TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I MÓDULO 2 : Números, Múltiplos e Divisores 3 a Série Ensino Médio Prof. Rogério Rodrigues

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1 1 TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I MÓDULO 2 : Números, Múltiplos e Divisores 3 a Série Ensino Médio Prof. Rogério Rodrigues Nome :... Número :... Turma :...

2 2 II - NÚMEROS INTEIROS MÚLTIPLOS E DIVISORES Na difusão dos números indoarábicos, inclusive tratando o zero como número, duas correntes de matemáticos, lá pelo fim da Idade Média, os algoristas que eram metódicos no tratamento com os números e os abacistas, que usavam o famoso ábaco no desenvolvimento de sua matemática com números inteiros.a gravura ao lado é uma obra sobre madeira, representando a Aritmética ensinando aos algoristas e aos abacistas, representados por Boécio e Pitágoras. * ( obra de Gregor Reisch - Freiburg, ) II.1) Base de um sistema de numeração : Um conjunto finito de coisas (moedas iguais ou selos iguais ou adesivos iguais ou...) pode ser quantificado ou contado de infinitos modos. No nosso caso, contamos de 10 em 10, ou sejá : Se temos um conjunto com 112 moedas, procuramos agrupá-las de 10 em 10, sendo que cada grupo de 10 moedas recebe o nome de Dezena e cada grupo de 10 Dezenas recebe o nome de Centena e aí vem a Unidade de Milhar, Dezena de Milhar,... Então, em 112moedas, há 11 grupos de 10 moedas, portanto, 11 dezenas, ou seja uma centena, mas sobra 1 dezena e mais duas moedas (duas unidades). 112 moedas ( ) dezenas + 2 unidades 1 centena 1 dezena 2 unidades, portanto, 112. Suponhamos que no mesmo exemplo anterior, contássemos de 5 em 5. Então teríamos 112 moedas 22 X moedas Se cada grupo de 5 moedas se chamasse Quinquina e cada grupo de 5 qunquinas fosse 1 Square, 112 moedas (no nosso sistema de m numeração ), seriam, no sistema de base 5: 22 quinquinas + 2 moedas = 4 Squares + 2 quinquinas + 2 unidades e o numeral correspondente seria 422 (5). Lê-se quatro, dois, dois, base 5.

3 3 Exercício Resolvido : Lá em Boa Névoa, canto escondido de Minas Gerais, tinha o Seu Wilson, apelidado de Wilson Semanal, porque tinha a mania de só contar usando a semana como base, ou seja, como a semana tem 7 dias, o Seu Semanal só contava de 7 em 7 e justificava - Deus levou 7 dias para construir o mundo,então o 7 é um número de Deus. E tinha, uma facilidade estupenda o Semanal para ouvir na base decimal e, imediatamente, converter para a sua base favorita. O Seu Natalino era quem cuidava das contas do Seu Semanal, era um suplício para ele aquela missão: só podia usar como consulta as anotações de Semanal, que estavam todas na base 7; além da primitiva calculadora, ele usava um ábaco para lidar com a estranha base 7. Numa manhã chuvosa, o Semanal recebeu uma conta de luz com o valor de R$ 1&5,00, ou quase isto.o fato é que o segundo algarismo do numeral estava quase todo apagado, não dava para descobrir. Então, o Semanal, de esperto que gostava de ser, entregou a anotação para o Natalino, obviamente na base 7, como R$ 236, 00. Calcule quanto o Semanal teve que desembolsar além de sua previsão, para pagar a conta, depois que o & foi esclarecido como sendo igual a 3. Resolução : O numeral 236, na base 7, significa 2 grupos de grupos de elementos ( ou 6 x 7 0 ). Trazendo para a base 10, daria 2 X X X 1 = = 125. Então, na base 10, o valor da conta seria R$, 125, 00. Se o & vale 3, então, a conta seria de R$ 135,00 e o Semanal teve que desembolsar mais R$ 10, 00. Qualquer que seja a base do sistema de numeração, o numeral correspondente será uma soma de potências da base escolhida, com expoentes naturais. Por exemplo, 223 na base 9, significa 2 X X X 9 0 = 183, na base na base 2, significa 1 X X X 2 0 = 6, na base 10.

4 4 OBSERVAÇÃO : Em situações concretas do cotidiano é comum se trabalhar com bases diferentes da decimal. Exemplo 1 : Vamos contar ovos Ainda hoje contamos ovos usando a Dúzia, ou seja, 12 ovos. Como, na maioria das vezes, não vivemos a experiência de contar mais de 11 dúzias, não temos oportunidade de conhecer a terceira ordem desse sistema de numeração, a Grosa, equivalente a 12 dúzias. Se tivéssemos que contar 164 ovos nesse sistema de numeração, teríamos 1 grosa + 1 dúzia + 8 ovos e o numeral correspondente seria, nessa base 12, 118 (12). Exemplo 2 : O tempo não para Quando marcamos o tempo, usamos a base 60 para quantificá-lo, ou seja, contamos de 60 em 60 os segundos. Então, cada grupo de 60 segundos é 1 minuto e cada grupo de 60 minutos é 1 hora. Então, se formos expressar numericamente um tempo de segundos teremos 2h 17 min 15 s, que é o mesmo que 2 X (60) X (60) X (60) 0. Exercícios propostos : 1) Calcule a soma 101 (2) + 43 (5) na base decimal. 2) Dois feirantes contaram, cada um por si, as frutas de uma cesta. Um deles, usando a base 10, registrou 138 frutas e o outro, usando a base 8, registrou 21X (8) frutas. Supondo que as duas contagens estejam corretas, quanto vale X? 3) O número 10X0, na base 6, é divisível por 3. Nessas condições, qual é o menor valor possível para X? 4)Se o numero 25, na base 10, é representado em uma determinada base b por 221 (b), qual é o valor de b?

5 5 5) O número de elementos de um conjunto A foi registrado por duas pessoas de modos diferentes. Uma das pessoas escreveu 315 (7) e a outra escreveu 23b (8). Nessas condições, calcule o valor de b. 6) Dados os numerais n = 134 (X) e m = 54 (X), sabe-se que, n m = 24. Calcule o valor de X. 7) (PUC MG) Se a = e b = 12 3, então quanto vale a + b na base 10? 8) (PUC MG) Se A = , B = e C = , qual é o valor de A + B C na base 6? 9) (PUC MG) Se 301 na base a é igual a 193 na base 10, calcule o valor de a. 10) (PUC MG) Dados os números A = e B = 11011, na base dois. Calcule, na base dois a soma A + B. 11) (PUC MG) - Dado o número 201 na base 3, calcule esse número na base 2. 12) (UFMG) Um certo número, na base 10 é 103 e na base b é 205. Calcule b. II. 2) Divisores e múltiplos de um número natural : Quando efetuamos uma operação de divisão consideramos o Dividendo, o Divisor, Quociente e o Resto, assim posicionados no Algoritmo de Euclides : DIVIDENDO RESTO DIVISOR QUOCIENTE E equacionados em DIVIDENDO = QUOCIENTE X DIVISOR + RESTO. Notemos que o Resto pode ser até 1 unidade inferior ao divisor. Se o Resto for igual a zero, o número que representa o Dividendo será dito Múltiplo daquele que representa o Divisor e o Divisor será dito Divisor daquele que representa o Dividendo. Exemplo 1 : Se dividirmos o número 261 por 3, teremos onde o Resto é zero. Então, 261 é múltiplo de 3 e, por sua vez, 3 é divisor de 261. Exemplo 2 : O conjunto dos divisores de de 72 é indicado por D 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24,

6 6 36, 72 }. O conjunto dos múltiplos de 3 é indicado por M 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... }. Observemos que - O conjunto dos divisores de um número é finito. - O conjunto dos múltiplos de um número é infinito. - O 1 (um) é divisor de qualquer número natural. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. II. 3) Máximo divisor comum (MDC) : Os divisores de 42 são dados por D 42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} e os divisores de 54 é D 54 = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 }, então os elementos comuns aos dois conjuntos é dado por D 42 D 54 = {1, 2, 3, 6 }. Esse conjunto é Conjunto dos divisores comuns de 42 e 54. Nesse caso, o maior dos divisores comuns é o 6 e ele será o Máximo Divisor Comum de 42 e 54, ou seja MDC(42, 54) = 6. Exemplo 1 : No caso dos números 32, 48 e 64, teremos - D 32 = {1, 2, 4, 8, 16, 32} - D 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} - D 64 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} - D 32 D 48 = {1, 2, 4, 8, 16 } MDC (32, 48, 64) = 16. Exemplo 2 : No caso dos números 8 e 15, temos - D 8 = {1, 2, 4, 8} - D 15 = {1, 3, 5, 15} - D 8 D 15 = {1 } MDC (8, 15) = 1. Quando o máximo divisor comum entre dois números é 1, dizemos que eles são Primos entre sí. Então 8 e 15 são primos entre si. Exemplo 3 : O conjunto dos divisores de 7 é D 7 = {1, 7}, o conjunto dos divisores de 11 é D 11 = {1, 11}, o conjunto dos divisores de 17 é D 17 = {1, 17} e... isso acontece com muitos números. Se um número natural possui apenas dois divisores diferentes, em geral o 1 e o próprio número, dizemos que o número é primo. São primos os números do conjunto P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... }

7 7 Eratóstenes de Cirene foi um homem de muitas facetas lá pelo século II a.c na Grécia antiga. Eratóstenes estudou matemática, filosofia, gramática e astronomia, mas ficou famoso pelo cálculo do raio da Terra com uma precisão muito boa e pelo famoso Crivo de Eratóstenes, um método de determinar os números primos, dispondo-se os naturais em ordem crescente, riscando-se a seguir os números de dois em dois, depois de três em três, depois de cinco em cinco, depois..., sempre na seqüência de partida. Os números restantes desse processo serão primos. II. 3.1) Decomposição de um número natural em fatores primos : O número 18 pode ser escrito como 18 = , um produto com dois fatores nos quais as bases das potências que são os fatores são números primos. Um método de se decompor qualquer natural do mesmo modo anterior é dado pelos exemplos a seguir. Exemplo 1 : Seja decompor em fatores primos o número 180, ou seja, fatorar o número 180. Basta dividir o 180 sucessivamente pelos números primos em sua ordem natural. Isso pode ser registrado na forma de algoritmo do seguinte modo = (2, 3 e 5 são primos) Exemplo 2 : Do mesmo modo anterior, teremos que a) 363 = b) 144 = c) 400 = d) = 2 10 e) =

8 8 II. 3. 2) Cálculo do Máximo divisor comum (MDC ) Os dois processos mais conhecidos para calcular o MDC de dois números são os que serão mostrados a seguir. a) Processo da fatoração Consiste em fatorar separadamente cada um dos números e selecionar os fatores primos comuns com os menores expoentes. Exemplo 1 : (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas,sem haver sobra de qualquer material.qual foi o número de cadernos que recebeu cada família? Resolução : Se o maior número de famílias será contemplado,esse número é o Máximo divisor comum de 144, 192 e 216. Fatorando 144, 192 e 216, encontramos 144 = , 192 = e 216 = Todos os fatores têm base comum.escolhendo os fatores comuns com os menores expoentes, teremos MDC (144,192,216) = = 24 e, então, o material será dividido do seguinte modo : CADERNOS : cada família receberá 144 : 24 = 6 cadernos. LÁPIS : cada família receberá 192 : 24 = 8 lápis. BORRACHAS : cada família receberá 216 : 24 = 9 borrachas. Exemplo 2 : Verificar se os números 54 e 95 são primos entre sí. Resolução : Fatorando-se os números 54 e 95, encontra-se 54 = e 95 = 5. 19, mostrando que 54 e 95 não têm fator comum diferente de 1.Os números 54 e 95 são primos entre sí, pois MDC(54, 95) = 1. b) Grade de Euclides (Processo das divisões sucessivas) : Nesse processo, divide-se, inicialmente, o maior dos números pelo menor deles. Se a divisão tiver resto diferente de zero, efetua-se uma nova divisão, sendo que agora, o divisor anterior será o dividendo e o primeiro resto será o divisor. Se a nova divisão apresentar resto diferente de zero, repete-se o processo até que algum resto seja zero e, nesse caso, o MDC dos números dados será o último divisor considerado. Se, de imediato, o resto for zero, então o menor dos números é o MDC dos dois.observe bem que nesse último caso, o maior dos números é múltiplo do menor. Exemplo 1 : Usando a Grade de Euclides, calcule o MDC de e

9 9 Resolução : linha dos restos linha dos dividendos e divisores linha dos restos As divisões efetuadas, nesse caso, foram : = 1, resto 520 ; : 520 = 2, resto 40 e 520 : 40 = 13, resto 0. Então MDC(1.600, 1.080) = 40. Exemplo 2 : Usando o Processo das divisões sucessivas, calcule o MDC de 24, 192 e 540. Resolução: Neste caso, efetua-se, inicialmente, o processo com dois dos números e o MDC deles será divisor do outro na segunda aplicação do processo. Primeiro passo : Efetuemos o processo com 24 e Segundo passo : Efetua-se o processo com o 24 - resultado anterior e o Então, MDC (24, 192, 540) = 12. Exercícios propostos : 13) (PUC MG) Na divisão do número natural p pelo número natural m, o quociente é 13 e o resto 5. Qual é o menor valor para p? 14) (PUC MG) Os números m e n são inteiros positivos. Na divisão de m por n o quociente é 17 e o resto é o maior possível. Se m n = 407, qual é o resto?

10 10 15) (UFMG) O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e Calcule a soma dos algarismos de n. 16) Dois números naturais x e y são tais que x = 2 3m e y = 2 2m , sendo m um número natural. Se o maior número que divide x e y exatamente é 48, calcule m. 17) (UFMG) Um desenhista quadriculou um retângulo de dimensões 56 cm e 104 cm.obteve quadrados de mesma área e na menor quantidade possível. Quanto mede o lado de cada quadrado? 18) (PUC MG) Os números naturais a e b são tais que ab = a.5 e = 0,4. Qual é o b máximo divisor comum de a e b. 19) (PUC MG) No conjunto N, a divisão do número M por 14 apresenta como resto o triplo do quociente. Calcule a soma dos possíveis valores do quociente. 20) (F.C.M MG) - Calcule o valor de a no número 32a81 para que o resto de sua divisão por 11 seja 3. 21) (UFMG) Um depósito em forma de paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões internas : 14 m, 22 m e 6 m. Pretende-se encher esse depósito com caixas cúbicas de mesmo volume e de mesmas dimensões internas. Calcule o número mínimo de caixas desse tipo que enchem exatamente o depósito. 22) (PUC MG) Os números a e b são os menores divisores possíveis, respectivamente, de 324 e 116 de modo que os quocientes sejam iguais. Calcule a + b. 23) (UFMG) Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente.determine o maior valor possível para x + y. 24) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. Calcule a soma dos quocientes dessas divisões. 25) (UFRO) - Um número A de três algarismos é tal que : a)a soma de seus algarismos é 10. b)o algarismo das dezenas é o Quádruplo do algarismo das centenas. c)o algarismo das unidades é o consecutivo do algarismo das dezenas. A Calcule o valor de. 5 II.4) Número de divisores de um número : Há uma regra prática que determina a quantidade de divisores de um número natural. Ela se baseia na decomposição do número em fatores primos. Suponhamos que o número x, decomposto em fatores primos seja x = a m. b n. c p... d q. Então seu número de divisores será dado pelo produto (m+1)(n+1)(p+1)...(q+1). Exemplos : a) Vejamos quantos divisores tem o número 1440.

11 11 Decompondo 1440 em fatores primos teremos = Então, 1440 tem (5+1)(2+1)(1+1) divisores, ou seja 36 divisores. b) (PUC MG) - O número 2 a. 3 b tem oito divisores. Se ab = 3, calcule a + b. O número citado tem (a + 1)(b + 1) = 8 divisores, ou seja ab + a + b + 1 = 8. Como ab =3, então 3 + a + b + 1 = 8, ou seja a + b = 4. II. 5) Determinação dos divisores de um número : Uma regra prática para determinar todos os divisores de um número é descrita pelos passos a seguir. Decompõe-se o número em seus fatores primos; Coloca-se á direita e acima do primeiro fator primo o número 1; Multiplica-se cada fator primo obtido por todos os números á direita e acima dele (valores repetidos não são registrados). Exemplo : Determinar todos os divisores de , 6, , 18, , 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, Então o conjunto dos divisores de 180 é dado por todos os números situados á direita do segundo traço, ou seja, D 180 = {1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180}.

12 12 II. 5) Divisibilidade entre números naturais : Em geral, dados dois números naturais m e n, decompostos em seus fatores primos, sabemos que m é divisível por n se m contiver todos os fatores primos de n, com expoentes maiores ou iguais aos respectivos fatores de n. Exemplo : O número 5400, decomposto em fatores primos, é igual a e o número 360, também decomposto em seus fatores primos é igual a Portanto, 5400 é divisível por 360. Alguns critérios particulares de divisibilidade são úteis em determinadas situações, são eles Um número natural é divisível por 2, se seu último algarismo for par. Um número natural é divisível por 3, se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um múltiplo de 3. Um número natural é divisível por 4, se seus dois últimos algarismos forem iguais a zero ou se constituírem um múltiplo de 4. Um número natural é divisível por 5, se seu último algarismo for 0 ou 5. Um número natural é divisível por 6, se for divisível por 2 e por 3. Um número natural é divisível por 8, se seus três últimos algarismos forem iguais a zero ou constituírem um múltiplo de 8. Um número natural é divisível por 9, se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um múltiplo de 9. Um número natural é divisível por 10, se seu último algarismo for 0. Um número natural é divisível por 11, se a soma de seus algarismos de ordens ímpares menos a soma de seus algarismos de ordens pares for um múltiplo de 11. Se o número natural m é divisível pelos naturais a e b, com a e b primos entre si, então m é divisível por ab. II. 6) O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois naturais : Sejam os conjuntos dos múltiplos de 12 e 40, dados, respectivamente por M 12 = ={0,12,24,36,48,60,72,84, 96,108,120,...) e M 40 = {0,40,80,120,160,200,240,...}. Fazendo a interseção dos dois conjuntos teremos M 12 M 40 = {0,120,..., 240,... }, onde o menor múltiplo comum, maior do que zero é 120. Então dizemos que MMC(12,40) = 120. Há basicamente dois processos para a obtenção do MMC de dois números naturais, sem ter que escrever os conjuntos de múltiplos, são os processos apresentados a seguir.

13 13 II.6.1) Processo da decomposição em fatores primos (fatoração) : Dados dois números decompostos em seus fatores primos, o MMC desses números é o produto dos fatores comuns e dos fatores não comuns com os maiores expoentes. Exemplo 1 : Calcule o mínimo múltiplo comum de 48 e 180. Fatorando os números dados, teremos 48 = e 180 = Então, escolhendo os fatores apropriados, teremos que MMC(48,180) = = 720. Exemplo 2 : Calcule o mínimo múltiplo comum de 12, 27 e 40. Fatorados, os números dados serão 12 = , 27 = 3 3 MMC(12,27,40) = = e 40 = e então teremos que II. 6.2) Processo da fatoração simultânea : Trata-se de dividir os números dados pelos números primos, sendo que cada vez que um dos números dados não for divisível por um primo, repete-se o número na linha seguinte.o MMC será dado pelo produto dos fatores primos colocados á direita no algoritmo do processo. Exemplo 1 : Determine o mínimo múltiplo comum de 27 e , , , , 7 3 MMC(27,84) = = , 7 3 1, 7 7 1, 1 Exemplo 2 : Calcular o MMC de 18, 30 e , 30, , 15, , 15, , 15, 6 2 MMC(18,30,48) = = , 15, 3 3 3, 5, 1 3 1, 5, 1 5 1, 1, 1

14 14 Observações : Se dois números são primos entre si, então o MMC desses números é o produto deles. Dados dois números a e b, temos que MDC(a,b). MMC(a,b) = a.b. Exercícios Propostos : 26) (UFMG) Um número é da forma 3a7b. Sabendo-se que este número é divisível por 25 e por 9, calcule os algarismos a e b. 27) (UFMG) Calcule a soma de todos os divisores de ) (PUC MG) A quantidade de números compreendidos entre 200 e 600 que são divisíveis simultaneamente por 12, 18 e 30 é n. Calcule n. 29) (PUC MG) A soma dos valores absolutos do número ab é 9. Se invertermos a ordem dos algarismos (ba), o número obtido será maior que o anterior em 45 unidades. Calcule o número ab. 30) (PUC MG) M e P são inteiros positivos. Na divisão de M por P, o quociente é 25 e o resto é o maior possível. O que se pode afirmar sobre o número M? 31) (PUC MG) O número natural A é ímpar e a soma de seus dois algarismos é 11. Calcule a soma dos valores possíveis de A. 32) (UFMG) O número 2 a tem 48 divisores. Calcule o valor de a. 33) (F.C.M MG) Calcule o valor do algarismo a no número 32a81, para que o resto de sua divisão por 11 seja 3. 34) (UFMG) O número n = 2 a. 3 b. c divide Suponha que a, b e c são inteiros positivos, c seja um número primo maior que 3 e n tem 16 divisores. Calcule a + b c. 35) (UFMG) Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 segundos, da segunda uma de 6 em 6 segundos, e da terceira, uma de 10 em 10 segundos. Exatamente ás 2 horas, cai uma gota de cada torneira. Calcule o número de vezes que as três torneiras pingaram juntas, no intervalo de 2h 30s ás 2h 27 min. 36) (UFMG) Calcule o menor número inteiro positivo n pelo qual se deve multiplicar para se obter um número divisível por ) (UFMG) Se a = e b = , então, calcule a diferença entre o m.m.c. (a, b) e o m.d.c. (a, b). 38) (UFMG) De uma praça partem, ás 6 horas da manhã, dois ônibus A e B. Sabe-se que o ônibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos, e o ônibus B, a cada 45 minutos. Qualé o primeiro horário, após as 6 horas, em que os dois ônibus partirão juntos? 39) (FUVEST SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 40) (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36 m, 48 m e 72 m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. Qual é o menor número total possível de pedaços?

15 15 41) (UFMG) A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Itabira, Barbacena e Patos de Minas obedecem ao seguinte horário : Para Itabira, de 20 em 20 minutos. Para Barbacena, de 30 em 30 minutos. Para Patos de Minas, de 50 em 50 minutos. Depois de quanto tempo, após as 7 horas, saem simultaneamente, pela primeira vez, os três ônibus? 42) (UFMG) - Sabe-se que o número é primo. Seja n = No conjunto dos números naturais, quantos divisores tem n? 43) (UFMG) - Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, calcule a soma dos algarismos de N. 44) (UFMG) - Sabe-se que: para se escreverem os números naturais de 1 até 11, são necessários 13 dígitos; e para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n, são necessários dígitos. Calcule n. 45) (UFMG) - Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N - M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N? 46) (UFMG) - Seja S o conjunto dos números naturais maiores que 1 que são divisores de 360 e não possuem fatores primos em comum com 147. Quantos elementos possui o conjunto S? 47) (UFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7, Calcule o valor de x + y + z. 48) (UFMG) - Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, quantas voltas estará completando o atleta mais veloz? 49) (UFMG) - O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e Então, calcule a soma dos algarismos de n. 50) (UFMG/2 a Etapa) - Seja S o conjunto formado por todos os números naturais n tais que o mínimo múltiplo comum de n e 504 é igual a DETERMINE todos os elementos do conjunto S.

16 16 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1) 28 2) X = 2 3) X = 0 4) b = 3 5) b = 7 6) X = 6 7) 12 8) 141 9) 8 10) ) ) 7 13) 83 14) 23 15) 9 16) m = 3 17) 8 18) 6 19) 10 20) 9 21) ) ) 30 24) 10 25) 29 26) a = 3 e b = 5 27) ) 2 29) 72 30) M é ímpar 31) ) a = 4 33) a = 9 34) 1 35) 27 36) 14 37) ) 13h 30 min 39) 12 40) 13 41) 5 horas 42) 10 divisores 43) 7 44) ) 4 46) 7 elementos 47) ) 15 voltas 49) 9 50) S = {80, 240, 560, 720, 1680, 5040}.