Trabalhando com dízimas periódicas. 1. Conhecendo a história dos números racionais. 2 Entendendo o que é uma dízima 2. 3 Fração geratriz 3

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1 Programa de Iniciação a Docência em Matemática (UEM 20)- Outuro 9: 5. c PIBID-MAT Traalhando com dízimas periódicas Talita Fonseca da Silva e Suelen Aparecida da Silva Resumo: Neste traalho apresentamos uma reve revisão sore dízimas e sugerimos algumas atividades. Sumário Conhecendo a história dos números racionais 2 Entendendo o que é uma dízima 2 Fração geratriz 4 Enfoque por meio de séries geométricas 5 5 Sugestão de Atividades 5. Conhecendo a história dos números racionais O ensino de números racionais proporciona ao aluno melhor compreensão e atuação no mundo cotidiano. É conhecendo e resolvendo prolemas que envolvam números racionais que o aluno conseguirá analisar situações que estão relacionadas no seu dia-a-dia. Os egípcios usavam apenas frações que possuíam o número como numerador, como por exemplo: 2,, 4, 5. Tais frações eram denominadas frações egípcias. Outras frações foram descoertas pelos mesmos povos, as quais eram expressas em 5 termos de frações egípcias, como: 6 = 2 +. Já os ailônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso desse denominador se deve ao fato que é um número menor do que 0 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 2. Provavelmente, eles assim o faziam por ser um número que emora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação segue desde o século XVI. Um número é racional se pode ser representado como uma fração. Ou seja, pode ser escrito na forma a, onde a e são números inteiros e 0. Podemos assim representar o conjunto dos números racionais: Q = { a ;a, Z, com 0}. Typeset y style. c Piid Mat.

2 Traalhando com dízimas periódicas 2 A divisão do inteiro a pelo inteiro pode nos fornecer um número exato ou não. O número fracionário pode tamém ser representado como número decimal em que, ao dividirmos o numerador a pelo denominador, oteremos um número com vírgula. Caso esse número decimal seja infinito e venham repetidos valores com uma seqüência determinada, denominamos esse número decimal de dízima periódica. As dízimas não periódicas dão origem a números irracionais e portanto não se originam de frações a com a e inteiros. Consideremos as igualdades. (a) 9 = 0,...; 2. Entendendo o que é uma dízima () = 0, e (c) 2,8 = 2, Examinemos cada uma as igualdades. Na primeira delas temos uma fração irredutível, em que o denominador não é uma potência de. Na segunda, temos um número inteiro igual a uma fração decimal (ou algo semelhante). Na terceira, vemos duas frações decimais de aspectos diferentes, porém declaradas iguais. Certamente, quando paramos e analisamos surgem razões para dúvidas. Como ensinar isso aos alunos sem antes entender em o que estamos querendo ensinar? O prolema todo se situa nas expressões, que aparecem nos segundos memros das igualdades citadas: as chamadas dízimas periódicas. No entanto se as interpretarmos corretamente, as dificuldades desaparecerão. As técnicas sore dízimas periódicas são úteis para transformar certas frações irredutíveis, como 9, e 4 5 em frações decimais. Uma fração decimal, por definição, é uma fração cujo denominador é uma potência de. Sendo assim,, 52 0, 00 são exemplos de frações decimais. Algumas frações, tais como 5, 7 20, 6 25, não são, precisamente falando, decimais (pois seus denominadores não são potências de ), mas podem ser escritas como frações decimais equivalentes. Assim temos: 5 = 6, 7 20 = 5 0 e 6 25 = Poroutrolado, existemfraçõesdecimaisequivalentesàfraçãoirredutível? De fato, as únicas frações equivalentes a n são da forma n ou seja, multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número natural n. Sendo assim, qualquer que seja nossa escolha de n, o denominador jamais será uma potência de. O mesmo raciocínio aplicamos às frações 9 e 4 5. O argumento acima prova então, que uma fração irredutível cujo denominador contenha algum fator primo diferente de 2 ou 5 não é equivalente a uma fração decimal. Note que 2 e 5 são os únicos fatores primos que ocorrem numa potência de. Entretanto, como o uso das frações decimais foi um grande fator de progresso para a humanidade de um modo geral (para astronomia, navegação, entre outros),

3 Traalhando com dízimas periódicas foi necessário encontrar um meio de representar qualquer fração so forma decimal. Então, será possível transformar qualquer fração irredutível em fração decimal? Na verdade asta admitirmos frações decimais ilimitadas, e assim frações como podem ser escritas so forma decimal. Vejamoscomo,tomandocomoexemploafração. Notemosque = 0, E que,0000 = 0,2727+0,000. Assim,,0000 = 0,2727+0,000. Concluímos então que se sustituirmos a fração: pela fração decimal 0,2727, cometeremos um erro igual a O mesmo raciocínio nos mostra que, em geral, se em lugar de escrevermos o decimal 0, com o período repetido n vezes, o erro será uma fração cujo numerador é e cujo denominador é 2n. Este erro se torna menor, a medida que n cresce. Tomando n suficientemente grande, podemos tornar o erro tão pequeno quanto desejado. Considerações análogas podem ser feitas a cerca dos outros casos citados.. Fração geratriz É possível determinar a fração que deu origem a uma dízima periódica. A esta fração denominamos de geratriz da dízima periódica. Há dois casos.. Dízima periódica simples: são ditas dízimas periódicas simples aquelas em que o período se apresenta logo após a vírgula. Por exemplo, escrevemos x = 0,25 para indicar que dízima é periódica e o período é Dízima composta: dízimas periódicas compostas são aquelas em que entre o período e a vírgula há uma parte não periódica. Esta parte que antecede o período recee o nome de anteperíodo. A dízima dada por x = 0,0465 é composta. Lema. Se a dízima é periódica simples a sua geratriz é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Demonstração: De fato, consideremos a dízima peródica simples dada por x = 0,a a 2...a n em que o período é composto de n dígitos. Segue que n x = (a a 2...a n )+0,a a 2...a n n x = (a a 2...a n )+x ( n )x = (a a 2...a n ) x = a a 2...a n n. Isto conclui a demonstração do resultado. Exemplo.

4 Traalhando com dízimas periódicas 4 Consideremos a dízima periódica x = 0, 25. Note que o período é composto por dígitos, e é igual a 25. Assim: x = 0,25 = Agora vamos tratar do caso da dízima composta. Lema.2 Se a dízima é periódica composta a sua geratriz é uma fração dada por AP A D, onde AP A é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica; e D é dado por tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Demonstração: De fato, consideremos a dízima periódica composta dada por x = 0,a a 2...a n 2... m, em que a parte não periódica é composta de n dígitos e o período é composto de m dígitos. Segue que n x = n (0,a a 2...a n 2... m ) n x = (a a 2...a n )+0, 2... m n x = (a a 2...a n ) m m n x = a a 2...a n m m a a 2...a n m x = (a a 2...a n m m ) (a a 2...a n ) n ( m ) (anteperíodo seguido do período) anteperíodo x = n ( m ) (anteperíodo seguido do período) anteperíodo x =. m noves seguido de n zeros Isto termina a demonstração. Exemplo.2 Tomemos a seguinte dízima periódica x = 0,0465. A parte não periódica é 04 (dois dígitos) e o período é 65 (dois dígitos). Então temos: x = =

5 Traalhando com dízimas periódicas 5 4. Enfoque por meio de séries geométricas Uma dízima periódica é, de fato a soma de infinitos números decimais, sendo assim sua fração geratriz tamém pode ser determinada através da expressão usada para encontrar a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita: S = a q, onde a é o primeiro termo da progressão e q é a razão da mesma. Consideremos a dízima periódica simples 0,..., vamos determinar sua fração geratriz. 0,... = 0,+0,0+0, = , vemos que a = e q =, e assim S = a q = = 9 =. O mesmo procedimento pode ser feito para as dízimas periódicas compostas. Considerando a dízima 0,2..., temos 0,2... = 0,2+0,0+0,000+ 0, = 2 +( ), de fato a = 00 e q = 0, e então Segue que S = a q = 00 0 = = 98+ = Sugestão de Atividades Enfatize com os seus alunos os casos importantes. Por exemplo, existe alguma fração que representa a dízima periódica 0,999...? Se a e forem números naturais com a a = 0, então = 9, Sutraindo memro a memro estas igualdades vem 9a = 9, donde a =, isto é a =. Mas é claro que ao dividirmos a por o resultado é. Portando, a dízima 0,999...é uma representação para. Agradecimentos Agradecimentos especiais à profa. Alexandra Oliveira Adala Cousin e ao prof. Doherty Andrade pelas inúmeras sugestões. Referências. LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras histórias. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, do numeros racionais Algumas dificuldades didaticas.pdf.