INTERAÇÕES E APRENDIZAGENS EM AULAS DE MATEMÁTICA MEDIADAS POR SOFTWARES LIVRES

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1 INTERAÇÕES E APRENDIZAGENS EM AULAS DE MATEMÁTICA MEDIADAS POR SOFTWARES LIVRES GT 05 Educação Matemática: tecnologias informáticas e educação à distância A. Patricia Splilimbergo, UNIJUI, patspi@unijui.edu.br Claudia Piva, UNIJUI, cpivaa@gmail.com Lecir D. Dorneles, UNIJUI, lecird@unijui.edu.br Angéli Cervi Gabbi, UNIJUI, angeli.cervi@unijui.edu.br Resumo: Este trabalho tem o objetivo de apresentar algumas características e possibilidades dos softwares Círculo Trigonométrico, Trigonometria e Winplot, para desenvolver atividades relacionadas à trigonometria. Nosso trabalho está ancorado em práticas de sala de aula, onde propomos o uso destes por serem livres e aparentemente simples, porém potenciais para ensinar matemática. Neste sentido, apresentaremos roteiros de atividades que foram desenvolvidas em sala de aula com o uso dos respectivos softwares. Esta proposta surge a partir de nossa prática docente, como professoras de Licenciatura, onde há uma preocupação constante em formar futuros professores de Matemática preparados para atuar em uma realidade cada vez mais informatizada. Palavras-chave: Softwares Livres; Matemática; Atividades de Ensino. Introdução Atualmente, professores e pesquisadores, vivenciam intensa reflexão relacionada à incorporação das tecnologias no processo ensino-aprendizagem. Trabalhar com recursos tecnológicos (VALENTE, 1993) pode ser um caminho a ser seguido, para ampliar as reflexões e solidificar o uso desses recursos que são amplamente utilizados em vários setores da sociedade. Não podemos negar a necessidade emergente de nos apropriarmos desta ferramenta. Nossos esforços devem focar não mais em saber usar e sim em como usar o computador em nossas aulas. Vale destacar que já não cabe mais duvidar da importância do professor dominar esta metodologia (BORBA; PENTEADO, 2005), também vale salientar que o papel do professor e o conteúdo dos livros constituem uma condição para garantir a aprendizagem, pois ela envolve um processo de assimilação e construção de conhecimentos e habilidades, de natureza individual e intransferível.

2 Concordamos com Dullius; Haetinger e Quartieri (2010), que apresentam discussões referentes à necessidade da capacitação dos professores: Isso ocorre porque a maioria dos professores não sabe utilizar esses recursos como auxiliares no processo de ensino... Não se trata de mera instrumentalização para operarem máquinas e programas (hardwares e softwares), mas, principalmente, para que tenham acesso ao conhecimento e à análise de outras opções metodológicas para o processo de ensino (DULLIUS; HAETINGER; QUARTIERI, 2010, p.146). Já mencionamos em trabalhos anteriores, (PIVA; DORNELES; SPILIMBERGO, 2010a, PIVA; DORNELES; SPILIMBERGO, 2010b) que o ensino de matemática exige novas estratégias metodológicas e, para isso, tornam-se necessárias pesquisas voltadas a busca de novas experiências didáticas e da qualificação dos profissionais que atuam na educação. Através do uso de recursos computacionais é possível que ocorram mudanças no sistema atual de ensino. Neste sentido, trazemos neste trabalho, recortes de ações, utilizando recursos computacionais, para desenvolver conceitos de Trigonometria, que nos pareceram significativos e que possivelmente trarão contribuições neste processo de análise e uso das tecnologias no ensino. Nosso trabalho vem acontecendo a partir de nossas experiências e no desenvolvimento de um projeto de extensão chamado Softwares livres potenciais para o ensino de matemática que está vinculado ao Departamento de Física, Estatística e Matemática, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUÍ. Este projeto surgiu da necessidade constatada em nossas atividades de ensino, de encontrarmos softwares bons e livres para serem usados no ensino de matemática. Portanto, neste trabalho queremos socializar as nossas experiências como pesquisadoras e professoras do ensino superior, pois a cada novo trabalho sentimos que a utilização do computador em sala de aula requer discussões e trocas de experiências, no sentido de mostrar o diferencial no uso do computador em aulas de matemática, além do potencial que pode ser explorado em um software de acordo com as atividades propostas. Observamos que, os softwares educacionais têm a capacidade de realçar o componente visual da matemática atribuindo um papel importante na construção do conhecimento a

3 partir da interação entre professores, alunos, recursos computacionais e conteúdos matemáticos (LÉVY, 1993). O que iremos mostrar são atividades desenvolvidas em laboratório de informática, utilizando softwares livres (CAMPOS, 2009), relacionadas à construção de conceitos da trigonometria e a análise da variação de parâmetros em funções trigonométricas. Estas atividades foram desenvolvidas utilizando os aplicativos Trigonometria, Círculo Trigonométrico e Winplot, que se encontram disponíveis em Construindo conceitos de Trigonometria O estudo da trigonometria, muitas vezes é considerado difícil por parte dos alunos e, normalmente, quando aplicado em disciplinas, não é lembrado pelos mesmos. Em aulas, como por exemplo, de Cálculo, onde certamente surge à necessidade de aplicarmos algum conceito de trigonometria, freqüentemente este assunto não é lembrado por grande parte dos alunos. Entendemos que uma forma de desenvolver este conteúdo e possibilitar que o aluno construa o seu conhecimento de uma maneira mais fundamentada e duradoura, possa ser através do uso de aplicativos. Nesta proposta procuramos selecionar o que pode ser desenvolvido do assunto trigonometria, através do uso de softwares. Nosso trabalho enfoca desde a construção das razões trigonométricas no triângulo retângulo, até o entendimento e análise das funções trigonométricas. Percebemos que de fato, não é possível abrangermos todos os conceitos de trigonometria com um único software, cada um pode dar conta de alguma parte dos conceitos e que no conjunto eles podem ser complementares. Isso nos dá o indicativo que a tarefa de usar o computador em sala de aula, não é tarefa fácil, exige que o professor domine a máquina, os aplicativos e ainda seja capaz de selecionar o que cada um deles pode desenvolver, de forma mais eficiente no processo de ensino aprendizagem. Diante desta complexidade, nossa intenção é apresentar algumas possibilidades de uso dos softwares selecionados para este trabalho. Podemos marcar que o software Círculo Trigonométrico - Circ é complementar ao Trigonometria Trigonom em atividades de construção das razões trigonométricas. Com

4 o primeiro podemos desenvolver as razões de seno, cosseno, tangente e cotangente, relacionando o círculo trigonométrico à função trigonométrica, enquanto que o segundo constrói as anteriores incluindo secante e cossecante, porém de forma mais detalhada. Neste caso sugerimos elaborar atividades iniciando com o Trigonom e após, incluindo o, conforme as sequências que apresentaremos a seguir. Num primeiro momento, propõem-se aos alunos que explorem livremente os softwares, para verificar quais são as possibilidades apresentadas e desenvolvidas neles. Após a exploração dos softwares, propomos a atividade 1, Reconhecendo o triângulo retângulo. Esta deve ser desenvolvida através do Trigonom e possibilita observar passo a passo a construção das razões trigonométricas. Usando o software e clicando no ícone apontado na janela mostrada na Fig. 1, um triângulo retângulo é gerado. Seja [OAB] um triângulo retângulo em B (várias imagens) Figura 1. Janela para visualização do triângulo retângulo. Na construção das razões trigonométricas ficam evidentes as definições dos elementos do triângulo retângulo: cateto oposto ao ângulo O, cateto adjacente ao ângulo O e hipotenusa. A atividade 2, Reconhecendo o círculo trigonométrico, permite que os alunos observem a construção do círculo trigonométrico a partir do triângulo retângulo com centro na origem de um sistema cartesiano. O procedimento indica para clicar nos ícones mostrados na Fig. 2. Além disso, para sistematizar esta atividade, propomos uma ação de construção, onde o aluno registra em papel o círculo trigonométrico, utilizando régua, compasso e transferidor. Esta atividade (Traçado do círculo trigonométrico) está disponível no endereço:

5 Desenhemos um círculo com centro em O e raio igual à hipotenusa (ver observações) Figura 2. Janela para visualização do círculo trigonométrico. A atividade 3, Entendendo as razões trigonométricas, indica que o aluno deve explorar as razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente e cotangente), seguindo as orientações descritas no software (Fig. 3). Clicando um a um os ícones das razões trigonométricas, o aluno irá obter subsídios para responder questões referentes a cada razão trigonométrica, que são propostas no final da atividade. Chama-se tangente do ângulo O o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo Figura 3. Janela para visualização das razões trigonométricas. Definir as razões trigonométricas a partir da sequência de passos realizados no software conduz o aluno a elaborar suas próprias conclusões, pois as razões são mostradas com diferentes cores, indicando os elementos do triângulo envolvidos em cada razão. Por

6 exemplo, destaca em azul o seno do ângulo O que é determinado pelo quociente da medida do segmento AB (cateto oposto ao ângulo O) pela medida do segmento AO (hipotenusa) e assim sucessivamente. Após o desenvolvimento das atividades anteriores, utilizando o software Circ, propomos a atividade 4, Construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos entre 0 e 90 graus. Mantendo a seleção das razões no ícone Funções e clicando em Ângulo, é possível digitar o valor desejado para o ângulo, e, visualizar os valores e os gráficos das funções selecionadas, como está mostrado na Fig. 4. Altere o ângulo aqui! Figura 4. Razões trigonométricas de 0 a 90º. É importante notar que, este software também trabalha com diferentes cores a cada razão mostrada (Fig. 4). Percebemos que esta visualização auxilia no entendimento destas razões, principalmente por estarem construídas no círculo trigonométrico. Esta atividade encaminha para a ampliação das razões trigonométricas para ângulos maiores de 90 graus. É necessário que os alunos tenham clareza de que as medidas das razões no primeiro quadrante são projetadas sobre os eixos. Para que se atinja esta compreensão, as questões sugeridas devem conduzir os alunos a observar a forma em que aparecem as respectivas razões no círculo trigonométrico. Ainda com auxílio do software Circ, passamos a atividade 5, Construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos maiores que 90 graus. Seguindo as

7 orientações da atividade anterior, esta sugere que os alunos determinem as medidas das razões de seno, cosseno, tangente e cotangente para alguns ângulos maiores que 90 graus. É fundamental neste momento a percepção dos alunos da projeção sobre os eixos no primeiro quadrante, o que possibilita observar as medidas das razões trigonométricas nos demais quadrantes. Figura 5. Razões trigonométricas para ângulos maiores que 90º. Figura 6. Círculo trigonométrico e gráfico da função seno.

8 Para sistematizar a sequência, propomos a atividade 6, Construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos quaisquer. Com auxílio do software Circ, escolhendo um ângulo do 1º quadrante, clicando em Ângulo, e em seguida clicamos em diferentes pontos sobre o círculo, mostrados na Fig. 5. Vale observar que o software relaciona ângulo com radianos. No trabalho de construção das funções trigonométricas, o software Trigonom pode ser utilizado, no sentido de relacionar o deslocamento de um ponto sobre o círculo trigonométrico e o gráfico da função, podendo o usuário fazer pausas durante a construção do gráfico, conforme mostrado na Fig. 6. Para esta construção propomos a observação de todas as funções que o software apresenta, fazendo pausas em tempos para relacionar o ângulo com o respectivo ponto sobre a curva. Variando parâmetros Para a atividade de análise da variação de parâmetros de funções trigonométricas, o uso de aplicativos, permite realizar simulações, no sentido de representar graficamente diferentes funções de um mesmo tipo e comparar as alterações gráficas. Para esta tarefa, sugerimos a utilização do software Winplot, que possibilita a realização da simulação, complementando o Trigonom, que apresenta as possibilidades para alguns parâmetros já definidos e não sobrepõem os gráficos das diferentes funções. Neste aspecto, a análise das alterações gráficas fica limitada. Os comandos do Winplot são simples, semelhantes à maioria daqueles utilizados no meio acadêmico. Para representar graficamente funções no plano, basta abrir a janela 2- dim e em seu menu escolher equação e selecionar a opção explícita, por exemplo. Além disso, ele permite ao usuário digitar mais de uma função e visualizá-las em um único plano, podendo escolher a cor, a espessura e o intervalo de cada curva, podendo também apresentar junto aos gráficos, as equações na respectiva cor. Esta possibilidade se torna importante no momento em que o aluno irá relacionar cada gráfico com a respectiva função e realizar as comparações. Estes aspectos são mostrados na Fig. 7. Esta atividade é simples e desenvolvida com base na simulação e análise de cada parâmetro alterado. Para esta análise, propomos uma sequência de procedimentos, que

9 conduzirá o aluno a conclusões generalizadas das variações gráficas. Iremos apresentar questões relacionadas à função seno e que se estende as demais funções trigonométricas. Figura 7. Gráficos das funções y = sen(x) e y = 2sen(x). Em primeiro lugar o aluno deve usar a função y = sen x (função mãe) como pano de fundo e a partir desta analisar as demais possibilidades, considerando: - o parâmetro multiplicativo a lei da função, isto é, a função y = a sen x, onde a é um número real diferente de zero. Neste caso, é importante que o aluno perceba a alteração gráfica no sentido vertical provocando contrações ou expansões e consequentemente alterando a imagem para o intervalo [-a, a]; - o parâmetro aditivo a lei da função, tomando a função y = b + sen x, onde b é um número real, é importante que o aluno perceba que esta alteração provoca, no gráfico, translações no sentido vertical e consequentemente alterações na imagem para o intervalo [b-1, b+1]; - o parâmetro aditivo ao arco da função, analisando a função y = sen (x + c), onde c é um número real. Nestas situações o aluno deverá perceber translações no sentido horizontal e consequentemente deslocamentos no ponto de início da curva para (0, sen(c)); - o parâmetro multiplicativo ao arco da função y = sen (dx), onde d é um número real diferente de zero. Assim, é importante que o aluno perceba que este parâmetro provoca

10 contrações ou expansões no sentido horizontal e consequentemente alterações no período da função. Para sistematizar a atividade de análise da variação dos parâmetros, foi proposto aos alunos simulações com funções do tipo: y = b + a sen (dx + c), onde a, b, c e d são números reais diferentes de zero. O objetivo desta foi possibilitar ao aluno perceber e concluir de forma genérica as alterações provocadas pela variação de todos os parâmetros. Por exemplo, é importante que o aluno conclua que a imagem desta função passa a ser [b- a, b+ a ], exemplificado conforme mostra a Fig. 8. Figura 8. Gráficos das funções y = sen(x) e y = 1+2sen(2x+1). Entendemos que propor atividades como estas, que exploram o estudo da variação de parâmetros de funções, é fundamental para que o aluno desenvolva a capacidade de ampliar os conhecimentos referentes à sua representação gráfica. Desta forma, permitindo a ele construir o gráfico de uma função qualquer, fazendo o uso do entendimento da implicação de parâmetros aditivos e multiplicativos nas leis destas funções. Considerações Considerando que este assunto é estudado no ensino médio, percebemos que muitos conceitos ficam à margem do conhecimento, sendo apresentado aos alunos de forma

11 simplificada, normalmente através do recurso quadro e giz, o que pode tornar o trabalho mais lento e pouco atraente. Propor atividades computacionais poderá não ser eficiente para uma aprendizagem efetiva, se estas não forem conduzidas com clareza dos objetivos a serem atingidos. Além disso, muitas vezes são necessárias mediações durante a aplicação destas atividades, para conduzir o aluno ao que a atividade se propõe, ou seja, para que a aprendizagem de fato ocorra. Neste sentido, defendemos a utilização de ambientes informatizados, pois em primeiro lugar, a participação dos alunos é efetiva, o que consideramos fundamental em um processo de ensino aprendizagem. Em segundo lugar, a utilização de softwares, permite a realização de diversas simulações, conduzindo os alunos a análises e conclusões, implicando em uma maior autonomia na aprendizagem. Referências BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, p. CAMPOS, A. O que é um software livre. Disponível em: < Acesso em 10. dez DULLIUS, M. M.; HAETINGER, C.; QUARTIERI, M. T. Problematizando o uso de recursos computacionais com um grupo de professores de matemática. In: JAHN, A. P.; ALLEVATO, N. S. Gomes (Orgs.). Tecnologias e educação matemática: ensino, aprendizagem e formação de professores. Recife: SBEM, 2010, v. 7, p LÉVY, P. As Tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. São Paulo: Editora 34, PIVA, C.; DORNELES, L. D.; SPILIMBERGO, A. P. G. Utilizando softwares livres para explorar conceitos de trigonometria. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ENEM, 10, 2010a, Salvador. Anais... Ilhéus - BA: Via Litterarum, 2010a. 1 CD-ROM. PIVA, C.; DORNELES, L. D.; SPILIMBERGO, A. P. G. Implicações gráficas da variação de parâmetros em funções utilizando o software Winplot.. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA CIEM, 5, 2010b, Canoas. Anais... Canoas: [s.n.], 2010b. 1 CD-ROM.

12 VALENTE, J. A. Computadores e conhecimento repensando a educação. Campinas: Gráfica da UNICAMP, 1993.