ] Domínio de f : Df = f R : sen () > 0g = (k; (k + ) ), com k Z. Conclusão: Df = (0; ]: 5. Funções Trigonométricas Inversas: como as funções trigonométricas são periódicas é impossível de nir funções inversas das trigonométricas em todo o seu domínio. Portanto, para de nirmos a funções trigonométricas inversas necessitamos restringir os domínios. (a) Função Arco Seno: Seja f : ;! [ ; ] a função de nida por f () =sen. A função inversa de f () é chamada de arcsen e denotada por f : [ ; ]! ;, onde f () = arcsin :

34 34 (b) Função Arco Cosseno: Seja f : [0; ]! [ ; ] a função de nida por f () = cos. A função inversa de f () é chamada de arccos e denotada por f : [ ; ]! [0; ], onde f () = arccos : 0 (c) Função Arco Tangente: Seja f : ;! R a função de nida por f () =tg. A função inversa de f () é chamada de arctg e denotada por f : R! ;, onde f () =arctg() : 4 4 (d) Função Arco Cotangente: f : R! (0; ) de nifa por f () =arccotg() : (e) Função Arco Secante: de nida por f () = arcsec (), cujo domínio é Df = ( ; ] [ [; +) e imagem Im f = 0; [ ; (f) Função Arco Cossecante: de nida por f () =arcossec(), cujo domínio é Df = ( ; ] [ [; +) e imagem Im f = ; 0 [ 0; : Funções Hiperbólicas: As funções eponenciais e e e e + e,

35 35 ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada. Estas epressões de nem as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólibo de, respectivamente. O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas. (a) Seno Hiperbólico: f : R! R de nida por f () = sinh = e e. O grá co dessa função pode ser obtido pelo método chamado adição de coordenadas. Para usar esta técnica, esboçamos os grá cos das funções e e e (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas (b) Cosseno Hiperbólico: f : R! [; +) de nida por f () = cosh = e +e : (c) Tangente Hiperbólica: f : R! ( ; ) de nida por f () =tgh() = sinh = e e : cosh e +e 4 4 (d) Cotangente Hiperbólica: f : R! [( ; ) [ (; +)] de nida por f () = +e : tgh() e e (e) Secante Hiperbólica: f : R! (0; ] de nida por f () = cosh = e +e :

36 (f) Cossecante Hiperbólica: f : R! R de nida por f () = sinh = e e : 4 4 Observação: Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Algumas identidades das funções hiperbólicas estão abaio relacionadas: i. cosh sinh = ; ii. sinh + cosh = e ; iii. cosh sinh = e ; iv. tgh () = sech () ; v. cotgh () =cossech () ; vi. sinh ( + ) = sinh cosh + cosh sinh ; vii. cosh ( + ) = cosh cosh + sinh sinh ; viii. sinh () = sinh cosh ; i. cosh () = cosh + sinh ;. sinh cosh () = ; i. cosh cosh () + = : Eemplo : Considere as funções f () =, f () = j + 5 4j, f 3 () =senh() e f 4 () = ln. Determine o domínio da função F, sendo que: F () = f 4 [f 3 (f () + f ())] : Solução: Sabemos que F é de nida por F () = f 4 [f 3 (f () + f ())] : Então: F () = f 4 [f 3 ( + j + 5 4j)] = f 4 [senh ( + j + 5 4j)] ) F () = ln (senh ( + j + 5 4j)) : Domínio de F : DF = f R : senh ( + j + 5 4j) > 0g : Sabemos que: senh(u) > 0, u > 0 Dessa forma: senh( + j + 5 4j) > 0, + j + 5 4j > 0

37 37 Pela de nição de módulo, temos que: j + 5 4j = + 5 4, se , se < ou > 4 Para [; 4], temos que: > 0 ) > 0, (; 3) Solução parcial : S = [; 4] \ (; 3) ) S = (; 3) Para ( ; ) [ (4; +), temos que: > 0 ) 6+5 > 0, Solution is: ( ; )[(5; ) Solução parcial : S = ( ; ) [ (5; ) Conclusão: DF = S [ S = (( ; 3) fg) [ (5; ) : 7. Funções Hiperbólicas Inversas: (a) Inversa do Seno Hiperbólico: f : R! R de nida por f () = arg sinh = ln + p +, chamada de argumento do seno hiperbólico: 4 4 (b) Inversa do Cosseno Hiperbólico: f : [; +)! [0; +) de nida por f () = arg cosh = ln + p, chamada de argumento do cosseno hiperbólico: (c) Inversa da Tangente Hiperbólica: f : ( ; )! R de nida por f () =argtgh() = + ln, chamada de argumento da tangente hiperbólica. 4 4

38 38 (d) Inversa da Cotangente Hiperbólica: f : ( ; ) [ (; +)! R de nida por f () =argcotgh() = + ln : (e) Inversa dasecante Hiperbólica: f : (0; ]! R de nida por f () =argsech() = ln : + p (f) Inversa da Cossecante Hiperbólica: f : R! R de nida por f () =argcossech() = ln + p + : jj Eemplo 3: Mostrar que o arg sinh = ln + p +, 8 R. Solução: Sejam R e = arg sinh Como a função argumento do seno hiperbólico é a função inversa do seno, temos que: = sinh = e e ) e e = 0: Multiplicando ambos os lados por e, temos que: e e = 0: Resolvendo essa equação quadrática, segue que: e = p 4 +4 = p +. Como e > 0, 8, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, e = + p +. Aplicando o neperiano em ambos os membros, obtemos que: = ln + p + ) arg sinh = ln + p + :

39 39.6 Translações Eemplo 3: Seja f a função de nida por f () = : A partir do grá co de f construa o grá co das funções: g () = +, g () = e g 3 () = : Solução: Reescrevendo as funções, temos que: g () = f () + : Observe que para cada valor de a imagem de g é igual a uma unidade a mais que a imagem da função f para o mesmo valor de : Note ainda que o grá co de f é uma parábola com vértice no ponto (0; 0) e o grá co de g também é uma parábola, mas com o vértice no ponto (0; ) : 4 0 g () = = ( + ) = f ( + ) : Neste caso, note que a variável de g corresponde a unidades a mais que de f: Gra camente, g é uma parábola com vértice no ponto (0; ) : g 3 () = = = ( + ) + = f ( + ) + : Reescrevendo a função g 3 e comparando com o que já foi estudado sobre as funções g e g 3, podemos concluir que o vértice da parábola g 3 é o ponto ( ; ) : 4 4 0

40 40 Generalizando, a partir do grá co de uma função f para construir o grá co de uma função: g () = f () + k basta deslocar k unidades para cima; se k > 0, ou para baio; se k < 0, o grá co de f : Dizemos que o grá co de g é uma translação vertical do grá co de f; g () = f ( c) basta deslocar c unidades para a direita; se k > 0, ou para a esquerda ; se k < 0, o grá co de f : Dizemos que o grá co de g é uma translação horizontal do grá co de f; g () = f ( c) + k basta deslocar horintalmente c unidades (para a direita ou esquerda) e verticalmente k unidades (para cima ou para baio) o grá co da função f: Eemplo 4: Se = f () = jj, então: = jj + = jj = j + j = j j Eemplo 5: Esboce o grá co da função f () = +. 6 Solução: Note que, f () = + = (+) = = 3+3 = + 3 : 6 (+)( 3) Podemos esboçar o grá co dessa função, observando que f () = + 3g ( 3), onde g () =. O grá co de f é obtido através de uma translação paralela ao eio, do grá co de g em três unidades direção positiva, e ainda, há uma translação de uma unidade, na direção positiva, paralela ao eio. Assim,

41 4.7 Eercícios. Determine o domínio e construa o grá co das seguintes funções. A seguir identi- que como estão relacionados os grá cos das funções do mesmo tipo. (a) f() = 4 (b) g() = 4 + (c) h() = 4 ( ) (d) p() = 6 ( ) (e) f() = 3 (f) g() = ( + ) 3 (g) h() = ( + ) 3 + (h) p() = 3 4 (i) q() = 3 (j) f() = p (k) g() = p + (l) h() = p + (m) f() = log (n) g() = log( ) (o) h() = log (p) p() = ln (q) f() = (r) g() = (s) h() = (t) p() = + (u) q() = e (v) f() = (w) h() = () p() = () f() = sin() (z) h() = sin. Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos. (a) + 7 > (b) + (c) > p (d) < (e) 0 < < (f) > 0 4 (g) j + 4j j 6j (h) (i) jj + < 0 (j) 5 < j4 j < jj (k) > jj (l) jj + p < (m) j + jj + 3j 5 3. Seja f() = : Determine os valores indicados sendo a um número real. + 4 (e) f( p a) (a) f(=a) (b) =f(a) (c) f(a ) (d) [f(a)] (f) p f(a) f(a + h) (g) f(a) h 4. Determine quais das funções abaio, de R em R; são injetoras e quais são sobrejetoras. Justi que suas respostas. (a) = + (b) = (c) = ; com h 6= 0

42 4 (d) = ( ; se 6= 0 0; se = 0 5. Seja f() = determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. + (a) g() = f (b) h() = (f f)() + 6. Sejam f() = ln e g() = 3 determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. (a) h() = (f g)() (b) u() = (g f)() 7. Use a de nição de módulo para reescrever as funções abaio e a seguir esboce seu grá co. (a) f() = jj + j j + j j (b) f() = j9 j 8. Sejam f e g duas funções de R em R assim de nidas: f() = + ; se 0 + ; se < 0 e g() = 3 : Determine f g e g f: 9. Sendo f : R! R de nida por: f() = + ; se 0 ; se > 0 : Determine f f: 0. Determine quais das funções abaio são pares ou ímpares. (a) f() = 5 3 (b) f() = + + (c) f() = jj (d) f() = a + a (e) f() = ln( + p + ) + (f) f() = ln. Mostre que se f e g são funções ímpares, então (f + g) e (f g) também são funções ímpares.. Mostre que se f e g são funções ímpares, então f g e f g são funções pares. 3. Mostre que a função [f() + f( )] é par e que a função [f() f( )] é ímpar. 4. Prove que qualquer função f : R! R pode ser epressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. 5. Se f() = ; mostre que f( + 3) f( ) = 5 f(): 6. Se f() = e ; veri que que f()f() = f( + ):

43 43 7. Se f() = ln ; veri que que: (a) f() + f() = f() (b) f( ) = f() (c) f( u v ) + f(v u ) = 0 8. Determine o domínio das seguintes funções. s (a) f() = e + (f) f() = cosh j 5j + s 3p (g) f() = sinh( (b) f() = ( e j 5j ) )( + ) r s jj (c) f() = (h) f() = ln + jj + p (d) f() = p ln( ) (i) f() = e j3 j (e) f() = e p sinh( ) ln(sin ) (j) f() = arcsin ln( ) 9. Nos itens abaio determine a função inversa e construa o grá co de f e f : (a) f() = p ; (b) f() = + (c) f() = + ; 0. Determine a função f() de primeiro grau que satisfaz f() = e f( ) = 7:. Seja f() = cos e g() = p + : Classi que a função h() = g () (g f)() como função par ou ímpar.. Sejam f e g as funções de nidas por f() = 3 3 e g() = (a) Veri que se a função h() = (g f)() é par ou ímpar. 3 (b) Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação j + g()j f() 3 : 3. Seja g a função de nida por g() = ln( p ): Determine a inversa da função g() e o domínio e imagem desta. 8 < 3; se > 4. Considere a função de nida por f() = ; se = : : ; se < (a) Construa o grá co de f(): (b) f : R! R é bijetora? Justi que. :

44 44 (c) Determine f (); restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu grá co. 5. Considere a função de nida por f() = ln( + ); se 0 e ; se < 0 : (a) Construa o grá co de f(): (b) f : R! R é bijetora? Justi que. (c) Determine f (); restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu grá co. 6. Seja f() = cos(): Determine: (a) o período de f(): (b) f () com restrição de domínio e imagem. (c) o grá co de f() e f (): 7. Seja f() = sin(): Determine: (a) o período de f(): (b) f () com restrição de domínio e imagem. (c) o grá co de f() e f (): 8. Considere as funções f e f g de nidas por f() = ln( 3 ) e (f g)() = p + : Determine as funções g e g : A seguir determine o domínio e a imagem de g : 9. Seja f() = e e : (a) Prove que se f(a) = f(b); então a = b: (b) Prove que dado R eiste R tal que f() = : (c) Determine D(f ); Im(f ) e a lei de f :

45 45 Respostas:. Respostas em grupo. (a) - (d): Df = R (e) - (i): (j) - (l): Df = Dg = [0; +); Dh = [ ; +) De (m)-(p): Df = Dg = Dp = (0; +) ; Dh = ( ; +) (q) - (u): Df = Dg = Dq = Dp = Dh = R (v) - (): Df = Dh = R ; Dp = (0; +)

46 46 () e (z): Df = Dg = Dh = R.. (a) S = ( ; 8) [ ( 7; +) (b) S = ( ; ) [ (0; +) (c) S = [; +) (d) S = (0; ) (e) S = ( ; ) [ (; +) 3 (f) S = ( ; 0) [ (; 3) [ (4; +) (g) S = ( ; ] [ [0; +) 3 (h) S = [ a (a) + 4a (b) a + 4 (c) a (d) (a + 4) (e) a + 4 (i) S = ( ; 0) (j) S = ( 4; 3] [ (3; 4) (k) S = (; +) (l) S = [0; 3 p 5 ) (m) S = ( ; +) f 3; g (f) (g) p a + 4 a + h [(a + h) + 4](a + 4) (a) Bijetora (b) Nem -, nem sobrejetora (c) - (d) Bijetora 5.. (a) g() = + e D g = R f ; g (b) h() = e D h = R f g 6.. (a) h() = 3 ln e D h = R + (b) u() = ln 3 e D u = R >< (a) f() = >: 4 + ; se < 0 + ; se 0 < ; se < 4 ; se (b) f() = 9 ; se [ 3; 3] 9; se ( ; 3) [ (3; +)

47 >< 9. (f f)() = >: 3 ; se (f g)() = ; se < ; se 0 (g f)() = 3 + ; se < 0 + ; se ; se < 0 + 4; se 0 < < ; se : 0. Função Par: (c) e (d); Função Ímpar: (a) e (f). Use a de nição.. Use a de nição. 3. Use a de nição. 4. Use o eercício (a) D f = R (b) D f = R f ; 0g (c) D f = ( ; +) (d) D f = R [ ; ] (e) D f = (0; ] (f) D f = R f5g (g) D f = f0g [ [; +) f5g (h) D f = ( ; ) [ [ p ; +) (i) D f = [; +) (j) D f = (; ) 9.. (a) f : [0; +)! [; +) de nida por f () = +

48 48 (b) f : Rnfg! Rnfg de nida por f () = (+) (c) f : [ ; +)! ( ; ] de nida por f () = p + 0. f() = 4 3. h é uma função par.. (a) h é uma função ímpar. (b) S = (0; +) f3g 3. g () = e ; D g = R e Im(g ) = ( ; ): 4. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justi que!), 8 p < + 3; se > f () = ; se = : + ; se < 0

49 49 5. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justi que!), f e () = ; se 0 ln( ); se < < 0 Figura : Eercício 4 Figura : Eercício 5 6. T = ; f : [ ; ]! [0; ] dada por f () = arccos : 7. T = ; f : [ ; ]! ; 4 4 dada por f () = arcsin() : p g() = e 3 ; g () = (3 ln() ) ; g : [e 3 ; +)! [ ; +): Figura 3: Eercício 8 Figura 4: Eercício 9 9. f : R! R e f () = ln( + p + ):

50 Capítulo Limite e Continuidade de uma Função Objetivos Interpretar geometricamente a de nição de ite; Provar os ites, pela de nição; Determinar ites geometricamente (usando os ites bilaterais); Calcular ites através de propriedades; Encontrar ites utilizando os ites notáveis; Estudar a continuidade de uma função; Classi car as descontinuidades de uma função; Aplicar o teorema do Valor Intermediário.

51 5. Limite de uma Variável A idéia de uma variável aproimando-se de um valor ite aparece de forma clara quando se procura estabelecer a fórmula que representa a área de um círculo. Assim, considerando a área de um polígono regular de n lados inscrito no círculo, vemos que a medida que n cresce a área do polígono se aproima da área do círculo. Fazendo n crescer inde nidamente, a área do polígono tende a um ite e este é de nido como a área do círculo. Neste eemplo, observamos geometricamente a ideia de ite. Agora, vamos construir a noção de ite trabalhando com o conjunto dos R. Analisemos os seguintes eemplos de sucessões numéricas:. f; ; 3; 4; 5; g;. ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ; ; 3. f; 0; ; ; 3; g; 4. ; 3 ; 3; 5 4 ; 5; 7 6 ; 7;. Observe que, na sucessão () os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um ite; em (), os temos estão se aproimando de, ou seja, é seu ite; em (3), os termos da sucessão decrescem inde nidamente sem atingir um ite; e, em (4), os termos estão oscilando, não havendo um ite. Vamos estabelecer agora, a de nição de ite de uma variável. De nição : Seja uma variável, diz-se que tende a uma constante a, ou que o ite de é a, se para um número qualquer positivo ", por pequeno que seja, os valores sucessivos de se aproimam de a de tal modo que a diferença a em valor absoluto seja menor que ", isto é, j aj < ". Matematicamente, = a ou! a. Lê-se: tende para a. Geometricamente, a desigualdade j aj < ", estabelecida de nição, signi ca que, para qualquer (a "; a + ") tem ite a, isto é, tende para a. ε a ε a a + ε

52 5 Eemplo : Se a = 3, então (3 "; 3 + ") ) 3 " < < 3 + " ) j 3j < ". Se " = 0; 00, então ; 999 < < 3; 00 ) = 3 )! 3. Estudaremos agora o ite de uma função de uma variável real com todas as suas interpretações.. Limite de uma Função.. Noção Intuitiva O uso básico de ites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor. Eemplo : Eaminemos o comportamento da função f () = +, quando se aproima de. 0 8 f ( ) 6 f ( ) Representando f na forma tabular, temos que: ; 99 ; 995 ; 999 ; 00 ; 005 ; 05 f () ; 855 ; 970 ; ; ; ; 55 Observando a tabela e o grá co é fácil constatar que o ite de + quando tende a é 3 por qualquer um dos lados de, ou seja,! ( + ) = 3. Note que, na análise precedente estivemos preocupados com os valores de f próimos do ponto = e não com o valor de f em =. Informalmente, temos que se os valores de f () puderem ser tomados tão próimos quanto quisermos de b, fazendo su cientemente próimo de a (não igual a a), então escrevemos

53 53 f () = b, ou f ()! b se! a.!a Observação: No eemplo anterior, a função f () estava de nida em = (ponto de interesse), mas quando falamos em ite nos interessa saber o comportamento da função na vizinhança de um certo a; não necessita que a função f esteja de nida no ponto a ser analisado. Observe isso, no eemplo a seguir. Eemplo 3: Seja f () = p + : Veri que que Solução: Observe a tabela abaio: p!0 + =. 0; 00 0; 000 0; ; ; 000 0; 00 f () ; 9995 ; ; ; ; ; 0005 Por evidências numéricas estamos sendo induzidos a concluir que p = : +!0 Podemos con rmar este resultado por manipulações algébricas. Veja: f () = p + = p + : p p = p + +, se 6= 0. A partir daí, é evidente que f ()!, quando! 0.. Limites Laterais Nem sempre uma função tem ites iguais quando se aproima pela direita ou pela esquerda de um número real a. Vamos analisar agora, funções que estão de nidas em intervalos onde eistem pontos nos quais o grá co da função dá um salto. Assim, Isto pode ser observado no próimo eemplo.

54 54 Eemplo 4: Se f () = jj : Solução: Note que: f () = jj =, se > 0;, se < 0: Gra camente, temos que:!0 +f () = e f () = :!0 superior Com esta notação, o índice superior + indica um ite à direita e o índice indica um ite à esquerda. De nição : Se a função f () tende a b, nito ou não, quando tende a a por valores inferiores ao a, então dizemos que b é o ite à esquerda de f () no ponto a, ou seja!a f () = b : De nição 3: Se a função f () tende a b, nito ou não, quando tende a a por valores superiores ao a, então dizemos que b é o ite à direita de f () no ponto a, ou seja!a +f () = b. Estes ites laterais podem ser: i. iguais, isto é, b = b ; ii. diferentes, isto é, b 6= b ; iii. pode eistir um e outro não; iv. ambos não eistirem.

55 55 Relação entre ites laterais e bilaterais O ite bilateral eiste se, e somente se, eistirem os ites laterais e forem iguais. Escrevemos, f () = b,!a!a f () =!a +f ().. f () = Solução: Eemplo 4: Determine o ite (ite bilateral) das funções abaio: O grá co de f é:, se ; +, se >. Gra camente, os ites laterais são:! f () =! = ;! +f () = + =.! + Conclusão, como o bilateral).. f () = Solução:! (, se > 0;, se = 0;, se < 0; O grá co de f é: f () 6=! +f (), então não eiste o f () (ite! Gra camente, os ites laterais são:!0 f () =!0 = 0;

56 56!0 +f () = ( ) = 0. +!0 Conclusão, como o 0.!0 f () =!0 +f (), então eiste o ite bilateral e f () =!0 3. f () = Solução: 6 + 7, se ; 4, se >. Gra camente, os ites laterais são:!! f () =! (6 + 7) = 5; +f () = (4 ) = 6. +! Conclusão, como o 4. f () = j 3j : Solução: O grá co de f é:! f () 6=! +f (), então ite bilateral não eiste Gra camente, os ites laterais são:!3!3 f () =!3 ( + 3) = 0; +f () = ( 3) = 0. +!3 Conclusão, como o!3 8 < 3, se > ; 5. f () =, se = ; :, se <. Solução: Gra camente, os ites laterais são:! f () =! f () =!3 +f (), então!3 = ;! +f () = ( 3) =.! + Conclusão, como o! f () = 0. f () 6=! +f (), então não eiste f ().!

57 57 Observação: Intuitivamente, dizemos que uma curva é contínua quando não apresenta quebras ou buracos. Estas quebras ou buracos são chamados de descontinuidades. salto buraco..3 Limites pela de nição Introdução Inicialmente, suponhamos que uma família pretende disciplinar o uso da água em sua residência. Admitimos que o custo do m 3 de água seja R$ ; 0 e que esta família decide gastar R$ 90; 00 por mês com uma tolerância de R$ 6; 00 para mais ou para menos. A questão que se põe é: qual a faia de consumo em m 3 de água para que o custo que dentro do padrão estabelecido? Solução: Sejam : o número de m 3 de água a serem consumidos; p : o valor pago pela água em R$. É fácil ver que a função que relaciona o valor a pagar com o consumo é p () = ; : Como foi decidido gastar R$ 90; 00 por mês com uma tolerância de R$ 6; 00 para mais ou para menos, conclui-se que o valor a ser pago deve pertencer ao intervalo [84; 96]. Na seqüência, é necessário estabelecer o intervalo de consumo. Para isso, determinamos os valores de a e b tais que Ou seja, p (a) = 84 e p (b) = 96: p (a) = 84 ) ; a = 84 ) a = 70; p (b) = 96 ) ; b = 96 ) b = 80.

58 58 Conclusão: Para que os gastos quem no intervalo [84; 96] o consumo deve car entre 70m 3 e 80m 3 de água, isto é, pertencer ao intervalo [70; 80]. Ao estudarmos ites das funções, o valor p () = 90 é denominado ite de p () quando tende a 75, a tolerância R$ 6; 00 é denominado " e a margem 5 m 3 em torno de 75 é denominado. O grá co a seguir retrata esta situação: ε 90 + ε ε δ 75+ δ δ A próima questão que se põe é: eiste uma relação entre a tolerância admitida em torno do valor monetário ado como referência (R$ 90; 00) e a margem em torno do valor central de consumo (75 m 3 )? Isto, é, dado " > 0 é possível encontrar > 0 tal que dependa de "? A resposta é sim e, o procedimento, para determinar esta relação consiste em estabelecer a relação entre as desigualdades Desse modo, jp () 90j < " e j 75j < : jp () 90j = j; 90j = ; j 75j < ": () Por outro lado, j 75j <. () Das relações () e (), podemos admitir a relação ; = " ) = " ;. Portanto, para cada tolerência de gastos " podemos encontrar a margem de consumo. Vejamos os valores de para alguns valores de ". Valor de " Valer de Intervalo de gastos Intervalo de consumo 6 5 [84; 96] [70; 80] 5 4; 667 [85; 95] [70:833; 79:67] 4 3; 3333 [86; 94] [7:667; 79:333] 3 ; 5 [84; 93] [7:5; 77:5] ; 6667 [88; 9] [73:833; 76:6666] ; [89; 9] [74; 76]

59 59 Generalizando Consideremos = f() uma função de nida em uma determinada vizinhança do ponto a ou para certos pontos desta vizinhança. De nição 4: A função = f() tende ao ite b, quando tende para a, se para todo e qualquer número positivo ", por pequeno que seja, é possível indicar um número positivo tal que, para todo e qualquer 6= a que satisfaz 0 < j aj < se veri cará a desigualdade jf () bj < ". Escreve-se: f () = b, ou f ()! b quando! a:!a Interpretação Geométrica Se f ()! b quando! a, no grá co de = f() se interpreta: = f ( ) b + ε b b ε a δ a a + δ Uma vez que da desigualdade 0 < j aj < se deduz jf () bj < ", então, todos os pontos P, no grá co de f(), correspondentes aos valores de que se encontram a uma distância não maior que do ponto a, se localizarão dentro de uma faia de largura ", itada pelas retas = b " e = b + ". Isto é, para um dado " > 0 e arbitrário, f() faz corresponder um número > 0 tal que a < < a + sempre que b " < f () 0; 9 > 0 tal que jf () bj < " se 0 < j aj <.!a Eemplo 5: Seja f() uma função dada por f () = 4.

60 60 Gra camente, observamos que!3 ( 4) =, pois: ; 99 ; ; 0 3; 00 f() ; 98 ; 998 ; 0 ; 00 A medida que se aproima de 3 por valores menores ou maiores, f() se aproima de. Podemos tomar jf() j tão pequeno quanto quisermos, bastando para isto, escolhermos bem próimo de 3. Vejamos agora, como determinar em função de um dado ". Temos f () = 4 e!3 f () =. Usando a de nição 4, temos que: Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () j < " se 0 < j 3j < ) j( 4) j < " se 0 < j 3j < ) j 6j < " se 0 < j 3j < ) j 3j < " se 0 < j 3j < ) j 3j < " Escolhendo = ", a de nição se veri ca. Por eemplo, se " = 0; 0, então = 0; 005. Outra forma de provar o ite usando a de nição é através da resolução das inequações modulares, da seguinte forma: Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () j < " se 0 < j 3j < Note que: jf () j < " ) j 6j < " ) " < 6 < " ) " < 3 < " ) j 3j < " = : Conlusão: escolhendo = " o ite está provado.

61 6 Eemplo 6: Mostre que! 4 = 4: Solução: Vamos mostrar que, para qualquer " > 0; 9 > 0 tal que jf () 4j < " se 0 < j j <. Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () 4j < " se 0 < j j < ) 4 4 < " se 0 < j j < ) ( )(+) < " se 0 < j j < 4 ) j j < " se 0 < j j < Escolhendo = ", a de nição se veri ca. Eemplo 7: Mostre que!4 = 6: Solução: Vamos mostrar que, para qualquer " > 0; 9 > 0 tal que jf () 6j < " se 0 < j 4j <. Interpretação geométrica:

62 6 Dado qualquer " > 0, 9 > 0 tal que jf () 6j < " se 0 < j 4j < ) j 6j < " se 0 < j 4j < Observe que, jf () 6j = j 6j = j( 4) ( + 4)j = j 4j j + 4j. () Precisamos substituir j + 4j por um valor constante. Neste caso, vamos supor que 0 <, então 0 < j 4j <, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: j 4j < ) j 4j < ) < 4 < ) 3 < < 5 ) 3 < < 5 ) 7 < + 4 < 9. Logo, j + 4j < 9. Assim, por (), temos que

63 63 jf () 6j < 9 j 4j Como, pela de nição, deve ocorrer que j 4j <, temos que jf () 6j < 9. Escolhendo = min ; " 9, obtém-se que jf () 6j 9: " 9 = ". Resolvendo novamente usando inequações: jf () 6j < " se 0 < j 4j < ) j 6j < " se 0 < j 4j < ) j 6j < " ) " < 6 < " () ) " < 6 e 6 < ": Resolvendo a primeira inequação: " < 6 ) p0 < 6 + p" ) S = ; 6 " [ 6 "; +, para " (0; 6) : Resolvendo a segunda inequação: 6 < " ) 6 " < 0 ) S = p 6 + "; p 6 + " ;para " > 0: Logo, a solução da inequação () é S = S \ S ) S = p p p p 6 + "; 6 " [ 6 "; 6 + ", para " (0; 6) : Como! 4 e 4 p 6 "; p 6 + ", iremos usar somente este intervalo para encontrar : Temos que: p 6 "; p 6 + " ) p 6 " < < p 6 + " Subtraindo 4 em todas as deigualdades, segue que: p 6 " 4 < 4 < p 6 + " 4 Observe que como " (0; 6), então o número p 6 " 4 é negativo. Logo, devemos considerar seu valor absoluto na escolha do, pois, pela de nição, deve ser positivo. Conlusão: Escolhendo = min p 6 " 4 ; p 6 + " 4 o ite está provado.

64 64 Teorema da Unicidade: Se f () = b e f () = b, então b = b :!a!a Demonstração: Note que, jb b j = jb f () + f () b j = j (f () b ) + (f () b )j Pela desigualdade triangular, temos que: jb b j j (f () b )j+jf () b j = jf () b j+jf () b j () Como!a f () = b e!a f () = b, pela de nição de ites, dado " > 0, 9 > 0 tal que jf () b j < " se 0 < j aj < ; 9 > 0 tal que jf () b j < " se 0 < j aj <. Seja = min f ; g. Então, em (), segue que jb b j < ": Se escolhermos " = jb, obtém-se que b j jb b j < jb b j, sempre que j aj < : Contradição!!! Logo, b = b. Voltemos agora a analisar a de nição de ite. Convém enfatizar que, em ites, não é necessário que a função seja de nida em = a para que o ite desta função eista quando! a.

65 65..4 Limites In nitos De nição 5: Uma função f () torna-se in nitamente grande positivamente quando! a se o valor de f () se torna e permanece maior do que qualquer número positivo M devidamente escolhido, por maior que seja. Isto é, f () = +, 8M > 0; 9 > 0 tal que f () > M se 0 < j aj <.!a Geometricamente: M a δ a a + δ De nição 6: Uma função f () torna-se in nitamente grande negativamente quando! a se o valor de f () se torna e permanece menor do que qualquer número positivo N devidamente escolhido, por menor que seja. Isto é, f () =, 8N < 0; 9 > 0 tal que f () < N se 0 < j aj <.!a Geometricamente: a δ a a + δ N

66 66 Eemplo 8: Mostre que = +:! ( ) Solução: Dado um número M > 0 para que 9 > 0 tal que f () > M se 0 < j j < : Seja M > 0. Assim, f () > M se 0 < j j < ) f () = > M, se 0 < j j < ( ) ) ( ) <, se 0 < j j <. M Por propriedade de valor absoluto, temos que: ) j j <, se 0 < j j <. M Como j j = j j ; temos que: ) j j <, se 0 < j j < M ) j j 0 para que 9 > 0 tal que f () > M se 0 < j j < ) ( ) > M, se 0 < j j < Como ambos os membros da primeira inequação são positivos, então podemos reescrever esta desigualdade como ) M > ( ) ) 0 > ( ) M () Resolvendo a equação associada: = ( M ) ) = p M ) = p M é: Após fazer o estudo do sinal de ( ) conclui-se que a solução de () M p M ; + p M ) p M < < + p M ) p M < < p M ) j j < p M = : Conlusão: Escolhendo = p M ; o ite está provado.

67 67 Eemplo 9: Mostre que!0 = : Solução: Dado um número N < 0 para que 9 > 0 tal que f () < M se j 0j < : Seja N < 0. Assim, f () < N se 0 < jj < ) f () = < N, se 0 < jj < ) >, se 0 < jj <. N ) <, se 0 < jj <. N Por propriedade de valor absoluto, temos que: ) jj <, se 0 < jj <. N ) jj < p N : Logo, escolhendo = p N obtém-se o resultado. Se N = 4, então = Observação: Encontramos com muita freqüencia grá cos que se aproimam de uma reta à medida que cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas. No eemplo 8, temos duas assíntotas: = e = 0. A primeira é chamada de assíntota vertical; a segunda, assíntota horizontal...5 Limites no In nito De nição 7: Uma função f () tem ite b quando tende ao in nito positivamente, se para qualquer número " positivo por pequeno que seja, é possível indicar um M positivo, tal que, para todo que satisfaz > M se veri ca j f () bj < ": Isto é, f () = b, 8" > 0; 9M > 0 tal que j f () bj < " se > M.!+

68 68 Geometricamente: b + ε b b ε M De nição 8: Uma função f () tem ite b quando tende ao in nito negativamente, se para qualquer número " positivo por pequeno que seja, é possível indicar um N negativo, tal que, para todo que satisfaz < N se veri ca j f () bj < ": Isto é, f () = b, 8" > 0; 9N < 0 tal que j f () bj < " se < N.! Geometricamente: b b + ε b ε N Eemplo 0: Mostre que = :! 3 tal que Solução: Pela de nição de ite, sabemos que = se, e somente se, dado qualquer " > 0, eiste um número N < 0! 3

69 69 jf () j < " se < N ) 3 < " ( 3+3) ) < " 3 ) + 6 < " 3 6 ) < " j 3j ) j 3j > 6 " Por propriedade de módulo, temos que 3 < 6 6 ) < 3 : " " ou: 3 > 6 ) > desprezada, pois, pela de nição de ite " " deve ser menor que um número N: 6 Escolhendo N = 3 com " (0; ), o ite está provado. " Se " = 0; 05, então N = Eemplo : Mostre que!+ +5 =. +4 Solução: Pela de nição de ite, sabemos que M > 0 tal que +5!+ +4 = se, e somente se, dado qualquer " > 0, eiste um número jf () j < " se > M ) < " ) < " (+4)+ +4 ) + +4 < " ) < " j+4j ) j + 4j > " Por propriedade de módulo, temos que + 4 < ) < 4 desprezada, pois, pela de nição de ite " " deve ser maior que um número N: ou: + 4 > " ) > 4 + " :

70 70 provado. Logo, escolhendo M = 4 + " > 0 se, e somente se " 0; 4, o ite está Limites In nitos no In nito De nição 9: Uma função f () torna-se in nitamente grande positivamente quando tende ao in nito positivamente se, para cada número M positivo qualquer (tão grande quando se queira) pudermos determinar um número m positivo, tal que para todo que satisfaz > m veri ca f () > M: Isto é, f () = +, 8M > 0; 9m > 0 tal que f () > M se > m.!+ Analogamente, nos demais casos, temos que: se > m. De nição 0: f () =, 8N < 0; 9m > 0 tal que f () < N!+ se < n. De nição : f () = +, 8M > 0; 9n < 0 tal que f () > M! se < n. De nição : f () =, 8N < 0; 9n < 0 tal que f () < M!

71 7 Observação: Convém esclarecer que + e não são números, dizer que! + ou! indica o comportamento da variável. Este fato não tem o mesmo signi cado que, por eemplo,! 0 ou! 0. Neste caso, dizemos que o ite da função não eiste. Eemplo : Determine os ites no in nito de f () = 3 : Solução: Geometricamente, é fácil concluir que f () = e f () = +:!! Propriedades de Limites Sejam f()e g() funções para as quais eiste!a f () e!a g (). Assim:. [f () g ()] = f () g ();!a!a!a Lê-se: o ite de uma soma e/ou diferença de funções é igual a mesma soma e/ou diferença dos ites destas funções.. [k:f ()] = k:f ();!a!a Lê-se: o ite do produto de uma constante k por uma função é igual ao produto desta constante pelo ite da função. 3. [f () :g ()] = f () :g ();!a!a!a Lê-se: o ite de um produto de duas funções é igual ao produto dos ites destas duas funções. 4. f()!a g() =, se g () 6= 0; g() f()!a!a!a Lê-se: o ite de um quociente de funções, se eistir, é igual ao quociente dos ites destas funções.

72 7 n, 5. [f ()] n = f () com n N;!a!a Lê-se: o ite da potência de uma função é igual a potência do ite desta função. 6. p q n f () = n f ();!a!a Lê-se: o ite da raiz n-ésima de uma função é igual a raiz n-ésima do ite desta função. 7. (ln f ()) = ln f (), se f () > 0;!a!a!a 8. (cos f ()) = cos f () ;!a!a 9. (sin f ()) = sin f () ;!a!a 0. e f() = e!a ; f()!a. O ite de uma função polinomial inteira quando! é igual ao ite de seu termo de mais alto grau, isto é, se f () = a 0 n + a n + + a n, então (a) (b) (c) +, se f () = a0 > 0!+, se a 0 < 0 ; f () = +, se! f () =, se! a0 > 0 e n par a 0 < 0 e n ímpar ; a0 > 0 e n ímpar : a 0 < 0 e n par. Propriedade do Confronto: Se f() e g() são funções tais que f () = g () =!a!a b e se h () é um função para a qual f () h () g (), então h () = b.!a 3. Propriedade da Conservação do Sinal: Se o!a f () = b 6= 0, então eiste uma vizinhança do ponto = a na qual f() conserva o sinal de b. 4. Se f() assume somente valores positivos e se!a f () = b, então b será um número positivo. 5. Se!a f () = 0 e jg ()j k, com k R +, então!a f [f () :g ()] = 0.

73 73 Observações: (i) Em outras palavras, dizer que jg ()j k, com k R +, signi ca que g é uma função itada. (ii) As demonstrações das propriedades acima cam como eercício..4 Cálculo de Limites No cálculo do ite de uma função, quando obtivermos uma das sete formas, 0 0,, 0: (), +, 00, e () 0, conhecidas como formas indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais profundo de cada caso, estudo esse feito em geral com auílio da equivalência entre funções. Eemplo 3: Calcule os ites: p 7 + e 9 +!8 Solução: Pelas propriedades de ites, temos que:! p 7 + e 9 + = q = 3 ( ) + 3 ( 7) + :e 9 +!8!8!8!8!8 q = 3 ( ) !8!8!8 = 3 (8) + 3p (8) :e = e = 8e !8!8 :e!8 + ( 9)!8 +!8 Observação: Note que, escrevendo passo a passo todas as propriedades de ites, o cálculo do ite torna-se trabalhoso. Com a eperiência, é possível aplicar diretamente estas propriedades = 0;! Solução: Devemos einar a indeterminação, para isso, usaremos manipulações algébricas. + 6 (+3)( ) = = ( ) = 5.! 3 +3! 3 +3! 3

74 74 p p + 3. = 0!0 0 ; Solução: Multiplicando e dividindo pelo conjugado de p +!0 p + p = p p =!0 + + p. p, temos que: 3p 4. p = 0: 0! Solução: De nindo = t 6, e observando que se!, então t!, temos que: 3p t p =!! t 3 = t +!t + t + = 3. 5.! = ; Solução : Pela propriedade (), temos que: =! 5 5. Solução : Colocando em evidência no numerador e denominador, temos que: + 5! = =! 5 + 3! = 5, pois 5 e 3 tendem a zero quando! Observação: Quando temos f () estamos denotando os ites no in nito,! ou seja, queremos calcular f () e f ().!+! 6.! = Solução: Pela propriedade (), temos que: =! ! 3 = 3! =. 4 a 4 7.!a a = 0; 0 Solução: Fatorando o numerador, temos que: 4 a 4!a a =!a ( a ) ( + a ) a =!a ( + a ) = a.

75 75 ( a) n n 8. = 0 a!0 0 a ; Solução: Pela forma binomial, temos que: L = a!0 ( a) n n a ) L = a!0 n n n n(n )n a a ( a) n n! = a!0 a n n + n(n )n a! + + ( a) n = n n. p = ;! 6 8 Solução: Colocando em evidência no numerador e no denominador, temos que: p q q jj = =! 6 8! 8 6! 8 6 Analisando os ites no in nito, temos que: q q p p L = = = 3 =!+ 6 8!+ 8 6! : q q p p L = = = 3 =! 6 8! 8 6! : 0.! p p = ; Solução: Multiplicando e dividindo pelo conjugado do númerador, temos que: p p L = =! ) L =! h p ) L = Assim, L =. L =. 4 p q! q !+!.!3 j 6j 9 = 0 0. p p p p p i p p +4+3 = p = p = q 4 q! jj !+! Solução: Temos que, f () = j 6j 9 = j 3j ( 3) ( + 3) 4 q = q q = q

76 76 Pela de nição de módulo, temos que: j 3j = Reescrevendo a função, temos que: f () = 3, se 3 3, se < 3 : +3, se 3 +3, se < 3. Assim, para determinar f (), analisemos os ites laterais:!3!3 +f () =!3 +!3 f () =!3 +3 = = 3. Como!3 +f () 6= f (), então f () não eiste.!3!3.! f (), onde f () = ( +, se < 6, se = 9, se > Solução: Como f () é uma função de nida por partes, para determinar! f () devemos analisar os ites laterais.!! +f () = (9 ) = 5. +! f () =! ( + ) = 5. Como! +f () = f (), então f () = 5.!! 3.! sen () Solução: Note que não sabemos qual é o valor de! sen(), mas sabemos que sen () ; 8 R ) jsen ()j : Sabemos também que = 0: Escolhendo as funções f e g da seguinte forma:! : f () = e g () = sen () ; pela propriedade de ites número 5, resulta que sen () [f () :g ()] =!! = 0

77 77 Eemplo 4: Se f () = f ( + a) f (), mostre que a!0 a Solução: f ( + a) f () +a = = a!0 a a!0 a a!0 ( + a) =. =. p + Eemplo 5: Determine o valor da constante a para que eista p!0 + ( + a) Solução: De nindo L =.!0 Se: p + ( + a) L =!0 ) L =!0 ( + a) : = 0 0 p p + ( + a) + + ( + a) + ( + a) p = p + + ( + a)!0 + + ( + a) a + a ) L =!0 p + + ( + a) = ( a) + a!0 p + + ( + a) = a : 0 Então, observe que, para que este ite eista é necessário que a = 0, isto é, que a =. Para este valor de a, segue que: (=) L = p! = 8 : Eemplo 6: Represente geometricamente uma função f que satisfaça as seguintes condições: f (0) = 0, f () =, f () = e f é uma função par.!3! Solução: Pelas informações dadas no comando da questão, uma representação geometrica de f é: 3 3

78 78.5 Limites Notáveis Desenvolveremos aqui, alguns ites, cujas generalizações serão de grande utilidade no cálculo dos ites de funções que assumem uma das indeterminações do tipo 0 0, e 0. sen (u) Proposição : u!0 u Demonstração: = Do grá co, teremos que: sen (u) 0 e cos (u) > 0 para u 0;. Assim, dividindo tudo por sen(u), obtém-se que: > cos (u) : u Tomando o ite para u! 0, segue que: < sen (u) sen (u) < cos (u) ) < < : u!0 u!0 u u!0 u!0 u Pela propriedade do confronto, obtemos que: sen (u) =. u Eemplo 7: Calcule os ites: sen a.!0 sen b = 0. 0 Solução: Multiplicando e dividindo por sen a L =!0 sen a sen b =!0 ) L =!0 asen a a bsen b b = sen b : sen a a!0 a sen b b!0 b = a b. =!0, temos que: sen a sen b =!0 asen a a bsen b b

79 79 tg (). = 0!0 0. Solução: Reescrevendo a função, temos que: sin tg () cos sin =!0!0 =!0 : sin = cos!0 :!0cos =. 3. (:cossec (3)) = 0:.!0 Solução: Reescrevendo a função, temos que: (:cossec (3)) =!0!0 : sen (3) 3sen (3) = 3 3!0sen (3) =. 3 =!0 3 Proposição :!0 cos sen!0 = 0. Demonstração: Usando a identidade trigonométrica sin = cos, para =, temos que: cos sin sin sin L = = =!0!0!0 ) L= : sen = 0 = 0 :!0 Eemplo 8: Calcule os ites: cos ( ). = 0! 0 sin ( ) Solução: De nindo t = cos ( )! sin ( ) = t!0 cos t sin t. Se!, então t! 0. Assim, = t!0 cos t t sin t t = cos t t!0 t sin t t!0 t = 0. cos (4). = 0!0 0 sin (4) : Solução: Multiplicando e divindindo pelo conjugado do numerador, temos que: neperiano. L =!0 cos (4) sin (4) L =!0 sin (4) ( + cos (4)) = 4!0 cos (4) =!0 sin (4) ( + cos (4)) =!0 sin (4) 4 sin (4) sin (4) ( + cos (4)) :!0 + cos (4) = 4:: =. Proposição 3: + = e, onde e : 78 3 é o número irracional!

80 80 Eemplo 9: Calcule os ites:.!0 ( + ) =. Solução: De nindo u =. Se! 0, então u!. Assim, ( + ) = + u = e.!0 u! u. + a =.! Solução: De nindo = a. Se!, então! 0. Assim, + a a = ( + ) a = ( + ) = e a.!0!0! =.! Solução: Reescrevendo a função, temos que: L = =!! De nindo 4 L = v! = v + v 4v+4 = +3 =!. Se!, então v!. Assim, + v 4 v! v v! + v 4 = e a Proposição 4: = ln a, onde a R + fg.!0 Demonstração: De nindo u = a : Aplicando logaritmo neperiano em ambos os lados, temos que: ln (u + ) = ln a ln (u + ) ) =. ln a Se! 0, então u! 0. Dessa forma, a u u L = = = ln a: = ln a:!0 u!0 ln(u+) u!0 ln (u + ) u!0 ln a ) L = ln a: ( ln(u+) u!0 u ) = ln a: ln (u+) u u!0 = ln a: ln e = ln a: ln(u+) u Eemplo 0: Calcule os ites:

81 8.!0 e e 5 = 0 0. Solução: Multiplicando e dividindo por, temos que: e!0e 5 =!0 e e 5 = e!0 e 5 5!0 5 = ln e 5 ln e = 5..! 7 49 = 0 0. Solução: Reescrevendo a função, temos que: 7 49 L =! = 7 7! = 7 7! : De nindo u =. Se!, então u! 0. 7 u L = 49 = 49 ln 7. u!0 u e ( )! 3. L = cos ( ) = 0 0 Solução: De nindo u =, temos que: e u e u ( + cos (u)) L = u!0 cos (u) = u!0 cos (u) = u!0 e u! ( + cos (u)) sen (u) ) L = ln e z } { e u u!0 0 u ( + cos (u)) u!0 {z } B sen (u) A u!0 {z u } ) L = ( + ) a 4. = 0!0 0. Solução: Multiplicando e dividindo a função por a ln ( + ), temos que: ( + ) a ( + ) a ln ( + ) L = = :a!0!0 a ln ( + ) ( + ) a ln ( + ) ) L = a!0 ) L = a ln ( + )!0 ) L = a ln!0 ( + )!0!0!0 a ln ( + ) ( + ) a a ln ( + ) ( + ) a a ln ( + )

82 8 ( + ) a ) L = a!0 a ln ( + ) De nindo: u = ( + ) a, então ln u = a ln ( + ). Se! 0, então u!. Assim, u L = a : () u! ln u De nindo: = u. Se u!, então! 0. Dessa forma, em (), temos que: L = a!0 ln ( + ) = a: = a = a!0 ln(+) ln ( + ) ln e = a.!0 5. ( ) ln ( cos ( ) cos ( 4)) ln ( 4 + 4) = 0 +! Solução: L =! ( ) ln ( cos ( ) cos ( 4)) ln ( 4 + 4) ( ) L ln cos( ) cos(( ))! 00 0 De nindo u =. A = Se! então u! 0, temos que: ln cos(u) cos(u) u!0 u L = 0 u = ln 00 ln 0 u!0 00 u!0 {z u } ln 0 L = ln 00 ln 0 u!0 0 L = 00 ln 0 ln ( cos (u)) + sen (u) u ln cos( ) cos(( ))! ( ) 00 0! = ln( 0 0) 0 0 cos (u) cos (u) + sen (u) u ( cos (u)) sen (u) C + u!0 {z u } u!0 {z u A ) L = 0 } 0.6 Continuidade de uma Função Ao estudar f () analisa-se o comportamento da função f () para valores!a de próimos de a, pois o f () pode eistir sem mesmo a função estar de nida no!a

83 83 ponto = a. No momento em que se analisa o valor de f (a) é igual ou não ao valor do ite bilateral estuda-se continuidade de f em a: De nição : ponto a se, e somente se, Seja f : A! R: Se a A, dizemos que f é contínua no f () = f(a):!a Os pontos em que f não é contínua diz-se que f é descontínua. As descontinuidades podem ser classi cadas como: Removível: se!a f () = L, mas L é diferente de f(a), então = a é uma descontinuidade removível de f. Primeira Espécie ou Salto: se ambos os ites laterais eistem, porém são distintos, ou seja, o ite bilateral não eiste. Reescrevendo, se f () = L e!a!a +f () = L, com L 6= L ;então a descontinuidade é do tipo salto. Segunda Espécie ou In nita: se f tender a no ponto considerado. Eemplo : Determine se as funções são contínuas no ponto =. + a. f () = +, se 6= ; b. g () =, se = c. h () = +, se 6= 3, se = Assim, 3. Solução: Observe que as três funções são idênticas, eceto no ponto =.! f () = g () = h () =!!! + =! (+)( ) =! ( + ) = Logo, o ite bilateral das funções f, g e h eiste. Conclusões: a. Como = Df e! f () eiste, então a descontinuidade é do tipo removível. b. Como g () =, mas g () 6=! g () = 3, então a função g não é contínua em =. A descontinuidade é do tipo removível.. c. Como h () = 3 e h () =! h (), então a função h é contínua em =.

84 84 Eemplo : Estude a continuidade das funções:. f () =, se 0 ; +, se < 0 Solução: O grá co de f é: Gra camente, conclui-se que f não é contínua, pois a função apresenta um salto no ponto = 0. Note que: (a) f (0) = 0; (b) Os ites laterais são:!0 +f () =!0 = 0; + f () =!0!0 Logo, como o + =.!0 +f () 6=!0 f (), então não eiste o!0 f () (ite bilateral). Conclusão: A função f não é contínua em = 0, pois o ite bilateral não eiste. A descontinuidade é do tipo salto ou de primeira espácie. j + 5j, se 6= 5 3, se = 5 ; Solução: Aplicando a de nição de módulo, podemos reescrever f () como:. f () = 8 < f () = : Note que: 5 (a) f = 3; (b) Limites laterais:! 5 ( + 5), se < 5 3, se = 5 + 5, se > 5 f () =! 5 f () = ( 5) = 0; ( + 5) = 0;! 5 +! 5 + Como os ites laterias são iguais, então f () = 0.! 5.

85 85 5 Conclusão: Como f () 6= f! 5, então f não é contínua em = 5 : A descontinuidade é do tipo removível. Eercício 3: Mostre que a função f () = jj é uma função contínua em R., se 0 Solução: Pela de nição de módulo, temos que: f () = jj =, se < 0 : Sabe-se que o domínio de f é R: Observe que a função muda de de nição em = 0: Logo, é necessário analisar com cuidado o ponto em que = 0; pois nos demais pontos pertencentes ao domínio, tem-se que: f () = jcj = f (c), para qualquer c Df ) f é contínua para todo!c c R : Em = 0, tem-se que: * f (0) = 0 ( f () = ( ) = 0!0!0 * Limites laterais:!0 +f () = () = 0 :!0 + Como f () =!0!0 +f () = 0, então f () = 0 = f (0) : Logo, f é!0 contínua em = 0: Conclusão: f é função contínua em R. Eemplo 4: Seja f a função de nida por 8, se 3 ><, se 3 < 0 f () =, se 0 < < >: ( ), se > : (a) Represente geometricamente o grá co da função f. (b) A função f é contínua em = 3, = 0 e =? Use a de nição de continuidade para justi car sua resposta. E ainda, nos pontos em que f for descontínua, classi que as descontinuidades. (c) Encontre o f () :! Solução: (a) Representação geométrica de f:

86 86 (b) Pela de nição, uma função f é contínua em um ponto cuja abscissa é a se, e somente se, f () = f (a).!a * Em = 3, observe que f () = f ( 3) =. Logo, f é contínua em! 3 = 3. * Em = 0, a função f não é contínua, pois o ite bilateral não eiste, pois f () = e!0!0 +f () = +. A descontinuidade de segunda espécie ou in nita. * Em =, note que f () =, mas como f () não está de nida então! f não em contínua em =. A descontinuidade é do tipo removível. (c) f () = e f () =.!!+ Eemplo 5: Use a de nição de continuidade para decidir se a função 8 e >< 3 sin f () = sin (), se > 0 >: 3, se 0 é contínua em = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi que essa descontinuidade. Solução: Pela de nição de continuidade em um ponto, f é contínua em = 0 se, e somente se, f () = f (0) :!0 (i) f (0) = 3; 3 (ii) f () = = 3;!0!0 e 3 sin e 3 sin!0 +f () = =!0 + sin ()!0 + sin cos = e 3 sin!0 + sin!0 + cos De nindo u = sin. Se! 0 então u! 0. Assim,!0 +f () = (e 3 ) u = u!0 + u ln e3 = 3:

87 87 Portanto,!0 f () = 3 : (iii)!0 f () = f (0) : Conclusão: f é contínua em = 0: Eemplo 6: Sejam f e g as funções de nidas por 8 asen ( 4), se < >< + f () = + ln( + b) e g () = f (), se = >: (3a b) senh ( + ), se > + Use a de nição de continuidade para determinar o valor das constante a e b para que a função g seja contínua em = : Solução: Pela de nição de continuidade, g é contínua em = se, e somente se, : g () = g ( ),! ( L = g () = g ( )! L =! +g () = g ( ) () Encontrando (f ) () = f () : = + ln( + b) ) = ln ( + b) ) e = e ln(+b) ) = e b Logo, temos que: f () = e b Reescrevendo a função g, temos que: 8 asen ( 4), se < >< + g () = b, se = >: (3a b) Determinando os ites laterais: L =! ) L = a! ) L = 4a L = f () =! sen ( 4) 4 senh ( + ), se > + asen ( 4) + ( )! {z } = 4 =! = # D e nindo v=+ (3a b) senh ( + )! +f () =! + + : asen ( 4) = ( ) ( ) sen (v) 4a v!0 {z v } =

88 88 ) L = (3a b)! + e + e (+) + ) L = (3a b) u!0 + e u (e u ) u ) L = 3a b Por (), temos que: L = g ( ) ) L = g ( ) 4a = b 3a b = b = # D e nindo =+ (3a e u e u b) u!0 + u = (3a b) u!0 +e u (e u ) u!0 + {z } {z u } ) = =ln e a = b = 7..7 Continuidade em Intervalos Uma função é contínua em um intervalo quando é contínua para todo deste intervalo. Assim, De nição 3: Dizemos que f é contínua à direita em a se, e somente se, f (a) =!a +f () : De nição 4: Dizemos que f é contínua à esquerda em b se, e somente se, f (b) =!b f () : De nição 5: Uma função f() é dita contínua em um intervalo fechado [a; b], se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f é contínua em (a; b); (ii) f é contínua à direita em a; (iii) f é contínua à esquerda em b.

89 89 Eemplo 7: Veri car se f () = p 4 é contínua em [ ; ]: Solução: Sabemos que o domínio de f é Df = [ ; ]. Veri quemos se as condições da de nição 5 são satisfeitas. (i) Para qualquer c ( ; ), temos que f (c) = p 4 = f ().!c contínua em (a; b). Logo, f é (ii) f () =!! p 4 = 0 = f ( ). Então, f é contínua à direita em a. (iii)! f () =! p 4 = 0 = f (). Então, f é contínua à esquerda em a. Conclusão: f() é contínua no intervalo fechado [ ; ]..8 Propriedades das Funções Contínuas Se f() e g() são funções contínuas em c, então: (i) f() g() é uma função contínua em c; (ii) f():g() é uma função contínua em c; (iii) f() g() é uma função contínua em c se g (c) 6= 0 e tem uma descontinuidade em c se g (c) = 0. Teorema: Todo polinômio é uma função contínua. Demostração: Queremos mostrar que!c p () = p (c), onde p () é um polinômio de grau n. Seja p () = a 0 n + a n + + a n + a n. Tomando o ite para! c, temos que: p () = (a 0 n + a n + + a n + a n )!c!c = (a 0 n ) + (a n + + a n + a n )!c!c = a 0 n + (a n ) + (a n + + a n + a n )!c!c!c Aplicando-se sucessivamente as propriedades de ites, segue que: p () = a 0c n + a c n + + a n c + a n = p (c).!c Portanto, p () = p (c).!c

90 90 Continuidade de Funções Racionais Uma função racional é contínua em todo seu domínio. Eemplo 8: Para quais valores de a função f () = é contínua? Solução: Como f () é uma função racional, então é contínua em todo seu domínio, ou seja, em todos os pontos, eceto onde o denominador se anula. Logo, f é contínua em R f; 3g : Continuidade de Funções Compostas Se f() é contínua em = c e g() é contínua em f(c) então, a função composta (g f) () é também contínua em c, isto é: (g f) () = g f () = g (f (a)).!c!c Eemplo 9: Sejam f () = cos e g () =. Então a função g f é contínua em = 0? Solução: Como g (f ()) = g (cos ) = g (0) = = g (f (0)), então!0!0 g f é contínua em = 0. Eemplo 30: Investigue se a função f () = sin()+cos() ln(sin ) em = 6. Solução: Note que f () pode ser escrita como: f () = f () + f () f 3 (f ()) onde f () = sin, f () = cos e f 3 () = ln : Em =, temos que: 6 ;

91 9 f () = sin = = f 6! 6 f () = cos = = f 3! 6 f 3 (f ()) =! 6 contínua.! ) f é contínua; f 3 cos 3 = ln cos 3 ) f é contínua; = ln = f3 f 6 ) f 3 f é Pelas propriedades (i) e (iii) de funções contínuas, concluímos que f é contínua em = 6. Teorema do Valor Intermediário A gura abaio, mostra o grá co de uma função que é contínua no intervalo fechado [a; b], sugere que se traçarmos uma reta horizontal = k, onde k está entre f (a) e f (b) então essa reta irá interceptar a curva = f () pelo menos uma vez em [a; b]. f ( b ) f k ( a ) a c b Teorema do Valor Intermediário: Se f é contínua no intervalo fechado [a; b] e k é um número real tal que f (a) k f (b) ou f (a) k f (b), então eiste pelo menos um c [a; b] tal que f (c) = k. No gura abaio pode ser observado que se f (a) < f (b), mas não eiste nenhuma constante c (0; b) tal que f (c) = k. Isto não contradiz o teorema do valor intermediário, pois a função = f () apresentada na fugura abaio não satisfaz uma das hipóteses do teorema anterior, pois f não é contínua em todo o intervalo [a; b] :

92 9 f = f ( ) ( b ) k f ( a ) a b c O próimo teorema é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário. Teorema de Bolzano ou do Anulamento: Se f é contínua em [a; b] e se f (a) e f (b) tem sinais opostos, então eiste pelo menos um número c entre a e b tal que f (c) = 0. Em outras palavras, o teorema do anulamento nos diz que se f é contínua em um intervalo fechado e se f aplicada nos etremos do intervalo tem sinais opostos, então eiste pelo menos uma raiz pertencente a este intervalo. Eemplo 3:. Seja f () = +. Eiste alguma raiz de f no intervalo [0; ]? Solução: Temos que f (0) = e f () = 4. Como fé contínua em [0; ], f (0) < 0 e f () > 0, então pelo teorema do valor intermediário, eiste c (0; ) tal que f (c) = 0. Determine este c!. Veri que se a função f () = e cos () possui alguma raiz no intervalo [0; ] : Justi que sua resposta com argumentos consistentes. Solução: Note que a função f é contínua em [0; ], pois é a diferença de funções contínuas e, além disso, f (0) = < 0 e f () = e + > 0. Pelo teorema de Bolzano, eiste c (0; ) tal que f (c) = 0: Observe que através do teorema de Bolzano garantimos a eistência de uma raiz no intervalo [0; ] da função f, porém para determinar os valores em que f () = 0, ou seja, e = cos () é necessário utilizar técnicas que serão estudadas em Cálculo Numérico.

93 93.9 Eercícios. Considere a função f() dada na Figura e determine: (a) f() (c) f()!! (b) f() (d) f()! + (e) f()! (f) f()!+ Figura : Eercício Figura : Eercício. Considere a função f() dada na Figura e determine: (a) f() (e) f()! (b) f()! + (c) f()! (d) f( ) (f)! f()! + (g)! f() (h) f() (i) f()! (j) f()!+ 3. Considere a função f() dada na Figura?? e determine: (a) f()!0 (b) (c) f()!0 (d) f(0) (e) (f)!0 + f() f()! f()!+ Figura 3: Eercício 3 Figura 4: Eercício 4 4. Considere a função f() dada na Figura 4 e determine: (a) f() (c) f()!! (b) f() (d) f()! + (e) f()! (f) f()!+

94 94 5. Considere a função f() dada na Figura 5 e determine: (a) f() (c) f() (e)!! (b) f()! + (d) f( ) f()! (f) f()!+ Figura 5: Eercício 5 Figura 6: Eercícios 0 e. 6. Em cada item determine o valor de que satisfaz a relação 0 < j aj < ) jf() Lj < ; dados: (a) f() = + 3; a = ; L = 5 e = 0; (b) f() = + ; a = ; L = 3 e = 0; (c) f() = ln( + ); a = 0; L = 0 e = 0; 5 (d) f() = + + ; a = ; L = 0 e = 0; 6 (e) f() = + + ; a = 0; L = e = (f) f() = p + ; a = ; L = e = 7. Use a de nição de ite para provar que: (a) =!3 6 (b) = 0! (c) + = 3! (d) ln( + ) = 0!0 (e) ( + + ) =!0 (f)! p + = (g) p =!5 (h) (i) (j)!! +!+ = 0 = = 0: 8. Seja f uma função de nida em R e tal que, para todo ; é válida a inequação jf() 3j 3j j: Determine! e justi que sua resposta usando a de nição de ite.

95 95 9. Seja f uma função de nida para R; com f() = e tal que, para todo ; jf() j < j j : 4 Use a de nição de ite para provar que f é contínua em = : 0. Considere a função f() dada na Figura 6. (a) Para quais valores de 0 R eiste!0 f()? Justi que. (b) Para quais valores de 0 R f() é contínua? Justi que.. Seja f() a função representada na Figura 6 e g() representada na Figura 7. Determine: (a) (f + g)()! 9 (b) (f + g)( 9) g (c) ()! 9 f g (d) ( 9) f (e) (f g)() (f) (g)! 4! 4 +(f g)() (f g)()! 4 Figura 7: Eercícios. (h) (i)!0 (f + g)()!0 +(f + g)() (j) (f + g)()!0 (k) (f + g)(0) (l) (m) (n) g () f g ()!0 + f g (0) f!0 (o) (p)!4 (f + g)()!4 +(f + g)() (q) (f + g)()!4 (r) (f + g)(4) (s) (t) (u) (v) (w)!+!!+!! (f + g)() (f + g)() (f g)() (f g)() g () f. Dados f() = ; g() = 4 e h() = 0: Obtenha os ites abaio!a!a!a justi cando seu raciocínio usando as propriedades de ites. 7g() (a) [f() + g()] (c) [g()] (e)!a!a 3 (b) [h() 3g() + ]!a (d) p!a f() + g() 6 + f() 3f() 8g()!a (f)!a h()

96 96 3. Determine para quais valores de R a função f() dada a seguir é contínua. ( 5 ; se 6= 4 ( (a) f() = ; se = 4 (d) f() = ; se 6= 3 ( ; se ; se = 3 (b) f() = ; se < < ; se (e) f() = ( 3 ; se < 0 (c) f() = 0; se = 0 (f) f() = j3 + j ; se > 0 4. Determine o(s) valor(es) da constante k; se eistir(em), para que a função 8 >< k; se f() = + k; se < < >: k ; se seja contínua em R: ( + a + b + 5; se < 5. Considere a função f de nida por f() = 5; se = b 3 a ; se > Determine os valores de a e b para que a função f() seja contínua em R: : 6. Considere 8 as funções g e h de nidas por g() = ; para todo R; e < ; se 6= 0 h() = : jj : a + ; se = 0 (a) Determine f() = (g h)(): (b) Determine o valor de a para que a função f() seja contínua em = 0:

97 97 7. Calcule os ites ;.!3 3! 3. t! t t + 4.! ! [ln ( + ) ln ] 8.!+ s 6 s 3 5s + 6. s! 4s 4 3s! u!+. u! r 3u 4u 5 u 7 + u 8 p 3u4 + u s 6 3. s!6 s 36 p ! ! ! p ! ! p + 3!0 0 ( + h) h!0 h p t!0 p a + bt t p a + a, a > 0 0. a p + b b, a, b > 0!a 3p 8 + h 3p.. h!0 h! 4p 3p 3p + 3.! ( ) 4. 3 p 5 + p!4 5 p p 5. + p !+p!+p !+ +! + 9.!+ p p 30.!+ 3 p p ! 5+4! ! 3p !4 j + j 6

98 98 8. Calcule os seguintes ites, usando os ites notáveis sempre que for possível. sen ( ) (n)! sin sin (a)! sen (a + ) sen (a ) (b)!0 sin :cotg () (c)!0 (d)! + sen (e)! cos (f)! 3 sen 3 tg () sen (g)!0 3 ln ( + a) (h)!0 e a e b (i)!0 ln ln 3 (j)!3 3 (k) ( + 3tg ()) cotg ()!0 e e 3 (l)!3 3 ln ( ) (m)! (o)! (p)! tg (q) p!0 q +4 (r) ( + 5)! 4 (s) 5 + +!+ e a (t)! e ( ) (u)! e (5 5) (v)!0 sen cos 5 (w)!0 sen() sen ()!+ p + p p () [ (ln ( ) ln )]!+ " (z) # +5! 9. Calcule os seguintes ites, usando os ites notáveis sempre que for possível. 3sen (a)!0 tg () (b)!0 cos + cos () (c) ln p! + (d)!0 e sen sin () e e (e)!0 sen () sen 4 3! (f) sin [5 ( )] (g)! 4 (h)! cos + 3 sin (i) (sen + cos ) sec! (j) [ ( p e )]! (k) p cos (l) ( ) tg!!0 0. Sejam f e g duas funções de nidas por g () = e f () = Determine!6 h () :, sendo h () = (f g) () : ( 4) cosec ( 4) : e e4

99 99. Sejam f () = ln p + c, para todo < ; e k = : Encontre, se!+ c possível, o valor da constante c para que f (0) = k: ( a sin () + ( + ) b, se < 0. Considere a função f () de nida por f () = : a ( + ) + 3b, se 0 Encontre, se possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f () seja contínua em Obtenha F (), sabendo que F () = h (f (g ())) com f () = e, g () =! e cos ( ) e h () = 4. Sejam f () = 3p ln ( + j j) e g () = e 3 : (a) Determine o domínio da função f: (b) Estude a continuidade da função h (), sabendo que 8 >< g (f ()), se Df 0, se = 0 h () = >: sin (), se R fdfg Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classi que a(s) descontinuidade(s). 5. Use a de nição de continuidade para decidir se a função 8 e 3 sin >< sin (), se 0 f () = p p p >: + +, se > 0!+ é contínua em = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi que essa descontinuidade. 6. Sejam f () = sin(5), g () = e h () = ln ( ) : Determine F (),! f (g ()) sabendo que F () = g () :h (h ( 3)). 8 e b 5 5 cos, se < 0 >< 7. Considere a função f, de nida por f () = a, se = 0 >: ( + ) (ln 5)=, se > 0 Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f () seja contínua em Determine o valor dos seguintes ites, justi cando sua resposta. : :

100 00 (a) + cos()!+ (b)!0 q(); sendo q() = (c)! e sin() ; se Q ; se R Q 9. Temos que h sin() tan() para todo 0; i tan() sin() para todo ; 0 Use o Teorema do confronto para provar que!0 sin() = : 30. Seja f de nida em R tal que para todo 6= tem-se que + 3 f() : Calcule! f() justi cando sua resposta.

101 0 Respostas:.. (a) (b)! f() = f() = 0! + (c)! f() não eiste (d) f() = 0 (e) f() = 0! (f) f() = +!+.. (a)! f() = 5 (b) f() = 5! + (c) f() = 5! (d) f( ) = 5 (e) (f)! f() = 5 f() = 5! + (g)! f() = 5 (h) f() = 4 (i) (j) f() = +! f() = +!+ 3.. (a) (b)!0 f() = + f() = +!0 + (c)!0 f() = + (d) f(0) não eiste (e) (f) f() não eiste! f() não eiste!+ 4.. (a) (b)! f() = f() = +! + (c)! f() não eiste (d) f() = 0 (e) f() =! (f) f() = +!+ 5.. (a) (b)! f() = f() =! (a) = 0; (b) = 0; 04 (c) = 0; (c) f() não eiste! (d) f( ) = (d) = 0; 4 (e) = 0; 4 (f) = 3 (e) f() =! (f) f() =!+ (a) = p (b) = (c) = minfj p j; p + g; (0; ) (d) = minfje j; e g (e) = minfj p j; p + g; (0; ) (f) = minfj( ) 4j; ( + ) 4g; (0; )

102 0 ( ) (g) = min 4; 4 ; (0; =) + (h) N = (i) = M ; (0; =) ou N pode ser qualquer número negativo se > (j) N = + 8. Use a de nição de ite e mostre que dado > 0 basta escolher = =3 para provar que! f() = 3: 9. Use a de nição de continuidade num ponto e a de nição de ite. 0. (a) 0 R f 4; 0g (b) 0 R f 9; 4; 0g.. (a) 0 (b) (c) 0 0 (indeterminação) (d) 0 (e) 4 (f) (g) não eiste (h) 6 (i) + (j) não eiste (k) 6 (l) (m) 0 (n) (o) (p) (q) (r) 0; 5 (s) + (t) + (indeterminação) (u) + (v) (w) +. (a) 6 (b) 3 (c) 6 (d) (e) (f) 3. (a) R f4g (b) R f ; g (c) R f0g (d) R f3g (e) R f0; g (f) R f0g 4. Não eiste valor para k para que f seja contínua. 5. a = e b = 7 6. (a) f() = 4 ; se 6= 0 a + a ; se = 0 (b) a = p p

103 p b a a( p ) b p a +b , se! 4 e 5, se! (a) cos (b) cos a (c) (d) e (e) (f) p 3 (g) (h) a (i) a (j) 3 (k) e 3 (l) e 3 (m) b (n) (o) 7 ln 3 (p) (q) e (r) e (s) (e + 5) (t) (u) 5 (v) (w) ln ln a 5 () () (z) e (a) 3 (b) (c) 0 0. e 4 (d) (e) (f) 0 ln 3. c = ln( p ). a = b 3. 0 (g) p (h) e 4 (i) e (j) (k) p, se! 0 + ; (l) p, se! 0

104 04 4. (a) (0; +) (b) h() é contínua para todo R 5.!0 +f () = 3;!0 +f () = ; descontinuidade essencial em = a = 5 e b = 5 8. Todos os ites dão zero ! f() =

105 Capítulo 3 Derivada e Diferencial Objetivos Determinar a equação de retas tangentes a uma curva em um determinado ponto; Resolver problemas que envolvam retas paralelas e normais à reta tangente de uma curva em ponto; Calcular derivadas pela de nição; Derivar qualquer função, usando as regras de derivação; Determinar as derivadas laterais; Derivar funções compostas (regra da cadeia); Derivar implicitamente uma função; Encontrar a derivada de funções parametrizadas; Determinar derivadas de ordem superior; Interpretar geométrica e sicamente derivadas e diferenciais; Resolver problemas que envolvam diferenciais.

106 06 3. Introdução O Cálculo Diferencial é o ramo da matemática que tem como foco o estudo do movimento e da variação deste movimento. Seu objeto de estudo são as funções. As idéias que usaremos aqui foram introduzidas no século XVII por Newton e Leibnitz. A intenção de Cálculo Diferencial é o de medir os incrementos ou variações de grandezas, isto é, problemas do tipo: dada uma função, medir o seu incremento. Eemplo : a. A velocidade é a variação da distância em relação ao tempo, isto é, o incremento da distância na unidade de tempo é a velocidade. b. O peso de um animal aumenta regularmente 5 quilos por mês, isto é, o seu incremento em quilos por mês é Reta Tangente Sejam = f () uma curva do R. Sejam P e Q dois pontos distintos desta curva, cujas coordenadas são ( 0 ; f ( 0 )) e ( ; f ( )), respectivamente. = f = f ( ) ( ) 0 0 P α Q s = f ( ) 0 A inclinação da reta secante s, que passa pelos pontos P e Q, é m s = tg () = f ( ) f ( 0 ) 0 =. Sunpondo que o ponto P se mantém o e Q se move sobre a curva na direção de P. Assim, a inclinação da reta secante irá variar. À medida que Q se aproima de P a inclinação da reta secante varia cada vez menos até atingir uma posição ite. Este ite é chamade de inclinação da reta tangente (t) à curva no ponto P.

107 07 t = f ( ) Q s = f ( ) = f ( ) 0 0 P 0 De nição : Dada uma curva = f (), seja P ( 0 ; f ( 0 )) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva em P é dada por quando este ite eiste. m t = Q!P = f ( ) f ( 0 ),! 0 0 De nindo = 0 +. Se! 0, então! 0. Assim, podemos reescrever o coe ciente angular da reta tangente como m t =!0 = f ( 0 + ) f ( 0 ).!0 Sabemos que a equação geral de uma reta é 0 = m ( 0 ), onde m é o coe ciente angular da reta. Dessa forma, podemos escrever a equação da reta tangente à curva = f () no ponto P ( 0 ; f ( 0 )) é f ( 0 ) = m t ( 0 ). Eemplo :. Encontre a inclinação da reta tangente à curva = +6+9, no ponto P ( 0 ; 0 ). Solução: Pela de nição, sabemos que a inclinação da reta tangente à curva = no ponto P ( 0 ; 0 ) é f( m t = 0 +) f( 0 )!0 ( 0 +) = +6( 0 +)+9 ( ) =!0 m t = 0 +() +6 = (!0 0 + () + 6) = !0 Logo, o coe ciente angular da reta tangente é

108 08. Determine a equação da reta tangente à curva = 3 + 5, no ponto cuja abcissa é 4. Solução: Sabemos que, a equação da reta tangente à curva = f () = 3 + 5, no ponto de abcissa 4, é onde: f (4) = 3 (4) + 5 = 53; m t = 4. f(4+)!0 f(4) f (4) = m t ( 4), 3(4+) = +5 53!0 Logo, a equação da reta tangente é 53 = 4 ( 4) ) = Geometricamente, 3(6+8+() = ) 48!0 4+3() = =! Considere à curva = p. Determine a equação da reta tangente a curva e paralela à reta r : = 0 : Solução: Seja t a reta tangente à curva = f () = p e paralela à reta r : = 6 +. Como as retas t e s são paralelas, então m t = m s = 6. () Por outro lado, a inclinação da reta tangente é f( m t = 0 +) f( 0 )!0 =!0 p 0 + p 0 = 0 0 Resolvendo-se o ite acima, obtém-se: m t = p 0. () Comparando () e (), tem-se: p 0 = 6 ) 0 = : 44 Logo, a equação da reta tangente no ponto P ; f 44 t : = 6 ) t : = Geometricamente, 44 é 3

109 09 4. Determine a equação da reta normal à curva = 3 no ponto P (; ) : Solução: Sejam s e t as retas normal e tangente, respectivamente, à curva = 3 no ponto P (; ) : Como as retas t e s são perpendiculares, então m t :m s =. () Por outro lado, a inclinação da reta tangente em P é m t =!0 f(+) f() (+) = 3 = 0!0 0 Resolvendo-se o ite acima, obtém-se: m t = 3. () Substituindo () em (), tem-se que: m s = 3 : Dessa forma, a equação da reta normal no ponto P (; ) é s : = 3 ( ) ) s : = 4 3, Derivadas Derivada de uma função num ponto De nição : A derivada de uma função f () num ponto 0, denotada por f 0 ( 0 ) é de nida pelo ite quando este ite eiste. f 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) ( 0 ) =,!0 Lembrando que: = 0 +, podemos escrever f 0 ( 0 ) como f 0 ( 0 ) =! 0 f ( ) f ( 0 ) 0. Geometricamente, f 0 ( 0 ) representa a inclinação da reta tangente à curva = f () no ponto P ( 0 ; f ( 0 )).

110 0 Derivada de uma função De nição 3: A derivada de uma função = f (), denotada por f 0 () tal que seu valor em qualquer Df é de nido por quando este ite eiste. f 0 f ( + ) () =!0 f (), Dizemos que f é derivável quando eiste a derivada em todos os pontos de seu domínio. Observações: (i) Da de nição, temos que o coe ciente angular da reta tangente a uma curva = f (), em um ponto P ( 0 ; f ( 0 )), é m t = f 0 ( 0 ). (ii) Na de nição 3, o quociente f(+) f() é chamado Quociente de Newton. Outras notações de derivada: f 0 () = 0 = D f = d d. Eemplo 4: Seja f () = +. Determine f 0 (3). Solução: Pela de nição de derivada de uma função num ponto, em 0 = 3, temos que: f 0 (3) =!0 f(3+) Portanto, f 0 (3) = 6. f(3) ((3+) = +) (3 +)!0 0+6+() = 0 = 6.!0 Eemplo 5: Determine a derivada de cada uma das funções:. f () = +3 ; Solução: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 () =!0 f(+) f() =!0 (+) (+)+3 (+ )(+3) ( )(++3) =!0 (+3)(++3) = 5!0 (+3)(++3) = +3 5 ) f 0 () = 5.!0 (+3)(++3) (+3)

111 . f () = 3. Solução: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 () =!0 f(+) f() (+) = 3 3 = 0!0 0 De nindo u 3 = + e a 3 =. Se! 0, então u! a. Dessa forma, f 0 a () = = u 3 a 3 u!a u mas a = 3p, então: f 0 () = 3 3p. =, u!a u +au+a 3a 3.4 Diferenciabilidade Como a de nição de derivadas envolve ites, a derivada de uma função eiste quando o ite da de nição 3 eiste. Esses pontos são chamado pontos de diferenciabilidade para f, e os pontos onde este ite não eist são chamados de pontos de não-diferenciabilidade para f. Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a curva = f () tem uma reta tangente,e os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tangente. De modo informal, os pontos de nãodiferenciabilidade mais comumente encontrados podem ser classi cados como: picos, pontos de tangência vertical e pontos de descontinuidade. 0 0 Pico Ponto de tangência vertical Ponto de descontinuidade Intuitivamente, os picos são pontos de não-diferenciabilidade, uma vez que não há como desenhar uma única reta tangente em tal ponto. Por um ponto de tangência vertical entendemos um lugar na curva onde a reta secante tende a uma posição ite vertical. Neste pontos, o único candidato razoável para a reta tangente é uma reta vertical naquele ponto. Mas as retas verticais tem inclinação in nita; logo, a derivada (se eistisse) teria um valor nito real lá, o que eplicaria intuitivamente por que a derivada não eiste no ponto de tangência vertical. P 0 Q Q Q 0 P 0 Eercício 6: Prove que a função f () = jj não é diferenciável em = 0.

112 que: Solução: Pela de nição de derivada de uma função em um ponto, temos f 0 f (0 + ) f (0) (0) =!0, se > 0 f 0 (0) =, se < 0. j0 + j =!0 j0j jj =!0 Como os ites laterais são diferentes, dizemos que o ite!0 eiste. Conseqüentemente, f 0 (0) não eiste. jj não Observação: A função f() = jj é contínua em = 0 e no entanto não é derivável em = 0. Continuidade de funções deriváveis Vejamos um teorema que nos garante a continuidade da função nos pontos em que esta é derivável. Teorema: Se uma função = f() é derivável em = a, então é contínua em = a. Demonstração: Devemos mostrar que f () = f ( 0 ), ou seja, que (f () f ( 0 )) =!0!0 0. Note que: (f ( 0 + )!0 f 0 ( 0 ). Dessa forma, f (0 + ) f ( 0 ) f ( 0 )) =!0 =!0 f ( 0 + ) f ( 0 ) f ( 0 + ) f ( 0 ) Por hipótese, f é derivável então!0 (f ( 0 + ) f ( 0 )) = 0.!0 Por propriedades de ites, tem-se que: f ( 0 + ) = f ( 0 ).!0 : De nindo = 0 +. Se! 0, então! 0. Portanto, f () = f ( 0 ) :! 0 :.!0 {z } =0 eiste e é igual a Observações: (i) Convém notar que o recíproco deste teorema não é necessariamente correto, isto é, uma função = f() pode ser contínua em = a e, no entanto, não derivável em = a. Pode-se observar isso, no eemplo 6.

113 3 (ii) O teorema acima nos garante que nos pontos de descontinuidade a função não pode ter derivada. Embora com isto não se queira dizer que nos demais eista. Eemplo 7: A função = p é de nida e contínua para todo R +, mas f 0 () = p não é de nida para = 0. Portanto, não eiste 0 para R. 3.5 Derivadas Laterais De nição 4: Seja = f () uma função de nida em = 0, então a derivada à direita de f () em 0 indica por f+ 0 ( 0 ) é de nida por f 0 + ( 0 ) = caso o ite eista. f ( 0 + ) f ( 0 )!0 + De nição 5: Seja = f () f () f ( 0 ) =,! uma função de nida em = 0, então a derivada à esquerda de f () em 0 indica por f 0 ( 0 ) é de nida por f 0 ( 0 ) =!0 f ( 0 + ) f ( 0 ) =! 0 f () f ( 0 ) 0, caso o ite eista. Do teorema da unicidade dos ites teremos que, se f+ 0 ( 0 ) = f 0 ( 0 ), então f é derivável em 0. iguais. Eemplo 8: Seja f () =, se < 3 8, se 3, calcule a derivada em = 3. Solução: Sabemos que f 0 (3) eiste se as derivadas laterais eistirem e forem As derivadas laterais são: f 0 f(3+) f(3) (3) = =!0! = ; f+ 0 f(3+) f(3) (3) = = =.!0 +!0 + Como f+ 0 (3) 6= f 0 (3), então f não é derivável em = 3 Eemplo 9: Seja f () = ( ) jj. Encontre f 0 (0) : Solução: Aplicando a de nição de módulo, podemos reescrever f como f () =, se 0 ( ), se < 0.

114 4 O grá co de f é: 4 Geometricamente, concluímos f não é derivável em = 0, pois apresenta um pico neste ponto. Mostremos analiticamente que f 0 (0) não eiste. As derivadas laterais são: (0+) (0+) 0!0 + f+ 0 f(0+) f(0) (0) = =!0 + f 0 f(0+) f(0) (0) = =!0!0 Conclusão: f 0 (0) não eiste, pois f+ 0 (0) 6= f 0 (0) : = ; (0+) +(0+) 0 =. 3.6 Regras de Derivação A derivada de uma função é de nida como um ite e usamos este ite para calcular alguns casos simples. Vamos desenvolver agora alguns teoremas importantes, que possibilitaram calcular derivadas de forma mais e ciente. Derivada de uma função constante Teorema: Se f() = k, com k R, então f 0 () = 0. Demostração: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 () =!0 f(+) f() =!0 k k =!0 0 = 0. Eemplo 0: Se f () = 0, então f 0 () = 0. Regra da Potência Teorema: Se f () = n, com n N, então f 0 () = n n. Demostração: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 f(+) f() (+) () = = n!0!0 () Pelo binômio de Newton, sabemos que ( + ) n = n + n n n(n ) + n () + + n () n + () n. Substituindo em (), segue que: n n + f 0 () =!0 = n n +!0 n(n ) n () ++n() n +() n n n(n ) n () + + n () n + () n = n n.

115 5 Portanto, f 0 () = n n. Eemplo : (a) Se f () = 7, então f 0 () = 7 6. (b) Se f () =, então f 0 () =. Observação: Se n Q, o teorema acima continua verdadeiro. Derivada do produto de uma constante por uma função Teorema: Se f for uma função diferenciável em e c for um número real constante, então cf também é diferenciável em e d () (cf ()) = cdf d d. Demonstração: De na g () = cf (). Pela de nição de ite, temos que: g 0 g(+) g() cf(+) cf() f(+) f() () = = = c.!0!0!0 Como f é diferenciável em, então f 0 () eiste. Assim, Portanto, g 0 () = cf 0 () (cf ()) 0 = cf 0 () : Eemplo : (a) Se f () = 3 4, então f 0 () = 3. (b) Se f () = 3, então f 0 () = 3. Derivada de soma e diferença de funções Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em, então f g também é diferenciável em e d df () dg () [f () g ()] = d d d. Demonstração: De nindo h () = f () + g (). Pela de nição de ite, temos que: h 0 () =!0 h(+) h() f(+)+g(+) f() g() = :!0 Reagrupando os termos e aplicando a propriedade do ite da soma de funções, tem-se que:

116 6 f(+) f() g(+) g() h 0 () = +.!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que h 0 () = f 0 () + g 0 (). Portanto, a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, (f () + g ()) 0 = f 0 () + g 0 (). Eemplo 3: Se f () = 6 3p Determine f 0 (). Solução: Aplicando a propriedade da derivada da soma, temos que: f 0 () = (6 3p ) 0 = (6 3p ) 0 + (3 ) 0 + (7) 0 : Pelas propriedades da derivada de uma constante por uma função e da derivada de uma função constante, segue que: 0 f 0 () = ( ) 0 + 0: Aplicando a regra da potência, obtém-se: f 0 () = 6: 3 + 3: = 6 + = p. Regra do Produto Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em, então f:g também é diferenciável em e d dg () df () [f () :g ()] = f () + g () d d d. Demonstração: De nindo h () = f () :g (). Pela de nição de ite, temos que: h 0 () =!0 h(+) h() f(+):g(+) f():g() =!0 Somando e subtraindo f () :g ( + ), segue que: f(+):g(+) f():g(+)+f():g(+) f():g(). h 0 () =!0 Rearranjando os termos e aplicando a propriedade do ite da soma de funções, tem-se que: h 0 () =!0 f(+):g(+) f():g(+) g(+)(f(+) f()) f():g(+) f():g()!0 f()(g(+) g()). + = +!0!0 Aplicando a propriedade do produto de ites, temos que: f(+) f() h 0 () = g ( + ) : +!0!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que: h 0 () = g () :f 0 () + f () :g 0 (). f () : g(+) g().!0

117 7 Eemplo 4: Se f () = p. Determine f 0 (). Solução : Pela regra do produto, temos que: f 0 () = ( ) 0 p 0 p + = + p = 5 3. Solução : Reescrevendo f, temos que: f () = 5. Pela regra do produto, obtemos que: f 0 () = 5 5 ) f 0 () = 5 3. Observação: O teorema anterior é válido para mais de duas funções, vejamos para três. Se f() = u():v():w(), então e assim sucessivamente. f 0 () = u 0 ():v():w() + v 0 ():u():w() + w 0 ():u():v() Regra do Quociente Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em e g () 6= 0, então f g também é diferenciável em e d d f () g () = g () :f 0 () f () :g 0 () (g ()). Demonstração: De nindo h () = f(). Pela de nição de ite, temos que: h(+) h() g() f(+) g(+) f() g() h 0 () = =!0!0 Somando e subtraindo f () :g (), segue que: =!0 g():f(+)+f():g() f():g() g(+)f() g():f(+) g(+)f() :g():g(+) h 0 () =!0 g():g(+) Rearranjando os termos e aplicando a propriedade do ite da soma de funções, tem-se que: h 0 () =!0 = g()(:f(+) f()) f()( g()+g(+)) g():g(+)!0 g():g(+) : :f(+) f() f()!0 g(+)!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que: h 0 () = :f 0 f() () g 0 () = g():f 0 () g() (g()) Portanto, f():g 0 (). (g()) 0 f () = g () :f 0 () f () :g 0 () g () (g ()). g():g(+) :!0 g(+) g(). Eemplo 5: Se f () = +. Determine f 0 (). 3 Solução: Pela regra do quociente, temos que: f 0 () = (3 ):( +) 0 ( +)(3 ) 0 (3 ) = (3 ): ( +)3 0 (3 ) = 3 6 (3 ).

118 8 Eemplo 6: Seja f () = + h (). Se h () é derivável, h () = e 3 h 0 () = 0. Calcule f 0 (). A função f é contínua em =? Justi que. Solução: Como h é derivável então eiste h 0 (). Assim, pela regra do quociente, temos que = : f 0 () = 3 : ( + h ()) 0 ( + h ()) :3 6 ) f 0 () = : (h () + h 0 ()) ( + h ()) :3 4 : Em =, temos que f 0 () = h () + h 0 () 6 3h () = h 0 () 3h () 6: Sabemos que h () = e h 0 () = 0, temos que f 0 () = 0 3 ( ) 6 = 0. Como f 0 () eiste, f é derivável em então, por teorema, f é contínua em Regra da Cadeia Teorema: Sejam = f(u) e u = g(), duas funções deriváveis. A derivada da função em relação a é igual ao produto da derivada da função em relação a u pela derivada da função u em relação a, isto é, d d = d du :du d ou d d = f 0 (g()) :g 0 (). Demonstração: Formemos separadamente o quociente de Newton em ambas as funções, assim: + = f (u + u) ) = f (u + u) f (u) ) f(u+u) f(u) = ; u u () u + u = g ( + ) ) u = g ( + ) g () ) u = g(+) g(). () Notemos que, os primeiros membros de () e (), nos dão uma razão entre o acréscimo de cada função e o acréscimo da correspondente variável. Os segundos membros de () e (), nos dão as mesmas razões de outra forma. Escolhemos os primeiros membros por ser uma notação mais conveniente e façamos o produto, assim: = u : u. Fazendo! 0, então u! 0 pois, u() é derivável e portanto contínua. De onde vem que:!0 = u!0 Da de nição de derivadas vem: u :!0 u.

119 9 Portanto, d d =d du :du d ou d d = f 0 (g()) :g 0 (). ((f g) ()) 0 = f 0 (g()) :g 0 (). (a) = p 5 + ; Eemplo 7: Determine as derivadas das funções abaio: Solução: De nindo u = 5 +. Então, = p u. Assim, d du = p u e du d = 5. Pela regra da cadeia, temos que: d = d : du ) d = d du d d p d :5 ) = 5 u d p. 5+ (b) = 3p p ; Solução: De nindo v =, u = p v e = 3p u. Pela regra da cadeia, temos que: d d = d du : du d () mas, du = du dv. d dv d Temos que: dv = 4 d ; du dv = p v ; d d = 3 3p u. Assim, substituindo em (), segue que: d = d 3 3p : u p : (4 ) ) d = 4 v d 6 3p p = 4 : 6( ) 5 6 (c) = ( ) 4 : + 3 ; Solução: Pela regra do produto, temos que: 0 = ( ) ( ) 4 : () Pela regra da cadeia, temos que: ( ) 4 0 = 4 ( ) 3 ( ) 0 = 4 (4 ) ( ) 3 : () Pela regra do quociente, segue que: = 3 6 () (3 )

120 0 Substituindo () e () em (), temos que: 0 = 4 (4 ) ( ) ( ) 4 3 (3 ) 0 = ( ) 3 (3 ) ( ). (d) = 3p( +). Solução: Reescrevendo a função, temos que: Pela regra do produto, temos que: = = ( ) 0 ( + ) 3 + ( + ) 3 0 : () Pela regra da cadeia, temos que: ( + ) 0 3 = 3 ( + ) 3 ( + ) 0 = 4 3 ( + ) 3 4 = : () 3( +) 3 Substituindo () em (), temos que: 0 = ( + ) ( +) 3 0 = 3( +) 3 (3 + 5). Derivada das funções trigonométricas. Derivada da Função Seno: Se f () = sin, então f 0 () = cos. Demonstração: Pela de nição de ite, temos que: f 0 () =!0 =!0 f(+) f() =!0 sin cos()+sin() cos sin(+) sin sin sin [cos() ]+sin() cos =!0 Aplicando propriedades de ites, temos que: f 0 cos() sin() () = sin : + cos :!0!0!0!0 f 0 () = sin 0 + cos ) f 0 () = cos.

121 Portanto, f 0 () = cos : Eemplo 8: Se f () = sin p 3, determine f 0 (). Solução: De nindo u = p 3, então = f (u) = sin u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (sin u) 0 :u 0 = u 0 : cos u 0 = (3 ) 0 p : cos 3 0 = (3 ) (3 ) 0 : cos p 3 0 = p 3 cos p Derivada da Função Cosseno: Se f () = cos, então f 0 () = sin. Demonstração: Pela de nição de ite, temos que: f 0 () =!0 f(+) f() =!0 cos(+) cos cos() sin() sin cos =!0 cos cos [cos() ] sin() sin =!0 Aplicando propriedades de ites, temos que: f 0 cos() () = cos :!0!0 sin() sin :!0!0 f 0 () = cos 0 sin ) f 0 () = sin. Portanto, f 0 () = sin : Eemplo 9: Se f () = cos sin p +, determine f 0 (). Solução: De nindo u = sin p +, então = f (u) = cos u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (cos u) 0 :u 0 = u 0 : sin u 0 = sin p + 0 p : sin sin + 0 = cos p p 0 + : + : sin sin p + 0 = p + cos p + : sin sin p +.

122 3. Derivada da Função Tangente: Se f () =tg(), então f 0 () = sec. Demonstração: Escrevendo a função tangente como um quociente, temos que: f () = tg () = sin cos : Derivando pela regra do quociente, temos que: f 0 () = cos (sin )0 sin (cos ) 0 cos Portanto, = cos +sin cos = cos = sec. f 0 () = sec : psin Eemplo 0: Se f () =tg ( ), determine f 0 (). Solução: De nindo u = p sin ( ), então = f (u) =tg(u). Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (tg (u)) 0 :u 0 = u 0 : sec u 0 = (sin ( )) 0 : sec psin ( ) psin 0 = (sin ( )) (sin ( )) 0 : sec ( ) 0 = cos( ) psin psin( ) sec ( ). 4. Derivada da Função Cotangente: Se f () =cotg(), então f 0 () = cossec (). Demonstração: Escrevendo a função cotangente como um quociente, temos que: f () = cotg () = cos sin : Derivando pela regra do quociente, temos que: f 0 () = sin (cos )0 cos (sin ) 0 = sin cos sin sin = Portanto, f 0 () = cossec () : sin = cossec (). Eemplo : Se f () =cotg( + + ), determine f 0 (). Solução: De nindo u = + +, então = f (u) =cotg(u). Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (cotg (u)) 0 :u 0 = u 0 :cossec u 0 = ( + + ) 0 :cossec ( + + ) 0 = ( + ) :cossec ( + + ).

123 3 5. Derivada da Função Secante: Se f () = sec (), então f 0 () =tg() sec. Demonstração: Escrevendo a função secante como um quociente, temos que: f () = sec = cos = (cos ) : Derivando pela regra da cadeia, temos que: f 0 () = Portanto, (cos ) (cos ) 0 = sin cos = sin cos : cos f 0 () = tg () sec : =tg() sec. 6. Derivada da Função Cossecante: Se f () =cossec(), então f 0 () = cotg()cossec(). Demonstração: Escrevendo a função cossecante como um quociente, temos que: f () = cossec () = sin = (sin ) : Derivando pela regra da cadeia, temos que: f 0 () = (sin ) (sin ) 0 = cos Portanto, sin = cos : = sin sin f 0 () = cotg () :cossec () : Eemplo : Se f () =cossec 4p sec (), determine f 0 (). Solução: De nindo u = 4p sec (), então = f (u) =cossec(u). Pela regra da cadeia, temos que: 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = cotg() :cossec(). u 0 :cotg(u)cossec(u) p 0 p p 4 sec () :cotg 4 sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p (sec ()) 0 4 cotg sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p tg() sec ().cotg 4 sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 4 4 tg().cotg 4 sec () 4 cossec sec () : Observação: Todos os teoremas demonstrados até aqui, são generalizados, com o uso da função composta:. Se f (u) = sin u, então f 0 (u) = u 0 cos u;. Se f (u) = cos u, então f 0 (u) = u 0 sin u; 3. Se f (u) =tg(u), então f 0 (u) = u 0 sec u;

124 4 4. Se f (u) =cotg(u), então f 0 (u) = u 0 cossec (u) ; 5. Se f (u) = sec u, então f 0 (u) = u 0 tg(u) sec (u) ; 6. Se f (u) =cossec(u), então f 0 (u) = u 0 cossec(u)cotg(u). Eemplo 3: Encontre o(s) ponto(s) em que a(s) reta(s) tangente(s) ao grá co de = 3 tg() é(são) paralela(s) à reta = : Solução: Se t a reta tangente ao grá co de = f () que é paralela r : = +. Então: m t = m r ) m t = : Por outro lado, sabemos que: m t = f 0 ( o ) = 3 sec o ) m t = () 3 sec o = ) cos o = () o = + k ou 4 o = 3 + k, com k Z: 4 Então os pontos de tangência são: P + k; f + k e Q 3 + k, f 3 + k Derivada da função eponencial Teorema: Se = a, com a > 0 e a 6=, então 0 = a ln a. Demonstração: Pela de nição de ite, temos que: f(+) f() 0 = f 0 () = =!0!0 Pelas propriedades de ites, temos que: 0 =!0 a a : = a ln a.!0 Portanto, 0 = a ln a. a (+) a a = (a ) :!0 Caso particular: Se a = e, então para = e, segue que 0 = e ln e ) 0 = e. Derivada da função logarítmica Teorema: Se = log a, com a > 0 e a 6=, então 0 = log a e. Demonstração: Pela de nição de ite, temos que: 0 = f 0 () =!0 =!0 log a (+ ) De nindo = u 0 = log a f(+) + u! u f() =!0 = log a!0, ou seja, u = u = log a log a (+) + log a =!0 = log a!0 log a ( + ) + :. Se! 0, então u!. Assim, u! + u u = log a e:

125 5 Portanto, 0 = log a e: Caso particular: Se a = e, então para = log e = ln, segue que = ln ) 0 =. Derivada de uma função eponencial composta Teorema: Se = u v, onde u = u () e v = v () são funções de, deriváveis em um intervalo I e u () > 0, 8 I, então 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0. Demonstração: Usando propriedades de logaritmo, podemos escrever a função = u v, como = e ln uv ) = e v ln u. Note que: = (g f) () = g (f ()), onde g (w) = e w e w = f () = v ln u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = g 0 (w) :w 0 ) 0 = e w : (v ln u) 0 ) 0 = e w v 0 ln u + v u0 u ) 0 = e v ln u (v 0 ln u + v:u :u 0 ) Por propriedade de logaritmo, segue que: 0 = e ln uv (v 0 ln u + v:u :u 0 ) ) 0 = u v (v 0 ln u + v:u :u 0 ). Portanto, 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0. obtém-se: Resumo: Aplicando a regra da cadeia para as funções compostas abaio,. Se = a u, com a > 0 e a 6=, então = u 0 :a u ln a;. Se = e u, então = u 0 e u ; 3. Se = log a u, com a > 0 e a 6=, então = u0 u log a e; 4. Se = ln u, então = u0 u ; 5. Se = u v, então 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0. Eemplo 4: Determine a derivada das funções:

126 6 p. = 5 +3 ; Solução: De nindo u = p + 3, então = 5 u. Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = ( + 3) 0 = ( + 3) : ( + 3) 0 = 4+3 p : +3 Pela regra de derivação da função eponencial composta, temos que: p 0 = 5 u ln 5:u 0 ) 0 = 4+3 p 5 +3 ln = ln (sin (e )); Solução: De nindo u = sin (e ), então = ln u. Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = (sin (e )) 0 ) u 0 = (e ) 0 cos (e ) u 0 = ( ) 0 (e ) cos (e ) ) u 0 = e cos (e ). Pela regra de derivação da função logaritmo composta, temos que: 0 = u0 u ) 0 = e cos(e ) sin(e ) = e cotg(e ) : p e 3. = e ; Solução: De nindo u = p e, então = ln u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 u 0 = e ) u 0 = e 0 e = e e u 0 = e = p e. Pela regra de derivação da função eponencial composta, temos que: 0 = u 0 e u ) 0 = p p e e 4. = sec e. 3p + +cossec + ; Solução: Aplicando propriedades de derivadas, temos que: 0 = sec 3p + + cossec + De nindo u = 3p + e v =. + Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = ( + ) 0 3 ) u = ( + ) = sec 3 p cossec + 0 : Pela regra do quociente, temos que: v 0 = 0 ) v 0 = (+)( )0 ( )(+) 0 =. + (+) (+) Pela regra de derivação de funções trigonométricas composta, temos que: 0 = u 0 sec (u)tg(u) v 0 cotg(v)cotg(v)

127 7 0 = 3p sec p 3 + tg 3p + cotg 3 (+) (+) + cotg = (sin ) ; Solução: De nindo u = sin e v =. Pela regra de derivação de uma função eponencial composta, temos que: 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0 0 = (sin ) (sin ) 0 + (sin ) ln (sin ) : ( ) 0 0 = (sin ) cos + (sin ) ln (sin ) 0 = (sin ) cos + ln (sin ) sin 0 = (sin ) (cotg () + ln (sin )). Derivada de funções hiperbólicas Como as funções hiperbólicas são de nidas em termos das funções eponenciais, a derivação dessas funções se resume na derivação de funções eponenciais. Eemplo 5: Mostre que se f () = sinh, então f 0 () = cosh : Solução: Lembre que: f () = sinh () = e e. Assim, f 0 () = (sinh ()) 0 = e Portanto, f 0 () = cosh : e 0 = e +e = cosh. são: Analogamente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas, que. Se f (u) = sinh u, então f 0 (u) = u 0 cosh u;. Se f (u) = cosh u, então f 0 (u) = u 0 sinh u; 3. Se f (u) =tgh(u), então f 0 (u) = u 0 sech (u) ; 4. Se f (u) =cotgh(u), então f 0 (u) = u 0 cossech (u) ; 5. Se f (u) =sech(u), então f 0 (u) = u 0 tgh(u)sech(u) ; 6. Se f (u) =cossech(u), então f 0 (u) = u 0 cossech(u)cotgh(u). Observação: A demonstração das derivadas das funções hiperbólicas ca como eercício! Eemplo 6: Determine a derivada das funções:

128 8. = cosh (( 3 + ) e 4 ); Solução: De nindo u = ( 3 + ) e 4. Então: = cosh u. Pela regra do produto, temos que: u 0 = ( 3 + ) (e 4 ) 0 + ( 3 + ) 0 e 4 u 0 = ( ) e 4. ) u 0 = 4 ( 3 + ) e e 4 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = (cosh u) 0 = u 0 sinh u ) 0 = ( ) e 4 sinh (( 3 + ) e 4 ).. =tgh ln +3 ; 4 Solução : De nindo u = ln Derivando o ln, temos que: = Assim, =tgh(u). = ( +6) u 0 = Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = u 0 sech (u) ) 0 = sech ln Solução : De nindo u = ln +3. Assim, =tgh(u). 4 Aplicando as propriedades de ln para reescrever a função u, temos que: u = ln ( + 3) 4 ln ) u 0 = 4 = Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = u 0 sech (u) ) 0 = sech ln 3. = q cotgh (t + ) ; Solução: De nindo u =cotgh(t + ). Então, = p u. Pela regra da cadeia, temos que: 0 = p u :u0 ) 0 = p cossech (t + ) (t + ) 0 cotgh(t+) 0 = (t+)cossech (t+) pcotgh(t+). Eemplo 7: Sejam f uma função diferenciável e g a função de nida por g () = cosh ( ) f 8 3 : Supondo que g 0 = determine o valor f 0 (). Solução: Pela regra do produto, temos que: g 0 () = ( ) 0 senh( ) f (8 3 ) + cosh ( ) f 0 (8 3 ) (8 3 ) 0

129 9 ) g 0 () = senh( ) f (8 3 ) + 4 cosh ( ) f 0 (8 3 ) Como g 0 =, segue que: = senh (0) f () + 4 cosh (0) f {z } 4 {z } () 0 ) = 6f 0 () ) f 0 () =. 3.7 Derivação Implícita De nição 6: Quando a relação entre e é dada por uma equação da forma F (; ) = 0, dizemos que é uma função implícita de. Uma equação em e pode implicitamente de nir mais do que uma função de :Por eemplo, se resolvermos a equação + = 9, () para em termos de, obtemos = p 9. Assim, encontramos duas funções que estão de nidas implicitamente por (), são f () = p 9 ; f () = p 9 ; Os grá cos dessas funções são semicírculos do círculo + = 9 que estão localizados acima e abaio do eio das ordenadas. + = 9 f () = p 9 f () = p Observe que o círculo completo não passa no teste da reta vertical, e portanto, não é o grá co de uma função de. Contudo, os semicírculos superior e inferior passam no teste da reta vertical. Nem sempre é possível de nir a forma eplícita de uma função de nida implicitamente. Por eemplos, as funções 3 + = 3, ln = 0, não podem ser epressas na forma = f (). O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função assim de nida, sem a necessidade de eplicitá-la. Derivada de uma função dada implicitamente Suponhamos que F (; ) = 0 de ne implicitamente uma função derivável = f (). A derivada de uma função na forma implícita é obtida usando a regra da cadeia. Assim, é possível determinar 0 sem eplicitar.

130 30. + = 9; Eemplo 8: Derive implicitamente as funções abaio. Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( + ) 0 = (9) 0 ) d d + = 0 ) d =. d d d. 3 + = 3; Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( 3 + ) 0 = (3) 0 ) 3 + d d = 3 ()0 ) 3 + d d ) ( 3) d d = 3 3 ) d ln = 0 = 3 3. d 3 Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( ln ) 0 = (0) 0 ) 4 3 d d ) d d d d = 0 d d = 3 ) d d = = d d ln (sin ( )) = e 3 +. Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: (sin( )) 0 sin( ) = (6 + ) e 3 + ) ( ) 0 cos( ) sin( ) = (6 + ) e 3 + ) ( + 0 )cotg( ) = (6 + ) e 3 + ) (7 6 + cot ( )) 0 = (6 + ) e 3 + cotg( ) ) 0 = (6 +)e 3 + cot( ) cot( ) é horizontal. Solução: Eemplo 9: Determine o(s) ponto(s) em que a reta tangente à curva Interpretação geométrica: C : = 9 Pela próima gura, note que eistem dois pontos em que a reta tangente a curva C é horizontal.

131 3 Determinando analiticamente os pontos em que a reta tangente a curva C é horizontal: Sabemos que a reta tangente é horizontal nos pontos em que m t = d = 0: d Derivando implicitamente a equação que descreve C, temos que: = 0 ) d =. () d + 3 Se + 3 6= 0, então d = 0, =. () d Substituindo em C, temos que: = 0 ) + 3 = 0, ou seja, = 3 ou =. Substituindo estes valores em (), obtemos: P ( 3; 6) e P (; ). Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos P e P, pois satisfazem a condição (). Eemplo 30: Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a. Mostre que a tangente a C no ponto P ; p 3 é ortogonal a reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto P. Solução: Interpretação geométrica: : Equação da circunferência C cujo centro está na origem e cujo raio é igual a C : + = 4: () Sejam t e r, respectivamente, a reta tangente à C em P e a reta que passa pela origem e polo ponto P. Objetivo do eercício: mostrar que r? t. Sabemos que m r :m t =, m r :m t = : * Coe ciente angular da reta r: m r = p 3 0 = p 3: 0 * Para obter o coe ciente angular da reta t deriva-se impliticamente a equação () com relação a, pois sabemos que o coe ciente angular de uma reta tangente é: m t = d d = P ) m t = p : P 3 Portanto, m r :m t =.

132 3 Observação: A técnica utilizada na demonstração da derivada de uma função eponencial composta também e a derivada implícita de uma função podem ser usadas para facilitar a derivação de algumas funções que envolvam quocientes e produtos. Isto pode ser observeado o próimo eemplo. Eemplo 3: Obtenha a derivada da função = 3p p + 5 sen 3 () : e 37 + Solução: Antes de derivar, usando a regra do quociente, iremos reescrever a função com a nalidade de que sua derivada seja obtida mais facilmente. Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados, estamos que: 3p p! + 5 sen ln = ln 3 () e 37 + Aplicando as propriedades de logaritmo neperiano, temos que: ) ln = ln 3p p + 5 sen 3 () ln e 37 + ) ln = ln ( + ) ln (sen ()) 5 (3 7 + ) ln e ) ln = ln ( + ) + 3 ln (sen ()) 3 5 (37 + ) Derivando implicitamente com relação a, temos que: ) d d (ln ) = ln ( + ) + 3 ln (sen ()) d d 3 5 (37 + ) ) 0 cos () = sen () Multiplicando ambos os lados por, obtém-se que: ) 0 = cotg () 6 Susbtituindo a função dada inicialmente segue que: 3p p sen = 3 () cotg () 6 : e Derivada da função inversa Eemplo 3: Considere a função = f () = Solução: Como = d. Determine e d. + d d, derivando pela regra do quociente, obtemos que + d d = ( + ). Para determinar d, iremos escrever em função de e, a seguir, derivar d com relação a. Se = g () = Lembrando que =, então d + =. d ( ), temos que: d d ( + ) =.

133 33 Observe que, d d =. d d Neste eemplo, veri camos uma aparente relação que eiste entre a derivada de uma função e a derivada de sua inversa. Para determinarmos um relação entre as derivadas de f e f, suponha que ambas as funções são diferenciáveis, e seja = f (). (#) Reescrevendo esta equação como = f (), e diferenciando implicitamente com relação a, resulta que d() = d (f ()) ) = f 0 () d ) d =. d d d d f 0 () A partir de (#) obtemos a seguinte fórmula que relaciona a derivada de f com a derivada de f. d d f () = f 0 (f ()). Podemos enunciar este resultado como: Teorema: Seja = f () uma função de nida em um intervalo aberto (a; b). Suponhamos que f () admite uma função inversa = g () contínua. Se f 0 () eiste e é diferente de zero para qualquer (a; b), então g = f é derivável e g 0 () = f 0 () = f 0 (g ()). Em outras palavras, se = f () admita uma função inversa então d d =. d d Derivada das funções trigonométricas inversas. Derivada da função Arco Seno: Seja f : [ ; ]! ; de nida por f () = arcsin. Então, = f () é derivável em ( ; ) e 0 = p. Demostração: Sabemos a função arco seno é a inversa da função seno, ou seja, = arcsin, = sin. Como (sin ) 0 eiste e é diferente de zero 8 da função inversa, temos que: ;, pelo teorema da derivada

134 34 0 = (sin ) 0 = cos. Pela identidade trigonométrica, temos que: cos = p sin. Assim, 0 = p sin = p. Portanto, 0 = p.. Derivada da função Arco Cosseno: Seja f : [ ; ]! [0; ] de nida por f () = arccos. Então, = f () é derivável em ( ; ) e 0 = p. Demostração: Sabemos a função arco cosseno é a inversa da função cosseno, ou seja, = arccos, = cos. Como (cos ) 0 eiste e é diferente de zero 8 (0; ), pelo teorema da derivada da função inversa, temos que: 0 = (cos ) 0 = sin. Pela identidade trigonométrica, temos que: sin = p cos. Assim, 0 = p cos = p. Portanto, 0 = p. 3. Derivada da função Arco Tangente: Seja f : R! ; de nida por f () =arctg(). Então, = f () é derivável e 0 = +. Demostração: Sabemos a função arco tangente é a inversa da função tangente, ou seja, = arctg (), = tg (). Como (tg ()) 0 eiste e é diferente de zero 8 da função inversa, temos que: ;, pelo teorema da derivada 0 = (tg ()) 0 = sec.

135 35 Pela identidade trigonométrica, temos que: sec = tg () +. Assim, 0 = tg () + = +. Portanto, 0 = Derivada da função Arco Cotangente: Seja f : R! (0; ) de nida por f () =arccotg(). Então, = f () é derivável e 0 = +. Demostração: Sabemos a função arco cotangente é a inversa da função cotangente, ou seja, = arccotg (), = cotg (). Como (cotg ()) 0 eiste e é diferente de zero 8 (0; ), pelo teorema da derivada da função inversa, temos que: 0 = (cotg ()) 0 = cossec. Pela identidade trigonométrica, temos que: cossec = cotg () +. Assim, 0 = cotg () + = +. Portanto, 0 = Derivada da função Arco Secante: Seja f () = arcsec (), de nida para jj. Então, = f () é derivável para jj > e 0 = jj p. Demostração: Sabemos a função arco secante é a inversa da função secante, ou seja, = arcsec (), = sec () = ) = arccos. cos Pela regra da cadeia, nos pontos em que eiste a primeira derivada, temos que: 0 p = q = p = p p = jj p. Portanto, : q = 0 = jj p.

136 36 6. Derivada da função Arco Cossecante: Seja f () =arccossec(), de nida para jj. Então, = f () é derivável para jj > e 0 = jj p. Demostração: Sabemos a função arco cossecante é a inversa da função cossecante, ou seja, = arccossec (), = cossec () = ) = arcsin. sin Pela regra da cadeia, nos pontos em que eiste a primeira derivada, temos que: 0 = q p = p = jj p. Portanto, : q = 0 = jj p. Para funções compostas, usando a regra da cadeia, temos que:. Se = arcsin u, então 0 = u0 p u ;. Se = arccos u, então 0 = u 0 p u ; 3. Se =arctg(u), então 0 = u0 +u ; 4. Se =arccotg(u), então 0 = u 0 +u ; 5. Se = arcsec (u), então 0 = u 0 juj p u ; 6. Se =arccossec(u), então 0 = u 0 juj p u. Eemplo 33: Determine a derivada das funções.. f () = arcsin [ln ( )]; Solução: De nindo u = ln ( ). Então, u 0 =. 0 = p u0 u = p = (ln( )) ( ) p. ln ( ). f () = arcsec e 3 ; Solução: De nindo u = e 3. Então, u 0 = ( ) e 3. 0 u = 0 juj p = (+33 )e 3 u je 3 j p. e 3

137 37 3. f () =arccossec ln p + ; Solução: De nindo u = ln p + = ln ( + ). Então, u 0 = 0 = u 0 juj p u = ( +)jln p +j p ln p Derivada das funções hiperbólicas inversas Pelo capítulo anterior, sabemos que a função = arg sinh também pode ser escrita como = ln + p +. Assim, de nindo u = + p +, segue que: 0 = + p p + = + p + + p + ) 0 = p + : Logo, se = arg sinh, então 0 = p +. Por desenvolvimento análogo podem ser obtidas as derivadas das demais funções hiperbólicas inversas. A seguir, apresentamos as derivadas das funções hiperbólicas inversas compostas.. Se = arg sinh u, então 0 = u0 p u + ;. Se = arg cosh u, então 0 = p u0 u, para u > ; 3. Se = arg tgh(u), então 0 = u0 u, para juj < ; 4. Se = arg cotgh(u), então 0 = u0 u, para juj > ; 5. Se = arg sech(u), então 0 = u 0 u p u, para 0 < u < ; 6. Se = arg cossech(u), então 0 = u 0 juj p +u, para u 6= 0: Eemplo 34: Determine a derivada da função = arg tgh cosh (6). Solução: Se u = cosh (6), então: u 0 = cosh (6) sinh (6) = 6 sinh (). Assim, 0 = u0 = 6 sinh(). u cosh 4 (6)

138 Derivada de uma função na forma paramétrica Função na forma paramétrica Considere a equação + = a. () A equação () representa um círculo de raio a. Pelos conhecimentos da Geometria Analítica, podemos epressar e como funções de um paramâmetro t, da seguinte forma: a a t a = a cos t = a sin t, com t [0; ]. () a As epressões () e () representam a mesma curva. Na equação (), a função é apresentada na forma implícita. As equações (), epressam a função na forma paramétrica. Sejam = (t) = (t), com t [a; b], (3) Então a cada valor de t correspondem dois valores e. Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado do plano. Se as funções = (t) e = (t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P ( (t) ; (t)) descreve uma curva no plano. As equações (3) são chamadas equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro. Derivada de uma função na forma paramétrica Seja uma função de, de nida pelas equações paramétricas (3). Supondo que as funções = (t), = (t) e sua inversa t = t () são deriváveis. A função = (), através das equações (3), podem ser vista como função composta = (t ()). (4) Aplicando a regra da cadeia em (4), segue que: d d = d dt dt d. Como = (t) e t = t () são deriváveis, pelo teorema da derivada para funções inversas, temos que: dt d = d dt ) t 0 () = 0 (t).

139 39 Logo, d d = d dt d dt ) d d = 0 (t) 0 (t) : = t 3 Eemplo 35: Derive a função representada parametricamente por = t 4 3. Solução: Temos que: 0 (t) = 6t e 0 (t) = 4t 3. Logo, a derivada da função respresentada parametricamente é d d = 0 (t) 0 (t) = 4t3 6t = 3 t. t (). Para apresentar a derivada d d Neste caso, como = t 3, então t = 3 q + Substituindo em d, temos que: d em termos de, deve-se escrever t como t =. d 3p 4 d = 3 3p +. Eemplo 36: Considere a função representada parametricamente por p (t) = cos 3 t (t) = p sin 3 : t Determine as equações das retas tangente e normal ao grá co da função no ponto onde t =. 4 Solução: Determinando o coe ciente angular, pela derivação de funções dadas parametricamente. 0 (t) = 3 p cos t: sin t 0 (t) = 3 p sin : t cos t Então, d = 0 (t) = d 0 (t) Em t =, segue que 4 d E ainda, 3p sin cos t 3 p = sin t = cos t: sin t cos t d t= 4 tan t = : 4 = p cos = p sin 3 4 ) 0 4 = 0 4 =. A equação da reta tangente no ponto ; é = ) = + : O coe ciente anguar da reta normal é m n = m tg, ou seja, m n =. Assim, a equação da reta normal é = ) = :

140 40 Eemplo 37: As equações paramétrica da curva C, chamada brua de Maria (t) = cotg (t) Agnesi, são de nidas por 0; (t) = sen (t), para t. Encontre a equação da reta tangente e da reta perpendicular à curva C que passam pelo ponto P (; ) : Solução: Sabemos que o coe ciente angular da reta tangente é m t = d e que o d coe ciente angular da reta normal é m n = m t : Pela derivada de uma função na forma paramétrica, temos que: d d = 0 d (t) 0 (t) = sin t dt 4 sin t cos t = ) d ( cot t) csc t d = cos t sin3 t d dt Determinando o parâmetro 8t associado com o ponto P (; ): < cos (t) = sen = cotg (t) p (t) = sen ) (t), t = : sen (t) = 4. Assim, temos que: m t = cos 4 sin 3 4 = e m n =. Logo, a equação da reta tangente é: = ( ) ) = +: E, a equação da reta perpendicular é: = ( ) ) = : P 3.0 Derivadas de Ordem Superior Se a derivada f 0 de uma função f for ela mesma diferenciável, então a derivada de f 0 será denotada por f 00, sendo chamada de derivada segunda de f. À medida que tivermos diferenciabilidade, poderemos continuar o processo de diferenciar derivadas para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e mesmo as derivadas mais altas de f. As derivadas sucessivas de f são denotadas por f 0, f 00 = (f 0 ) 0, f 000 = (f 00 ) 0, f (4) = (f 000 ) 0, f (5) = f (4) 0, Chamadas de derivadas primeira, segunda, terceira e assim por diante. Acima da derivada terceira, ca muito estranho continuar a usar linhas para indicar derivadas. Assim sendo, denotamos por inteiros entre parênteses a indicação da ordem das derivadas. Nesta notação, a derivada de ordem arbitrária é denotada por f (n) : n-ésima derivada de _ f. Derivadas sucessivas também podem ser denotadas por 0 = f 0 () ) d = d [f ()]; d d 00 = f 00 () ) d = d d d d [f ()] = d d [f ()]; d 000 = f 000 () ) d3 = d d [f ()] = d3 [f ()]; d 3 d d d 3... Em geral, escrevemos

141 4 (n) = f (n) () ) dn d n = dn [f ()] : dn Eemplo 38: Obtenha a epressão da n-ésima derivada das funções abaio:. = ; Solução: Temos que: 0 = ; 00 = ; 000 = 60 8; (4) = 0; (5) = 0; (6) = 0;. Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = 0, 8n 6.. = a, para a > 0 e a 6= ; Solução: Temos que: 0 = ln a:a ; 00 = ( ln a) :a ; 000 = ( ln a) 3 :a ; (4) = ( ln a) 4 :a ;. Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( ln a) n :a, 8n N. 3. =sen ; Solução: Temos que: 0 = cos =sen + ; 00 = sen =sen + ; 000 = cos =sen + 3 ;

142 4 (4) =sen =sen + 4 ;. Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = sen + n, 8n N. 4. = ln (3 + ); Solução: Temos que: 0 = 3 3+ ; 00 = 3:3 (3+) ; 000 = 3:3::3 (3+) 3 ; (4) = 3:3::3:3:3 (3+) 4 ;. Observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( )n+ 3 n (n )! (3 + ) n, 8n N.. 5. = +a. Solução: Observe que, = ( + a). Assim, temos que: 0 = ( + a) ; 00 = ( + a) 3 ; 000 = :3: ( + a) 4 ; (4) = :3:4: ( + a) 5 ;. Observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( ) n ( + a) (n+) n! = ( )n n! n+, 8n N. ( + a) Eemplo 39: Determine a constante k para que () = k cotgh().sech() seja solução da equação : 0 + cot gh () : cos sech () = 0. Solução: Reescrevendo () = k cotgh().sech(), temos que:

143 43 () = k cosh : = k = k (sinh ) sinh cosh sinh Assim, 0 () = k (sinh ) cosh = k cosh : sinh Observe que, : 0 + cotgh() : cossech () = k k cosh sinh + cotgh() : cossech () = ( k + ) cotgh() : cossech () sinh : Logo, : 0 + cotgh() : cossech () = 0, ( k + ) cotgh() : cossech () = 0 Dessa forma, a igualdade é satisfeita se, e somente se, k + = 0 ou cotgh() : cossech () = 0 ) k = ou cosh sinh Conclusão: Se k = então () = k cotgh().sech() é solução da equação diferencial dada. Eemplo 40: Determine o valor das constantes A e B para que a função = A sen() + B cos () satisfaça a equação =sen(). Solução: Como = A sen() + B cos (), temos que: a derivada: 0 = A cos () B sin () a derivada: 0 = 4B cos () 4A sin () Substituindo na equação =sen(), temos que: ( 4B cos () 4A sin ())+(A cos () B sin ()) (A sin () + B cos ()) = sin () ) (A 6B) cos (6A + B) sin = sin () Por comparação, segue que: A 6B = 0 ) A = 6A B = 3 e B = : Diferenciais e Aproimação Linear Local 3.. Incrementos Seja = f () uma função. Sempre é possível considerar uma variação da variável independente. Se varia de 0 a, de nimos o incremento ou acréscimo de, denotado por, como = 0. Se = f () e se varia de 0 a, então há uma correspondente variação no valor de que vai de 0 = f ( 0 ) até = f ( ), ou seja, o incremento em produz um incremento em, onde = 0 = f ( ) f ( 0 ). ()

144 44 P Q 0 0 Os incrementos podem ser positivos, negativos ou nulos, dependendo da posição relativa do pontos inicial e nal. Por eemplo, na gura anterior, os incrementos e são positivos. Observe que, as epressões = 0 e = 0, podem ser reescritas como = 0 + e = 0 +. Com esta notação podemos escrever () como = f ( 0 + ) f ( 0 ). Em um ponto qualquer, omitindo-se os subscritos, temos que: = f ( + ) f (). Geometricamente, + Q P + A razão pode ser interpretada como a inclinação da reta secante que passa pelos pontos P (; f ()) e Q ( + ; f ( + ) ), e, portanto, a derivada de com relação a pode ser epressa como Gra camente, d d =!0 = f ( + )!0 + = f ( ) f (). = f ( + ) f ( ) +

145 Diferenciais Os símbolos d e d que aparecem na derivada são chamados de diferenciais, e o nosso objetivo é de nir estes símbolos de tal forma que se possa tratar d como d uma razão. Com essa nalidade, vamos considerar como o e de nir d como uma variável independente, para a qual possa ser atribuído um valor arbitrário. Se f for diferenciável em, então de nimos d pela fórmula d = f 0 () d. Se d 6= 0, podemos dividir esta epressão por d. Assim, d d = f 0 (). Como a inclinação da reta tangente a = f () em é m t = f 0 (), as diferenciais d e d podem ser vistas como o avanço (d) e a elevação (d) correspondentes dessa reta tangente. Para ver a diferença entre o incremento e o diferencial d, vamos atribuir às variáveis independentes d e o mesmo valor (d = ). Dessa forma, temos que: (i) representa a variação ao longo da curva =f (), quando são percorridas unidades na direção ; (ii) d representa a variação ao longo da reta tangente =f (), quando são percorridas d unidades na direção. = f ( ) d d = + d ( + ) Eemplo 4: Seja =. Determine o incremento e o diferencial d em = 3 para d = = 4 unidades. Solução: Observe que d = pode ser escrita na forma diferencial como d d = d. Para = 3, temos que: d = 6d ) d = 4 unidades ao longo da reta tangente. = f (3 + ) f (3) ) = f (7) f (3) = 40 unidades ao longo da curva. Assim, d = 6 unidades d

146 46 Eemplo 4: Seja = ln. Determine o incremento e o diferencial d em = para d = = 3 unidades. Solução: Observe que d = pode ser escrita na forma diferencial como d d = d. Para =, temos que: d = d ) d = 3 = 0:75 unidades ao longo da reta tangente. 4 = f ( + ) f () ) = f 7 f () = ln 7 ln = 0:559 6 unidades ao longo da curva. Assim, d = 0:90 38 unidades Aproimação Linear Local Uma função diferenciável em P é dita localmente linear em P, quando P é um ponto de diferenciabilidade de uma função f, pois quanto maior for a ampliação em P, mais o segmento da curva contendo P se parecerá com uma reta não-vertical, que é a reta tangente à curva em P. = f ( ) f ( ) 0 0 Observe que, a equação da reta tangente no ponto ( 0 ; f ( 0 )) é dada por f ( 0 ) = f 0 ( 0 ) ( 0 ). Como = f (), para valores de próimos de 0, tem-se que f () f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 ). Esta aproimação é chamada de aproimação linear local e é melhor a medida que! 0. De nindo = 0, podemos escrever a aproimação como f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ). Eemplo 43: Calcule um valor aproimado de 3p 65; 5. Solução: Seja a função = 3p. Assim, a aproimação linear local para f f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ) 3p 0 + 3p p. (+) 0 Observe que: 65; 5 = 64 + ; 5: Assumindo 0 = 64 e = ; 5, pela aproimação dada em (+), segue que é

147 p 65; 5 3 p p (64) (; 5) = 4; Observe que, o valor calculado diretamente é 3p 65; 5 = 4; 03. Assim, a diferença entre o valor eato e aproimado, em valor absoluto, é Eemplo 44: Calcule uma valor aproimado para tg( ) : Solução: Seja = f () a função de nida por f () =tg(). Assim, a aproimação linear local para f é f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ) tg( 0 + ) tg( 0 ) + sec ( 0 ). (#) Observe que: = : Assumindo 0 = 45 e = Devemos transformar para radianos: Transformando para minutos, tem-se que: = 0 Transformando = 9 0 para graus, tem-se que: 9 0 = 9 = E, nalmente, transformando 40 para radianos, obtém-se: 3 = Portanto, pela aproimação dada em (#), tem-se que tg( ) tg(45 ) + sec (45 ) 400 ) tg( ) ; Eemplo 45: Determine uma aproimação linear local para f () = sin em torno de = 0. Use esta aproimação para encontrar sin ( ). Solução: Pela aproimação linear local, temos que: f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ). Para 0 = 0, temos que f () f (0) + f 0 (0) ) sin () sin 0 + (cos 0) ) sin () : (I) Para determinar um valor aproimado de sin ( ), é necessário transformar para radianos. A seguir, basta aplicar a relação dada em (I). Transformando para radianos, obtém-se: = Assim, pela aproimação dada em (I), tem-se que sin ( ) = 0; Note que este valor está bem próimo do valor eato, que é sin ( ) = 0; : Eemplo 46: Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 0 cm de comprimento e o ângulo oposto a este cateto foi medido como sendo rad. Sabendo 6 que ao medir o ângulo pode ter ocorrido um erro de até 5%, para mais, use diferenciais para estimar a medida da hipotenusa. Solução:

148 48 Interpretação geométrica: 0 cm H 30 Temos que: sin 30 = 0 H ) H = 40 cm. Observe que o cateto oposto ao ângulo de interesse é o e que foi cometido um erro de até 5% para mais ao medir este ângulo, isto signi ca que a medida da hipotenusa é maior que 40cm, pois o ângulo eato é menor que 6 rad. Por diferenciais, temos que o valor da hipotenusa será: H 6 + d H + dh () 6 Encontrando dh : Seja f () = 0 sin = 0 sin : Pela de nição de diferencial, temos que: dh = f 0 () d ) dh = 0 cos sin d Sabe-se que: = 30 o e que d = 5 = rad Substituindo estas informações em (), temos que: H 6 + d 40 0 cos 6 sin 6 0 = p 3 = 4: 84cm: 3..4 Diferenciais de ordem superior Se = f () uma função e d = f 0 () d a diferencial desta função. Se denomina diferencial segunda de = f () e se representa por d a epressão d = f 00 () d. A diferencial terceira de = f () e se representa por d 3 a epressão d 3 = f 000 () d 3. E assim sucessivamente, a epressão da diferencial n-ésima é d n = f (n) () d n. Eemplo 36: Obtenha a diferencial n-ésima da função = e. Solução: Temos que: d = e ( + ) d; d = e ( + ) d ; d 3 = e ( + 3) d 3 ;. Observamos que a diferencial n-ésima é d n = e ( + n) d n, 8n N.

149 49 3. Interpretação Mecânica da Derivada Velocidade Sabemos que velocidade é a variação do espaço percorrido num determinado intervalo de tempo. Supondo que um corpo se move em linha reta e que s (t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então no intervalo de tempo entre t e t + t, o corpo sofre um deslocamento s = s (t + t) s (t). De nimos a velocidade média como v m = s s (t + t) s (t) ) v m =. t t A velocidade média não nos diz nada a respeito da velocidade do corpo num determinado instante t. Para determinar a velocidade instantânea, isto é, a velocidade num instante t devemos fazer t cada vez menor (t! 0). Assim, a velocidade neste instante é o ite das velocidade médias. v = v (t) = v s (t + t) m = t!0 t!0 t s (t) ) v = s 0 (t). Aceleração Lembre que a aceleração é a variação da velocidade num certo intervalo de tempo gasto. Por racicíonio análogo ao anterior, segue que a aceleração média no intervalo de t até t + t é a m = v v (t + t) v (t) ) a m =. t t Para obter a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo t cada vez menores. A aceleração instantânea é a = a (t) = a v (t + t) m = t!0 t!0 t v (t) ) a = v 0 (t) = s 00 (t). Eemplo 37: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento retilíneo e sua posição num instante t é dada por s (t) = t. Determinar: t+ (a) a posição no instante t = ; (b) a velocidade média do corpo para t [; 4]; (c) a velocidade do corpo no instante t = ; (d) a aceleração média do corpo para t [0; 4]; (e) a aceleração no instante t =. Obs: Considere o tempo medido em segundos e a distância em metros.

150 50 Solução: (a) A posição do corpo no instante t = é s () = 3 m. (b) Para t [; 4], temos que t =. Assim, a velocidade média do corpo é v m = s(t+t) s(t) s(4) s() = = m=s: t 5 (c) A velocidade instantânea é v (t) = s 0 (t) = (t+). Então, em t =, obtém-se v () = s 0 () = 9 m=s. (d) Para t [0; 4], temos que t = 4. A aceleração média do corpo é a m = v(4) v(0) = 6 m=s. 4 5 (e) A aceleração instantânea é a (t) = v 0 (t) = (t+) 3. Logo, em t =, temos que a () = 7 m=s. 3.3 Taa de Variação Sabemos que a velocidade é a razão da variação do deslocamento por unidade de variação de tempo. Então, dizemos que s 0 (t) é a taa de variação da função s (t) por unidade de variação de t. Analogamente, dizemos que a aceleração a (t) = v 0 (t) representa a taa de variação da velocidade v (t) por unidade de tempo. Toda derivada pode ser interpretada como uma taa de variação. Dada uma função = f (), quando a variável independente varia de a +, a correspondente variação de será = f ( + ) f (). Assim, a taa de variação média de com relação a é dada por f ( + ) = f (). A taa de variação instantânea é de nida como d d =!0 ) f 0 f ( + ) () =!0 f (). Eemplo 37: Seja V o volume de um cubo de cm de aresta. (a) Calcule a razão da variação média do volume quando varia de 3 cm à 3; cm. (b) Calcule a razão da variação instantânea do volume por variação em centímetros no comprimento de aresta, quando = 3 cm. Solução: (a) Sabemos que o volume de um cubo é V = 3. Quando varia de 3 cm à 3; cm, temos que = 0; cm. Então, a razão da variação média do volume V = V (+) V () ) V V (3;) V (3) = = 7; 9 cm 3. 0; (b) A variação instantânea do volume é dada por V 0 () = 3. Em = 3, temos que: V (3) = 7 cm 3.

151 5 3.4 Taas Relacionadas Nos problemas de taas relacionadas busca-se encontrar a taa segundo a qual certa quantidade está variando em relação a outras quantidades, cujas taas de variação são conhecidas. Eemplo 38: O lado de um quadrado ` (em m) está se epandindo segundo a equação ` = +t, onde a variável t representa o tempo. Determine a taa de variação da área deste quadrado em t = s. Solução: Sejam: t : tempo (em s); ` : lado do quadrado (em m); A : área do quadrado (em m ): Sabemos que, a área de um quadrado é da = da d` ) da dt d` dt dt ) da A (`) = `. Como ` é uma função do tempo, pela regra da cadeia, temos que = ` d` = ( + dt t ) d` dt = (4 + t ) t = 4t 3 + 8t. dt Para t = s, temos que: A 0 () = t= ) A 0 () = 48 m =s. da dt Eemplo 39: Suponhamos que um óleo derramado através da ruptura do tanque se espalha em uma forma circular cujo raio cresce em uma taa constante de m=s. Com que velocidade a área do derramamento de óleo está crescendo quando o raio dele for 0m? Solução: Sejam: t : tempo (em s); r : raio (em m); A : área da circunferência (em m ): O óleo está se espalhando em forma circular, a área do derramamento é A (r) = r. Como r é está variando com o tempo, pela regra da cadeia, temos que da = da dr ) da = r dr. () dt dr dt dt dt Sabemos que o raio cresce em uma taa constante de m=s. Substituindo em (), temos que: da dt = r: Para o raio r = 0m, temos que: A 0 (0) = r=0 ) A 0 (0) = 0 m =s. da dr m=s, ou seja, dr dt = Eemplo 40: Uma escada de 50 cm de comprimento está apoiada em um muro vertical. Se a etremidade inferior da escada se afasta do muro na razão de 90

152 5 cm=s, então com que rapidez está descendo a etremidade superior no instante em que o pé da escada está a 40 cm do muro? (I), temos que: d dt Solução: Sejam: : distância do pé da escada ao muro (em cm); : distância do topo da escada ao chão (em cm); t : tempo (em s): Nosso objetivo é determinar d, para = 40 cm. dt Fazendo um esboço, pelo teorema de Pitágoras, temos que: + = (50). (I) Como e variam no tempo, derivando implicitamente com relação ao tempo d + = 0 ) d = d. (II) dt dt dt Por (I), se = 40 cm, então = 450 cm: Substituindo em (II) ; e ainda, lembrando que d dt d dt = 48 cm=s: = 90 cm=s, obtém-se Eemplo 4: Acumula-se areia em monte com a forma de um cone cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume da areia cresce a uma taa de 0 m 3 =h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m. Solução: Sejam: h : altura do monte de areia (em m); r : raio da base (em m); A : área da base (em m ): V : volume de areia (em m 3 ). A área da base corresponde a área de um circulo, isto é, A = r. Pela regra da cadeia, a razão que aumenta à área da base é da = da dr ) da = r dr. (I) dt dr dt dt dt Precisamos encontrar uma relação para dr. dt Como o monte de areia tem a forma de um cone, seu volume é V = 3 r h. (II) Lembre que, o raio e a altura são iguais. Assim, substituindo r = h em (II), temos que V = 3 r3. (III) Aplicando a regra da cadeia em (III), temos que dv = dv dr ) dv = r dr ) dr = dv. dt dr dt dt dt dt r dt Como dv = 0 m 3 =h, temos que dr = 0 : dt dt r Substituindo em (I), temos que: da = r 0 = 0. dt r r Se h = r = 4, então da dt = 5 m =h.

153 Eercícios f( + h) f(). Para as funções dadas abaio calcule : h!0 h (a) f() = (b) f() = p (e) f() = cos (c) f() = (f) f() = tan() (g) f() = log a (); a R + (d) f() = sin(3) (h) f() = a ; a R + fg fg. Use a de nição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaio. (a) f () = (c) f () = e + 3 (b) f () = 3p (d) f () = ln ( + ) + (e) f () = sinh (a) ; a R Nos eercícios 3 a 5 use a de nição de derivada para encontrar o coe - ciente angular da reta tangente 3. Seja f () = p : (a) Determine o coe ciente angular da reta tangente ao grá co de = f(); no ponto de abscissa =. (b) Determine a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Determine os pontos da curva = f() em que a reta tangente tem inclinação de 60 : 4. Seja f () = : Se possível, determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva = f() no ponto P ; 3 : 5. Caso eista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva f () = + ln ( + ) que é(são) perpendicular(es) a reta r : = 6: 6. Determine as coordenadas dos pontos da curva f () = 3 + em que a reta tangente é paralela ao eio : 7. Mostre que as retas tangentes à curva f () = sin interceptam-se formando um ângulo reto. em = e =, 8. Determine a equação da reta normal a curva f () = r : = 0: + que é paralela a reta 9. Considere a curva dada por f () = p 4 3. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a esta curva que é paralela a reta r : + = 0: 0. Seja f() = e : Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva = f() no ponto cuja abscissa é = :. Determine as abscissas dos pontos do grá co de = 3 cos () ; nos quais as retas tangentes são perpendiculares a reta r : + 4 = 5:

154 54. Dada a curva f () = p : Determine a equação da reta normal a esta curva no ponto em que a reta tangente é paralela à reta r : + 5 = 0: 3. Dada a curva f () = 3p 3 + determine, se possível: (a) o(s) ponto(s) da curva onde a reta tangente é paralela a reta = : (b) a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva no(s) ponto(s) onde a inclinação é 45 : 4. Em cada item, veri que se a função dada é derivável nos pontos referidos, justi - cando sua resposta. 3 ; se < (a) f () = ; em = : 3 7; se (b) f () = j 3j; em = 3: (c) f () = 3 3 ; em = 9 : p ; se < (d) f () = ; em = : ; se 4; se < (e) f () = ; em = : ; se + 4; se (f) f () = 3 3 ; em = : + 4; se > 3 5. Seja f a função de nida por f() = ; se : Determine, se possível, a + b; se > os valores das constantes a e b para que f seja uma função derivável em = : Obs: Lembre que se f é derivável em um ponto, então f também deve ser contínua neste ponto. 6. Determine os pontos onde a função f () = jj + j + j não é derivável. 7. Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples. (a) f() = (3 + 4)( 4 (i) f() = e e 5) (b) f() = ( + ) 3 (j) f() = ( ) p (c) f(t) = t + t (d) f() = ( + )3 p 3 (e) f() = ( + 3p ) 3 (f) f() = ln (9 + 4) (g) f() = ln(sin ()) (h) f() = sinh( ) (k) f() = 3 + log (4 ) (l) f() = ln( 3p 4 + 7) (m) f() = ln (n) f() = ln( p ) + p ln p! + (o) f() = ln (9 4) (p) f() = csc( ) (q) f() = e ln (r) f() = e ln() (s) f() = sec( p ) (t) f() = 4 e cos() (u) f() = cot( 3 sin( ) (v) f() = ln() + ln(ln()) (w) f() = sech () () f() = () f() = 3 tan(5) (z) f() = e

155 55 8. Determine 0 = f 0 (); com as simpli cações possíveis, sendo = f() a epressão dada. (a) = ( ) 3 (b) = e ln (c) = ln(( 3) 5 ) e + (d) = ln 3 (5 (n) = ln + ) e (e) = tg( 3 ) (f) = (g) = ( ) 0 (h) = ln + ln 3 (i) = (j) = ln 3 r + (k) = ln(ln(sec())) (l) = (sin(5) cos(5)) 5 (m) = csc(3) 3 + (o) ln ln = (p) e = (q) 8 + = 0 (r) = sin (s) = sin (t) = 3 arcsin(3 ) (u) ( 9) 4 = (4 + 3 ) (v) cos (3) ln() = 0 (w) = ( + arccos(3)) 3 () = ln(arctan( )) () = e 3 tan( p ) (z) = arctan(3 5) 9. Seja + + = 3 uma curva, se eistir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta(s) r : + =. 0. Se eistir, escreva a equação da reta normal a curva ( + 4) = 4 3 e que passe pela origem do sistema cartesiano.. Mostre que as retas tangentes às curvas = 0 e = 0, na origem, são perpendiculares.. A reta = a intercepta a curva = num ponto P e a curva = 3 + num ponto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são paralelas? Encontre a(s) equação(ões) da(s) referida(s) reta(s). 3. Determine a equação da reta normal à curva C : + 3 = + no ponto em que a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor. 4. Seja P o ponto de interseção das curvas C : + 3 = 5 e C : = 3. Mostre que as retas tangentes às curvas C e C são perpendiculares no ponto P. 5. Se f() = ; obtenha uma fórmula para f (n) () onde n é um inteiro positivo. Quanto é f (n) ()? 6. Determine a epressão da derivada n-ésima em cada caso: (a) f() = e a ; com a R : (b) f() = (a + b) m ; com a; b R e m N

156 56 (c) f() = + (d) f() = ln( 3) 7. Determine f (0) () f (00) () para as funções dadas a seguir: (a) f() = log () (b) f() = Sejam f : R! R uma função diferenciável duas vezes e g : R! R dada por g() = f( + cos(3)): (a) Determine g 00 (): (b) Se f 0 () = e f 00 () = 8; calcule g 00 (0): 9. Considere a função g () = cos : [f ()] ;, onde f : R! R é duas vezes diferenciável. Se f (0) = e f 0 (0) = f" (0) = ; determine g 00 (0) : 30. Determine: (a) f 0 (0) sabendo que f sin p 3 = f (3 ) + 3 : (b) a função g sabendo que (f g) 0 () = ; f () = 3 e g 0 () = : (c) (g f h) 0 () ; sabendo que f (0) = ; h () = 0; g 0 () = 5 e f 0 (0) = h 0 () = : 3. Determine o valor das constantes A e B para que a função = A sin() + B cos() seja solução da equação diferencial = sin(): 3. Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a. Mostre que a tangente a C no ponto P (; p 3) é ortogonal a reta r que passa pela origem e pelo ponto P: 33. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando regras de derivação já estudadas. (a) = sinh(u) ) 0 = u 0 cosh(u); (b) = cosh(u) ) 0 = u 0 sinh(u); (c) = tanh(u) ) 0 = u 0 sech (u); (d) = coth(u) ) 0 = u 0 cossech (u); (e) = sech(u) ) 0 = u 0 tanh(u)sech(u); (f) = cossech(u) ) 0 = u 0 coth(u)cossech(u); Obs. algumas identidades hiperbólicas: cosh () sinh () = ; coth () tanh () = sech (); = cossech():

157 Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação implícita. (a) = arcsin(u) ) 0 = u 0 p u (b) = arccos(u) ) 0 = u 0 p u (c) = arctan(u) ) 0 = u0 + u (d) = arccot(u) ) 0 = (e) = arcsec(u) ) 0 = (f) = arccsc(u) ) 0 = u 0 + u u 0 juj p u u 0 juj p u 35. Calcule a área do triângulo retângulo ABC na Figura, sabendo-se que n é a reta normal a f() = e no ponto o = Figura : Eercício Um forno industrial coze a temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de cozedura, é dada por: T (t) = 0t + 5t + 3 ; t em minutos e T (t) em C. t + Determine: (a) a temperatura inicial do forno? (b) a variação da temperatura no intervalo de tempo [; 0]: (c) a variação instantânea da temperatura para t = O valor de um automóvel ao m de t anos é dado por V (t) = 50000e 0:t ; sendo V dado em reais e t em anos. (a) Por qual preço foi comprado o automóvel? (b) Represente gra camente a função e determine o valor aproimado do automóvel daqui a 5 anos. (c) A taa de variação é negativa para qualquer valor de t: Justi que esta a rmação e interprete este fato no conteto da situação. (d) Em que momento a taa de variação é -500 reais ao ano?

158 58 (e) Mostre que o grá co V 0 tem uma assíntota horizontal. Qual o seu signi cado relativo à situação? 38. Seja = 3p 3 + a equação do movimento de uma partícula, determine: (a) a velocidade da partícula quando transcorridos s: (b) a aceleração da partícula quando transcorridos s: 39. Um carro está a s = horas. Pergunta-se: 6t 3 4t + 6 km a leste de uma parada no instante t (a) Qual é a velocidade no instante t = h e qual é o sentido que ele se move? 4 (b) Qual a posição do carro quando sua velocidade é nula? 40. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s = t 3 + 4t + t e s = t 3 5t + t + : Determine a velocidade e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere s e s em metros e t em segundos. 4. Dois pontos partem da origem do eio no instante t = 0 e se movem ao longo desse eio de acordo com as equações = t t e = 8t t ; com e em metros e t em segundos. (a) Em que instante os dois têm mesma velocidade? (b) Qual a velocidade desses pontos no instante em que eles têm a mesma posição? 4. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eio varia com o tempo segundo a equação = v 0 e c, 0, onde v 0 e c são constantes positivas. c Use a DEFINIÇÃO de derivadas para determinar a velocidade da partícula no instante : 43. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de ; 5 cm/s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 5; cm? 44. Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 80 km/h, o outro dirigindo-se para sul com velocidade de 50 km/h, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade os carros se aproimam um do outro, no momento em que o primeiro carro está a 400 m e o segundo está a 300 m da interseção das rodovias? 45. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base m. O mesmo se enche de água à razão de 7 m 3 /min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de profundidade? 46. Uma piscina tem 8 m de largura, 8 m de comprimento, m de profundidade em um etremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um plano inclinado. Se a água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0; 8 m 3 /min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele esta a ; 8 m na etremidade mais profunda?

159 Em que pontos da parábola 8 = 0 a ordenada cresce duas vezes mais depressa que a abscissa? 48. Uma criança esta empinando uma pipa e movendo-se horizontalmente a 4 m/s. Supondo que a pipa permaneça sempre a 80 m de altura, sobre o nível do solo, qual é a velocidade com que a criança está soltando a corda da pipa quando esta corda medir 00 m? Obs: Despreze a altura da criança. 49. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base de 5 m e altura de 0 m. Se instante t = 0s, a água começa a uir no tanque à razão de 5 m 3 /h, determine: (a) com que velocidade sobe o nível da água? (b) quanto tempo levará para encher o tanque? 50. Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de m/s. Quando ele está a 7 m acima do solo, uma bicicleta que se 3 desloca a uma velocidade constante de 5 m/s passa por baio dele. A que taa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s depois? 5. O nível de café que escoa de um ltro cônico, de diâmetro e altura 5 cm, para uma cafeteira cilíndrica, de diâmetro e altura 5 cm, varia a uma taa de 0 4 cm/min. A que taa o nível do café, na cafeteira, aumentará quando a altura de café no ltro for 5 cm? 5. Um cabo de cobre tem diâmetro de cm a 0 C. Suponha que seu comprimento é de m e não se altera com a variação da temperatura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0; 0cm= C; Calcule a taa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 0 C. 53. Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma pirâmide de base quadrada com m de lado e 6 m de altura, cujo vértice está voltado para baio. Se o consumo de ração é de 0; 05 m 3 =h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a m do vértice? 54. A altura de um triângulo cresce a razão de cm= min e sua área aumenta a razão de cm = min. Qual a taa de variação da base do triângulo quando sua altura for 0cm e sua área 00cm. 55. Uma piscina tem 4m de comprimento e seus etremos são trapézios isósceles com altura de 6m, uma base menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0m 3 =mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a profundidade da água é de m? 56. Um avião (A) voa a 4 m/s, paralelamente ao solo, a uma altitude de 0 m no sentido oeste, tomando como referência um holofote (H), ado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical (P) do avião e sabendo que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual será a velocidade com que estará variando quando a distância entre o holofote e a projeção vertical do avião for de 60 m?

160 Às 7 : 00 horas dois navios partem de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 0 : Os navios A e B deslocam-se a 0 km/h e 5km/h, respectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamento desses navios às 9 : 00 horas. 58. Use aproimações lineares para estimar o valor de (a) 4p 7 (g) 3p (b) (8; 06) 3 30 (c) tan(44 ) (h) e 0;3 (d) ln(; 05) (e) p (i) arctan(; 0) 99; 8 (j) (; 0) 6 (f) (; ) ; (k) 3p Suponha que não temos uma fórmula para g(); mas sabemos que g() = 4 e g 0 () = p + 5 para todo : Use uma aproimação linear para estimar g(; 95) e g(; 05): 60. A aresta de um cubo tem 30cm, com um possível erro de medida de 0,cm. Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo (a) do volume do cubo. (b) da área da superfície do cubo. 6. Por meio de diferenciais obtenha uma fórmula aproimada do volume de uma na coroa cilíndrica de altura h; raio interior r e espessura r: Qual o erro decorrente do uso desta fórmula? 6. Estima-se em cm o raio de uma esfera com erro máimo de 0,05cm. Estime o erro máimo para no cálculo do volume da esfera. 63. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semicírculo em cima. A base da janela mede 60cm com um possível erro na medida de mm. Use diferenciais para estimar o maior erro possível no cálculo da área desta janela. 64. Na medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se, num dado instante, o raio é 0cm, use diferenciais para aproimar a variação do raio que ocasiona um aumento de cm 3 no volume da pilha. 65. A área de um quadrado de lado s é dada por s : Para um acréscimo s de s; ilustre geometricamente da e A da: 66. Aproime, por meio de diferenciais, N = (; 0) 4 3(; 0) 3 + 4(; 0) 5: Qual o valor eato de N? 67. Uma caia em forma de cubo deve ter um revestimento eterno com espessura de /4 cm. Se o lado da caia é de m, usando diferencial, encontre a quantidade de revestimento necessária. 68. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de cm 3 no volume da pilha.

161 6 Respostas:.. (a) f 0 () = (b) f 0 () = p (c) f 0 () = (d) f 0 () = 3 cos(3) (e) f 0 () = sin (f) f 0 () = sec () (g) f 0 () = log a(e) ; a R + fg (h) f 0 () = a ln(a); a R + fg.. (a) f 0 () = (b) f 0 () = 5 ( + 3) 3 3p ( + ) (c) f 0 () = e (d) f 0 () = + (e) f 0 () = a cosh (a) ; a R 3. (a) (b) + = 3 (c) não eiste 4. Reta tangente: = 4 ; Reta normal: = = e = ln() 6. Não eistem. 7. Mostre que o produto dos coe cientes angulares é = 9. = 4 0. Reta tangente: = e ( + 3); Reta normal: = e. = 7 + k ou = + k; k Z. = 5 e + e 3. (a) não eiste; (b) = e = (a) Não é derivável. (b) Não é derivável. (c) Não é derivável. (d) Não é derivável. (e) Não é derivável. (f) f 0 () = 3: 5. a = e b = : 6. = 0 e = :

162 6 7.. (m) f 0 () = + ln (a) f 0 () = (b) f 0 () = ( ) (n) f 0 () = p + ln (c) f 0 4 (t) = t t 3 (o) f () = (d) f 0 () = 3( + ) ( ) (9 4)( + ) p (p) f 0 () = ln()cotg ( )cossec ( ) 3 (e) f 0 () = ( + 3p ) (q) f 3p 0 () = e ln (f) f 0 () = 9 (r) f 0 () = (ln() + ) (s) f 0 () = tan(p ) sec( p ) (g) f 0 () = cotg () p (h) f 0 () = cosh( ) (t) f 0 () = 6 e cos() (ln(6) sin()) (i) f 0 () = e (u) f 0 () = (cos( ) 3)cossec ( 3 sin( )) (j) f 0 () = p (v) f 0 () = ln () ln() + ln() 8.. (k) f 0 () = 9 ln(9) + log (e) (l) f 0 () = (w) f 0 () = tanh()sech () () f 0 () = + ( ln() + ) () f 0 () = 5 ln(3)3 tan(5) sec (5) (z) f 0 () = e (ln() + )

163 63 (a) 0 = 6(6 5 + )( ) (b) 0 = (c) 0 = 5 3 (d) 0 = 30 ln (5 + ) 5 + (e) 0 = (3 )sec ( 3 ) (f) 0 = 8(4 )( 4 + ) 3 9 (g) 0 = 404 (8 3 5) ( ) (h) 0 = ln (i) 0 = 6( ) ( ) (3 4 3 ) 4 (j) 0 4 = 3( 4 ) (k) 0 = tan() ln(sec()) (l) 0 = 5(sin(5) cos(5)) 4 (sin(5) + cos(5)) (m) 0 = 3cossec(3)[cotg(3)(3 + ) + ] ( 3 + ) 9. = e = + (n) 0 e = e (o) 0 ( ln ) = ( ln ) e (p) 0 = e (q) 0 = 8 (r) 0 sin = cos (s) 0 = sec (t) 0 = 3 ln(3)3 arcsin(3 ) p 6 (u) 0 = (4 + 3 )(8 + 3) 4( 9) 3 (v) 0 = (w) 0 = () 0 = 9( + arccos(3)) p 9 arctan( )( + 4 ) () 0 = e 3 [ 6 p tan( p ) + sec ( p ) 4 p (z) 0 3 = =. m = 5 e m = 5. Para a = : = e = 5 ; para a = 3 : = 3 5 e = 3 8: 3. = m = 3 e m = 3 5. f (n) () = ( )n n! n+ e f (n) () = ( ) n n! 6.. (a) f (n) () = a n e a (b) f (n) () = m(m )(m ) (m (n ))(a + b) m n b n ; se n m e f (n) () = 0; se n > m

164 64 (c) f (n) () = ( )n+ n! ( + ) n+ (d) f (n) () = ( )n n (n )! ( 3) n 7. (a) log e(00! + 99!) (b) 00! 8. (a) g 00 () = ( 6 sin (3)) f 00 ( + cos(3)) 8 cos(3)f 0 ( + cos(3)) (b) g 00 (0) = 0 9. g 00 (0) = (a) f 0 (0) = 6 5 (b) g() = + 3 (c) 0 3. A = 3 0 e B = 0 3. m t = p 3 3 e m r = p 3: 35. A = e3 u.a (a) 6 C. (b) 7,875 C. (c) 9,9 C por minuto. (a) reais. d. 7,3 anos. 38. (a) v() = 4 u.c./s (b) a() = 6 u.c./s 39. (a) v(=4) = km/h e está indo na direção oeste (b) s() = 8km 40. t = 3s; v (3) = 5m/s; v (3) = 5m/s; s (3) = 65m; s (3) = 4m 4. (a),5s (b) t = 0s ) v = m/s e v = 8m/s; t = 5s ) v = 8m/s e v = m/s 4. v 0 e c u.c./u.t cm 3 /s

165 km/h m/min 46. 0,005m/min ou 0,05m/min, dependendo da interpretação da piscina ; 9 48.,4m/s 49. (a) m/h (b) 3,4h p 6 3; 46m/s cm/min 9 5. ; 4cm 3 / C ,5m/h 54. -,6cm/min 55. 0,065m/min 56. 0,08rad/s p 6km/h 58.. (a) 65 = ; (b) 4; 0 (c) 90 0; (d) 0; 05 (e) 9; 99 (f) ; (g) 6 0; (h) 0; 87 (i) 4 + 0; (j) ; 06 (k) 93 4; g(; 95) 4; 5 e g(; 05) 3; dv = 70cm 3 e da = 36cm 6. V = rhr =(Área lateral do cilindro interior)(espessura) e E = h(r) 6. dv = 8; 8cm da = 6; 763cm 64. dr = 50 cm

166 A região sombreada corresponde a da e A da está indicado 66. N 3; e N = 3; cm , cm

167 Capítulo 4 Regra de L Hôpital 4. Introdução No capítulo, discutimos ites que podem ser determinados eaminando por inspeção ou por alguma manipulação algébrica. Nesta seção, estaremos interessados com ites que não podem ser obtidos por tais métodos. Por eemplo, por algumentos geométricos, usando o Teorema do Confronto e algumas manipulações com desigualdades já provamos que sen () = : ()!0 Nosso objetivo aqui é desenvolver um método mais direto. O que faz o ite () problemático é o fato de que numerador e denominador tendem a zero, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo 0 : Este ite pode ser conjecturado de 0 aproimações locais lineares de sen() em 0. Lembre que, se uma função f for diferenciável em um ponto 0, então para os valores de próimo de 0, os valores de f podem ser aproimados por f () f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 ) ; () onde a aproimação tende a ser cada vez melhor quando! 0 :Em particular, para f () =sen() e 0 = 0, segue que sen () : sen () Isto sugere que o valor de ca cada vez mais próimo de quando! 0 e, portanto, podemos concluir que sen ()!0 =!0 = : A idéia de usar aproimações lineares locais para calcular formas indeterminadas do tipo 0 pode ser usada para motivar um procedimento mais geral para deter- 0

168 68 minar tais ites. Para esta proposta, suponhamos que f ()! 0 g () é uma forma indeterminada do tipo 0, isto é, 0 f () = g () = 0: (3)! 0!0 Por simpli cação, admitiremos também que f e g são funções diferenciáveis em = 0 e que f 0 e g 0 são funções contínuas em = 0 ; ou seja, f 0 () = f 0 ( 0 ) e g () = g 0 ( 0 ) : (4)! 0!0 A diferenciabilidade de f e g implica que f e g são contínuas em = 0, e, portanto a partir de (3) segue que f ( 0 ) =!0 f () = 0 e g ( 0 ) =!0 g () = 0: (5) Assim, usando a aproimação linear local, as propriedades de ites e as equação (4), temos que: f ()! 0 g () = f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 )! 0 g ( 0 ) + g 0 ( 0 ) ( 0 ) = f 0 ( 0 ) ( 0 )! 0 g 0 ( 0 ) ( 0 ) = f 0 ( 0 ) g 0 ( 0 ) Através da equação (5), obtemos o seguinte resultado f ()! 0 g () = f 0 ()! 0 g 0 () : 4. Forma indeterminada do tipo 0 0 Teorema: Se f e g são duas funções com primeiras derivadas contínuas em = 0, f () = 0 e g () = 0 e 8 6= 0, g 0 f () 6= 0 e 0 () eistir então!0!0!0 g 0 () f ()! 0 g () = f 0 ()! 0 g 0 (). Podemos concluir então, pelo Teorema de L Hôpital, que para calcular um ite cuja indeterminação é do tipo 0 basta derivar o numerador e o denominador, e 0 estas derivadas serão o numerador e o denominador de uma nova função cujo valor no ponto de indeterminação da função inicial é o ite desta quando o argumento tende ao ponto de indeterminação. Eemplo : Calcule os ites: ln ( + ). ;!0 Solução: Observe que!0 ln ( + ) = 0 0.

169 69 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln ( + )!0 =!0 + =!0 + =. sin.! cos. sin Solução: Observe que = 0! 0 cos. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: sin! cos =! cos = 0. sin Observação : Se f 0 (c) = 0 e g 0 (c) = 0, isto é, f 0 () = 0 e g 0 () =!0!0 0 e se as funções f 0 e g 0 satisfazem as condições impostas às funções f e g segundo a hipótese do teorema, então este teorema pode ser aplicado para a razão f 0 () g 0 () e nos dará como conclusão que: f ()! 0 g () = f 00 ()! 0 g 00 () = f 00 ( 0 ) g 00 ( 0 ). e e Eemplo : Calcule.!0 sin e e Solução: Observe que!0 sin Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: = 0 0. e e e + e = = 0!0 sin!0 0 cos. Aplicando novamente a regra de L Hôpital, temos que: e + e e e = = 0!0 cos!0 0 sin Novamente a regra de L Hôpital, temos que: e e e + e = =.!0 sin!0 cos Observação : O processo descrito pelo Teorema de L Hôpital pode ser repetido quantas vezes se zer necessário, desde que respeitadas as condições do teorema. Para o caso geral, f (n) () e g (n) (), não demonstraremos aqui, pois eige o conhecimento da Fórmula de Talor com resíduo para f () e g (). Observação 3: O Teorema de L Hôpital pode ser aplicado quando f () =! f() f 0 e quando g () = 0 e se o que se quer é o, desde que eista o 0 ().!! g()! g 0 () Para tanto, basta fazer uma mudança de variável. De nindo =. Se!, então! 0. Assim,

170 70 f () f! g () =!0 g Eemplo 3: Calcule Solução: Observe que =!0 sin k! sin k!. f 0 g 0 = 0 0. De nindo =. Se!, então! 0. Assim, sin k sin (k)! = = 0!0. 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: sin (k) k cos (k) = = k.!0!0.!a a n a n ; Eemplo 4: Calcule os ites a seguir. a Solução: Observe que!a n a = 0. n 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: a!a n a = n!an =. n na n.!0 tan sin ; Solução: Observe que!0 tan sin = 0 0. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: tan!0 sin = sec!0 cos = 0. 0 Novamente, aplicando a regra de L Hôpital, temos que: sec!0 cos =!0 sec tan sin =!0 cos 3 =. =! f 0 () g 0 () : ln (sin ) 3.! ( ) ; ln (sin ) Solução: Temos que! ( ) = 0. 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln (sin )! ( ) =! cos sin 4 ( ) =! cossec 8 = 8.

171 7 a b 4. ;!0 a b Solução: Temos que = 0!0 0. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: a!0 b =!0 a ln a b ln b = ln a ln b = ln a b. 4.3 Forma indeterminada do tipo Teorema: Se f e g são funções contínuas e deriváveis em todos os pontos 6= 0 (numa vizinhança do ponto 0 ) e g 0 () 6= 0 para todo e se f () =,!0 f g () = e 0 ()! 0!0 g 0 () eistir, então f ()! 0 g () = f 0 ()! 0 g 0 (). ln Eemplo 5: Calcule o!0 +. ln Solução: Temos que!0 + =. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln!0 + = = ( ) = 0.!0 +!0 + Observação 4: As considerações tecidas nas observações para regra de L Hôpital para indeterminação do tipo 0 são também verdadeiras aqui no a para indeterminação do tipo e ilustraremos apenas com eemplos. 0 Eemplo 6: Calcule os ites. tan.! tan (3) = ; Solução: Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: tan L =! tan (3) = sec = cos (3) = 0.! 3 sec (3)! 3 cos 0 Novamente, pela regra de L Hôpital, temos que: sin(6) L = = 0:! sin() 0 Pela regra de L Hôpital novamente, temos que: 3 cos(6) L = = 3.! cos()

172 7.!+ e = ; Solução: Aplicando a regra de L Hôpital, temos que:!+ e =!+ e =. Novamente, pela regra de L Hôpital, temos que:!+ = e = 0.!+ e e 3.!+ = ; Solução: Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: e!+ = e = +.!+ Observação 5: A regra de L Hôpital só pode ser aplicada para indeterminações da forma 0 0 e. Caso seja ignorada essa condição, chega-se a resultados absurdos. Veremos a seguir, como as indeterminações da forma 0:,,, 0 0 e 0 podem ser transformadas em indeterminações do tipo 0 e, com o objetivo de 0 aplicar a regra de L Hôpital para auiliar no cálculo de ites. 4.4 Aplicações da Regra de L Hôpital 4.4. Forma indeterminada 0: Se f () = g () h () e o!0 f () = 0:, então para levantar esta indeterminação rrescrevemos a função como segue f () = g () h() ou f () = h (). g() Desta forma, o!0 f () assume a forma indeterminada 0 0 ou : Eemplo 7: Calcule os ites:. (sec (3) cos (5))! Solução: Temos que (sec (3) cos (5)) = 0:.! Reescrevendo a função, temos que:

173 73 L =! sec (3) (sec (3) cos (5)) =! cos(5) Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L =! 5 sin (5) 3 sin (3) = ( ) e = :0!+ Solução: Reescrevendo o ite, temos que: L =!+ ( ) e ( ) = =!+ e : Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L = ( )!+ ) L =!+ = e!+ e =!+ e = 0 ( ) e = 3. cot! + (ln ( ) ) = 0:. Solução: Reescrevendo a função, temos que: cos (5) =! cos (3) = 0. 0!+ 4 e L = cotg ln ( )! + (ln ( ) ) = =! + tan Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ) L = =! + # ( ) cos! + sec Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ) L = cos + ( ) sin ()! + = 0. = Forma indeterminada Se f () = g () h () e o f () =, então, através de operação!0 elementares entre as funções g () e h () é sempre possível transformar o f ()!0 numa das formas indeterminadas 0 ou. 0 Eemplo 8: Calcule os ites:. (sec () tg ()).! Solução: Temos que (sec () tg ()) =.!

174 74 Reescrevendo a função, temos que: cos L = (sec tan ) =!! Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L =!.!0 + + cos sin = 0. = cos sin cos Solução: Reescrevendo a função, temos que: + cos + L =!0 + ( + ) (cos ) = 0 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: L =!0 + 3.!0 + ln ( + ) =! sin + cos + sin cos + sin + = e Solução: Reescrevendo a função, temos que: L =!0 e ln(+) (e ) ln(+) = # 0 0 L 0 H!0 e + (e ) + + e ln ( + ) e + (+) ) L =!0 (+)e (e ): + e + (+) + e ln ( + ) =. sin = 0 0 cos : = = # 0 0 L0 H Formas Indeterminadas, 0 0 e 0 Se f () = [g ()] h() e!0 f () assume uma das três formas indeterminadas, 0 0 e 0, então, para qualquer uma destas três indeterminações de ne-se L =!0 f () =!0 [g ()] h() : Aplicando-se o logaritmo neperiano a função dada, temos que: ln L = ln [g ()] h()! 0 ) ln L = ln [g ()] h().!0 Por propriedade de logaritmo neperiano, temos que:

175 75 ln L =!0 [h () ln (g ())] = b: Assim, o ite passa a assumir a forma indeterminada 0:, que se resolve conforme a primeira aplicação da regra de L Hôpital vista antriormente. E ainda, como foi aplicado logaritmo na função dada, para determinar a solução nal deve-se aplicar a função eponencial (pois é a função inversa do logaritmo) do ite, isto é, L = e b )!0 f () = e b. Eemplo 9: Determine os ites abaio.. = 0 0 ;!0 Solução: De nindo L =.!0 Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, temos que: ln L = ln!0 = (ln ( )) = ( ln ) = 0:.!0!0 Reescrevendo a função, temos que: ln L = ln!0 =. Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln L =!0 =!0 ( ) = 0 ) ln L = 0. Aplicando a função eponencial a ambos os membros, obtém-se: L = e 0 )!0 =.. ( ) tan( ) = ;! tan( Solução: De nindo L = ( ) ).! Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, temos que: ln L = ln ( )tan( ) = tan!! ln ( ) = :0. Reescrevendo a função, temos que:! sin ln L = ln ( ) = sin! cos! ln( )! cos( ) ln ( ) ) ln L = = 0! cos. 0 Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: ln L =! sin =! ( ) sin = ) ln L =. Aplicando a função eponencial a ambos os membros, obtém-se: L = e ) ( ) tan( ) = e = p e.!

176 76 3.!0 (cotg ()) sin = 0. Solução: De nindo L = (cotg ()) sin.!0 Aplicando logaritmo neperiano em ambos os membros, temos que: ln L = ln (cotg!0 ())sin = (sin ln(cotg ())) = 0:.!0 Reescrevendo a função, temos que: ln(cotg ()) ln L = =!0!0 sin ln(cotg ()) cossec () Aplicando a regra de L Hôpital, temos que: cossec () cotg() =. ln L =!0 cotg () cossec () = sin = 0 ) ln L = 0.!0cos Aplicando a função eponencial a ambos os membros, obtém-se: L = e 0 4.! )!0 (cotg ()) sin =. p 4 cos (3) + cos (3) Solução: De nindo L =! ln L = ln! ) ln L =! ( + cos (3)) p 4 cos (3) + cos (3), temos que: 4 cos (3) =! ln ( + cos (3)) 4 cos (3) = # 0 0 L0 H 6 cos(3) sin(3) +cos (3) 4 cos (3) sin (3) = 4! + cos (3) =. 4 ) ln L = 4, L = 4 p e :

177 Eercícios. Calcule os ites, aplicando a regra de L Hopital, quando possível: arcsen sen sen..!0! e sen sec 3. 4.!0 ln ( + )! sec (3) ln n 5. 6., para n N!0 cossec! e tg () ln 7. 8.! tg (3)!+, para n N n cotg () 9.!0 cotg () 0. ( ) cos( )! e + ln ln (sen)..!0 + cotg ()!0 + ln (sen ) 3. [ ln (sin tg () )] 4.!0 +!0 a 5. sin ) tg ()]! 6. [(! 7. [( tg) sec ()] 8.! 4 9. p 3 3 ; 0.!+..!0 sen cos! 3. 4.!0 sen!0 5.!0 4 (e + ) 7. e + e! 9.! +!a h 3! 6.!0 8.! 30.! i (a ) tg a cos ( ) tg( ) ln tg () 4 tg 4 cos 3. ( + sen ) cotg() 3. (e + )!0!0 33. (e + ) ( + )ln!0!0 + sen tg( tg )!0! 4 tg 37. p! 4 sen sen 39.!0 3tg 3 cos ln 4.! + 38.!0 + (e + ) ln 40.!0 sen cotg () ln(e )!0 4.

178 78 tg( 43. a ) 44.!a a ln (cotg ()) tg!0 e p p p! arctg ( )! (e + ) 48. ( + ) 4 4!0! !! 3 53.! p ( 3)!4 arccos 3 p 5.!0 e ln (e + ) 54.! + a = 4. a. Determine o valor da constante a para que!+ 3. Determine todos os valores das constantes a e b para que!0 a + cos (b) = 8: + e a= 4. Determine o valor da constante a para que = p e:!+ 5. Determine, se possível, o valor da constante a para que p ln(+) sen () + a ln ( + ) =!0 +!0 3tg 3 () cos () : 6. Se f 0 é contínua e f (0) = 3 determine, se possível, o valor da constante m e o valor de f 0 (0) para que m f (e 4 ) + [f (sin (3))]!0 = :

179 79 Respostas: cos , para! , para! a a e 8. e 9. e 30. e 3. e 3. e e p e e. c = ln 3. a = e b = 4. a = 4 5. a = ln 3 6. m = 3 e f 0 (0) = :

180 Capítulo 5 Análise da Variação das Funções Objetivos Interpretar geometricamente e aplicar o teorema de Rolle; Interpretar geometricamente e aplicar o teorema do Valor Médio; Determinar intervalos de crescimento e decrescimento de uma função; Encontrar os pontos críticos; Determinar os intervalos em que uma função é côncava e/ou convea; Obter os pontos de in eão; Encontrar os máimos e mínimos relativos; Analisar os máimos e mínimos de uma função mediante o teste (ou critério) da primeira derivada; Analisar os máimos e mínimos de uma função mediante o teste (ou critério) da segunda derivada; Determinar as assíntotas do grá co de uma função; Construir grá cos de funções; Aplicar a teoria de máimos e mínimos das funções na resolução de problemas; Analisar o grá co de uma função (máimos e mínimos relativos e absolutos, pontos críticos, pontos de in eão, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, assíntotas).

181 8 5. Introdução O aspecto quantitativo no estudo dos fenômenos da natureza se resume em estabelecer e analisar a dependência funcional entre as grandezas variáveis que tomam parte em cada fenômeno. Se conseguirmos estabelecer esta dependência funcional de modo analítico, isto é, mediante uma ou várias fórmulas, podemos eplorar esta dependência servindo-nos dos métodos de análise matemática. O nosso objetivo é estabelecer um método geral para a análise da variação de funções de uma variável real e construção do seu grá co. 5. Funções Crescentes e Decrescentes I. De nição : Seja f uma função de nida em um intervalo I e sejam, (i) f é crescente em I se f ( ) < f ( ) para < ; (ii) f é decrescente em I se f ( ) > f ( ) para < ; (iii) f é constante em I se f ( ) = f ( ) para todos os pontos e. f f ( ) ( ) f f ( ) ( ) ( ) f ( ) f = f crescente f decrescente f constante Se uma função é só crescente ou só decrescente em um intervalo, dizemos que é monótona neste intervalo. 5.3 Máimos e Mínimos Considere a função = f () como abaio ilustrada. = f ( )

182 8 Os pontos de abcissas 0,,, 3, 4 e 5 são chamados pontos etremos. Os valores das ordenadas, f ( 0 ), f ( ) e f ( 4 ) são chamados de máimos relativos; e, f ( ), f ( 3 ) e f ( 5 ) são chamados de mínimos relativos. De nição : Uma função f tem um máimo relativo em c, se eistir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f (c) f () ; 8 I \ Df: De nição 3: Uma função f tem um mínimo relativo em c, se eistir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f (c) f () ; 8 I \ Df: Eemplo : A função f () = tem um máimo relativo em c = e um mínimo relativo em c = Teorema: Supondo que f () eiste para todos os valores de (a; b) e que f tem um etremo relativo em c, com a < c < b. Se f 0 (c) eiste, então f 0 (c) = 0. Demostração: Supondo que f tem um ponto de máimo relativo em c e que f 0 (c) eiste. Então, pela de nição de derivadas, temos que f 0 f(c) f(c) f() (c) = = = c c!c f()!c + f()!c f(c). c Como c é um ponto de máimo relativo de f, se estiver su cientemente próimo de c, temos que f (c) f () ) f (c) f () 0. Se! c +, então c! 0. E ainda, f 0 f () (c) =!c + Se! c, então c! 0. E ainda, f 0 (c) =!c f () De () e (), segue que f 0 (c) = 0. f() f(c) c 0. Assim, f (c) 0. () c f() f(c) c 0. Assim, f (c) 0. () c Geometricamente, está proposição nos a rma que se f tem um etremo relativo em c e se f 0 (c) eiste, então o grá co de = f () tem um reta tangente horizontal no ponto = c.

183 83 A proposição, nos permite concluir que se f 0 (c) eiste, a condição f 0 (c) = 0 é necessária para a eistência de um etremo relativo em c, mas não é su ciente. Em outras palavras, se f 0 (c) = 0, então a função f pode ter ou não um etremo relativo no ponto c. Isto pode ser observado nas funções f () = 3 e g () = jj. Veri que!!! De nição 4: O ponto c Df tal que f 0 (c) = 0 ou f 0 (c) não eiste é chamado de ponto crítico ou valor crítico. Observe que uma função de nida num dado intervalo pode admitir vários pontos etremos. Ao maior e ao menor valor da função num intervalo denominamos máimo absoluto e mínimo absoluto, respectivamente. Teorema de Weierstrass: Se f é uma função contínua, de nida em um intervalo fechado [a; b]. Então f assume seu máimo e mínimo absoluto em [a; b]. Obs: Esta demonstração será omitida. 5.4 Teoremas sobre derivadas O próimo teorema a rma que se o grá co de uma função deferenciável cruza a reta = k em dois pontos, a e b, então entre eles deve eistir ao menos um ponto c onde a reta tangente horizontal. Observe a gura abaio: k a c c b No eemplo acima ilustrado, em cada um dos pontos cujas abscisaas são c e c o coe ciente angular da reta tangente a curva é zero. Portanto, f 0 (c) = 0. Teorema de Rolle Seja f uma função tal que i. f é contínua em [a; b] ; ii. f é derivável em (a; b); iii. f (a) = f (b). Então, eiste pelo menos um c (a; b) tal que f 0 (c) = 0. Demonstração: Consideremos dois casos. o Caso: Se f () = k, 8 [a; b].

184 84 Então f 0 () = 0, 8 (a; b). Logo, qualquer número entre a e b pode ser escolhido como c. o Caso: Se f () 6= f (a) = f (b), para algum (a; b). Como f é contínua em [a; b], pela proposição, f atinge seu máimo e seu mínimo em [a; b]. Sendo f () 6= f (a) = f (b) eiste um valor etremo em algum c (a; b). E ainda, como f é derivável, pela proposição, conclui-se que f 0 (c) = 0: Rolle? Eemplo : A função f () = 3, 8 [ ; ], veri ca o teorema de Solução: Veri quemos se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas: i. f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [ ; ]; iii. f 0 () = 3 é de nida e contínua em [ ; ]. Logo, f é derivável em ( ; ); iii. f ( ) = f () = 0; Como as hipóteses estão satisfeitas, então eiste c ( f 0 (c) = 0 ) 3c = 0 ) c = p 3 ( ; ). 3 ; ) tal que Rolle? Eemplo 3: A função f () = cos, 8 Solução: Temos que: ; 4 4, veri ca o teorema de i. f é de nida e contínua em 4 ; 4 ; ii. f 0 () = sin cos = sin () é derivável em 4 ; 4 ; iii. f 4 = f 4 = ; Observe ainda que, se f 0 (c) = 0 ) sin (c) = 0 ) c = n Para c = 0, temos que c ; 4 4. Logo, veri ca-se o teorema de Rolle., com n = 0; ; ; : : :. Rolle? Eemplo 4: A função f () = 3 q( ), 8 [0; 4], veri ca o teorema de Solução: Veri quemos se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas: i. f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [0; 4]; iii. f (0) = f (4) = 3p 4; ii. f 0 () = 3 3p ( ) não é de nida para = (0; 4).

185 85 Logo, não veri ca o teorema sobre o intervalo [0; 4]. 5p Eemplo 5: A função f () = 4 se anula nos etremos do intervalo [ ; ]. Demonstre que sua derivada não se reduz a zero em nenhum ponto do segmento [ ; ] : Solução: Observe que (i) f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [ ; ]; (iii) f ( ) = f () = 0; (iii) f 0 () = 4 5 5p não é de nida para = 0 ( ; ). Portanto, f não satisfaz o teorema de Rolle sobre o intervalo [ não é possível a rmar que eiste um ponto tal que f 0 (c) = 0: ; ] então Eemplo 6: Comprove que entre as raízes de f () = 3p também as raízes de sua derivada. Solução: As raízes de f são e 3. Note ainda que, eiste (i) f é de nida e contínua sobre o intervalo fechado [; 3]; (iii) f () = f (3) = 0; (iii) f 0 5 () = 3p é derivável para todo (; 3). 3 ( 5+6) Logo, pelo teorema de Rolle, concluímos que eiste um c (; 3) tal que f 0 (c) = 0, ou seja, entre e 3 eiste também a raiz da derivada. Analisemos agora o primeiro teorema do valor médio para derivadas, ou seja, sobre os incrementos nitos de uma função. O teorema de Rolle é um caso especial do Teorema do Valor Médio, o qual a rma que entre dois pontos quaisquer A e B sobre um grá co de uma função diferenciável, deve haver pelo menos um lugar onde a reta tangente à curva é paralela à reta secante que passa por A e B. Note que o coe ciente angular da reta secante, que passa pelos pontos A (a; f (a)) e B (b; f (b)), é f (b) f (a) b a e que a inclinação da reta tangente em c é f 0 (c). Geometricamente, f f ( b ) ( a ) a c b

186 86 Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) Seja f uma função tal que i. f é contínua em [a; b] ; ii. f derivável em (a; b); Então, eiste pelo menos um c (a; b) tal que f 0 (c) = f(b) f(a). b a Demonstração: A equação da reta que passa pelos pontos A e B é f (a) = f (b) f (a) b a ( a). Se = h (), então: h () = f (a) + f (b) b f (a) ( a). a Observe que h () é uma função polinomial. Sendo assim, h é uma função contínua e diferenciável para todo. De na a função g () = f () h (). Assim, f (b) f (a) g () = f () f (a) ( a). b a Esta função representa a distância vertical entre um ponto do grá co e o ponto correspondente da reta secante. Note que: (i) g (a) = g (b) = 0; (ii) g é uma função contínua em [a; b]; (iii) g é derivável em (a; b); Portanto, como a função g satisfaz as condições do Teorema de Rolle, eiste um c (a; b) tal que g 0 (c) = 0 ) f 0 (c) = f (b) f (a). b a médio: Eemplo 7: Veri que se as funções abaio veri cam o teorema do valor. f () = 3 em [ ; ]; Solução: Veri cando as hipóteses do teorema do valor médio: (a) i. f é de nida e contínua em [ ; ]; ii. f 0 () = 3 é de nida para todo ( ; );

187 87 Logo, satisfaz as condições do teorema. Assim, temos que 9c ( ; ) tal que f 0 (c) = f(b) f(a) ) 3c = ) c =. b a Observe que, apenas ( ; ) :. f () = 3 sobre [ ; ]. Solução: Veri cando as hipóteses do teorema do valor médio: (a) i. f é de nida e contínua em [ ; ]; ii. f 0 () = 3 3p não é de nida em = 0 ( ; ); Vejamos, no entanto, se veri ca o Teorema. f 0 (c) = f(b) f(a) ) b a 3 3p = 0. Conclusão: não eiste c ( ; ). Portanto, não veri ca o teorema sobre [ ; ]. Eemplo 8: Em que ponto da curva f () = ln a tangente é paralela à corda que une os pontos A (; 0) e B (e; ). Solução: Como as hipóteses do Teorema de Lagrange são satisfeitas para f () = ln sobre [; e] (veri que!!!), temos que f 0 (c) = f(b) f(a) ) = ) c = (e ) ) c (; e). b a c e Lembre que f 0 (c) é o coe ciente angular da reta secante que passa pelos pontos A e B. Portanto, o ponto em que a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A e B é P (e ; ln (e )). Eemplo 9: Aplique o Teorema de Lagrange para demonstrar a desigualdade > ln ( + ) se > 0. Solução: Como > 0 tomemos um número c tal que 0 < c < : Se f () = ln ( + ) e os etremos do intervalo são a = 0 e b =, então: f 0 (c) = f(b) f(a) ) = ln(+) 0 ) ln ( + ) = : b a c+ 0 c+ Oberve que, <, pois c > 0 ) ln ( + ) < : c+ Com o auílio do estudo das derivadas podemos aprimorar este conceito de função crescente, decrescente ou nula. O próimo teorema esta baseado no teorema do Valor Médio. Teorema : Seja f uma função contínua sobre o intervalo fechado [a; b] e derivável no intervalo aberto (a; b). (i) Se f 0 () > 0, 8 (a; b), então f é crescente em [a; b]; (ii) Se f 0 () < 0, 8 (a; b), então f é decrescente em [a; b]; (iii) Se f 0 () = 0, 8 (a; b), então f é constante em [a; b].

188 88 Demonstração: Sejam ; [a; b] com <. Como f é contínua em [a; b] e derivável em (a; b), então f é contínua em [ ; ] e derivável em ( ; ), pois [ ; ] [a; b]. Pelo Teorema do valor médio, 9c ( ; ) tal que f 0 (c) = f ( ) f ( ) ) f ( ) f ( ) = f 0 (c) ( ). Observe que > 0, então: (i) Se f 0 (c) > 0, então f ( ) f ( ) > 0 ) f ( ) > f ( ). Logo, pela de nição, f é crescente em [a; b]. (ii) Se f 0 (c) < 0, então f ( ) f ( ) < 0 ) f ( ) < f ( ). Portanto, pela de nição, f é decrescente em [a; b]. (iii) Se f 0 (c) = 0, então f ( ) = f ( ). Dessa forma, pela de nição, f é constante em [a; b]. Geometricamente, no(s) intervalo(s) em que f é crescente, a incilinação da reta tangente à curva em cada ponto é positiva, pois forma com o eio um ângulo agudo ; decrescente, a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto é negativa, pois forma com o eio um ângulo obtuso. E ainda, a reta tangente é paralela ao eio nos pontos em que a derivada é nula. α α 0 4 Eemplo 0: Determinar os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das funções:. f () = ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 4 = ( ) ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, ( ) = 0 ) = 0 ou =. Os pontos críticos da função são:, 0 e. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ), ( ; 0), (0; ) e (; +), pelo teorema anterior, conclui-se que: f é crescente para ( ; ] [ [; +); f é decrescente para [ ; ].

189 89 Gra camente, temos que:. f () = + Solução: O domínio da função f é: Df = R f g. Temos que: f 0 () = (+) ) Df 0 = R f g. Observe que f 0 não eiste em =. Assim, f 0 () = 0, (+) = 0 ) = 0 Absurdo! Temos que, f 0 não eiste em =. Como = Df, não pode ser considerado um ponto crítico. Apesar disso, devemos considerá-lo na análise do sinal da derivada. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ) e ( ; +), conclui-se que f é decrescente para ( ; ) [ ( ; +). Gra camente, temos que: 4 3. f () = p ; Solução: O domínio da função f é: Df = [ ; ]. Temos que: f 0 () = p ) Df 0 = ( ; ). Note que f 0 não está de nida em =. Assim, f 0 () = 0, p = 0 ) = 0. Analisando o sinal da derivada somente nos intervalos ( parte do domínio da função, conclui-se que: ; 0) e (0; ), pois fazem f é crescente para ( ; 0]; f é decrescente para [0; ).

190 90 Gra camente, con rma-se a conclusão acima f () = 4, se, se >. Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: 4, se < f 0 () =, se > ) Df 0 = R fg. Para <, temos que: f 0 () = 0, 4 = 0 ) = 0. O único ponto crítico, neste intervalo, é 0. Analisando o sinal da derivada somente nos intervalos ( que: f é crescente para [0; ]; f é decrescente para ( ; 0]. ; 0) e (0; ), conclui-se Para >, temos que: f 0 () = 0, = 0 Absurdo!!! Logo, não há ponto crítico neste intervalo. Como f 0 () = < 0 para todo >, então f é decrescente para todo (; +). Conclusão: f é crescente para [0; ]; f é decrescente para ( ; 0] [ (; +). Observação: Como uma função f () pode ter valor etremo num ponto no qual a abscissa não pertença ao seu campo de de nição, embora esta abscissa não possa ser considerada como um valor crítico, ao estabelecer os intervalos para a análise do crescimento e decrescimento da função = f () estes valores devem ser considerados, pois são etremos destes intervalos. Nos itens e 3, do eemplo, esta consideração foi feita.

191 9 5.5 Critérios para determinação dos etremos de uma função Os etremos relativos podem ser vistos como pontos de transição, separando regiões onde o grá co é crescente ou decrescente. Conforme a gura abaio, os etremos relativos de uma função contínua ocorrem ou em bicos (pontos de não-diferenciabilidade) ou em pontos em que a reta tangente é horizontal. Pontos de não diferenciabilidade Os pontos etremos relativos de uma função, se houver, ocorrem em pontos críticos em que f 0 muda de sinal. A seguir, veremos alguns teoremas que estabelecem critérios para determinar os etremos de uma função. Critério da derivada primeira para determinação dos etremos Teorema (Teste da primeira derivada): Seja = f () uma função contínua num intervalo fechado [a; b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a; b), eceto possivelmente num ponto c. i. Se f 0 () > 0 para todo < c e f 0 () < 0 para todo > c, então f tem máimo relativo em c; ii. Se f 0 () < 0 para todo < c e f 0 () > 0 para todo > c, então f tem mínimo relativo em c; iii. Se f 0 () > 0 para todo < c e f 0 () > 0 para todo > c, então f não tem ponto nem de máimo nem de mínimo relativo em c; iv. Se f 0 () < 0 para todo < c e f 0 () < 0 para todo > c, então f nem de máimo nem de mínimo relativo em c; não tem ponto Demonstração do caso (i): Como f 0 () > 0 para todo (a; c), então f é crescente em [a; c] (por teorema da seção anterior). Analogamente, concluímos que f é decrescente em [c; b]. Portanto, f () < f (c) para todo 6= c em (a; b), então f tem um máimo relativo em c. A demonstração dos casos (ii), (iii) e (iv) é semilar a do caso(i).

192 9 Podemos concluir deste teorema que: se ao passar pelo ponto crítico da esquerda para a direita o sinal da primeira derivada muda de mais (+) para menos (-) então, em a função tem um valor máimo e se muda de menos (-) para mais (+) então, em a função tem valor mínimo. Eemplo : Determine os valores etremos da função, se eistirem:. f () = 3 6; 3 Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 6 ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 6 = 0 ) = e = 3. Logo, os pontos críticos da função são: e 3. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ), ( ; 3) e (3; +), concluise que: f 0 () > 0 para ( ; ) [ (3; +); f 0 () < 0 para ( ; 3). Pelo teste da primeira derivada conclui-se que: Em =, a função f tem um ponto de máimo em P ; 3 ; 5 Em = 3, a função f tem um ponto de mínimo em P 3;.. f () = 3p 3 ; Solução: O domínio da função f é: Df = [ ; ]. Temos que: f 0 () = p 3 3 ) Df 0 = [ ; 0) [ (0; ]. A função f 0 não está de nida em = 0. Temos que, f 0 () = 0, p 3 3 f 0 () não está de nida em = 0: = 0 ) 3 = ) =, mas = ( ; ). Logo, o único ponto cítico ocorre em = 0. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; 0) e (0; ), conclui-se que: f 0 () > 0 para ( ; 0); f 0 () < 0 para (0; ). Pelo teste da primeira derivada conclui-se que, em = 0 a função f ponto de máimo em P (0; ). tem um

193 93. f () = ( ) 3p ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 5 3 3p ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 5 3 3p = 0 ) 5 = 0 ) = 5. f 0 () não está de nida em = 0 Logo, os pontos críticos da função ocorrem em = 0 e = 5. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; 0), 0; 5 e 5 ; +, conclui-se que: f 0 () > 0 para ( ; 0) [ 5 ; + ; f 0 () < 0 para 0; 5. Pelo teste da primeira derivada conclui-se que: Em = 0, a função f tem um ponto de máimo em P (0; 0); Em =, a função f tem um ponto de mínimo em P ; q f () = ( ) ( + ) 3 ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = ( ) ( + ) (5 ) ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, ( ) ( + ) (5 ) = 0 ) =, = e 3 = 5. Logo, os pontos críticos da função são: e 5. Analisando o sinal da derivada nos intervalos ( ; ), ; 5, 5 ; e (; +), conclui-se que: f 0 () > 0 para ( ; ) [ ; 5 [ (; +); f 0 () < 0 para 5 ;. Pelo teste da primeira derivada conclui-se que: Em =, a função f tem não tem valor máimo nem mínimo; Em = 5, a função f tem um ponto de máimo em P 5 ; ; Em =, a função f tem um ponto de mínimo em P (; 0).

194 94 Roteiro para determinar os valores etremos o Passo: Determinar o campo de de nição de f; o Passo: Encontrar a primeira derivada; 3 o Passo: Determinar os pontos críticos; 4 o Passo: Analisar o sinal de f 0 (); 5 o Passo: Aplicar o teste da primeira derivada. Critério da derivada segunda para determinação dos etremos Seja = c um valor crítico do domínio de f () tal que f 0 (c) = 0, se eistir a segunda derivada f 00 () e se esta é contínua numa vizinhança de = c podemos então averiguar se f (c) é um valor máimo ou mínimo relativo de f () através da segunda derivada, segundo o teorema seguinte: Teorema 3 (Teste da segunda derivada): Sejam f uma função derivável num intervalo aberto (a; b) e c um ponto crítico de f neste intervalo tal que f 0 (c) = 0, para c (a; b). Se f admite a derivada f 00 em (a; b) e se i. f 00 (c) < 0, então f tem um valor máimo relativo em c; ii. f 00 (c) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em c; Demonstração do caso (i ): Por hipótese f 00 (c) eiste e f 00 (c) < 0. Então, pela de nição de derivada segunda, temos que: f 00 f 0 () f 0 (c) (c) = < 0.!c c Eiste um intervalo aberto I contendo, contendo c, tal que f 0 () f 0 (c) < 0, 8 I. c Seja A o intervalo aberto que contém todos os pontos I tais que < c. Então, c é o etremo direito do intervalo aberto A: Seja B o intervalo aberto que contém todos os pontos I tais que > c. Então, c é o etremo esquerdo do intervalo aberto B: Como f 0 (c) = 0, concluímos que: se A ) f 0 () > 0; se B ) f 0 () < 0.

195 95 Pelo teste da primeira derivada, conclui-se que f tem um valor máimo relativo em c. A demonstração de (ii) é análoga. Observação: Se f 00 (c) = 0 ou f 00 (c) não eistir, então o teste da segunda derivada é inconclusivo, isto é, f pode ter um máimo, um mínimo ou nem de máimo nem de mínimo em c. Neste caso, para proceder a análise dos máimos e mínimos devemos recorrer ao critério da primeira derivada. Eemplo : Determine os valores etremos de cada função mediante o critério da segunda derivada.. f () = ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, = 0 ) = e = 3. Os pontos críticos da função são: e 3. f f 00 () = 6 6 ) ( ) = < 0 f 00. (3) = > 0 Pelo teste da segunda derivada, conclui-se que: Em =, a função f tem um ponto de máimo em P ( ; 0); Em = 3, a função f tem um ponto de mínimo em P (3; ).. f () = 4 ; Solução: O domínio da função f é: Df = R. Temos que: f 0 () = 4 3 ) Df 0 = R. Assim, f 0 () = 0, 4 3 = 0 ) = 0. O único ponto crítico da função é o 0. f 00 () = ) f 00 (0) = 0. Logo, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Neste caso, recorrendo ao critério da derivada primeira, temos que: f 0 () > 0 para ( ; 0); f 0 () < 0 para (0; +). Conclusão: Pelo teste da primeira derivada, tem-se que em = 0 a função f tem um ponto de máimo em P (0; ).

196 Concavidade O sinal da derivada de f revela onde o seu grá co é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura. Por eemplo, na próima gura, vê-se que ambos os lados do ponto P o grá co é crescente, mas à esquerda a curvatura está para cima e à direita a curvatura está para baio. Nos intervalos onde o grá co de f tem a curvatura para cima dizemos que f é côncava para cima, e se a curvatura é para baio, dizemos que f é côncava para baio naqueles intervalos. P Côncava para cima Côncava para baio Para funções diferenciáveis,a direção da curva pode ser caracterizada em termos das retas tangentes. Nos intervalos em que f é côncava para cima seu grá co está acima das retas tangentes. Nos intervalos em que f é côncava para baio seu grá co está abaio das retas tangentes. = f ( ) P P = f ( ) a c b a c b f côncava para cima f côncava para baio De nição 5: Se f for diferenciável num intervalo I então: i. f é côncava para cima se f 0 for crescente em I; ii. f é côncava para baio se f 0 for decrescente em I; Observação: Por comodidade, um arco côncavo para cima dizemos apenas côncavo e um arco côncavo para baio dizemos apenas conveo. Para obter os intervalos de concavidade e conveidade, isto é, os intervalos em que f 0 cresce e decresce é através analisando a segunda derivada de f. Teorema 4: Seja f uma função duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I = (a; b). Se: i. f 00 ( 0 ) > 0 quando 0 I então, o grá co de f é côncavo sobre I; ii. f 00 ( 0 ) < 0 quando 0 I então, o grá co de f é conveo sobre I. Demonstração: Omitiremos a demonstração tanto de (i) quanto de (ii), faremos apenas algumas considerações:

197 97 a Este teorema nos diz que se em I a segunda derivada é positiva (caso (i)) ou negativa (caso (ii)) eceto em alguns pontos nos quais ela é zero, então a curva f () é côncava para o caso (i) ou convea para o caso (ii). a Se ocorrer que f 00 () = 0 não só em alguns pontos senão em todo o intervalo I, então f () será uma função linear, onde não faz sentido tratar de concavidade e conveidade. curva. Eemplo 3: Determine os intervalos de concavidade e/ou conveidade da. f () = 3 ; Solução: Temos que: f 0 () = 3 ; f 00 () = 6. Assim, f 00 ( 0 ) = 0, 6 0 = 0 ) 0 = 3. Analisando os intervalos ; 3 e 3 ; +, conclui-se que: f 00 () < 0, 8 ; 3 ) o grá co de f é conveo; f 00 () > 0, 8 3 ; + ) o grá co de f é côncavo.. f () = e ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = e ; f 00 () = e ( ) : Assim, f 00 ( 0 ) = 0, e ( 0 ) ) 0 = p. Analisando os sinais da segunda derivada concluímos que: f 00 p p () > 0, 8 ; [ ; + ) o grá co de f é côncavo; f 00 () < 0, 8 p ; p ) o grá co de f é conveo.

198 Pontos de In eão Quando sobre o grá co de uma função eistir um ponto, no qual o sentido de concavidade pode mudar então, a reta tangente atravessa o grá co neste ponto. Este ponto é chamado ponto de in eão. De nição 6: Um ponto P (c; f (c)) do grá co de uma função contínua f é chamado um ponto de in eão, se eiste um intervalo (a; b) contendo c, tal que uma das situações ocorra: i. f é côncava para cima em (a; c) e côncava para baio em (c; b); ii. f é côncava para baio em (a; c) e côncava para cima em (c; b). f ( c ) P a c b Estabeleceremos agora uma condição necessária para a eistência de pontos de in eão. Teorema 5: Seja f () uma função diferenciável sobre (a; b) onde c (a; b), se P (c; f (c)) é um ponto de in eão do grá co de f () e se eiste f 00 (c), então f 00 (c) = 0. Demonstração: Do fato de P (c; f (c)) ser um ponto de in eão, eiste então um intervalo (a; b) onde c (a; b) tal que: i. f 0 () é crescente sobre (a; c) e decrescente sobre (c; b), ou ii. f 0 () é decrecente sobre (a; c) e crescente sobre (c; b). Do fato que eiste f 00 (c) sabemos que f 0 será contínua em c e considerando o caso (i) concluímos que f 0 (c) é um valor máimo relativo de f 0 () e f 00 (c) = 0. Agora, considerando o caso (ii) concluímos que f 0 (c) é um valor mínimo relativo de f 0 () e f 00 (c) = 0. Estabeleceremos agora uma condição su ciente para a determinação e análise de f () quanto aos pontos de in eão. Teorema 6: Seja f () uma função contínua sobre um conjunto I onde (a; b) I, se c (a; b) tal que f 00 (c) = 0 ou f 00 (c) não eistir e se: i. f 00 () > 0 quando (a; c) e f 00 () < 0 quando (c; b), então P (c; f (c)) é um ponto de in eão do grá co de f (); ii. f 00 () < 0 quando (a; c) e f 00 () > 0 quando (c; b), então P (c; f (c)) é um ponto de in eão do grá co de f ();

199 99 iii. f 00 () < 0 quando (a; c) e f 00 () < 0 quando (c; b) (ou f 00 () < 0 quando (a; c) e f 00 () < 0) então P (c; f (c)) não é um ponto de in eão do grá co de f (). Demonstração do caso (i): Como f 00 () > 0 para (a; c), pelo teorema 4 (i) o grá co da curva f () é côncavo sobre (a; c) e como f 00 () < 0 para (c; b), pelo teorema 4 (ii) o grá co da curva é conveo sobre (c; b). Assim, o ponto P (c; f (c)) onde pela de nição 3 é um ponto de in eão do grá co de f () sobre (a; b). A demonstração dos caos (ii) e (iii) é análoga. Roteiro para determinar os pontos de in eão do grá co de f o Passo: Determinar f 00 (); o Passo: Determinar c tal que f 00 (c) = 0 e/ou f 00 (c) não eista; 3 o Passo: Analisar o sinal de f 00 () conforme o teorema 6. Eemplo 4: Determine os intervalos de concavidade e/ou conveidade bem como os pontos de in eão da curva.. f () = ; Solução: Temos que: f 0 () = 3 + ; f 00 () = 6. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, 6 0 = 0 ) 0 =. Analisando os intervalos ( f 00 () < 0, 8 ( ; ) e (; +), conclui-se que: ; ) ) o grá co de f é conveo; f 00 () > 0, 8 (; +) ) o grá co de f é côncavo. Portanto, como há mudança de concavidade em =, este ponto é um ponto de in eão.. f () = ln ; Solução: Domínio de f: Df = R +. Temos que: f 0 () = ; f 00 () = ) Df 00 = R +. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, = 0 ) = 0. Absurdo!

200 00 Como f 00 ( 0 ) = 0 não ocorre para nenhum valor de, então o único ponto a ser analisado é o ponto em que f 00 não está de nida, ou seja, = 0. Como f 00 () < 0, 8 (0; +) então o grá co de f é conveo. Portanto, como não há mudança de concavidade em = 0 então não eiste ponto de in eão. 3. f () = ( ) 3 ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = 3 ( ) 3 ; f 00 () = 9 ( ) 5 3 ) Df 00 = R fg. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, 9 ( ) 5 3 = 0 ) = 0. Absurdo! Como f 00 ( 0 ) = 0 não ocorre para nenhum valor de, então o único ponto a ser analisado é o ponto = pois neste ponto f 00 não está de nida. Analisando os intervalos ( f 00 () > 0, 8 ( ; ) e (; +), conclui-se que: ; ) ) o grá co de f é côncavo; f 00 () < 0, 8 (; +) ) o grá co de f é conveo. Portanto, como há mudança de concavidade em =, o ponto P (; 0) é um ponto de in eão. 4. f () = sin ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = cos ; f 00 () = sin ) Df 00 = R. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, sin = 0 ) = n, com n Z Analisando alguns intervalos, temos que:. Se < <, f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo; Se < < 0, f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo; Se 0 < <, f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo; Se < < : : :, f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo;

201 . Como há mudança de concavidade em : : :, 0,, : : :, os pontos P ( ; 0), P (0; 0), P 3 (; 0) : : : são pontos de in eão. Portanto, cada ponto de f onde = n, com n Z é um ponto de in eão. 5. f () = 3 + ; Solução: Domínio de f: Df = R. Temos que: f 0 () = ( +) ; f 00 () = 4(36 ) ( +) 3 ) Df 00 = R. Determinando os possíveis pontos de in eão: f 00 ( 0 ) = 0, 4(36 ) ( +) 3 = 0 ) 4 (36 ) = 0 ) = 0 ou = 6. Analisando os intervalos, temos que: 8 ( ; 6), f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo; 8 ( 6; 0), f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo; 8 (0; 6), f 00 () > 0 ) o grá co de f é côncavo; 8 (6; +), f 00 () < 0 ) o grá co de f é conveo Portanto, como há mudança de concavidade em 6, 0 e 6 os pontos P 6; 9, P (0; 0) e P 3 6; 9 são pontos de in eão. 5.8 Assíntotas do grá co de uma função Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência grá cos que se aproimam de uma reta à medida que cresce ou decresce. Essas retas são chamadas de assíntotas. Veja alguns eemplos: De nição 7: Seja = f () uma função, A (; f ()) um ponto do grá co de f () e r uma reta, quando a distância d entre a reta e o ponto A tende a zero enquanto o ponto A tende ao in nito, esta reta r é dita assíntota da curva. 0

202 0 As assíntotas podem ser classi cadas como assíntotas verticais e oblíquas, como veremos a seguir Assíntotas Verticais De nição 8: A reta = a é uma assíntota vertical do grá co de = f () se pelo menos uma das seguintes a rmações for verdadeira: i.!a +f () = +; ii. iii. iv.!a +f () = ;!a!a f () = +; f () =. função: Eemplo 5: Determine, se eistir(em), as assíntotas verticais de cada. f () = 5 Solução: Geometricamente, observe que:!5 +f () = + e f () = +.! Portanto, pela de nição 5, segue que a reta = 5 é uma assíntota vertical.. f () = tan. Solução:

203 03 As assíntotas verticais da função f () = tan = sin correspondem as retas cos = (k + ) com k Z, pois nestes pontos cos 6= 0. Geometricamente, observe que: f () = e!(k+) +!(k+) f () = Assíntota Oblíquas De nição 6: A curva f () tem uma assíntota oblíqua, cuja equação é da forma = k + b, onde os valores dos coe cientes k e b, se eistirem os ites: Observações: k =! f () e b =! (f () k). i. Se um dos ites acima não eistir, então a curva não tem assíntota oblíqua. ii. Se k = 0 e b eistir, então a equação da assíntota será = b e é chamada de assíntota horizontal.. f () = ; Eemplo 6: Escreva as equações de todas as assíntotas, em cada caso: Solução: Domínio de f: Df = R. Candidata a assíntota vertical: = 0. Como!0 +f () = + e f () =, pela de nição 5, conclui-se que = 0!0 é uma assíntota vertical. Se eiste(m) assíntota(s) oblíquas, elas são da forma = k + b. Veri quemos se é possível determinar os coe cientes k e b. Temos que: f() k =! b = = = 0;! (f () k) = = 0.!! Como k = 0 e b eiste, então a assíntota oblíqua é a reta = 0. Conclusão:

204 04 assíntota vertical: = 0; assíntota horizontal: = 0.. f () = + ; Solução: Domínio de f: Df = R. Candidata a assíntota vertical: = 0. Como f () = + e!0!0 +f () =, pela de nição 5, conclui-se que = 0 é uma assíntota vertical. Se eiste(m) assíntota(s) oblíquas, elas são da forma = k + b. Determinando, se possível, os coe cientes k e b. Temos que: f() k =! =! + = ; b = (f () ) = + = =.!!! Como k = e b eiste, então a assíntota oblíqua é a reta = +. Conclusão: assíntota vertical: = 0; assíntota oblíqua: = f () = e sin +. Solução: Domínio de f: Df = R. Como eiste o ite!a f () = e a sin a + a entãonão há assíntota vertical, pois não satisfaz as condições da de nição 5. Se eiste(m) assíntota(s) oblíquas, elas são da forma = k + b. Determinando, se possível, os coe cientes k e b. Temos que: k = ) k = f()!! = e e sin +! sin! = e!! + sin +!

205 05 Como a função sin é periódica,! sin não eiste, mas sabemos que sin, ou seja, esta função é itada. Podemos representar então que! sin = m. Assim, segue que: se! +, então: k =. f() se!, então não eiste k, pois k = =.! Dessa forma, para! +, temos que: b = (f () ) = (e sin ) = e (sin ) = 0.!+!+!+!+ Como k = e b eiste, então a assíntota oblíqua é a reta =. Conclusão: assíntota assíntota oblíqua: = Esquema Geral Para Analisar Funções e Construir Grá cos O grá co de uma função é construído baseado na investigação. Segundo as análises realizadas nos itens anteriores, podemos estabelecer um método prático que o resumimos nos seguintes passos: o Passo: Determinar o campo de de nição da função; o Passo: Encontrar os pontos críticos de f; 3 o Passo: Análise dos sinais de f 0, para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f; 4 o Passo: Determinar os pontos de máimos e/ou mínimos, se eistirem (usa-se teste da primeira derivada ou teste da segunda derivada); 5 o Passo: Calcular os possíveis pontos de in eão; 6 o Passo: Determinar os intervalos de concavidade, conveidade e pontos de in eão; 7 o Passo: Determinar as equações de todas as assíntotas; 8 o Passo: Construir o grá co.

206 06 Eemplo 7: Analise e contrua o grá co de cada uma das funções abaio:. f () = + ; Solução: ) Domínio: R; ) Determinando os pontos críticos: f 0 () = (+ ) : Observe que, f 0 está de nida 8 R. f 0 () = 0, (+ ) = 0 ) =. 3) Analisando os sinais de f 0, tem-se que: f é crescente 8 [ ; ] ; f é decrescente 8 ( ; ] [ [; +) : 4) Pelo teste da a derivada conclui-se que: f tem um ponto de mínimo em P ; ; f tem um ponto de máimo em P ;. 5) Determinando os pontos de in eão: f 00 () = ( 3) (+ ) 3 ; Note que, f 00 está de nida 8 R. f 00 ( o ) = 0, 0( 3) 0 = 0 (+ 0) 3 ) o = 0 ou o = p 3. 6) Analisando os sinais de f 00 ; tem-se que: f é côncava 8 f é convea 8 ; p 3; 0 [ p 3; + ; p 3 [ 0; p 3. p3; p Dessa análise, conclui-se que os pontos A 3 p3; p, A 4 (0; 0) e A são pontos de in eão de f. 7) Determinando as assíntotas: verticais:!a f () =!a ( ) = 4a 3 a 5 + Logo, não há assíntotas verticais. oblíquas: = k + b, onde

207 07 f() k = =! = 0;! + b = (f () 0) = = 0.!! + Portanto, = 0 é assíntota oblíqua. 8) Construção do grá co: f () = ; Solução: ) Domínio: R; ) Determinando os pontos críticos: f 0 () = ; Domínio de f 0 : Df 0 = R; f 0 () = 0, = 0 ) = e = 4. 3) Analisando os sinais de f 0, tem-se que: f é crescente 8 ( ; ] [ [4; +); f é decrecente 8 [; 4]. 4) Pelo teste da a derivada conclui-se que: f tem um ponto de máimo em P (; 3); f tem um ponto de mínimo em P (4; 9). 5) Determinando os pontos de in eão: f 00 () = 6 8; Domínio de f 00 : Df 00 = R; f 00 ( o ) = 0, = 0 ) o = 3. 6) Analisando os sinais de f 00 ; tem-se que: f é convea 8 ( ; 3) ; f é côncava 8 (3; +) : Portanto, o pontos A (3; ) é o ponto de in eão de f. 7) Determinando as assíntotas: verticais:!a f () = a 3 9a + 4a 7.

208 Logo, não há assíntotas verticais. oblíquas: = k + b, onde f() k = =!! = +; Portanto, como não eiste k então não há assíntota oblíqua. 8) Construção do grá co: f () = 3p ; ) Domínio: R f ; g; ) Determinando os pontos críticos: f 0 () = 3 3 3p ( ) 4 : Observe que, f 0 não está de nida em =. f 0 () = 0, 3 3 3p ( ) 4 = 0 ) = p 3. Pontos a serem considerados na análise dos sinais de f 0 : = e = p 3. 3) Analisando os sinais de f 0, tem-se que: f é crescente 8 ; p 3 [ p 3; + ; f é decrecente 8 p 3; [ ( ; ) [ ; p 3. 4) Pelo teste da a derivada conclui-se que: f tem um ponto de máimo em P p3; p 3 3p ; em = 0, f não tem ponto nem de máimo nem de mínimo; f tem um ponto de mínimo em P p3; p 3 3p. Comentário: Observe que, pelo teste da a derivada somos levados a concluir que em =, f não tem pontos nem de máimo nem mínimo. Deve-se tomar cuidado com essa conclusão, pois estes pontos cujas abcissas são nem fazem parte do domínio da função. Portanto, não poderão ser pontos de máimos e/ou mínimos. 5) Determinando os pontos de in eão: f 00 () = (9 ) 9 3p ( ) 7 ; 08

209 09 Note que, f 00 não está de nida em =. f 00 ( o ) = 0, 0(9 0) 9 3 q ( 0 ) 7 = 0 ) o = 0 ou o = 3. os pontos a serem analisados são: 0, e 3. 6) Analisando os sinais de f 00 ; tem-se que: f é côncava 8 ( ; 3) [ ( ; 0) [ (; 3); f é convea 8 ( 3; ) [ (0; ) [ (3; +). Logo, os pontos A 3; 3, A (0; 0) e A 3 3; 3 são pontos de in eão de f. Em =, apesar do valor da ordenada correspondente não estar de nida, pois f não é de nida nestes pontos, também há mudança de concavidade. Portanto, também são pontos de in eão. 7) Determinando as assíntotas: verticais: As retas candidatas a serem assíntotas verticais são =. Veri cando se realmente essas retas são assíntotas verticais. ( f () )! +f () = +! f () = ; f () )!! (!! Logo, as retas = e = k = +f () = + f () =. oblíquas: = k + b, onde f() =! 3p = 0;! são assíntotas verticais. b = (f () 0) = 3p = +.!! Portanto, não eiste assíntota oblíqua. 8) Construção do grá co:

210 0 Eemplo 8: Seja f um função contínua para todo real. Sabe-se f (0) = 0, f (6) = 0 e que o grá co de f possui a reta = + como assíntota oblíqua para!. Usando as informações que podem ser etraídas dos grá cos da primeira e da segunda derivada de f, que estão abaio ilustrados, esboce o grá co da função f. Justi que seu raciocínio com argumentos consistentes Solução: Dados: = f 0 () = f 00 (). Domínio de f : Df = R; f (0) = 0 e f (6) = 0; a reta = + é assíntota oblíqua para! ; O grá co da primeira derivada nos fornece as seguintes informações: a f 0 não eiste em = 0 e em = 6 ) os pontos P (0; f (0)) e P (6; f (6)) são pontos críticos; f 0 (4) = 0 ) o ponto P 3 (4; f (4)) é um ponto crítico; f 0 () < 0; 8 ( ; 0) [ (4; 6) [ (6; +) ) f é uma função decrescente 8 ( ; 0] [ [4; +) f6g ; f 0 () > 0; 8 (0; 4) ) f é uma função crescente 8 [0; 4] ; pelo teste da primeira derivada: o ponto P é um ponto de mínimo relativo; o ponto P não ponto de máimo nem de mínimo relativo; e, o ponto P 3 é um ponto de máimo relativo. O grá co da segunda derivada nos fornece as seguintes informações: a f 00 não eiste em = 0 e em = 6 ) os pontos P (0; f (0)) e P (6; f (6)) são candidatos a pontos de in eão; f 00 () 6= 0 para todo real; f 00 () < 0; 8 ( ; 0) [ (0; 6) ) f é uma função convea 8 ( ; 0) [ (0; 6); f 0 () > 0; 8 (6; +) ) f é uma função côncava 8 (6; +) ; A partir destas informações, temos que um esboço do grá co de f é:

211 Eemplo 9: Seja f uma função contínua em R cujo grá co de sua primeira derivada está ilustrado na gura abaio. f. Sabendo que f (0) = 4 e que (f () ) =, esboce o grá co da função Solução: Pelo grá co de f 0, temos que: f 0 () > 0, 8 ( ; 0) [ (; +) ) f é crescente 8 ( ; 0] [ [; +) ; f 0 () < 0, 8 (0; ) ) f é decrescente 8 [0; ] ; fé decrescente 8 ( ; ] ) f é convea 8 ( ; ) ; fé crescente 8 [ ; ) f0g ) f é côncava 8 ( ; ) f0g ; Como (f () ) = ; concluímos que a reta = + é asíntota oblíqua de f para! : Pelas informações acima, segue que um esboço para o grá co da função f é: 4

212 5.9 Aplicações da Teoria dos Máimos e Mínimos de Funções na Solução de Problemas Os problemas de determinação de valores máimos e mínimos se encontram entre as aplicações mais comuns do Cálculo Diferencial e Integral I. Certamente, você já deve ter ouvido falar em lucro máimo, custo mínimo, tempo mínimo, diferença de potencial máimo, tamanho ótimo, potência máima ou distância máima. A teoria desenvolvida para a determinação de etremos de funções pode ser aplicada na resolução de tais problemas. Estes, podem ser enunciados por escrito e podem ser resolvidos sempre que for possível equacionar o fenômeno em estudo, mediante fórmulas matemáticas. Vejamos eemplos nesse sentido. Eemplo 0: A diferença de dois números é a. Determine esses números para que o seu produto resulte o menor possível. Solução: Sejam e os números tais que = a ) = a +. () Seja P a função produto de nida por P = : () Substituindo () em (), temos que: P = (a + ) = + a, com R: Determinando os pontos críticos: P 0 () = + a ) P 0 () = 0 () + a = 0 ) = a : Logo, o único ponto crítico é em = a : Aplicando o teste da segunda derivada: P 00 () =. P 00 a = > 0: Portanto, = a é o mínimo relativo de P. Como P () =!! ( + a) = absoluto de P: Substituindo em (), conclui-se que:! = +, então = a é o mínimo = a e = a. Eemplo : Um pacote pode ser enviado pelo reembolso postal desde que a soma de seu comprimento mais o perímetro de sua base não eceda m. Determine as dimensões do pacote de volume máimo que pode ser enviado, se a base é quadrada. Solução: Sejam V : volume do pacote (m 3 ); a : lado da base (m); c : comprimento (m). c a a

213 3 Objetivo: Determinar as dimensões a e c que minimizam o volume do pacote. Sabemos que a soma de seu comprimento mais o perímetro de sua base (que é quadrada) não pode eceder m, ou seja, c + 4a = ) c = 4a: () O volume do pacote é V = a :c ) V = a ( 4a) = a 4a 3, com a 0; : Como V é uma função contínua em 0;, pelo teorema de Wieirstrass, V tem seus etremos abasolutos em 0; : Note que nos etremos do intervalo o volume é nulo, logo, não podem ser solução, pois não haveria pacote. Logo, a solução estará no intervalo aberto de 0;, ou seja, os etremos absolutos estarão nos pontos críticos. Determinando os pontos críticos: V 0 (a) = 0 ) 4a (3a ) = 0 () a = 0 ou a = 3. Como 0 = 0;, o único ponto crítico é em a = 3. Aplicando o teste da segunda derivada: V 00 (a) = 4 4a ) V 00 3 < 0: Portanto, a = 3 é o mínimo absoluto de V. Assim, por (), segue que c = 3 : Eemplo : Uma janela consiste de um retângulo com um semicírculo em cima e deve ter um perímetro P. Determine o raio do semicírculo para que a área da janela seja máima. Solução: Sejam P : perímetro da janela; A : área da janela; r : raio do semicírculo; h : altura do retângulo; r h Objetivo: Determinar r para que a área da janela seja máima. Para tanto, devemos determinar r que maimize a área da janela. A área da janela é 0; P 4+ : A =(área do retângulo) + (área do semicírculo) ) A = rh + r () O perímetro da janela é P = h + r + r = h + r + r ) h = P r(+) () Substituindo () em (), temos que: A = r P r(+) + r = P r r r = r (4r P + r), com r Como a área é uma função contínua e o intervalo é fechado então eiste etremo absoluto neste intervalo, pelo teorema de Wieirstrass. Determinando os pontos críticos: A 0 (r) = P r 4r ) Vc 0 (r) = 0 () P r (4 + ) = 0 ) r = P Logo, o único ponto crítico é r = P : 4+ Aplicando o teste da segunda derivada: A 00 (r) = 4 A P = 4 < 0: Portanto, r = P 4+ maimiza a área da janela. 4+ :

214 4 A (0) = A Como r = P é um mínimo relativo, e nos etremos do intervalo segue que P = 0, então este valor de r também é o valor de mínimo absoluto. Eemplo 3: Deve-se construir um tanque para armazenamento de um gás propano em forma de um cilindro circular reto com dois hemisférios nas etremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de m 3, que dimensões minimizaram o custo da construção? Solução: Sejam tanque em dimensões C : função custo; r : raio do hemisfério raio do cilindro; h : altura do cilindro. r Objetivo: Determinar as dimensões r e h que minimizam o custo na contrução do tanque. Como o custo está associado com a área lateral, temos que: C = [área de uma esfera( área de hemisférios)] + (área lateral do cilindro) ) C = (4r ) + rh = 8r + hr: () O volume total do tanque é dado por V = (volume de uma esfera) + (volume de um cilindro) V = 4 3 r3 + r h: Como V = m 3, temos que = 4 3 r3 + r h ) h = 4 r 3 r: () Substituindo () em (), temos que: C = 8r + 4 r r = r 3 r 3 r, com r (0; +) : Determinando os pontos críticos: q C 0 (r) = 4 + 3r ) C 0 (r) = 0 () r = 3 9 : r 3 4 Aplicando o teste da segunda derivada: C 00 (r) = ) C 00 3 r 3 3 q ) r = Note que: r!0 C (r) = r!+ é um mínimo relativo. +C (r) = 4 + 6r = + r!0 + r r = + r!+ r 3 h q 9 4 > 0 q Logo, pode-se concluir que o valor de mínimo relativo r = 3 9 também é o 4 valor de mínimo absoluto. q Portanto, r = 3 9 minimiza a área da janela. Basta substituir este valor de 4 r () para obter h: Eemplo 4: Dado o volume V de um cilindro, quais devem ser as suas dimensões para que seja mínima a área total? Solução: Interpretação geométrica:

215 5 r h Objetivo: Determinar r e h para que a área do cilindro seja mínima. A área do cilindro é A =(área do retângulo) + ( área do círculo) ) A = r + rh () Sabemos que o volume do cilindro é V, assim: V = r h ) h = V () r Substituindo () em (), temos que: A = r + V = r r + V r, com r (0; +) : Determinando os pontos críticos: A 0 V (r) = r r ) A 0 V (r) = 0 () r r = 0 ) q r = 3 V : Aplicando o teste da segunda derivada: A 00 (r) = + V q A 00 3 V = > 0: Note que: r!0 +A (r) = r + V r!0 + r = + A (r) = r!+ r!+ r + V r = + q Logo, pode-se concluir que o valor de mínimo relativo r = 3 V também é o valor de mínimo absoluto. Logo, as dimensões que minimizam a área são r 3 r = 3 r V e h = 3 r V. Eemplo 5: A distância percorrida (no vácuo), por um projétil, lançado com uma velocidade v 0 desde uma canhão de artilharia com ângulo de elevação é dada por = v 0 sin(). Determine para que seja máima. g Solução: Sabemos que a distância percorrida por um projétil é dada por = v 0 sin () : g Consideremos 0;. Observe que é uma função contínua em 0;, então o teorema de Wieirstrass garante que seus etremos abasolutos estão no intervalo 0; : Como (0) = = 0, então os etremos absolutos devem estar nos pontos críticos da função = () :

216 6 Determinando os pontos críticos: 0 () = v 0 cos() ) 0 () = 0 () v 0 cos() g g = 0 ) = : 4 Aplicando o teste da segunda derivada: 00 () = 4v 0 sin() g A 00 4v 4 = 0 < 0 g ) = é o máimo absoluto, pois este é o único ponto crítico dentro do 4 intervalo 0; : Portanto, = é o ângulo de elevação cujo alcance será o máimo possível. 4 Logo, para = 4 temos que = v 0 g. Eemplo 6: Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 7hs e meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação horas após as 7hs é f () = ( ). Em que instantes, entre 7hs e meia-noite, eistem mais e menos ouvintes sintonizados na estação? Qual é a porcentagem de ouvintes nestes momentos? Solução: Objetivo: Determinar que maimiza e minimiza a função f. Como a pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação horas após as 7hs é f () = ( ), temos que [0; 7]. Determinando os valores críticos: f 0 () = 3 4 ( 9 + 8) ) f0 () = 0, = 3 ou = 6. Aplicando o teste da segunda derivada, temos que: f f 00 () = 3 ( 9) ) 00 (3) > 0 é um ponto de mínimo relativo 4 f 00 (6) < 0 é um ponto de máimo relativo. Como f é uma função contínua em no intervalo fechado [0; 7], pelo teorema de Wieirstrass, eistem os etremos abasolutos em [0; 7] : Logo, os máimos e mínimos absolutos podem estar nos etremos do intervalo. Analisando o valor da função nos etremos e nos pontos etremos relativos, temos que: f (0) = 40 = 30% f (6) = 33 = 6: 5% 8 f (3) = 05 = 3: 5% f (7) = = 5: 5% 8 8 Logo, = 0 e = 3 são, respectivamente, os pontos de máimo e mínimo absolutos. Conclusão: Às 7hs ( = 0), o maior número de adultos está sintonizado na rádio; corresponde a 30% dos ouvintes: Às 0hs ( = 3), o menor número de adultos está sintonizado na rádio; corresponde a 3% dos ouvintes:

217 7 5.0 Eercícios. Seja f() = : Justi que a a rmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [ ; 0]: Determine um intervalo de amplitude 0,5 que contenha a raiz.. Prove que a equação 3 = 0 admite ao menos uma raiz real. Determine 4 + um intervalo de amplitude 0,5 que contenha a raiz. 3. Prove que cada um dos conjuntos abaio admite máimo e mínimo absolutos. (a) A = + = + (b) A = + = 4. Seja f : [ ; ]! R dada por f() = + + : (a) Prove que f() é o valor máimo de f: (b) Prove que eiste c ( f: ; 0) tal que f(c) seja o valor de mínimo absoluto de 5. Prove que a equação = 0 admite uma única raiz real. Determine o intervalo de amplitude que contenha a raiz. 6. Prove que a equação = 0 admite três raízes reais distintas. Localize intervalos de amplitude que contenham tais raízes. 7. Determine condições sobre a R para que a equação a = 0 admita: (a) uma única raiz real. (b) duas raízes reais distintas. (c) três raízes reais distintas. 8. Considere f() = : Eiste c [ ; ] tal que f(c) = 0? Justi que Considere f() = : Podemos usar o Teorema de Rolle para concluir que eiste c [ ; ] tal que f 0 (c) = 0? Justi que. 0. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e veri cam o Teorema de Rolle e justi que sua resposta. (a) f () = + sobre o intervalo ; ; 3p (b) f () = sobre o intervalo [ ; ]; (c) f () = tan () sobre o intervalo [0; ]; (d) f () = ( ) ( ) ( 3) sobre o intervalo [; 3]; (e) f () = sin () sobre o intervalo [0; ].

218 8. Sabendo que f () = tem raízes e, pelo teorema de Rolle é possível a rmar que a derivada tem alguma raiz entre e? Justi que.. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e veri cam o Teorema do Valor Médio (de Lagrange). Justi que. (a) f () = 3p sobre o intervalo [ 3; 4]; 5p (b) f () = 4 sobre o intervalo [0; ]; (c) f () = 4 3 sobre o intervalo [ ; ]; (d) f () = sin sobre o intervalo [0; ]; (e) f () = sobre o intervalo [ ; ]; (f) f () = sobre o intervalo [0; ]. ( ) 3. Através do teorema de Rolle é possível a rmar que a função f () = j3 j possui um ponto crítico no intervalo [; 5]? Justi que. 4. Use algum dos teoremas estudados para determinar em que ponto da curva f () = 3 a reta normal a esta curva é perpendicular a reta que passa pelos pontos A (; ) e B (0; ). 5. Utilize o Teorema de Lagrange para demonstrar as desigualdades: (a) e +, para 0; (b) arctan () <, para > 0; (c) b n a n nb n (b a), para b > a, n N (d) jsin sin j j j, para e R. ( 3, se = 0 6. Para que valores de a, m e b a função f () = a, 0 < < m + b, se o teorema do Valor Médio no intervalo [0; ]? Justi que. satisfaz 7. Em que ponto da curva f () = n a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A (0; 0) e B (a; a n )? 8. Seja g a função de nida por g () = p 4. (a) Usando um dos teoremas estudados, determine o ponto em que a reta normal à curva = g () também é normal a reta que passa pelos pontos A ( ; 0) e B (0; ). (b) A função = f () = p 6 4 :g 0 (), veri ca o teorema de Rolle entre as raízes da função g? Justi que. 9. Seja p () = A + B + C, onde A, B e C são constante reais e A 6= 0. Mostre que para qualquer intervalo [a; b], o valor de c cuja eistência é garantida pelo Teorema de Lagrange, é o ponto médio do intervalo.

219 9 0. A rma-se que f (0) = 3 e f 0 () 5, para todo real, então pelo Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) o maior valor possível para f () é 7. Pergunta-se: é verdade? Justi que.. Em cada caso, determine os intervalos onde f () é crescente e decrescente bem como todos os pontos de máimo e mínimo: 6 (a) f () = (e) f () = ( 8)( + ) (4 ) (b) f () = + sin ( ) (8 ) (f) f () = (c) f () = ln (d) f () = e (g) f () = p. Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade para baio e para cima bem como os pontos de in eão. 6 (c) f () = (a) f () = (4 ( 8)( + ) ) (b) f () = e (d) f () = p 3. Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas. 6 (a) f () = (4 ) (c) f() = sin (b) f () = p (d) f() = cos( ) 4. Faça a análise e construa o grá co de cada uma das funções: (a) f () = ln (i) f () = e (b) f () = (c) f () = 4 4 (d) f () = 3p 3 (e) f () = e (f) f () = e + (g) f () = e (h) f () = ( ) (j) f () = + (k) f () = + + e (l) f () = e (m) f () = + (n) f () = p (o) f () = + (p) f () = (q) f () = ( ) e (r) f () = p + p p (s) f () = (t) f () = ln( ) (u) f () = e (v) f () = + ln (w) f () = cot () ; 8 ( ; ) () f () = sec () 8 ( ; ) () f () = ln (cos ()) ; 8 (0; ) 5. Dada a função f () = ln ( + ), eplique, usando o Teorema de Rolle, porque é possível a rmar que eiste um possível ponto de in eão no grá co da curva de = f (), no intervalo ;. 6. Seja f () = a 3 + b c + d uma função. (a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d para que f () tenha pontos críticos em = 0 e =.

220 0 (b) Se a > 0 em qual dos pontos críticos a função terá máimo e/ou mínimo? 7. Considere a função f () = A rma-se que no intervalo (0; ) esta função tem pelo menos um ponto crítico. Pergunta-se: é verdade? Justi que sua resposta. 8. Determinar os coe cientes a e b de forma que a função f () = 3 + a + b tenha um etremo relativo no ponto ( ; ). 9. Esboce o grá co da função f () que satisfaz as seguintes condições: i. f (0) = ; ii. = é uma assíntota horizontal de f; iii. f não possui assíntota vertical. iv. f 0 () > 0 para todo ( ; ) [ (; +) ; v. f 0 () < 0 para todo ( ; ) ; p p vi. f 00 () > 0 para todo ; 3 [ 0; 3 ; p p vii. f 00 () < 0 para todo 3; 0 [ 3; + : Determine os pontos de máimo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) ponto(s) de in eão. Justi que cada um desses itens. 30. Construa o grá co de uma função que satisfaz as seguintes condições: f 0 ( ) = f 0 () = 0; f 0 () < 0 se jj < ; f 0 () > 0 se < jj < ; f 0 () = se jj > ; f 00 () < 0 se < < 0; o ponto P (0; ) é um ponto de in eão. 3. Construa o grá co de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições: i. f 0 () > 0 se jj < ; f 0 () < 0 se jj > ; f 0 () = 0; ii. f () = e f ( ) = f () ;!+ iii. f 00 () < 0 se 0 < < 3; iv. P (3; f (3)) é ponto de in eão. 3. Seja f a função cujo grá co está representado na gura a seguir.

221 Faça a análise grá ca de f, observando, se eistir(em), assíntota(s) vertical(is) e assíntota(s) horizontal(is), os intervalos em que f 0 () > 0 e f 0 () < 0, os intervalos em que f 00 () > 0 e f 00 () < 0, pontos de máimo(s) e/ ou mínimo(s) relativos, o(s) ponto(s) de in eão, descontinuidades e raízes. Justi que cada item. 33. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o grá co de f de tal forma que sua primeira derivada apresente o comportamento abaio ilustrado. Além disso, descreva o que pode ser concluído sobre o grá co de f 00 (): Justi que suas conclusões. 34. Esboce o grá co da função f, contínua em R; sabendo que o grá co da primeira derivada de f está representado na gura a seguir e as raízes de f estão em = ; = 0 e = :

222 35. Sabendo que h é uma função contínua em R, h () =, h () = e!+! que o grá co de h 0 está ilustrado na gura abaio, faça um esboço do grá co da função h. Além disso, argumete de forma consistente se eiste(m) ou não ponto(s) crítico(s), ponto(s) etremo(s), ponto(s) de in eão e assíntotas. 36. Sabendo que f é uma função contínua em R, (f () + ) =, f (0) =! f (6) = 0 e que o grá co da primeira derivada de f está abaio ilustrado, esboce o grá co da função f. Justi que seu raciocínio com argumentos consistentes.

223 = f 0 () 37. Quer-se construir uma sala retangular que tenha 36 m de área. Quais devem ser as dimensões para que seu perímetro seja o menor possível? 38. Tem-se um terreno retangular de 438 m de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz ite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo? 39. Dentre todos os retângulos de área 49 cm, qual tem perímetro mínimo? 40. Um fazendeiro tem 4 m de cerca para construir três galpões retangulares adjacentes (de mesma área), conforme a gura a seguir. Quais devem ser as dimensões totais dos galpões de modo a maimizar sua área total? 4. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semi-esfera também de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja de 5cm : Determine os valores de r e h para que o sólido tenha volume máimo. 4. Um arame de comprimento m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em forma de quadrado cujo lado é l; e o outro pedaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é R: Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja máima? 43. Há várias semanas o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego uindo numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é aproimadamente f (t) = t 3 0; 5t + 30t + 0 km/h, onde t é o número de horas após o meio dia. A que horas entre 5 e 8 horas, o tráfego se move mais rápido e a que horas ele se move mais lentamente? 44. Considere três números positivos tais que sua soma é 5. Sabendo-se que o dobro do primeiro mais três vezes o segundo, mais quatro vezes o terceiro é 45, determine então esses números de modo que o produto dos três seja o maior possível.

224 4 45. Considere o retângulo, da gura a seguir, cujo perímetro é 6cm. Determine os lados do retângulo para que a área do trângulo ABC seja a maior possível. 46. Determine, se eistir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível. 47. Considere um semicírculo de raio. Determine: (a) as dimensões do retângulo com máima área que seja inscrito neste semicírculo; (b) a área deste retângulo. 48. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tem um volume de :000 cm 3. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível. 49. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio conforme a gura a seguir. Uma estação bombeadora de água será instalada para servir as duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação. De na o ponto onde a estação bombeadora deve ser instalada para minimizar o custo da tubulação. 50. Determine as dimensões de um cilindro reto inscrito em uma esfera de raio R para que este tenha o maior volume possível. 5. Uma pista de atletismo com comprimento total 400m, consiste em semicírculos e dois segmentos retos, conforme a gura a seguir. Determine as dimensões da pista de tal forma que a área retangular, demarcada na gura, seja máima.

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