Prof. MSc. David Roza José 1/28

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2 Otimização Objetivos: Compreender porquê e onde surgem problemas de otimização na engenharia; Reconhecer a diferença entre otimização unidimensional e multidimensional; Distinguir entre ótimo local e global; Saber reescrever um problema de máximo como um problema de mínimo; Compreender o quê é a proporção áurea e porque ela torna a otimização unidimensional eficiente; Localizar o ponto ótimo unidimensional com a golden-section search; Localizar o ponto ótimo unidimensional com interpolação parabólica; Utilizar o MATLAB para gráficos de contorno e superfície de funções bidimensionais; Saber utilizar funções do MATLAB para problemas uni e multidimensionais. 2/28

3 Otimização No senso mais abrangente possível, a otimização é definida como o processo de criar algo que é o mais eficiente possível. Na engenharia o desafio está no desenvolvimento de processos ou produtos que sejam equilibrados na performance e nas limitações impostas. Do ponto de vista matemático, a otimização lida diretamente com encontrar valores máximo e mínimo de uma função que dependa de uma ou mais variáveis. O objetivo é encontrar os valores do domínio que forneçam o máximo ou mínimo da função. Apesar destes problemas poderem ser resolvidos, às vezes, analiticamente e graficamente; a maioria dos problemas complexos necessitam de soluções numéricas. Do ponto de vista numérico, o espírito da otimização é parecido com o das aulas anteriores na busca por raízes de funções. A diferença fundamental é que a busca por raízes envolve encontrar o ponto onde o valor da função é zero, enquanto a otimização tenta localizar seus extremos. 3/28

4 Otimização 4/28

5 Otimização Os pontos ótimos (Máximo e Mínimo) são os locais onde a derivada vale zero. A segunda derivada indica se o ponto é de valor máximo ou mínimo. f''(x) < 0 é um ponto de valor máximo; f''(x) > 0 é um ponto de valor mínimo; Compreender a relação entre raízes e pontos de otimalidade sugerem uma possível estratégia de ação. Ou seja, deriva-se a função e localiza-se a raiz da derivada. f'(x) = 0 5/28

6 Otimização 6/28

7 Otimização Unidimensional Uma função típica é apresentada a seguir para clarificar os conceitos de: Ótimo local; Ótimo global. 7/28

8 Otimização Unidimensional O ótimo global representa a melhor solução, enquanto que um ótimo local representa a melhor solução de uma vizinhança. Normalmente estamos interessados em descobrir o ótimo global. Existe sempre o risco de achar um ótimo local e supor que ele seja um ótimo global. Assim como na procura de raízes, as técnicas de otimização podem ser intervaladas ou abertas. O método de golden-section search é um método intervalado parecido com o método da Bisseção. 8/28

9 Golden-Section Search Números místicos. Muitas culturas os têm. Para nós, engenheiros, o número místico é o Apesar de não ser tão conhecido, existe também a proporção áurea. Esse número, originalmente representado pela letra p foi originalmente definido por Euclides (300 A.C.) por causa do seu papel na construção de pentagramas. Segundo a definição do próprio: Uma linha reta é cortada de forma que a razão do todo para a parcela maior é igual à razão da parcela maior para a menor. 9/28

10 Golden-Section Search O que resulta na seguinte equação: Cuja solução positiva é a proporção áurea: Da mesma maneira que o método da Bisseção, este método procura ir reduzindo o tamanho do intervalo até encontrar a resposta. Inicia-se o procedimento definido-se um intervalo que contenha a resposta, ou seja: o intervalo deve conter um único mínimo e é chamado de unimodal. 10/28

11 Golden-Section Search No método da Bisseção a raiz era estimada como no ponto médio do intervalo: No método do Golden-Section Search, dois pontos intermediários são escolhidos de acordo com a proporção áurea: Tal que: A função é avaliada nestes dois pontos interiores. Dois resultados distintos podem ocorrer: 11/28

12 Golden-Section Search 12/28

13 Golden-Section Search A grande vantagem do método é que é necessário calcular somente um novo valor de domínio e um novo valor de função. A cada iteração, o intervalo de busca é reduzido em cerca de 61.8%. Ou seja, em 10 iterações o domínio de busca é 0.8% do domínio original. 13/28

14 Golden-Section: Exemplo Desejamos encontrar o mínimo da função abaixo dentro do intervalo [0;4]. Solução: O primeiro passo é calcular os valores de A seguir devemos avaliar o valor das funções nos pontos internos 14/28

15 Golden-Section: Exemplo Como f(x2) < f(x1), nossa melhor estimativa do mínimo neste ponto é que esteja localizado em x= com um valor de f(x)= Para nossa próxima iteração temos que xu=x1, x1=x2 e x2 deve ser recalculado; xl permanece inalterado. 15/28

16 Golden-Section: Exemplo x1 xu xu x1 x2 xl xl x2 recalcular 16/28

17 Golden-Section: Exemplo Ao se continuar as iterações teremos os seguintes resultados até que se obtém, na oitava iteração, um valor mínimo de em x= E o erro aproximado pode ser estimado com Tal que xopt é o valor de x que fornece o mínimo naquela iteração. 17/28

18 Golden-Section Search No Slide 13 foi dito que este método, a cada iteração, necessita recalcular somente um valor de função. Para funções de uma variável, ou até funções mais simples, o tempo poupado com um número reduzido de cálculo de valor de função é negligenciável. Entretanto existem dois contextos importantes onde um número reduzido de cálculo de funções pode ser importante: (1) Em situações onde o Golden-Seaction Search é uma subrotina de um algoritmo maior, sendo chamado diversas vezes. Neste caso, avaliar valor de função poucas vezes pode oferecer um grande ganho de desempenho. (2) Em funções complexas, onde a avaliação do valor da função é demorado, o ganho é notável. Em situações que envolvem modelos que consistem de um sistema de equações diferenciais ou seja, que envolve integração numérica a avaliação de uma função não é trivial. Verificar o arquivo goldmin.m 18/28

19 Interpolação Parabólica A interpolação parabólica tira vantagem do fato de que um polinômio de segunda ordem normalmente fornece uma boa aproximação do formato de f(x) próximo de um ponto de otimalidade. 19/28

20 Interpolação Parabólica Assim como só existe uma reta que une dois pontos, existe somente uma parábola que une três pontos. Caso tenhamos três pontos que englobem o ponto de otimalidade, podemos ajustar uma parábola aos mesmos. Na sequência, podemos diferenciar a parábola, igualar o resultado a zero, e resolver para x a fim de estimar o ponto de otimalidade. Através de alguma manipulação algébrica: Tal que x1, x2 e x3 são as estimativas iniciais e x4 é o valor de x que corresponde ao valor ótimo da interpolação parabólica. 20/28

21 Interpolação Parabólica: Exemplo Utilizar interpolação parabólica para aproximar o mínimo da função abaixo, considerando as estimativas iniciais de x1=0, x2=1 e x3=4. Solução: O valor das funções nas estimativas podem ser avaliadas: E o valor de x4 pode então ser estimado. Dando um valor de função de f(1.5055) = /28

22 Interpolação Parabólica: Exemplo A seguir, uma estratégia parecida com a golden-section search pode ser empregada para determinar qual ponto deve ser descartado. Como o valor da função para o novo ponto é menor que para o ponto intermediário x2, e o novo valor de x está à direita do ponto intermediário, a estimativa x1 é descartada. Então, para a próxima iteração: Fornecendo um valor de função de f(1.4903) = /28

23 Interpolação Parabólica: Exemplo O processo pode então ser repetido com os seguintes resultados tabulados abaixo. Após cinco iterações o resultado converge para o valor verdadeiro de em x = /28

24 Função do MATLAB: fminbnd Na aula anterior comentamos sobre o método de Brent, que combinava vários métodos de busca de raiz num único algoritmo que equilibrava confiabilidade com rapidez. O algoritmo de Brent foi modificado para minimização unidimensional através da função do MATLAB fminbnd. Ele combina o método da golden-section search com a interpolação parabólica. Seu uso dá-se da seguinte forma: [xmin, fval] = fminbnd( funcao, x1, x2 ) Tal que xmin e fval são o local e valor do mínimo, respectivamente; funcao é a função a ser avaliada e x1 e x2 são os limitantes do intervalo sendo buscado. 24/28

25 Otimização Multidimensional Em termos de otimização multidimensional, o MATLAB fornece ferramentas para visualizar funções. Abaixo é mostrado um código que gera gráficos de contorno e malha para uma função. x=linspace(-2,0,40); y=linspace(0,3,40); [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=2+X-Y+2*X.^2+2*X.*Y+Y.^2; subplot(1,2,1); cs=contour(x,y,z); clabel(cs); xlabel('x_l'); ylabel('x_2'); title('(a) Contorno'); grid; subplot(1,2,2); cs=surfc(x,y,z); zmin=floor(min(z)); zmax=ceil(max(z)); xlabel('x_l'); ylabel('x_2'); zlabel('f(x_1,x_2)'); title('(b) Malha'); 25/28

26 Otimização Multidimensional 26/28

27 Otimização Multidimensional O MATLAB possui a função fminsearch que pode ser utilizada para determinar o mínimo de uma função multidimensional. Ela é baseada no método de Nelder-Mead, que é um método de busca direta que utiliza somente valores da função (não necessita de derivadas) e é capaz de lidar com funções não-suaves. Sua sintaxe toma a forma: [xmin, fval] = fminsearch( funcao, x0 ) Tal que xmin e fval são o local e valor do mínimo, respectivamente; funcao é a função a ser avaliada e x0 é a estimativa inicial. x0 pode ser um escalar, um vetor ou uma matriz. Um exemplo de utilização é dado com a função que acabamos de gerar um gráfico. f=@(x) 2+x(1)-x(2)+2*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2; [x,fval]=fminsearch(f,[-0.5,0.5]) 27/28

28 Informações Exercícios: /28