na Base b The Function ϕ of Euler and the Periodic Expansion Fractions in the Base b

Transcrição

1 A Função ϕ de Euler e a Expansão Periódica de Frações na Base b The Function ϕ of Euler and the Periodic Expansion Fractions in the Base b Martinho da Costa Araujo Departamento de Matemática Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT, Cuiabá, MT martinho@ufmt.br Marcionei Rech Instituto Federal de Mato Grosso -IFMT, Sorriso, MT marcionei.rech@srs.ifmt.edu.br Resumo: Queremos aui explorar o comportamento da expansão de frações ordinárias, o comprimento da parte não periódica, bem como do período se ela for uma dízima infinita, com o auxilio da função ϕ de Euler. Além das expansões decimais ue são as mais comuns, exploraremos as expansões para uma base b ualuer. Apresentaremos alguns exemplos de expansões de frações ordinárias para diferentes bases numéricas gerando dízimas finitas, como também, dízimas periódicas simples e compostas. Palavras-chave: dízimas periódicas; bases numéricas; números racionais. Abstract: We would lie to explore the behavior of the expansion of ordinary fractions, the length of the non-periodic part and the period if it is an endless tithe, with the help of the function ϕ Euler. In addition to the decimal expansions that are the most common, we explore the expansions for a base b whatsoever. We will present some examples of expansions of ordinary fractions for different number bases generating finite decimals, but also simple and composite periodical decimals. Key words: periodic decimal; numerical bases; rational numbers. Introdução Os estudos sobre expansões nos remontam para o início do século 8, vários matemáticos observaram regularidades nas expansões decimais de frações comuns, dentre eles destacamos: John Wallis [657, 685], Samuel Cunn [74] e John Marsh [742]. Algumas regras foram criadas, mas foi só a partir de 760 em diante, ue as primeiras tentativas para estabelecer uma teoria coerente de frações decimais periódicas apareceram. Johann Heinrich Lambert [728, 777] foi o primeiro a dedicar dois ensaios sobre o tema, porém somente em 80 ue Johann Carl Friedrich Gauss provou um teorema importante relacionado a determinação do comprimento de dízimas periódicas no sistema de numeração decimal. Identificar o comportamento de uma expansão parece ser uma tarefa fácil uando tratamos de expansões relativamente peuenas, basta uma simples divisão do numerador pelo Recebido em 3/2/206 - Aceito em 26/04/207 RECEN 9 p jan/jun 207 DOI:0.5935/RECEN

2 ARAUJO, M.C. e RECH, M. denominador, mas em alguns casos o comprimento da parte finita ou até mesmo do período, não cabe em uma simples calculadora. Por exemplo a expansão decimal da fração 29 gera uma dízima periódica simples com período de 28 algarismos, já a expansão de 4096 é finita com 2 algarismos. Hoje é comum artigos ue tratam da expansão decimais de frações ordinárias irredutíveis p com 0, mostrando uais números racionais geram dízimas finitas e uais geram dízimas infinitas e periódicas. Queremos aui generalizar esses conceitos e trabalhar a expansão de frações ordinárias para uma base b ualuer. Observe a expansão da fração 9 48 em algumas bases numéricas diferentes: , , , Veja ue uando expandida para a base 6, gera uma dízima finita, na base 7 uma dízima periódica simples de período 25, já na base 0 gera uma dízima periódica composta com período 3, ou seja, a mesma fração pode ter comportamentos bem distintos dependendo da base para a ual se deseja a expansão. 2 A Função ϕ de Euler Antes de analisarmos as expansões vamos retomar algumas definições e resultados da teoria dos números ue são importantes. Dado um inteiro positivo n, representa-se por ϕn a uantidade de inteiros positivos menores ue n e primos com n. Escrevemos: ϕ n { N : < n e mdc, n }. Por exemplo, para n 0 temos ue os inteiros, 3, 7, 9 são relativamente primos com 0, ou seja, ϕ0 4. Veja o valor de ϕn dos primeiros números naturais: Exemplo 2. : n ϕn Define-se assim uma função ue associa cada número inteiro positivo n a um inteiro positivo ϕn ue goza das seguintes propriedades:. ϕ 2. Se n >, ϕn n tem-se a igualdade se e somente se n é primo. 3. Se mdca, n, então a ϕn mod n. Teorema de Euler. 4. Se s é o menor inteiro positivo, tal ue a s mod n com mdca, n, então s divide ϕn, s é chamado de ordem de a módulo n, e escrevemos como s ord n a. 5. Se p é primo e α é um inteiro positivo, então ϕp α p α p α. 6. Se m e n são inteiros positivos, tais ue mdcm, n, então ϕ m n ϕ m ϕ n. A demonstração dessas propriedades, bem como do teorema de Euler podem ser vistas na referência bibliográfica []. 39

3 Revista Ciências Exatas e Naturais, Vol.9, n o., Jan/Jun, Expansão na base b Trataremos nessa seção do comportamento das expansões de frações ordinárias irredutíveis,em uma base b ualuer. Dado um inteiro ualuer b 2, todo inteiro positivo n > 0 pode ser escrito de modo único na forma n a m b m +a m b m + +a b +a 0, com 0 a i < b para i 0,, 2,..., m e a m 0. Representamos n a m a m a a 0 b. E essa é a expansão de n na base b. 3. Expansão finita Teorema 3. Uma fração irredutível p com 0, possui representação finita no sistema posicional de base b, se e somente se, o denominador não possui fatores primos diferentes dos fatores de b. Mais precisamente, se a base for tipo b P α P α2 2 P α com P i primos e os inteiros α i 0 e seu denominador P α P β α2 2 P α β2 β com os inteiros β j 0 para j, 2,...,, então a expansão será finita e possuirá w algarismos após a vírgula, sendo w max {β, β 2,... β }. Demonstração. Como p p., basta considerar ue 0, d d 2... d b seja a expansão finita na base b, onde 0 d i < b, o inteiro i, 2,..., e o último algarismo d 0. Logo vamos ter d b + d 2 b 2 + d 3 b d b b d.b + d 2.b 2 + d 3.b d Agora, tomamos M d.b + d 2.b 2 + d 3.b d, então segue ue M b M b b. Logo não tem fatores primos ue não sejam fatores de b. Reciprocamente, se não tem fatores primos ue não sejam fatores de b, seja w max {β, β 2,... β r }, segue ue: bw P α w.p α2 2 w P α w. P α β.p α2 2 β2.p α3 3 β3 P α P α w β.p α2 2 w β2.p α3 3 w β3 P α w β. β Seja M P α w β.p α2 2 w β2.p α3 3 w β3 P α w β, então bw M o ue significa ue M < b w, e assim podemos escrever: M a w.b w + a w 2.b w a 2.b 2 + a.b + a 0 a w a w 2 a 2 a a 0 b. 40

4 ARAUJO, M.C. e RECH, M. Portanto temos ue se b w M M b w a w.b w + a w 2.b w a 2.b 2 + a.b + a 0 b w a w + a w 2 b b a 2 b w 2 + a b w + a 0 b w 0, a w a w 2 a 2 a a 0 b w -algarismos Exemplo 3. : Determinar a expansão de 7 48 na base 6. Observe ue Como o 48 não tem fatores primos diferentes dos fatores de 6 ue é a base, então a expansão será finita e o comprimento será o máx4, 4, vejam: , Exemplo 3.2 : Determinar a expansão de 9 92 na base 2. Observe ue Como o 92 não tem fatores primos diferentes dos fatores da base , então a expansão será finita e o comprimento será o máx{3, } 3, vejam: , Expansão infinita e periódica Teorema 3.2 Sendo p, 0 uma fração ordinária irredutível, a expansão de p na base b é uma dízima periódica simples se mdcb, e terá período com s dígitos, sendo s a menor solução inteira positiva da euação b s mod. Demonstração. Se s é o menor inteiro positivo, tal ue b s mod, então b s u, para algum inteiro u. Mas u < b s, daí u na base b é dado por u d s b s + d s 2 b s d b + d 0 d s d s 2 b s 2 d d 0 b com 0 d < b, 0,, 2,..., s. Logo b s u. Euivalentemente, u b s d s b s + d s 2 b s d b + d 0 b s d s b s + d s 2 b s d b + d 0 b s 0, d s d d 0 + 0, 00 }{{ 0 } s - zeros 0, d s d s 2 d 2 d d 0 b. Período com s-algarismos + b s + d s d d 0 + 0, s - zeros b s b 2s + b 3s + d s d d 0 + 0, s - zeros 4

5 Revista Ciências Exatas e Naturais, Vol.9, n o., Jan/Jun, 207 Como vimos no item 4 das propriedades da função ϕ,o comprimento do período s é chamado s ord n b. A função ϕ de Euler torna-se uma ferramenta importante para determinar o período de uma expansão, pois o comprimento do período s será um divisor de ϕ. 5 Exemplo 3.3 : Determinar a expansão de na base. 68 Como o mdc68, e ϕ68 ϕ ϕ2 3.ϕ3.ϕ , s ord 68 ϕ68, portanto s {, 2, 3, 4, 6, 8, 2, 6, 24, 48}. Note ue, mod 68, 2 2 mod 68, 3 55 mod 68, e 6 mod 68. Temos s 6, e , com N, logo Então , Teorema 3.3 Seja p, 0 uma fração ordinária irredutível, b pα pα2 2 pα uma base com p i primos, os inteiros α i 0, m 0.p α β.p α2 2 β2.p α3 3 β3 p α β com β j 0 para j, 2,...,, sendo m 0 um inteiro positivo tal ue mdcm 0, b, então a expansão de p na base b será uma dízima periódica composta com período de s dígitos, sendo s a menor solução inteira da euação b s mod m 0 e anteperíodo de w dígitos, onde wmáx{β, β 2, β 3,, β }. Demonstração. De fato, seja wmáx{β, β 2, β 3,, β }, segue ue: m 0.p α β.p α2 2 β2. p α β pα.p w β α2 2 p α w β2 w β b w..m 0 pα w β.p α2 2 w β2 p α p α w.p α2 2 w. p α w.m 0 w β Pelo algorítmo da divisão, temos ue p α w β.p α2 2 w β2 p α w β M.m 0 + z, com 0 z < m 0 e 42 M.m 0 + z b w.m 0 M b w + z b w m 0.

6 ARAUJO, M.C. e RECH, M. Como possui pelo menos um fator primo diferente dos fatores primos da base b p α pα2 2 pα, temos ue 0 z < m 0 < b w, ou seja, z < b w. Além disso, bw M.m 0 + z M + z com 0 z <, logo M < b w. m 0 m 0 m 0 Se s é o menor inteiro positivo, tal ue b s mod m 0, então b s m 0 u, para algum inteiro u, então u < b s. Portanto uz < b w+s. Assim podemos escrever: M a w.b w + a w 2.b w a.b + a 0 a w a w 2 a a 0 b com 0 a < b, 0,, 2,..., w e com uz d w+s b w+s + d w+s 2 b w+s d b + d 0 d w+s d w+s 2 d d 0 b com 0 d < b, 0,, 2,..., w + s, dessa forma obtemos p M b w + z b w M m 0 b w + z u b w b s M b w + z u b w b s b s a w.b w + a w 2.b w a.b + a 0 b w + zu b w+s + b s + b 2s + b 3s + a w.b w + + a.b + a 0 b w + d w+s b w+s + + d b + d 0 b w+s + b s + 0, a w a 2 a a 0 d w+s d d 0 + } {{ } w - dígitos +0, w+s - zeros d w+s d d 0 + 0, w+2s - zeros + 0, } 000 {{ 0 } d w+s d d 0 + 0, 000 }{{ 0 } d w+s d d 0 + w+3s - zeros w+4s - zeros 0, a w a 2 a a 0 d w+s d s 2 d 2 d d 0 b. w - algarismos Período com s-algarismos b 2s + Exemplo 3.4 : Determinar a expansão hexadecimal de Temos ue: será 3. Por outro lado, e o comprimento da parte não periódica Como o mdc6, 365, o período s da expansão de na base 6, é dado por 365 s ord Mas ϕ365 ϕ ϕ3.ϕ5.ϕ7.ϕ e como s ϕ365, s {, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 2, 6, 8, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 44, 92, 288, 576}. Fazendo a verificação: 6 6 mod 365, mod 365 e 6 3 mod 365. Com isso concluímos ue s 3. Por outro lado 6 3 mod , 43

7 Revista Ciências Exatas e Naturais, Vol.9, n o., Jan/Jun, 207 com N, verificamos facilmente ue 3 e Então [ ] , 23ABCABCABCABC , 23ABC 6 Finalmente, se gera uma dízima periódica simples de comprimento, então outro fato bastante interessante pode ser notado. Se é um número inteiro positivo, tal ue < <, então, o período da expansão de em uma base b tem exatamente os mesmos algarismos ciclicamente permutados. Observe a expansão decimal de frações cujo denominador é 7, ue contém 6 dígitos. 7 0, 42857, 2 7 0, 28574, 3 7 0, 42857, 4 0, Eles têm os mesmos dígitos permutados ciclicamente. Devemos ter cuidado, no entanto, para lembrar ue o período deve conter dígitos, como mencionado acima. Veja ue na expansão decimal de: 3 0, e 3 0, temos os mesmos dígitos permutada 3 ciclicamente em seus períodos, mas isto não vale para todos os tal ue < <. Por 5 exemplo, 0,

8 ARAUJO, M.C. e RECH, M. Teorema 3.4 Se é uma fração, cujo período contém dígitos, e b uma base numérica, tal ue mdcb,, então o período da expansão na base b da fração, em ue < <, tem os mesmos algarismos ciclicamente permutados. Demonstração. De fato, uma condição necessária para o período da fração conter dígitos, é ue cada número inteiro positivo inferior apareça uma, e apenas uma vez, nos primeiros passos da divisão. Assim, é um desses restos obtidos na divisão de por. O numerador influi apenas para saber ual o primeiro algarismo periódico, depois ue o primeiro ocorrer os demais se sucedem na mesma ordem cíclica. 4 Conclusões Apresentamos uma aplicação importante da função ϕ de Euler. Por meio desta função descrevemos como transformar as frações ordinárias irredutíveis em dízimas periódicas simples e compostas em ualuer base. Referências [] HEFEZ, A. Elementos da aritmética, Sociedade Brasileira de Matemática-SBM, Rio de Janeiro [2] ROSA, A.P. e SILVA, J.N. História de Fracções, Gazeta da Matemática, v.53, p.23-3, [3] BULLYNCK, M. Decimal Periods and Their Tables: A German Research Topic , ScienceDirect:Historia Mathematica, v.36, p.37-60, [4] DOLISI, E.E. Periodic Decimal Fractions, Tese de Doutorado, Teachers College of Emporia, Emporia/Kansas State, USA [5] LIMA, E.L. Voltando a falar sobre dízimas, Revista do professor de matemática - RPM, v.0, p.23-28,