1 Receita básica. x + cos(x) = y + y 3 x 2 + y 2 = 1. E o escrevemos na forma. x + cos(x) y y. F 1 x F 2. x 1 x 2 x n J F = F n F n F n

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1 Receitas para solução de sistemas de equações usando o método de Newton-Raphson no Scilab Prof. Fabio Azevedo - Cálculo Numérico - MAT Receita básica Nesta receira básica, mostraremos como calcular a solução aproximada de uma sistema não linear via método de Newton-Raphson próxima a um ponto dado. Ou seja, não explicaremos como obter condições iniciais para o método. Primeiro passo Partimos de um problema de n equações e n incógnitas e o escrevemos na forma F (x) 0 onde F : R n R n. Exemplo: Partimos do sistema E o escrevemos na forma x + cos(x) y + y x 2 + y 2 1 [ x + cos(x) y y F (x, y) Segundo passo Calculamos a matriz jacobina 1 2 n J F 1 2 n..... F n F n F n 1 2 n Exemplo: Partimos da função do exemplo anterior [ x + cos(x) y y F (x, y) J F [ 1 sen(x) 1 y 2 2x 2y Segundo passo Construímos o processo iterativo: { x (n+1) x (n) J F ( x (n) ) 1 F ( x (n) ) x (0) condição inicial Exemplo: Procuremos a solução do problema apresentado em exemplo próxima a x.5 e y 1. Iniciamos o método com x (0).5 e y (0) 1 1

2 + cos(x) y y F (x, y) [ cos(.5) [ J F [ 1 sen(x) 1 y 2 2x 2y [ 1 sen(.5) [ Logo (1) y (1) [ [ x (0) 1 [ y (0) [ [ [ Repetindo o processo, temos: (2) y (2) [ [ x (1) 1 [ y (1) [ [ [ Da mesma forma () y () [ (4) y (4) [ (5) y (5) [ O critério de paragem foi a coincidência até a sétima casa decimal depois da vírgula para ambas incógnitas. Este critério é heurístico, porém devido à rápida convergência é esperado que a solução esteja correta com erro inferior a

3 Implementação no Scilab: Usaremos x(1) para x e x(2) para y. function yf(x) y(1)x(1)+cos(x(1))-x(2)-x(2)^ y(2)x(1)^2+x(2)^2-1 function yj(x) y(1,1)1-sin(x(1)) y(1,2)-1-*x(2)^2 y(2,1)2*x(1) y(2,2)2*x(2) x[.5;1 xx-j(x)\f(x) (4 vezes) 2 Receita com derivada numérica Nesta receira, mostraremos como calcular a solução aproximada de uma sistema não linear via método de Newton-Raphson próxima a um ponto dado usando o Scilab para obter. Assim como na receita básica não explicaremos como obter condições iniciais para o método. Primeiro passo Idêntico ao da receita básica, o qual repetimos para conveniência do leitor. Partimos de um problema de n equações e n incógnitas e o escrevemos na forma F (x) 0 onde F : R n R n. Exemplo: Partimos do sistema x + cos(x) y + y x 2 + y 2 1 E o escrevemos na forma + cos(x) y y F (x, y) Segundo passo Para calcular a matriz jacobiana numericamente com ajuda da função 'derivative()', é necessário implementar a função F no Scilab como uma função que recebe como entrava um vetor e retorna um vetor de saída. Para tal sugerimos o seguinte código: function yf(x) y(1)x(1)+cos(x(1))-x(2)-x(2)^ y(2)x(1)^2+x(2)^2-1 Observa que esta função tem um vetor de duas componentes como entrada (x) e uma vetor de duas componentes como saída (y). Uma vez implementada a função, o comando 'derivative()' pode ser usado para aproximar a jacobiana em em dado ponto. Exemplo: x[.5 ;1 JFderivative(F,x)

4 Observe que o vetor x deve obrigatóriamente ser um vetor coluna. Terceiro passo Execução do processo iterativo de Newton-Raphson. Cada passa pode ser executado em uma única linha: x[.5 ;1 xx-derivative(f,x)\f(x) X 5 vezes Receita de gráco implícito Nesta receita, mostraremos como traçar o gráco de curvas descritas por equações do tipo f(x, y) 0. Exemplo: Traçaremos as curvas correspondentes às funções do exemplo, ou seja: f(x, y) x + cos(x) y y g(x, y) Primeiro passo Denimos as funções R R R: function wf(x,y) wx+cos(x)-y-y^ function wg(x,y) wx^2+y^2-1 Segundo passo Denimos a região do gráco. Neste caso, como sabemos que a função g descreve um círculo de raio 1 centrado na origem. Pelo que é conveniente escolher a região [ 1, 1 [ 1, 1 para traçar o gráco. Usamos o comando 'contour': contour([-1:.1:1,[-1:.1:1,f,[0 0) contour([-1:.1:1,[-1:.1:1,g,[0 0) O termo '[0 0' indica que apenas a curva de nível de valor 0 deve ser traçada. 4 Receita básica para problemas de otimização Nesta receira básica, mostraremos como encontrar numericamente um ponto crítico de uma função via método de Newton-Raphson próxima a um ponto dado. Ou seja, não explicaremos como obter condições iniciais para o método. Primeiro passo Partimos de uma função f : R n R G(x) f(x) 0 onde G : R n R n. Exemplo: Queremos encontrar o ponto de máximo da função Calculamos o gradiente: G(x, y) f(x, y) 20 e (x 1)2 2(y 2) x 2 + y 2 40(x 2(y 2) 2 1)e (x 1)2 40x e (x 1)2 2(y 2)2 1 + x 2 + y 2 (1 + x 2 + y 2 ) 2 80(y 1)e (x 1)2 2(y 2) x 2 + y 2 40y e (x 1)2 2(y 2)2 (1 + x 2 + y 2 ) 2 4

5 Segundo passo Aplica-se a receita básica ou a receita com derivada numérica ao sistema G(x) 0 e obtém-se x , y Receita para problemas de otimização com cálculo numérico do gradiente Nesta receira básica, mostraremos como encontrar numericamente um ponto crítico de uma função via método de Newton-Raphson próxima a um ponto dado. Ou seja, não explicaremos como obter condições iniciais para o método. Em contraste com a receita anterior, o gradiente será aproximado numericamente. Atenção: O uso de aproximação numérica do gradiente pode deteriorar a qualidade da solução. Primeiro passo Partimos de uma função f : R n R G(x) f(x) 0 onde G : R n R n. Exemplo: Queremos encontrar o ponto de máximo da função f(x, y) 20 e (x 1)2 2(y 2) x 2 + y 2 Observamos que a matriz jacobiana J G associada ao gradiente G(x) f(x) é a matriz hessiana de f e usamos o comando 'derivative' para calcular simultaneamente a hessiana e o gradiente. Segundo passo Implementamos no Scilab a função f : R n R. Exemplo: function wf(v) xv(1) yv(2) w20*(exp(-(x-1)^2-2*(y-2)^2))/(1+x^2+y^2) Terceiro passo Implementamos no Scilab o processo iterativo de Newton-Raphson: Exemplo: x (n+1) x (n) H 1 f (x n ) f(x n ) v[1;2 [G,Hderivative(f,v,H_form'blockmat');vv-H\G' X 4 Observe que o Scilab produz o gradiente na forma de um vetor linha, pelo que é necessário transpô-lo para (G') para resolver o sistema Hx G com o comando H\G. 6 Receita de gráco de curvas de nível Nesta receita, mostraremos como traçar o gráco de curvas de nível descritas por funções do tipo f(x, y). Este tipo de gráco é útil em problemas de otimização. Exemplo: Traçaremos as curvas de nível correspondentes à função do exemplo anterior, ou seja: f(x, y) 20 e (x 1)2 2(y 2) x 2 + y 2 Primeiro passo Denimos a função R R R: 5

6 function wf(x,y) w20*(exp(-(x-1)^2-2*(y-2)^2))/(1+x^2+y^2) Segundo passo Denimos a região do gráco. Neste caso, como sabemos que o numerador da função f tem um máximo em x 1 e y 2. Pelo que escolhemos a região [0, 2 [1, para traçar o gráco. Deve-se escolher os níveis a serem traçados. Por inspeção da função, vemos que é conveniente traçar valores positivos menores que 4. Usamos o comando 'contour': contour([0:.025:2,[1:.025:,f,[0:.25:4) O termo '[0:.25:4' indica que devem ser traçadas as curvas de nível de valores entre 0 e 4 com passo de