ESTUDO DAS DERIVADAS

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1 ESTUDO DAS DERIVADAS Vamos considerar y uma unção real de variável real, deinida e itada, a, b. num intervalo ] [ y y a b Agora seja um ponto desse intervalo e um segundo ponto do mesmo intervalo. y y a b Vamos ormar a dierença y que chamaremos acréscimo ou incremento da unção, e compará-la com a dierença que chamaremos a- créscimo ou incremento da variável independente, a partir de. A razão entre essas dierenças será chamada razão incremental e representada y por.

2 Se eiste o ite desta razão incremental para tendendo a zero, temos que: y será chamada derivada ou coeiciente dierencial de no ponto e será dy y representada por. d Observe que: Se e, então, o que nos leva a concluir que Assim, podemos escrever que o ite da razão incremental também pode ser representada por: y e inalmente que a derivada será: dy d ou Se eiste, então dizemos que é derivável no ponto. O símbolo d y d se deve a Leibniz Gottiried Wilhelm Leibniz, 66 76; a última notação oi introduzida por Lagrange Joseph Louis Lagrange, Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente y para indicar a derivada de y. Outro símbolo para eprimir a derivada de uma unção, é D y D que é a notação de Cauchy Augustin Louis Cauchy, Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos ao símbolo D um índice indicativo dessa variável. D D, D u Du ou D t v Dv t Observação importante Lembre-se sempre desta distinção: A derivada de uma unção num ponto do seu domínio é um número real A unção derivada de uma unção é uma unção dada por y

3 EXEMPLOS. Ache a derivada de y Vamos calcular, para isso, basta substituir assim agora, calculamos a dierença calculamos a razão incremental e inalmente o ite dessa razão logo, a derivada de y é d dy ou. Calcule a derivada de [ ou simplesmente, pois o que queremos é a unção derivada EXERCÍCIOS Ache a derivada de: a 7 5 e b y c 6 g 5 d y h

4 REGRAS DE DERIVAÇÃO O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso, contudo podemos nos valer de algumas regras e órmulas que podem acilitar o nosso trabalho. Regra : A derivada de uma unção constante é zero. d y Se k, então ou d Eemplos: a b 5 c 7 Regra : A derivada da n-ésima potência de uma variável é igual ao produto de n por elevado a n -ésima potência. n Se, então: d y n n n ou n. d Eemplos: a b 5 c 5 Regra : A derivada do produto de uma constante por uma unção é igual ao produto da constante pela derivada da unção. Se y k u, onde u é uma unção dierenciável de, então: d y d u k ou y k u d d Eemplos: a b c

5 Regra : A derivada da soma de um número inito de unções deriváveis é igual à soma das suas derivadas. Se y u v, onde u e v g são unções dierenciáveis de, então: d y d u d v. d d d Eemplos: a y y y b 6 6 EXERCÍCIOS Questão Dar a derivada das seguintes unções: a 8 e b c d 5 6 g Questão Determine em cada caso: a b 7 d e 7 7 c Questão Ache a derivada das seguintes unções: a y d y 5 5 b y e y c y Questão Qual é a derivada da unção, no ponto? Questão 5 Se, calcule. Questão 6 Dada a unção, calcule a derivada de no ponto 8. 5

6 Questão 7 Sejam as unções e g, calcule g Questão 8 Dadas as unções a seguir, calcule a 7 c 5 b 7 d 6 7 Questão 9 Ache a derivada de cada unção: a c b 5 5 d Questão Calcule a derivada de: a y d y 7 b y 5 5 e y 9 5 c y y 5 5 Regra 5: A derivada de um produto de duas unções é igual a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Sendo u e v unções, temos: u v u v uv Eemplos: a y y y y 9 y 9 b 6 6 d y d u d v d u uv v u d d d d d y d d y d 6 6 d y d e d y d d v d 5 6 6

7 c 7 8 d d 7 8 d d d y 8 7 d d y d d y d 6 Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador vezes a unção do denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador. u u v u v Sendo com v, então:. v v Eemplos: a y, azemos u u, v v e v u v u v derivando, temos y y v y y b y, azemos u u, v v e v u v u v derivando, temos y y v y y y y y Regra 7: Função seno Se sen, então cos Regra 8: Função cosseno Se cos, então sen Regra 9: Função eponencial Se a, então a ln a 7

8 Regra : Este é um caso particular em que a base é o número e. Se e, então e Nota: o número e, deinido com reqüência pelo ite, vale, aproi- n n madamente e, 7 e Regra : Função logaritmo Se log, então a ln a Regra : Função logaritmo neperiano Se ln, então Regra : Derivada da unção composta É muito comum trabalharmos com uma unção composta, isto é, unções do tipo sen, que é uma composição de g sen com h. Nesse caso, para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: g [ h ] g [ h ] h Regra : Derivada da unção inversa Se é uma unção que admite inversa e é derivável no ponto, com, então ou y. y Eemplos: a sen u sen u u u sen u u u u sen u u cos u cos b e u e u u e u u u u u e u e e c y, azemos u u 6 u u u u y u u y 6 y 9 8

9 d y u u u u u u y u u y y e ln sen u sen u cos u ln u u u u u u cos cos sen sen ctg u u u u u u ln u u u ln ln g y arc sen Sua inversa é sen y y y y cos y, mas sen y cos y cos y, daí cos y sen y cos y sen y y Como sen y, temos cos y Logo: arc sen 9

10 EXERCÍCIOS Questão Ache a derivada das unções: a sen b sen c 5cos d cos e cos Questão Dadas sen e g cos, calcule g. Questão Determine a derivada das unções: a cos b sen cos c sen cos d sen cos Questão Se sen cos, calcular π Questão 5 Calcular a derivada de: a y 57 b y cos c y d y sen e y sen cos Questão 6 Calcular a derivada de: a y b c 5 y d y y Questão 7 Aplicando a derivada do quociente, demonstre que: a se tg, então sec b se cot g, então csc c se sec, então tg sec d se csc, então ctg csc

11 Questão 8 Calcule a derivada de: a b c Questão 9 Calcule a derivada de: a b c Questão Determine a derivada de: a b c d d e 5 g Questão Calcule a derivada de: a ln d b ln e c ln d log e e e cos log ln ln Questão Calcule a derivada de: a sen b cos 6 c sen Questão Calcule a derivada de: a ln sen b ln 5 6 c log Questão Calcule, sendo 5 log. Questão 5 Calcule a derivada de: a sen cos b sen cos

12 REGRA DE L HOSPITAL Ao estudarmos o cálculo de ites, vimos que ao tentarmos calcular um ite do tipo, às vezes ocorre que e g e assim, o a g a a toma a orma, que chamamos de indeterminação. Neste caso, requentemente era necessário eecutarmos alguns artiícios para calcular o a g ite. Teorema Regra de L Hospital Se a e g a e en- tão temos: a g a g e se eiste, então eiste a g a g Eemplo: Resolva Calculando o ite temos Seja e g Derivando cada uma dessas unções, temos: e g Logo, pela regra de L Hospital, temos: indeterminado EXERCÍCIOS Calcule os ites: usando a regra de L Hospital a 9 b 8 c e d cos e

13 APLICAÇÕES DA DERIVADA NA GEOMETRIA ANALÍTICA Interpretação geométrica: A derivada de uma unção num ponto a é o valor da inclinação da reta tangente à unção no ponto [a, a]. y a reta tangente a tg θ, ou ainda, a derivada no ponto a é o coeiciente angular da reta r, tangente à unção. θ a EXEMPLOS:. Dada a unção, determinar a equação da reta tangente ao gráico da curva de no ponto de abscissa. para escrever a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeiciente angular da reta. Assim, se a abscissa é, temos 9 6, ou seja, a ordenada também é, logo o ponto será, Para calcular o coeiciente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de abscissa, assim: 6, isto é, m Agora, já temos o ponto, e o coeiciente angular m Usando a equação da reta, temos: y y m y y, onde inalmente temos que y 9

14 . Ache a equação da reta tangente ao gráico da unção e que seja paralela à reta y. Se duas retas são paralelas, então os seus coeicientes angulares são iguais Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: m r e. No ponto, temos m s, logo: m s 5 mas mr ms 5 Note que agora já temos a abscissa, resta encontrar a ordenada, que aremos assim , logo o ponto é, E a equação da reta será: y y m y y y y 7 orma geral da reta. Dada a unção, determinar a equação da reta normal, no ponto de abscissa. A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráico da unção. Se duas retas são perpendiculares, então o coeiciente angular de uma é igual a menos o inverso do coeiciente angular da outra Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: Se a abscissa é, temos 9 6, ou seja, a ordenada também é, logo o ponto será, Para calcular o coeiciente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de abscissa, assim: 6, isto é, m mas, como ms, então m s m r Agora, já temos o ponto, e o coeiciente angular m s Usando a equação da reta, temos: y y m y y y y 5

15 EXERCÍCIOS Questão Determinar o coeiciente angular da reta tangente ao gráico de no ponto P,. Questão Determinar a equação da reta tangente ao gráico da unção abscissa. 5 no ponto de Questão Seja a curva de equação ponto de abscissa. y. Determine a equação da reta tangente à curva no Questão Determine a equação da reta tangente ao gráico da unção e que seja paralela à reta de equação y. Questão 5 Dê a equação da reta normal à curva dada por 5, no ponto. DERIVADAS SUCESSIVAS Questão Dada a unção 6 5, calcular,, e Questão Dada a unção, resolver a equação Questão Determine a derivada segunda da unção 5 no ponto. Questão Calcule a derivada terceira de Questão 5 Seja a unção 5, calcule. Questão 6 π Se cos, calcule 6 5

16 SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA Se é uma unção derivável num intervalo aberto A e:. é crescente em A, então >. é decrescente em A, então <. é constante em A, então PONTOS CRÍTICOS Como uma unção é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máimo ou mínimos relativos quando. Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da unção onde. EXEMPLOS:. Determinar os possíveis pontos de máimo ou mínimo da unção Observe que, como a unção é de º grau, então a sua curva é uma parábola, que admite concavidade voltada para cima, pois o termo a é positivo. Já temos o V, agora, é só encontrar o y V, que determinamos substituindo V na unção, assim 9 Logo, o vértice que é o ponto de mínimo dessa unção é,. Um azendeiro precisa construir um galinheiro de orma retangular utilizando-se de uma tela de 6 metros de comprimento. Sabendo que o azendeiro vai usar um muro como undo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máima. y 6 y 6 y A y A 6 A 6 A e y y 8 6

17 . A janela de uma casa tem a orma da igura abaio: um retângulo sobreposto por um semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 7 cm, calcule as dimensões e y que permitam uma maior entrada de luz. Use π,. y Haverá uma maior entrada de luz, se a área da janela or máima, logo: AJanela Aretângulo Acírculo A y π O perímetro da janela é p y π p y π e como o perímetro é 7, temos: y π 7 y 7 π e voltando a área, temos: A y π A A 7 π π A 7 π π y π, e calculando em unção de, vem A 7 π, e derivando, temos: A 7 π 7 π 7 π π 7 π cm π, 7, E para achar o valor de y, basta substituir em y 7 π y 7, 7 y cm 7

18 . A empresa X produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela unção C. Cada unidade deste produto é vendida por R$,. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal. Seja a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal O lucro mensal é dado por: Lucro L Receita R Custo C assim L R C L ou ainda L Calculando a derivada primeira da unção lucro, em relação a, temos: L e calculando a derivada segunda, vem L Para achar os pontos críticos, é só igualar L a zero, ou L e resolvendo pela órmula de Bháskara, temos as raízes e 7 que são os pontos críticos Agora, vamos determinar os etremos relativos de L Para, temos L 6 >, logo é um ponto de mínimo relativo de L. Para 7, temos L 7 7 <, logo é um ponto de máimo relativo de L. Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é 7 8

19 5. Sabendo que a área de um quadrado é unção de seu lado, determine: a a variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia de,5 a,m; b a taa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede m. Sejam A a área do quadrado e seu lado. Sabemos, então que A a A variação média de A em relação a, quando varia de,5m a,m é dada A A A,5 9 6,5,75 por 5, 5,5,5,5 da d b A taa de variação da área em relação ao lado é dada por d d d Portanto, quando,, temos A 8 d Assim, quando, a taa de variação da área do quadrado será de 8m para cada metro que varia no comprimento do lado. 6. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia é dado, aproimadamente por: t t 6t. a Qual a taa de epansão da epidemia após dias? b Qual a taa de epansão da epidemia após 8 dias? c Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? A taa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da unção t em re- lação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taa é dada por t 6 t. Assim: a no tempo t, temos 6 6 8, ou seja, após dias a moléstia estará se alastrando à razão de 8 pessoas por dia. b no tempo t 8, temos 8 6 6, ou seja, após 8 dias a epidemia estará totalmente controlada. c como o tempo oi contado em dias, a partir do º dia de epidemia, o 5º dia corresponde à variação de t de para 5. O número de pessoas atingidas durante o 5º dia será dado, então por 5, ou seja: ,67,,66 Obs.: No item a vimos que o tempo t início do 5º dia, a epidemia se alastra a uma taa de 8 pessoas por dia. No item c, calculamos que durante o 5º dia, pessoas serão atingidas. Essa dierença ocorreu porque a taa de propagação da moléstia se modiicou no decorrer do dia. 9

20 EXERCÍCIOS Questão Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d t ao solo durante os primeiros segundos de vôo é dada por d t 6 t t, na qual d t é medido em metros e t em segundos. a Determine a velocidade média do balão durante o º segundo de vôo. b Determine a velocidade instantânea do balão quando t segundo c Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a metros? Questão A área A de uma pele, aetada por uma inecção cutânea, ao longo dos primeiros dias 5t após o início de um tratamento, é dada pela unção A t 6, com t epresso em t dias e a área em cm. O tratamento iniciou-se à hora do dia 5 de evereiro. a Qual era a área da inecção quando oi iniciado o tratamento? E ao im do º dia? b Compare a rapidez no aumento da inecção durante o º dia, com a rapidez na sua redução durante o º dia. O que se pode concluir? E o que aconteceu durante o º dia c Qual oi a taa de variação inicial da propagação da inecção? Questão Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre e 8 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada por aproimadamente v t t,5t t km / h, onde t é o número de horas após o meio dia. Qual o instante entre e 8 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? Questão Com uma olha retangular de cartolina se quer construir uma caia de maior volume possível, cortando um quadrado em cada canto. As dimensões da olha são 6 cm e cm. Calcular o volume máimo da caia. Questão 5 Um determinado produto tem preço de produção de R$,. Ao vendê-lo a reais o abricante espera vender unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro máimo? Questão 6 Uma partícula move-se ao longo da curva v t t 5t 7t. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é nula. Questão 7 Uma sonda é lançada para cima, verticalmente, sendo a distância acima do solo no instante t dada por s t t. t. a Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. b Qual é a altura máima que a sonda atinge?

21 Questão 8 Se um ponto se move ao longo do gráico de y de tal modo que sua abscissa varia com uma velocidade constante de cm/s, qual é a velocidade da ordenada y quando cm? Questão 9 Um homem de,8m de altura aasta-se de um arol com uma lâmpada situada a,5m do solo, com uma velocidade de,5 m/s. Quando ele estiver a 6m do arol, com que velocidade sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra? Questão Uma partícula move-se ao longo da curva y. Quando a partícula passa pelo ponto,, sua abscissa cresce à razão de cm/s. Com que velocidade está variando a distância da partícula à origem nesse instante? Questão O tronco de uma árvore tem ormato cilíndrico e cresce à razão de,5 cm / ano e sua altura cresce à razão de m / ano m metros. Determine a taa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é cm e sua altura or 5 m. Questão O esorço de um trabalhador solicitado por uma indústria para abricar unidades de um certo produto é dado pela equação y. Determine a taa instantânea à qual o esorço do trabalhador seria crescente se, no mesmo momento, eiste uma demanda de. unidades do produto, mas esta é crescente a uma razão de. unidades por ano. Questão Um azendeiro possui. m de arame arpado e quer cercar um campo retangular que está à margem de um canal reto. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área? Questão Um vasilhame cilíndrico é abricado para conter litro de óleo. Encontre as dimensões que irão minimizar o custo do material para produzir este vasilhame. Questão 5 Achar o retângulo de maior área de corte, correspondentes à altura e base de um cômodo, inscrito dentro de um triângulo isósceles de base AB m e altura h 6 m, correspondentes à base e altura de um chalé, respectivamente. Questão 6 Quais são as dimensões de um cercado, de área máima que se pode construir com. m de tela?

22 Questão 7 Uma avaria numa central atômica ez disparar o sistema de alarme. Os técnicos ativaram imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe-se que a temperatura T da água em graus Celsius do sistema de rerigeração do núcleo da central evolui a partir 5 8 daí durante horas, de acordo com a unção T, em que é o tempo em horas decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. a Calcule a taa de variação de T quando h. Interprete o resultado no conteto do problema. b A sirene de alarme dispara se a temperatura or superior a º C. Quando é que a sirene tocou? Questão 8 A temperatura F em graus centígrados do orno de uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de acordo com a unção F t, com t em minutos. 9t t a A que temperatura está o orno quando é ligado? b Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender a estabilizar essa temperatura? c Qual é a velocidade de aquecimento do orno no momento em que é ligado? d E aos minutos? Questão 9 A evolução da temperatura do ar na relva, entre as e horas do dia º de evereiro oi t t 5 dada pela unção t 7, com em graus e t em horas. t 5 a Qual oi a temperatura máima nesse dia? b E a temperatura mínima? c Qual era a taa de aquecimento do ar às horas da manhã? Questão 5t A equação T t relaciona a temperatura T em graus Celsius de uma t reação química com tempo t da eperiência em minutos. Sabendo que a eperiência durou 6 minutos: T T a calcule e eplique o quociente T T b o que signiica t t c determine, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se Registrou a temperatura máima Questão Uma mancha circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do raio dessa mancha, t segundos após ter sido detectada, é dado por: t r t t t Calcule r e diga qual é o signiicado ísico desse valor.

23 Questão Um chá, acabado de azer, oi colocado num rerigerador a º C. Passados 5 minutos, ab t o chá estava a 6º C. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei T t e, em que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos. a Determine os valores de a e b. b Qual é a velocidade do arreecimento do chá quando é colocado no rerigerador? E um minuto depois? c Quem preere tomar o chá rio, a 8º C, quanto tempo terá de esperar? Questão Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após,t ter sido administrado, é dada por C t t e. Recorrendo à derivada da unção C, determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente oi máima. Questão Injetou-se no instante t uma substância no sangue de um animal. No instante t t >, t t em segundos, a concentração C da substância injetada é dada por C t 8 e e. 7 a calcule o instante para o qual o valor da concentração é igual a 8 t 8 e b Mostre que C t t e Questão 5 Um abricante de pequenos motores, estima que o custo da produção de motores por 5 dia é dado por C 6 reais. a Preencha as tabelas abaio: N o de motores Custo Custo médio Custo marginal X C C C 5 6 b Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6º motor.