INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

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1 Capítulo 6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Definição6.1. Umafunção F()échamadaumaprimitivadafunção f()nointervalo I separatodo I, tem-se: F () = f() Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo. Definição 6.2. Seja F() uma primitiva da função f() no intervalo I. A epressão F() + c, c R échamada aintegral indefinidadafunção f eédenotada por: f() = F() + c Logo: f() = F() + c F () = f() em particular: f () = f() + c. Assim, a integral indefinida permite que encontremos uma família de primitivas de f(). A sintaeparaocálculo daintegralindefinidadeumafunção é: ou de forma mais didática: >int(função,variável)+c; >Int(função,variável)=int(função,variável)+C; 171

2 172 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Eemplo Calcule 2 + a2, a 0. >f:=1/(ˆ2 +aˆ2): >Int(f,)=int(f,)+C; Note que: >diff(arctan()/a +C,); 1 arctan() 2 = + C + a2 a 2. Calcule sec 2 ( ) a 2 >f:=sec(sqrt())ˆ2/sqrt(): >Int(f,)=int(f,)+C; sec 2 ( ) = 2 sin( ) cos( ) + C Figura6.1: Gráficos dealgumas primitivas de f,eemplo2. Note que: >diff(2 sin(sqrt())/cos(sqrt()) +C,);

3 6.1. INTRODUÇÃO 173 sec 2 ( ) 3. Calcule >f:=1/(ˆ2 +2*+5): >Int(f,)=int(f,)+C; = 1 2 arctan( ) + C 2 Note que: >diff(arctan(/2 +1/2)/2 +C,); 4. Calcule e a sen(b); a,b >f:=ep(a*)*sin(b*): >Int(f,)=int(f,)+C; e a sen(b) = ea ( cos(b)b + asin(b)) a 2 + b 2 + C Note que: >diff(ep(a*)*(-cos(b*)*b+a*sin(b*))/(aˆ2 +bˆ2) +C,); e a sen(b) Muitas vezes o MAPLE não consegue calcular de forma eficiente uma integral. Por eemplo, considere: ( + 1) 3000 O Maple, antes de calcular a integral, desenvolve o binômio, o utiliza uma grande parte da memória do computador. Convidamos ao leitor a digitar: > int( ( + 1) 3000,);

4 174 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Veja o último eemplo do próimo parágrafo. Eistem funções cujas primitivas não podem ser epressas em termos de funções elementares. Veja o seguinte eemplo: Eemplo Calcule e 2. >f:=ep(ˆ2): >Int(f,)=int(f,)+C; e 2 = 1 2 π erf() + C, onde erf() é a chamada função erro, que não é elementar, a qual será revista nos próimos capítulos. É interessante e importante entender os passos intermediários que o MAPLE realiza para calcular as integrais indefinidas. 6.2 Método de Substituição Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F g esteja definida. Usando a regra da cadeia; temos: ( F(g()) ) = F (g()) g () = f(g()) g (). Logo, F(g()) éumaprimitiva de f(g()) g (), então: f(g()) g () = F(g()) + c; fazendo u = g(), tem-se du = g (); substituindonaepressãoanterior: f(g()) g () = f(u)du = F(u) + c Asintae é: >f:=função: >a:=int(f,variável); >a1:=changevar(equação que define a mudança=u,a,u); >Int(f,)=subs(u=equação que define a mudança,a1)+c;

5 6.2. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 175 Eemplo Calcule >f:=2*/(ˆ2 +1): >a:=int(f,); >a1:=changevar(ˆ2 +1 =u,a,u); integral imediata: a1 := 1 u du >Int(f, )=subs(u=ˆ2+1, a2)+c; 2. Calcule sec 2 ( ). a2 := ln(u) = ln(2 + 1) + C >f:=sec(sqrt())ˆ2/sqrt()): >a:=int(f,); sec 2 ( ) >a1:=changevar(sqrt()=u,a,u); integral imediata: a1 := 2sec(u) 2 du a2 := 2 sin(u) cos(u)

6 176 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA >Int(f, ) = subs(u = sqrt(), a2)+c; 3. Calcule cos( 2 )sen(sen( 2 )). sec 2 ( ) = 2 sin( ) cos( ) + C >f:=*cos(ˆ2)*sin(sin(ˆ2)): >a:=int(f,); cos( 2 )sen(sen( 2 )) >a1:=changevar(sin(ˆ2 )=u,a,u); integral imediata: a1 := 1 2 sin(u)du a2 := 1 2 cos(u) >Int(f, ) = subs(u =sin(ˆ 2), a2)+c; cos( 2 )sen(sen( 2 )) = 1 2 cos(sin(2 )) + C 4. Calcule ( + 1) 3000 >f:=*(+1)ˆ3000: >a:=int(f,); >a1:=changevar(+1=u,a,u); a1 := ( + 1) 3000 ( 1 + u)u 3000 du

7 6.3. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 177 >Int(f, ) = subs(u =+1, a2)+c; a2 := u u ( + 1) 3000 ( + 1)3001 ( + 1)3002 = + + C Método de Integração por Partes Sejam f e g funçõesderiváveis nointervalo I. Derivando oproduto f g: ( f()g() ) = f ()g() + f()g (), ou,equivalentemente, f()g () = (f()g()) f ()g(). Integrandoambos oslados: f()g () = f()g() f ()g() ; fazendo: u = f()edv = g (), temos: du = f () e v = g(). Logo: f()g () = udv = uv Estemétododeintegração nospermitetransformar aintegração de udv naintegração de v du. É importante saber escolher a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher v tal que permita determinar v. As epressõesde u e v devem ser mais simples que as de u e v,respectivamente. A sintae que utilizaremos é: v du >f:=função: >a:=int(f,variável); >a1:=intparts(a, função que foi chamada de u); >Int(f,)=a2+C; Eemplo Calcule ln(). >f:=ln(): >a:=int(f,);

8 178 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA ln() >a1:=intparts(a,ln()); a1 := ln() (1) >Int(f,)=a2+C; a2 := ln() ln() = ln() + C 2. Calcule sen(). >f:=*sin(): >a:=int(f,); sen() >a1:=intparts(a,); a1 := cos() ( cos()) a2 := cos() + sin() >Int(f,)=a2+C; sen() = cos() + sin() + C 3. Calcule ( 3 + 5)ln(). >f:=(ˆ3 +5)*ln(): >a:=int(f,); ( 3 + 5)ln()

9 6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 179 >a1:=intparts(a,ln()); >Int(f,)=a2+C; a1 := ln() ( ) a2 := ln() ( ) ( 3 + 5)ln() = ln() ( ) C 6.4 Método para Integração de Funções Racionais Um polinômio P() não constante de coeficientes reais pode ser sempre epresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, sendo que os fatores quadráticos são irredutíveis sobre os reais. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P(). P() = (a b 1 + c 1 ) s 1 (a b 2 + c 2 ) s 2...(a l 2 + b l + c l ) s l ( d 1 ) r 1... ( d n ) rn, onde r i, s j N, i = 1... nej = 1...l tais quenão todosos r i e s j sejamnulos. Eemplo 6.5. [1] P() = = ( 2)( 1). [2] P() = = ( + 1) 2 ( + 2). [3] P() = = ( 2 + 1)( 1). [4] P() = = ( 2 + 1) 5 ( 3)( + 4). [5] P() = = ( 2 + 1)( ). Seja uma função racional: P() Q(). A decomposição de uma função racional em frações mais simples, depende da fatoração do polinômio Q(). Se numa função racional o grau de P() é maior ou igual ao grau de Q(), então podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(p()) grau(q()) então P() = Q()A() + R(), onde grau(r()) < grau(q()); então, P() R() = A() +. Logo, basta estudar o caso em Q() Q() que: grau(p()) < grau(q()),

10 180 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios. Essencialmente temos os seguintes casos: Caso 1: Q() se decompõe em fatores lineares distintos. Caso 2: Q() se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos. Caso 3: Q() se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem. Caso 4: Q() se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem. A sintae utilizada para decompor uma função racional em frações mais simples é: >f:=função racional: >a:=int(f, ); >b:=convert(integrand(a), parfrac, ); >a1:=int(b, ); >Int(f,)=value(a1)+C; Eemplo Calcule >f:=(ˆ3+3*-1)/(ˆ4-4*ˆ2): >a:=int(f,); >b:=convert(integrand(a), parfrac, ); >a1:=int(b,); >Int(f,)=value(a1)+C; b := ( a1 := ( + 2) ( 2) 15 16( + 2) ( 2) )

11 6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Calcule = >f:=(3*ˆ2+4*+2)/(ˆ3+2*ˆ2+): >a:=int(f,); ln( 2) >b:=convert(integrand(a), parfrac, ); ln() ln( + 2) + C >a1:=int(b,); >Int(f,)=value(a1)+C; a1 := b := 2 1 ( + 1) ( 2 1 ( + 1) ) = 2 ln() + + ln( + 1) + C Calcule >f:=(3*ˆ3-12*ˆ2 +13*-7)/(ˆ4-4*ˆ3+5*ˆ2-4*+4): >a:=int(f,); >b:=convert(integrand(a), parfrac, ); >a1:=int(b,); >Int(f,)=value(a1)+C; a1 := b := ( 2) ( ( 2) ) = ln(2 + 1) arctan() ln( 2) + C 2

12 182 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.5 Eercícios 1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: (a) (n) (ln()) 2 3 (b) (o) (c) + 5 (p) 2 e 3 dy arcsen(y) (d) (q) b ay 2 1 y dy 2 (e) y(b ay 2 )dy e (r) e (f) sen(θ) (s) (5 cos(θ)) 3 dθ 6 (g) (5 3 2 ) (t) ( 2 + 6) 2 dy (h) (u) (b + ay) 3 ln() (i) 3 e a + b 4 arcsen() (v) 1 2 (j) (k) (l) (m) ln() + 2 sen(2)cos 2 (2) tg( 2 )sec2 ( 2 ) cos(a) b + sen(a) (w) () (y) (z) sen(ln()) cos( + 1) cos(3 ) 2. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas: (a) 2 2, use = 2 sec(t) (d), use = sen(t) 1 2 (b) e, use = ln(t) (e) ,use z = 1 + (c), uset = (f), usez = Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:

13 6.5. EXERCÍCIOS 183 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 3 cos() arctg() 1 e cosec 2 () sec()tg() 3 sen(5) 4 cos(2) 4 e 4. Calcule as seguintes integrais: (j) (k) (l) arcsen() 1 2 sec 2 () ln 3 () sen 2 () (m) cos 4 () (n) tg 5 ()sec 3 () cos 4 () (o) sen 6 () (p) sen 4 (a) (q) sen 3 (y)cos 4 (y)dy (r) sen 4 () cos 6 () (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (4 2 ) (1 + 2 ) 1 2 (1 2 ) ( ) 3 2 ( ) e e + 1 (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) sen() (25 cos 2 ()) 3 2 ((ln()) 2 4) 3 2 cos() 4+sen 2 () ( )

14 184 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA (v) (w) () (y) Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais: (a) 3 (l) + 8 ( + 1)( ) 2 4 (b) 4 (m) (c) ( 2 + 2) (n) (d) ( 2 + 1) 2 (o) (e) (p) (f) ( 2 + 1) (q) (g) ( 2 + )( 3 (r) + 1) (h) 3 ( 2 (s) + 1) ( ) (i) ( ) 2 (t) (j) (1 + 2 ) (u) (k) ( ) (v) Calcule as seguintes integrais: (a) cos() ln(sen()) (b) 5 (c) 5 cos( 3 ) (d) tg()sec 3 () (e) cos(3)cos(4) (f) (g) (h) (i) (j) ( 2 + 4) e t 9 e 2t dt ( ) 2

15 6.5. EXERCÍCIOS 185 (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) ( 2 + 1) sen()cos 2 () 5 + cos 2 () 2 ( + 1) ( 1)( 2 + 1) (r) (s) (t) (u) (v) (w) () + 1 ( 2 + 9) ( 1) sen()cos() + sen 2 () 2cos 2 ( 2 ) + sen() 1 tg 2 () sec 2 () + tg() ( + 3) 1

16 186 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA