MATEMÁTICA DISCRETA COMBINATÓRIA (4/4) Carlos Luz. EST Setúbal / IPS Março 2012

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1 MATEMÁTICA DISCRETA COMBINATÓRIA (4/4) Carlos Luz EST Setúbal / IPS Março 2012 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

2 Princípio da Distribuição O princípio da distribuição (de Dirichelet) (conhecido por pigeonhole principle ou princípio da gaiola dos pombos numa tradução livre), segue uma loso a diferente dos príncipios de contagem examinados nas secções anteriores. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

3 Princípio da Distribuição O princípio da distribuição (de Dirichelet) (conhecido por pigeonhole principle ou princípio da gaiola dos pombos numa tradução livre), segue uma loso a diferente dos príncipios de contagem examinados nas secções anteriores. Enquanto que estes últimos permitem contar precisamente o número de objectos que satisfazem determinadas condições, o princípio da distribuição permite deduzir a existência de um determinado tipo de objectos com uma certa propriedade. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

4 Princípio da Distribuição O princípio da distribuição (de Dirichelet) (conhecido por pigeonhole principle ou princípio da gaiola dos pombos numa tradução livre), segue uma loso a diferente dos príncipios de contagem examinados nas secções anteriores. Enquanto que estes últimos permitem contar precisamente o número de objectos que satisfazem determinadas condições, o princípio da distribuição permite deduzir a existência de um determinado tipo de objectos com uma certa propriedade. Por exemplo, suponhamos que dispomos de 3 pombos para distribuir por duas gaiolas A e B. Os pombos podem ser distribuídos de acordo com uma das seguintes formas: 3 na gaiola A e 0 na gaiola B, 2 em A e 1 em B, 1 em A e 2 em B, ou 0 em A e 3 em B. Observe-se que, em qualquer caso, uma das gaiolas A ou B conterá pelo menos 2 pombos. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

5 Princípio da Distribuição O princípio da distribuição (de Dirichelet) (conhecido por pigeonhole principle ou princípio da gaiola dos pombos numa tradução livre), segue uma loso a diferente dos príncipios de contagem examinados nas secções anteriores. Enquanto que estes últimos permitem contar precisamente o número de objectos que satisfazem determinadas condições, o princípio da distribuição permite deduzir a existência de um determinado tipo de objectos com uma certa propriedade. Por exemplo, suponhamos que dispomos de 3 pombos para distribuir por duas gaiolas A e B. Os pombos podem ser distribuídos de acordo com uma das seguintes formas: 3 na gaiola A e 0 na gaiola B, 2 em A e 1 em B, 1 em A e 2 em B, ou 0 em A e 3 em B. Observe-se que, em qualquer caso, uma das gaiolas A ou B conterá pelo menos 2 pombos. Esta conclusão poderia ter sido obtida imediatamente por aplicação da chamada forma fraca do princípio da distribuição. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

6 Teorema (Princípio da Distribuição forma fraca) Sejam m e n números naturais. Se m n + 1 objectos são distribuídos por n caixas, então uma das caixas terá pelo menos dois objectos. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

7 Teorema (Princípio da Distribuição forma fraca) Sejam m e n números naturais. Se m n + 1 objectos são distribuídos por n caixas, então uma das caixas terá pelo menos dois objectos. Demonstração Suponhamos por absurdo que nenhuma das n caixas contém mais do que 1 objecto. Então cada caixa conterá quando muito 1 objecto, pelo que o número total de objectos nas n caixas é igual a n. Mas isto é absurdo, pois foram distribuídos m n + 1 objectos pelas n caixas. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

8 Teorema (Princípio da Distribuição forma fraca) Sejam m e n números naturais. Se m n + 1 objectos são distribuídos por n caixas, então uma das caixas terá pelo menos dois objectos. Demonstração Suponhamos por absurdo que nenhuma das n caixas contém mais do que 1 objecto. Então cada caixa conterá quando muito 1 objecto, pelo que o número total de objectos nas n caixas é igual a n. Mas isto é absurdo, pois foram distribuídos m n + 1 objectos pelas n caixas. Observação Uma demonstração alternativa do princípio da distribuição na forma fraca é a seguinte: seja f : N m! N n a função que associa a cada objecto a caixa correspondente; atendendo ao teorema 2.1, f não pode ser injectiva pois m > n; logo, existem objectos distintos x e y tais que f (x) = f (y), isto é, pelo menos dois objectos estão na mesma caixa. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

9 Exemplo Suponha-se que numa gaveta estão 10 meias pretas e 12 meias azuis. Se uma meia for retirada de cada vez, sem reposição, quantas terão que ser retiradas para garantir um par da mesma cor? Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

10 Exemplo Suponha-se que numa gaveta estão 10 meias pretas e 12 meias azuis. Se uma meia for retirada de cada vez, sem reposição, quantas terão que ser retiradas para garantir um par da mesma cor? Resolução: Podemos imaginar que as meias retiradas são objectos a distribuir por 2 caixas, correspondentes respectivamente às cores preto e azul. Então, pelo princípio da distribuição, para garantir duas meias da mesma cor (ou equivalentemente, uma caixa com 2 objectos) basta efectuar a distribuição de no mínimo 3 meias pelas 2 caixas (isto é, basta retirar da gaveta 3 meias). Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

11 Exemplo Suponha-se que numa gaveta estão 10 meias pretas e 12 meias azuis. Se uma meia for retirada de cada vez, sem reposição, quantas terão que ser retiradas para garantir um par da mesma cor? Resolução: Podemos imaginar que as meias retiradas são objectos a distribuir por 2 caixas, correspondentes respectivamente às cores preto e azul. Então, pelo princípio da distribuição, para garantir duas meias da mesma cor (ou equivalentemente, uma caixa com 2 objectos) basta efectuar a distribuição de no mínimo 3 meias pelas 2 caixas (isto é, basta retirar da gaveta 3 meias). Exemplo Nas mesmas condições do problema anterior, quantas terão que ser retiradas para garantir um par azul? Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

12 Exemplo Suponha-se que numa gaveta estão 10 meias pretas e 12 meias azuis. Se uma meia for retirada de cada vez, sem reposição, quantas terão que ser retiradas para garantir um par da mesma cor? Resolução: Podemos imaginar que as meias retiradas são objectos a distribuir por 2 caixas, correspondentes respectivamente às cores preto e azul. Então, pelo princípio da distribuição, para garantir duas meias da mesma cor (ou equivalentemente, uma caixa com 2 objectos) basta efectuar a distribuição de no mínimo 3 meias pelas 2 caixas (isto é, basta retirar da gaveta 3 meias). Exemplo Nas mesmas condições do problema anterior, quantas terão que ser retiradas para garantir um par azul? Resolução: No pior caso, os elementos da caixa que não corresponde à cor pretendida são seleccionados primeiro. Assim, sendo retiradas primeiro as 10 meias pretas, ca garantido pelo princípio da distribuição que no nal das duas tiragens seguintes existirá um par azul na respectiva caixa. À 12 a tiragem ca pois garantido um par de meias azul. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

13 Exemplo Mostrar que, dados quaisquer quatro números inteiros, existem dois deles cuja diferença é divisível por 3. Resolução: Vamos tomar para objectos os 4 inteiros e consideramos as seguintes 3 caixas : a caixa 0 para os inteiros divisíveis por 3, a caixa 1 para os inteiros que divididos por 3 dão resto 1 e a caixa 2 para os inteiros que divididos por 3 dão resto 2. Pelo princípio da distribuição, ao efectuar a distribuição dos 4 inteiros pelas três caixas, obtém-se uma caixa com dois inteiros. Se os dois inteiros estão na caixa i, com 0 i 2, podemos representá-los por 3x + i e 3y + i, onde x e y são inteiros. Então, 3 divide a diferença dos dois inteiros pois esta é igual a (3x + i) (3y + i) = 3(x y). Caixa 0 Caixa 1 Caixa 2 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

14 Exemplo ( teorema da festa ) Mostrar que numa festa com n 2 pessoas, existem pelo menos duas que têm o mesmo número de conhecidos na festa. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

15 Exemplo ( teorema da festa ) Mostrar que numa festa com n 2 pessoas, existem pelo menos duas que têm o mesmo número de conhecidos na festa. Resolução: Seja f a função que associa a cada uma das pessoas o número de conhecidos presentes na festa; então 0 f (x) n 1, para qualquer x 2 N n, pelo que f (N n ) f0,..., n 1g. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

16 Exemplo ( teorema da festa ) Mostrar que numa festa com n 2 pessoas, existem pelo menos duas que têm o mesmo número de conhecidos na festa. Resolução: Seja f a função que associa a cada uma das pessoas o número de conhecidos presentes na festa; então 0 f (x) n 1, para qualquer x 2 N n, pelo que f (N n ) f0,..., n 1g. Ora, dados dois quaisquer convidados diferentes x e y, não se pode ter f (x) = 0 e f (y) = n 1 pois neste caso x não conheceria ninguém e y conheceria toda a gente, incluindo x. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

17 Exemplo ( teorema da festa ) Mostrar que numa festa com n 2 pessoas, existem pelo menos duas que têm o mesmo número de conhecidos na festa. Resolução: Seja f a função que associa a cada uma das pessoas o número de conhecidos presentes na festa; então 0 f (x) n 1, para qualquer x 2 N n, pelo que f (N n ) f0,..., n 1g. Ora, dados dois quaisquer convidados diferentes x e y, não se pode ter f (x) = 0 e f (y) = n 1 pois neste caso x não conheceria ninguém e y conheceria toda a gente, incluindo x. Assim, f (N n ) é um subconjunto de f0,..., n 1g com, no máximo, n 1 elementos. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

18 Exemplo ( teorema da festa ) Mostrar que numa festa com n 2 pessoas, existem pelo menos duas que têm o mesmo número de conhecidos na festa. Resolução: Seja f a função que associa a cada uma das pessoas o número de conhecidos presentes na festa; então 0 f (x) n 1, para qualquer x 2 N n, pelo que f (N n ) f0,..., n 1g. Ora, dados dois quaisquer convidados diferentes x e y, não se pode ter f (x) = 0 e f (y) = n 1 pois neste caso x não conheceria ninguém e y conheceria toda a gente, incluindo x. Assim, f (N n ) é um subconjunto de f0,..., n 1g com, no máximo, n 1 elementos. Podemos agora pensar na distribuição dos n objectos f (1), f (2),..., f (n) pelas n 1 caixas, cada uma delas correspondente a um elemento de f (N n ). Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

19 Exemplo ( teorema da festa ) Mostrar que numa festa com n 2 pessoas, existem pelo menos duas que têm o mesmo número de conhecidos na festa. Resolução: Seja f a função que associa a cada uma das pessoas o número de conhecidos presentes na festa; então 0 f (x) n 1, para qualquer x 2 N n, pelo que f (N n ) f0,..., n 1g. Ora, dados dois quaisquer convidados diferentes x e y, não se pode ter f (x) = 0 e f (y) = n 1 pois neste caso x não conheceria ninguém e y conheceria toda a gente, incluindo x. Assim, f (N n ) é um subconjunto de f0,..., n 1g com, no máximo, n 1 elementos. Podemos agora pensar na distribuição dos n objectos f (1), f (2),..., f (n) pelas n 1 caixas, cada uma delas correspondente a um elemento de f (N n ). Pelo princípio da distribuição, dois daqueles objectos, digamos f (i) e f (j), estarão na mesma caixa sendo portanto iguais. Isto é, f (i) = f (j), pelo que os convidados i e j têm o mesmo número de conhecidos na festa. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

20 Teorema (Princípio da Distribuição forma forte) Sejam m, n e k números naturais. Se m nk + 1 objectos são distribuídos por n caixas, uma das caixas terá pelo menos k + 1 objectos. A desigualdade não pode ser enfraquecida. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

21 Teorema (Princípio da Distribuição forma forte) Sejam m, n e k números naturais. Se m nk + 1 objectos são distribuídos por n caixas, uma das caixas terá pelo menos k + 1 objectos. A desigualdade não pode ser enfraquecida. Demonstração Suponha-se que existem, no máximo, k objectos em cada caixa; então existem no máximo nk objectos no total, o que contraria a hipótese de terem sido distribuídos m nk + 1 objectos pelas n caixas. Por outro lado, dados m objectos tais que m nk, é sempre possível distribuí-los por n caixas, cada uma com k objectos no máximo; isto mostra que a desigualdade não pode ser enfraquecida. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

22 Teorema (Princípio da Distribuição forma forte) Sejam m, n e k números naturais. Se m nk + 1 objectos são distribuídos por n caixas, uma das caixas terá pelo menos k + 1 objectos. A desigualdade não pode ser enfraquecida. Demonstração Suponha-se que existem, no máximo, k objectos em cada caixa; então existem no máximo nk objectos no total, o que contraria a hipótese de terem sido distribuídos m nk + 1 objectos pelas n caixas. Por outro lado, dados m objectos tais que m nk, é sempre possível distribuí-los por n caixas, cada uma com k objectos no máximo; isto mostra que a desigualdade não pode ser enfraquecida. Observação A forma fraca do princípio é implicada pela forma forte pois, dados m objectos e n caixas, se m n + 1, considerando k = 1, tem-se m n k + 1, donde, pela forma forte, uma das caixas terá pelo menos k + 1 = 2 objectos. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

23 Problema Dado um baralho com 52 cartas, retirando, sem reposição, uma carta de cada vez, quantas é necessário retirar para garantir que se tenham três cartas do mesmo naipe? Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

24 Problema Dado um baralho com 52 cartas, retirando, sem reposição, uma carta de cada vez, quantas é necessário retirar para garantir que se tenham três cartas do mesmo naipe? Resolução: Tratemos as cartas como objectos e consideremos que, ao serem retiradas do baralho, as cartas são distribuídas por n = 4 caixas, cada uma correspondendo a cada naipe. A forma forte garante então que uma das caixas terá pelo menos k + 1 = 3 objectos (isto é, 3 cartas do mesmo naipe) desde que sejam retiradas do baralho m nk + 1 = = 9 cartas. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

25 Problema Dado um baralho com 52 cartas, retirando, sem reposição, uma carta de cada vez, quantas é necessário retirar para garantir que se tenham três cartas do mesmo naipe? Resolução: Tratemos as cartas como objectos e consideremos que, ao serem retiradas do baralho, as cartas são distribuídas por n = 4 caixas, cada uma correspondendo a cada naipe. A forma forte garante então que uma das caixas terá pelo menos k + 1 = 3 objectos (isto é, 3 cartas do mesmo naipe) desde que sejam retiradas do baralho m nk + 1 = = 9 cartas. Exemplo Qual o número mínimo de empregados que uma empresa deve ter para assegurar que haja três empregados que fazem anos no mesmo dia? Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8

26 Problema Dado um baralho com 52 cartas, retirando, sem reposição, uma carta de cada vez, quantas é necessário retirar para garantir que se tenham três cartas do mesmo naipe? Resolução: Tratemos as cartas como objectos e consideremos que, ao serem retiradas do baralho, as cartas são distribuídas por n = 4 caixas, cada uma correspondendo a cada naipe. A forma forte garante então que uma das caixas terá pelo menos k + 1 = 3 objectos (isto é, 3 cartas do mesmo naipe) desde que sejam retiradas do baralho m nk + 1 = = 9 cartas. Exemplo Qual o número mínimo de empregados que uma empresa deve ter para assegurar que haja três empregados que fazem anos no mesmo dia? Resolução: Teremos de distribuir m empregados por n = 365 dias de maneira que um dos dias tenha pelo menos k + 1 = 3 empregados. Pela forma forte do princípio da distribuição, a ocorrência desta situação ca garantida desde que m nk + 1 = = 731, isto é, se a empresa tiver no mínimo 731 empregados. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Combinatória (4/4) Março / 8