Complementos de Cálculo Diferencial

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1 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 34 Comlementos de Cálculo Diferencial A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste caítulo retende-se relembrar algumas de nições e resultados já conhecidos e comlementar os conhecimentos adquiridos com vista ao cálculo integral que será dado no caítulo seguinte. Anteriormente foram estudadas as funções trigonométricas e resectivas derivadas, mas não foram estudadas as funções inversas das funções trigonométricas. Aqui serão aresentadas as funções inversas das quatro rinciais funções trigonométricas, seno, co-seno, tangente e cotagente, ara as quais serão também calculadas as derivadas. Ao longo deste caítulo todas as funções consideradas são funções reais de variável real. Revisões Algumas derivadas conhecidas: Para R, ( ) (e ) e Para a R +, (a ) a ln a (ln ) (sen ) cos (cos ) sen (tan ) cos (cot ) sen Fórmula fundamental da trigonometria cos + sen Da fórmula fundamental odem-se deduzir, tg + cos (se cos 6 ) cotg + (se sen 6 ) sen De nição Uma função é diferenciável em R se tiver derivada nita em : Teorema Se uma função f é diferenciável em R, então f é contínua em :

2 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 3 Derivada da soma e do roduto: Se f e g são funções diferenciáveis em R, então as funções f + g e f g também são diferenciáveis em e: (f + g) () f () + g () [abreviadamente (f + g) f + g ] (f g) () f () g () + f () g () [abreviadamente (fg) f g + fg ] Eemlos: Se f () sen e g () cos então: (sen + cos ) (sen ) + (cos ) cos sen (sen cos ) (sen ) cos + sen (cos ) cos cos + sen ( sen ) cos sen : Derivada do roduto escalar: Se k R e f é uma função diferenciável num onto R, então a função kf também é diferenciável em e: (kf) () k (f ()) Eemlo: (3 ) 3 ( ) 3 () 6: Derivada do cociente: Se f e g são funções diferenciáveis em R e se g () 6, então f também é diferenciável em e: g f () f () g () g f () g () (g ()) [abreviadamente f f g + fg ] g g Eemlo: Se f () sen e g () cos então: sen (tan ) (sen ) cos sen (cos ) () cos (cos ) cos + sen : cos cos cos cos sen ( sen ) cos Derivada da função comosta: Se f e g são funções, g diferenciável em R e f diferenciável em g (), então a função f g é diferenciável no onto e: (f g) () f (g ()) g () Eemlo: Se f () ln e g () (f g) () ln ( ) e, então: (ln ( )) : ( ) (g f) () (ln ) e então: (ln ) ln : (ln ) ln

3 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 36 Funções trigonométricas inversas Função inversa da função seno f () sen Domínio: R Contradomínio: [ ; ] sen Como a função seno não é injectiva, ara de nir a inversa temos de restringir h a função a um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo ; i, no qual a função seno é estritamente crescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa do seno num onto deste intervalo chama-se habitualmente arco cujo seno é ; simbolicamente arcsen : Como sen e arcsen são funções inversas, é claro que sen(arcsen ) : Tem-se então: f () arcsen Domínio: [ ; ] h Contradomínio: ; i arcsen

4 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 37 Função inversa da função co-seno f () cos Domínio: R Contradomínio: [ ; ] cos Também neste caso, ara de nir a função inversa temos de restringir a função co-seno a um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo [; ], no qual a função co-seno é estritamente decrescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa do co-seno num onto deste intervalo chama-se habitualmente arco cujo co-seno é ; simbolicamente arccos : Como cos e arccos são funções inversas, é claro que cos (arccos ) : Tem-se então: f () arccos Domínio: [ ; ] Contradomínio: [; ] arccos

5 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 38 Função inversa da tangente: f () tan (ou n f () tg ) o Domínio: R + k : k Z Contradomínio: R - - tan Neste i caso, ara calcular a função inversa da tangente, efectuamos a sua restrição ao intervalo ; h no qual a função é estritamente crescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num onto deste intervalo chamase habitualmente arco cuja tangente é ; simbolicamente arctan ou arctg : Como tan e arctan são funções inversas, é claro que tan (arctan ) : Tem-se então: f () arctan (ou f () arctg ) Domínio: R i Contradomínio: ; h arctan

6 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 39 Função inversa da cotangente: f () cot (ou f () cotg ) Domínio: R fk : k Zg Contradomínio: R - - cot Neste caso, ara calcular a função inversa da cotangente, efectuamos a sua restrição ao intervalo ]; [ no qual a função é estritamente decrescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num onto deste intervalo chama-se habitualmente arco cuja cotangente é ; simbolicamente arccot ou arccotg : Como cot e arccot são funções inversas, é claro que cot (arccot ) : Tem-se então: f () arccot (ou f () arccotg ) Domínio: R Contradomínio: ]; [ arccot

7 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 4 Derivada da função inversa O teorema que se enuncia de seguida ermite calcular a derivada da função inversa de uma função dada a artir da derivada da função inicial. Derivada da função inversa: Seja I um intervalo real, f : I! R uma função monótona e contínua e f : f (I)! R a inversa de f: Se f é diferenciável num onto I e f () 6 ; então f é diferenciável em f () e: f () f (f ()) () Eemlos: Os eemlos que aresentamos mostram como utilizar este teorema no cálculo de derivadas já conhecidas.. Vamos calcular a derivada da função ln usando o facto de ser a função inversa de f () e : Com é sabido f () e : Neste caso f () ln : Alicando a fórmula () obtemos: (ln ) f () f (f ()) e (ln ). Vamos calcular a derivada da função 3 3 usando o facto de ser a função inversa de f () 3 : Com é sabido f () 3 : Neste caso f () 3 : Alicando a fórmula () obtemos: 3 ( 3 ) f () f (f ()) Derivadas das funções trigonométricas inversas arcsen Se f () sen então f () cos e f () arcsen. Alicando a fórmula () da ágina 4, obtem-se: arccos (arcsen ) cos (arcsen ) # ver g. 34 sen (arcsen ) Se f () cos então f () sen e f () arcsen. Alicando a fórmula () da ágina 4, obtem-se: (arccos ) sen (arccos ) # ver g. 34 cos (arccos )

8 MTDI I - 7/8 - Comlementos de Cálculo Diferencial 4 arctan Se f () tan então f () cos e f () arctan. Alicando a fórmula () da ágina 4, obtem-se: (arctan ) cos (arctan ) # ver g. 34 tan (arctan ) + + arccot Se f () cot então f () da ágina 4, obtem-se: sen e f () arccot. Alicando a fórmula () (arccot ) sen (arccot ) # ver g. 34 cot (arccot ) Conclusão: (arcsen ) (arccos ) (arctan ) + (arccot ) +

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