19. h z 3 e z dz 20. h x tg 2 xdx. xe 2x (1 2x) h dx 22. h (arcsen x) 2 dx 1/ h 0. x cos px dx 24. h h 1. r3 ln r dr 28.

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1 7. Eercícios Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas.. y ln ; u ln, dv. y cos d; u, dv cos d 6 Calcule a integral.. h cos 5 4. h e 5. h re r/ dr 6. h t sen t dt 7. h ( ) cos 8. h t sen bt dt 9. h ln 0. h sen. h arctg 4tdt. h p 5 ln p dp. h t sec t dt 4. h s s ds 5. h (ln ) 6. h t senh mt dt 7. h e u sen u du 8. h e u cos u du 9. h z e z dz 0. h tg. h. h (arcsen ). h 0 / cos p 4. h 0 ( ) e 5. h 0 t cosh t dt 6. h h r ln r dr 8. h 0 p t sen t dt 9. h 0 y e y e ( ) dy dy 0. h arctg (/) dr. h 0 / cos. h. h cos ln(sen ) 4. h 0 ln y y (ln ) 5. h 4 (ln ) 6. h 0 t es sen(t s) ds r 4 r dr

2 ; 7 4 Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. 7. h cos 8. h t e t dt 9. h p p/ u cos(u ) du 40. h 0 p e cos t sen t dt 4. h ln( ) 4. h sen(ln ) 4 46 Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, usando o gráfico da função e de sua primitiva (tome C 0). 4. h e 44. h / ln 45. h 46. h sen 47. (a) Use a fórmula de redução no Eemplo 6 para mostrar que sen h sen C 4 (b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular hsen (a) Demonstre a fórmula de redução n n n h cos n cos n sen h cos n (b) Use a parte (a) para calcular hcos. (c) Use as partes (a) e (b) para calcular hcos (a) Use a fórmula de redução no Eemplo 6 para mostrar que p/ n p/ h senn 0 h 0 sen n n onde n é um inteiro. (b) Use a parte (a) para calcular h 0 p/ sen e h 0 p/ sen 5. (c) Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno, p/ 4 6 h 0 sen n... n (n ) 50. Demonstre que, para as potências pares de seno, p/ 5 7 h 0 sen n... (n ) p n 5 54 Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução. 5. h (ln ) n (ln ) n n h (ln ) n 5. h n e n e n h n e tg n n 5. h tg n h tg n MM(n ) 54. h sec n h sec n MM(n ) 55. Use o Eercício 5 para encontrar h (ln ). 56. Use o Eercício 5 para encontrar h 4 e Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas. 57. y ln,my 4 ln 58. y e,my e tg sec n n n n ; Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproimadas dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, ache (aproimadamente) a área da região delimitada pelas curvas. 59. y arcsen ( ),MMy 60. y ln ( ),MMy 6 6 Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eio especificado. 6. y cos(p/),my 0,M0 ;Mem torno do eio y 6. y e,my e,m ;Mem torno do eio y 6. y e,my 0,M,M 0;Mem torno de 64. Calcule o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y ln, y 0 e em torno de cada eio. (a) o eio y (b) o eio 65. Calcule o valor médio de f () sec no intervalo [0, p/4]. 66. Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja m, o combustível seja consumido a uma taa r, e os gases de eaustão sejam ejetados a uma velocidade constante v e (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante t é dado pela seguinte equação m rt v(t) tt v e ln, m onde t é a aceleração da gravidade e t não é muito grande. Se t 9,8 m/s, m kg, r 60 kg/s e v e.000 m/s, encontre a altitude do foguete minuto após o lançamento. 67. Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a v(t) t e t metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os primeiros t segundos? 68. Se f (0) t(0) 0 e f e t forem contínuas, mostre que h 0 a f ()t() f (a)t(a) f (a)t(a) h 0 a f ()t(). 69. Suponha que f (), f (4) 7, f () 5, f (4) e f seja contínua. Encontre o valor de h 4 f (). 70. (a) Use integração por partes para mostrar que h f () f () h f () (b) Se f e t forem funções inversas e ƒ for contínua, demonstre que h a b f () bf (b) af (a) h f (a) f (b) t(y) dy [Dica: Use a parte (a) e faça a substituição de y f ().] (c) No caso em que f e t forem funções positivas e b a 0, desenhe um diagrama para dar uma interpretação geométrica à parte (b). e (d) Use a parte (b) para calcular h ln.

3 7. Chegamos à Fórmula 6.., V h a b p f (), utilizando cascas cilíndricas, mas agora podemos usar integração por partes para demonstrá-la usando o método das fatias da Seção 6., ao menos para o caso em que f for injetora e, portanto, tiver uma função inversa t. Use a figura para mostrar que V pb d pa c h c d p[t(y)] dy Faça a substituição y f () e então use integração por partes na integral resultante para demostrar que y d V h a b p f () t(y) y ƒ() c b a 0 a b e deduzir que lim n m I n/i n. (d) Use a parte (c) e os Eercícios 49 e 50 para mostrar que lim... n n p n m n n Essa fórmula geralmente é escrita como um produto infinito: p que é chamado produto de Wallis. (e) Construímos retângulos como a seguir. Comece com um quadrado de área e coloque retângulos de área alternadamente ao lado ou no topo do retângulo anterior (veja a figura). Encontre o limite da relação largura/altura desses retângulos. p/ 7. Seja I n h 0 sen n. (a) Mostre que I n I n I n. (b) Use o Eercício 50 para mostrar que I n n In n (c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que n n I n In

4 7. Eercícios 49 Calcule a integral.. h sen cos. h sen 6 cos. h 0 p/ sen7 u cos 5 u du 4. h 0 p/ cos5 sen 5. h sen (p) cos 5 (p) 6. h ( ) 7. h 0 p/ cos u du 8. h 0 p/ sen ( u) du 9. h 0 p cos 4 (t) dt 0. h 0 p sen t cos 4 t dt. h 0 p/ sen cos. h 0 p/ ( sen u) du. h t sen t dt 4. h cos u cos 5 (sen u) du cos 5 a sen a 5. h da 6. h sen 7. h cos tg 8. h cotg 5 u sen 4 u du cos sen sen 9. h 0. h cos sen. h tg sec. h tg u sec 4 u du. h tg 4. h (tg tg 4 ) 5. h tg 4 sec 6 6. h 0 p/4 sec4 u tg 4 u du 7. h 0 p/ tg 5 sec 4 8. h tg 5 sec 9. h tg sec 0. h 0 p/ tg4 t dt. h tg 5. h tg sec. h sec tg 4. h df p/ 5. h cotg p/6 6. h p/6 sen f cos f p/ cotg ; ; 7. h p/ p/4 cotg 5 f cossec f df 8. h cossec 4 cotg 6 9. h cossec 40. h p/6 p/ cossec 4. h sen 8 cos 5 4. h cos p cos 4 p 4. h sen 5u sen u du 44. h p/6 p/4 45. h 0 cos 46. h 0 cos 4u du tg 47. h 48. h sec 49. h tg cos sen sen cos 50. Se h 0 p/4 tg6 sec I, epresse o valor de h 0 p/4 tg 8 sec em termos de I Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico o integrando e sua primitiva (tome C 0). 5. h sen ( ) 5. h sen 5 cos 5. h sen sen h sec Encontre o valor médio da função f () sen cos no intervalo [p, p]. 56. Calcule h sen cos por quatro métodos: (a) a substituição u cos, (b) a substituição u sen, (c) a identidade sen sen cos (d) integração por partes Eplique os aspectos diferentes de suas respostas Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas. 57. y sen,mmy cos,mmp/4 p/4 58. y sen,mmy cos,mmp/4 5p/4

5 59 60 Use um gráfico do integrando para conjecturar o valor da integral. Então, utilize os métodos desta seção para demonstrar que sua conjectura está correta. 59. h 0 p cos 60. h 0 sen p cos 5p 6 64 Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eios especificados. 6. y sen,my 0,Mp/ p;mem torno do eio 6. y sen,my 0,M0 p;mem torno do eio 6. y sen,my cos,m0 p/4;mem torno do y 64. y sec,my cos,m0 p/;mem torno do y 65. Uma partícula se move em linha reta com função velocidade v(t) sen t cos t. Encontre sua função posição s f (t) se f (0) A eletricidade doméstica é fornecida na forma de corrente alternada que varia de 55 V a 55 V com uma frequência de 60 ciclos por segundo (Hz). A voltagem então é dada pela seguinte equação: E(t) 55 sen(0pt) onde t é o tempo em segundos. Os voltímetros leem a voltagem RMS (raiz da média quadrática), que é a raiz quadrada do valor médio de [E(t)] em um ciclo. (a) Calcule a voltagem RMS da corrente doméstica. (b) Muitos fornos elétricos requerem a voltagem RMS de 0 V. Encontre a amplitude A correspondente necessária para a voltagem E(t) A sen(0pt) Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos. 67. h p sen m cos n 0 p 68. h p sen m sen n p { 69. h p cos m cos n p { 0 se m n p se m n 0 se m n p se m n 70. Uma série de Fourier finita é dada pela soma f () N a n sen n n a sen a sen... a N sen N Mostre que o m-ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m p h p f () sen m p

6 7. Eercícios Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.. h ;M sec u 9. h 9 ;M sen u. h ;M tg u Calcule a integral. 4. h 0 t t 5. h dt 6. h 0 a 7. h 0 ;MMa 0 8. (a h ) / 6 9. h 0. h dt. h 4. h 9. h 4. h 0 5. h 0 a a 6. h / 7 7. h 8. h dt t t 6 du u 5 u / 6 t 5 t ( ) 5 9 [(a) b ] / 9. h 0. h 0,6. h h 0. h h 5. h 6. h 7. h 8. h ( ) 9. h 4 0. h 0 p/ cos t dt sen t. (a) Use substituição trigonométrica para mostrar que h ln( a ) C. a (b) Use a substituição hiperbólica a senh t para mostrar que h ( senh ) C. a a. Calcule Essas fórmulas estão interligadas pela Fórmula... h ( a ) / dt t 6t ( 4 4 ) /

7 ; (a) por substituição trigonométrica. (b) por substituição hiperbólica a senh t.. Encontre o valor médio de f () /, Encontre a área da região delimitada pela hipérbole 9 4y 6 e a reta. 5. Demonstre a fórmula A r u para a área de um setor circular com raio r e ângulo central u. [Dica: Suponha que 0 u p/ e coloque o centro do círculo na origem, assim ele terá a equação y r. Então A é a soma da área do triângulo POQ e a área da região PQR na figura.] 6. Calcule a integral y O h Coloque em um gráfico o integrando e a integral indefinida e verifique se sua resposta é razoável. 7. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio da região delimitada pelas curvas y 9/( + 9), y 0, 0 e. 8. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta = da região sob a curva y, (a) Use substituição trigonométrica para verificar que h 0 a t dt a sen (/a) a. 4 (b) Use a figura para dar interpretações geométricas de ambos os termos no lado direito da equação na parte (a). P Q R 40. A parábola y divide o disco y 8 em duas partes. Encontre as áreas de ambas as partes. 4. Um toro é gerado pela rotação do círculo (y R) r ao redor do eio. Ache o volume delimitado pelo toro. 4. Uma barra carregada de comprimento L produz um campo elétrico no ponto P(a, b) dado por La E(P) h a lb 4pe 0( b ) / em que l é a densidade de carga por unidade de comprimento da barra e e 0, a permissividade do vácuo (veja a figura). Calcule a integral para determinar uma epressão para o campo elétrico E(P). y P (a, b) 4. Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios r e R. (Veja a figura.) 44. Um tanque de armazenamento de água tem a forma de um cilindro com diâmetro de 0 m. Ele está montado de forma que as secções transversais circulares são verticais. Se a profundidade da água é 7 m, qual a porcentagem da capacidade total usada? 0 L r R y a y=œ a@-t@ 0 t

8 7.4 Eercícios 6 Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Eemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes (a) (b) (4 )( 5) 5. (a) (b) 4. (a) (b) 5 4 ( 9) 4 4. (a) (b) h 4 6. h 0 4y 7y y(y )(y ) 7. h dy 8. h 5 6 ( )( ) ( )( ) 9. h 0. h 4 4. h. h 0 ( )( 9) 6. h 4. h ds s (s ) 6 5. (a) (b) 4 4 ( )( ) 4 5. h 6. h ( ) t 6 6. (a) 5 (b) t 6 t ( )( 4 ) 7 8 Calcule a integral. 7. h 8. h dr 6 9. h 0. h dt. h. h 0 0 a. h 4. h b 9 ( 5)( ) r r 4 (t 4)(t ) ( a)( b) 7. h 8. h ( )( ) 9. h 0. h 4 5. h. h 0. h 4. h ( ) ( ) ( 4) h 6. h 7 ( 4 6) ( ) 7. h 8. h 4

9 446 CÁLCULO 9 5 Faça uma substituição para epressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. 9. h 40. h 4. h 44. h / 45. h MMM[Dica: Substitua u 6.] 46. h 4. h 4. h h 48. h 49. h dt 50. h e e e 5. h 5. h dt e sec t tg t tg t 5 54 Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral. 5. h ln( ) 54. h tg 56. Calcule h k considerando diversos casos para a constante k Calcule a integral completando o quadrado e usando a Fórmula h 58. h sen 59. O matemático alemão Karl Weierstrass (85-897) observou que a substituição t tg(/) converte qualquer função racional de sen e cos em uma função racional ordinária de t. (a) Se t tg(/), p p, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que cos ( ) ( ) MMMeMMMsen t t t (b) Mostre que t t cos MMMeMMMsen t t e cos cos (e )(e ) cosh t sen t senh 4 t ; 55. Use um gráfico de f () /( ) para decidir se h 0 f () é positiva ou negativa. Utilize o gráfico para dar uma estimativa aproimada do valor da integral e então use frações parciais para encontrar o valor eato. 4 7 SCA SCA (c) Mostre que 60 6 Use a substituição do Eercício 59 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral. cos 60. h 6. h 6. h p/ p/ sen 6. h p/ 0 sen cos cos Encontre a área da região sob a curva dada de até. 64. y 65. y 66. Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y /( ) de 0 a for girada em torno do: (a) eio e (b) eio y. 67. Um método de retardar o crescimento de uma população de insetos sem usar pesticidas é introduzir na população um número de machos estéreis que cruzam com fêmeas férteis, mas não produzem filhotes. Se P representar o número de fêmeas na população de insetos, S, o número de machos estéreis introduzidos a cada geração e r, a taa de crescimento populacional natural, então a população de fêmeas está relacionada com o instante t através de P S t h dp P[(r )P S] Suponha que uma população de insetos com fêmeas cresça a uma taa de r 0,0 e que 900 machos estéreis sejam adicionados. Calcule a integral para dar uma equação relacionando a população de fêmeas com o tempo. (Observe que a equação resultante não pode ser resolvida eplicitamente para P.) 68. Fatore 4 como uma diferença de quadrados adicionando e subtraindo a mesma quantidade. Use essa fatoração para calcularh ( 4 ). 69. (a) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a decomposição em frações parciais da função f () (b) Use parte (a) para encontrar hf () (manualmente) e compare com o resultado se for usado um SCA para integrar f diretamente. Comente qualquer discrepância. 70. (a) Encontre a decomposição em frações parciais da função f () (b) Use a parte (a) para encontrar h f () e trace os gráficos de f e de sua integral indefinida na mesma tela. (c) Use o gráfico de f para descobrir as principais características do gráfico de h f (). 7. Suponha que F, G e Q sejam polinômios e F() Q() t dt G() Q() sen 4 cos

10 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 447 para todo eceto quando Q() 0. Demonstre que F() G () para todo. [Dica: Use a continuidade.] 7. Se f for uma função quadrática tal que f (0) e h f () ( ) for uma função racional, encontre o valor de f (0). 7. Se a 0 e n for um inteiro positivo, encontre a decomposição em frações parciais de f () n ( a) Dica: Primeiro encontre o coeficiente de / ( a). Então subtraia o termo resultante e simplifique o que restou. Tabela de Fórmulas de Integração As constantes de integração foram omitidas. n. y n n. n. y e e y sen cos 6. y ln y a a ln a y cos sen 7. y sec tg 8. y cossec cotg 9. y sec tg sec 0. y sec ln sec tg.. y tg ln sec. 4. y cossec cotg cossec y cossec ln cossec cotg y cotg ln sen 5. y senh cosh 6. y cosh senh tg sen 7. y 8. y sa a a a a *9. y *0. y a a ln a a s a ln s a

11 7.5 Eercícios 8 Calcule a integral.. h cos ( sen ). h 0 ( ). h 4. h tg u du t 5. h 0 dt 6. h (t ) 4 7. h sen sec tg e arctg y y dy 8. h t sen t cos t dt h r4 ln r dr 0. h 0. h. h h 0 ( ) h 0 5. h 6. h 8 7. h 8. h sen e at dt 9. hln( ) 0. h e. h. h. h p/ 4. h p/4 6z 5 z dz 8 4 cotg 4 cotg. h sen 5 t cos 4 tdt 4. h 5. h cos cos 6 6. h p/4 p/4 tg cos 4 5. h 6. h / 0 ( ) / 7. h 0 p t cos tdt 8. h 4 9. h e e 0. he. h arctg. h e t t dt ln (ln ) p/4 7. h 0 tg u sc p/ u du 8. h p/6 sec u tg u sen u cotg u du sec u 9. h du 40. h dy sec u sec u 4. h u tg z u du 4. h 4. h 44. h 4y 4y tg e

12 45. h 5 e 46. h 47. h ( ) h h 50. h 5. h 5. h 5. h senh m 54. h ( sen ) 55. h 56. h 57. h ln c 58. h 59. h cos cos (sen ) 60. h du 6. h 6. h cos u 6. h e 64. h sen p/ 65. h 66. h p/4 cos 4 ( ) e du cos u ln(tg ) sen cos 67. h 68. h ( 4 ) h 70. h e e e ln( ) e 7. h 7. h arcsen h 74. h 75. h 76. h ( ) 4 ( )( 4) e e 77. h 78. h 79. h sen cos 80. h 8. h sen sen cos 8. h 8. As funções y e e y e não têm primitivas epressas por meio de funções elementares, mas y ( ) e tem. Calcule h( ) e. 84. Sabemos que F() h 0 e et dt é uma função contínua pelo TFC, embora não seja uma função elementar. As funções e ln h e h sen sen sec cos sen sec sen 4 cos 4 também não são elementares, mas podem ser epressas em termos de F. Calcule as seguintes integrais em termos de F. e (a) h (b) h ln

13 5. 5 ln 64 5 ln s sen s cos s C ln 4 4 C 4. e 4e C _ f F _ C F 4 _ f _4 47. (b) 4 cos sen 8 6 sen C 49. (b), [ln ln 6ln 6] C ln ,759;,70;, e 65. (/p) ln 67. e t t t m 69. EXERCÍCIOS cos 5 cos C p sen p 5p sen5 p 7p sen7 p C p8. p6. 4 t 4 sen t 8 cos t C ssen a 45 8 sen a 5 sen 4 a C cos ln cos C ln sen sen C. sec C. tg C 5. 9 tg 9 7 tg 7 5 tg 5 7 C sec sec C. 4 sec 4 tg ln sec C. sec ln sec tg C 5. s 7. 05s ln cossec cotg C 4. 6 cos 6 cos C 4. 8 sen 4u sen 6u C 45. s 47. sen C 49. tg ln sec C sen cos C π CAPÍTULO 7 EXERCÍCIOS 7.. ln 9 C. 5 sen 5 5 cos 5 C 5. r e r C 7. ( ) sen ( ) cos sen C 9. ln s C. t arctg 4t 8 ln 6t C. t tg t 4 ln sec t C 5. ln ln C 7. e u sen u cos u C 9. z e z z e z 6ze z 6e z C e.. 4( ) C p p 8 5. e 7. 4 ln e. 6 ( 6 s). sen ln sen C 5. 6 sen 8 sen 9 C F _ (s 5 ) 65. s cos t _π F f _π ƒ π

14 EXERCÍCIOS 7.. s 99 C. 8s 9 C 5. p s sa 9. ln(s 6 ) C. 4 sen s 4 C. 6 sec s 9 C s 7 C sen s5 4 C s ln(s ) C s ln s C 9. 4 sen 4 s 4 C. 6 (s48 sec 7) 7. 8p 4p 4. Rr 4. rsr r pr R arcsenrr EXERCÍCIOS 7.4 A. (a) (b) 4 B A 5 B C 5 A. (a) B C D E 4 (b) 5. (a) A B A B C D (b) E F 7. 6ln 9. ln. a ln b C C ln. ln ln 9 5 ln (ou 9 5 ln 8 ) 9. 0 ln 9ln 5 C. ln 4 tg C. ln ln 9 tg C 5. ln ln( ) tg C 7. ln (s ) tg 9. ln 5 tg (s ) C C. 6a 4 ln (s ) s C ln 6 ln tg C s s A B ( ) C D ( ) 6 ln ln ( 4) C. 4 ln s tg s C 9. s ln(s ) lns C 4. lns lns C s C 45. s s 6s 6 6lns 6 C 47. ln e e C 49. ln tg t ln tg t C 5. ln(e ) C 5. ( ) ln s7 tan C s7 55. ln 0,55 tg 57. ln C 6. 5 ln C tg 6. 4ln 65. ln 67. t ln P 9 ln0,9p 900 C, onde C 0, (a) (b) ln ln 5 O SCA omite os sinais do valor absoluto e a constante de integração. 7. a n ( a) a n a n... a n EXERCÍCIOS 7.5. sen sen C. sen ln cossec cotg C 5. 4 ln 9 7. e 4 e ln 4 5. ln 4 5 tg C cos 5 t 7 cos 7 t 9 cos 9 t C s C 7. 4p 9. e e C. arctg s s C ln 4 5 ln C ln e C ln s s C. sen s. sen C s C ln tg C 60 05s9 s sen 4 6 sen 8 C ln sec ln sec C 4. u tg u u ln sec u C 4. tg C 45. e C 47. ln 49. ln s4 5. s4 C ln C s4 C 5. m coshm m senhm m coshm C 55. lns ln( s ) C c 7 4 c c 4 C 59. sensen sen sen C 6. cossec u cotg u C ou tg(u/) C 6. ( s ) e C 65. tg cos C 67. C 69. s s ln( s) ln( s) 7. e ln e C 7. s arcsen C ln 6 ln 4 8 tg C 77. s e ln s e s e C 79. sen cos 9 cos C 8. s sen C 8. e C ln 7