Célia Borlido 07/09/2007 Encontro Nacional dos Novos Talentos em Matemática

Transcrição

1 Sistemas de Numeração Célia Borlido 7/9/27 Encontro Nacional dos Novos Talentos em Matemática

2 Alguma notação para começar Є representa a palavra vazia. Se é um alfabeto, isto é, um conjunto não vazio de símbolos (finito ou infinito), então, * representa o conjunto de todas as palavras finitas cujas letras estão em e n representa o conjunto de todas as palavras com n letras em. Por exemplo, se = {, }, então: * = {Є,,,,,,,, } e 2 = {,,, }.

3 Definição: Semi-anel: Um semi-anel é um conjunto S que contém os elementos e, juntamente com as operações binárias + e, tal que (S, +, ) e ( S,,) são estruturas comutativas e associativas e: a = = a a ( b + c) = a b + a c ( a + b) c = a c + b c

4 O que é um Sistema de Numeração? Um Sistema de Numeração é um modo de expressar um elemento de um dado semianel como combinação linear n = a u + a u + + a r u r de elementos de U = {u, u, u 2, } sendo os elementos a i chamados os dígitos de n. A palavra finita a r a r- a 2 a a diz-se a representação de n.

5 O que é um Sistema de Numeração? Mais formalmente, define-se um Sistema de Numeração N como sendo um triplo N = (U, D, R),onde: U = {u, u, u 2, } é uma sequência de elementos de S, chamada a base de N; D é um subconjunto de S, normalmente finito, chamado o conjunto de dígitos; R Œ D* é o conjunto das representações válidas.

6 O que é um Sistema de Numeração? Define-se a função [w] u : D* S a r a r- a 2 a a = w, a u + a u + + a r u r Exemplo: Se considerarmos o semi anel ;, um exemplo de um Sistema de Numeração é o sistema decimal. Neste caso temos: U = {,,, }; D = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; R = { e }» (D \ {}) D*.

7 Sistemas de Numeração Perfeitos: Exemplo: N = ({!, 2!, }, ;, {e}» {a r a r- a : a r, a i i, i }) Todo o inteiro pode ser representado de forma única da seguinte maneira: n = a! + a 2 2! + a r r! Prova: Dado n, seja k tal que k! n < (k+)! Pode-se provar por indução que: k! =.! ! ! + + (k ) (k )! Concluindo-se portanto que n tem k dígitos ( r = k). Possibilidades para um número com k dígitos:.! +.2! +.3! + +.(k-)! +.k! 2 x 3 x 4 x x k x k = = k x k!

8 Sistemas de Numeração Perfeitos: Sejam A = a! + a 2 2! + a 3 3! + + a n n! B = b! + b 2 2! + b 3 3! + + b n n! dois números iguais. Se a n > b n temos: (a n b n ) n! n! e n! (a! + a 2 2! + a 3 3! + + a n- (n )!) (b! + b 2 2! + b 3 3! + + b n- (n )!) n! E somando A B, contradição!!!

9 Algoritmo Guloso Sejam = u < u < u 2 < elementos de ; que formam uma base U. Greedy (n) : t := while u t+ n do t := t + for i = t down to do: a i := [ n / u i ] n := n a i u i output (a i )

10 Algoritmo Guloso: Conjunto das representações válidas: R = {Greedy (n) : n }» {e} Conjunto de dígitos: Como a i < u i+ / u i, D é finito se c = sup i (u i+ / u i ) for finito e, neste caso, temos D = {,, 2,, [c]}.

11 Teorema : Seja U = {u, u, u 2, } uma base de elementos de ; tal que = u < u < u 2 <. Então, todo o inteiro não negativo tem exactamente uma representação como combinação linear a u + a u + + a r u r se os dígitos satisfizerem a seguinte desigualdade: a u + a u + + a i u i < u i+

12 Conjuntos de Dígitos Alternativos I Seja E k = {, 2,, k}, o conjunto de dígitos. Então: N = ( {, k, k 2, }, E k, E k * ) é perfeito. Para provar isto podemos usar o Teorema : a + a k + a 2 k a n- k n- k ( + k + k k n- ) = = k ( k n+ ) / ( k) < < k n, k 2

13 Conjuntos de Dígitos Alternativos III: Sistema de Numeração Ternário Equilibrado: N = ( {, 3, 3 2, 3 3, }, F, {e}» ( F \ {}) F* ), onde F = {-,, }. Exemplo: n n

14 Conjuntos de Dígitos Alternativos III: Generalização do Sistema de Numeração Ternário Equilibrado: N = ({, k + l +, (k + l + ) 2, }, F, {e}» (F\{}) F* ), sendo F = { k, k, 2 k,,,,, 2,, l, l } Sistema de Numeração Ternário Equilibrado: Caso particular em que k = l =.

15 Definições: Dado um conjunto finito de dígitos inteiros, D, este diz-se básico para uma base k 2 se: œ D; ( {, k, k 2, k 3, }, D, {e}» ( D \ {}) D* ) é um Sistema de Numeração Perfeito. Um conjunto S diz-se um sistema de restos completo (mod k) se, S = k e, "nœ Z, mœs : m ª n mod k.

16 Teorema 2: Seja k ; 2. O conjunto de dígitos D, que contém o zero, é básico para k se e só se: D é um sistema de restos completo (mod k); n, w D n, [w] k não é múltiplo não nulo de k n.

17 Conjuntos de Dígitos Alternativos III: F = {-,, } completo. é um sistema de restos 3 n não divide [w] k " wœd n, pois [w] k n- = (3 n )/2 < 3 n.

18 Conjuntos de Dígitos Alternativos IV: Todo o inteiro n se pode escrever de forma única como combinação linear n = a a k + a 2 k 2 a 3 k a t ( k) t RepBaseNeg (n, k): i := while n do () a i := n (mod k) (2) n := (n a i ) / ( k) (3) i := i +

19 Conjuntos de Dígitos Alternativos IV: Sejam: n = n n i = (n i- a i- ) / ( k) Pelo algoritmo da divisão inteira temos: n i = q i+ k + a i fln i+ = (n i a i )/( k) = (q i+ k + a i a i )/( k) = q i+ fl a i = n i q i+ k = q i q i+ k

20 Conjuntos de Dígitos Alternativos IV: Ou seja, a = n q k a = q q 2 k a 2 = q 2 q 3 k a 3 = q 3 q 4 k... E portanto, a a k + a 2 k 2 a 3 k 3 + = (n q k) - k ( q q 2 k) + k 2 ( q 2 q 3 k) k 3 ( q 3 q 4 k) + = = n

21 Conjuntos de Dígitos Alternativos IV: RepBaseNeg (n, k): i := while n do () a i := n (mod k) (2) n := (n a i )/( k) n n = (n a i )/( k) n < n (3) i := i +

22 Conjuntos de Dígitos Alternativos IV: RepBaseNeg (n, k): i := while n do () a i := n (mod k) (2) n := (n a i ) / ( k) (3) i := i + Exemplo: k = 3; n = 5: a := 5 (mod 3) = 2 n := (5 2)/(-3) = - a := - (mod 3) = 2 n := (- 2)/(-3) = a 2 := (mod 3) = n := ( ) / (-3 ) = 5 =

23 Conjuntos de Dígitos Alternativos V: F = F = F n = F n- + F n-2 Cada inteiro pode ser representado de forma única como combinação linear a i œ {, }, a i a i+ =, " 2 i < r n = a 2 F 2 + a 3 F a r F r,

24 Conjuntos de Dígitos Alternativos V: a 2 F 2 + a 3 F a t F t < F t+ t se e só se a i a i+ =, 2 i < t, a i {, }. Suponhamos que existe i tal que a i a i+ =. Então, a 2 F 2 + a 3 F a i F i + a i+ F i+ F i + F i+ = F i+2 Reciprocamente, suponhamos que a i a i+ =, 2 i < t. () a 2 F 2 + a 3 F a t F t F 2 + F F t se t par ; (2) a 2 F 2 + a 3 F a t F t F 3 + F F t se t ímpar.

25 Conjunto de Dígitos Alternativos V: Exemplo: F 2 = F 3 = 2 F 4 = 3 F 5 = 5 F 6 = 8 F 7 = 3 n

26 Conjuntos de Dígitos Alternativos VI: Seja αœr \ Q. α = [a, a, a 2, ] = a + a + a 2 + Define se : p -2 = p - = p n = a n p n- + p n-2 q -2 = q - = q n = a n q n- + q n-2 p n /q n = [a, a, a 2,, a n ]

27 Conjuntos de Dígitos Alternativos VI: Seja α um número irracional e (q n ) n a sequência dos denominadores da sucessão de fracções que convergem para α. Então, todo o inteiro n não negativo pode ser representado de forma única como a seguinte soma: b q + b q + + b j q j, onde b i são inteiros que satisfazem: () b < a ; (2) b i a i+, para i (3) Para i, se b i = a i+, então, b i- =.

28 Conjuntos de Dígitos Alternativos VI: Exemplo: α = ( + 5 ) / 2 = [,,,, ]. q k = q k- + q k-2 q -2 = q - = () b < a ñ b < ñ b = fl b q + b q + + b j q j = b q + + b j q j (2) b i a i+ ñ b i ñ b i œ {, }. (3) i : (b i = a i+ fl b i- = ) ñ (b i = fl b i- = ) ñ b i b i+ =

29 Conjuntos de Dígitos Alternativos VII: Z[i] = { a + b i : a, b Z }, i = -. θ = d + e i θ = d 2 + e 2 Norma de θ N = (U, D, {e}» (D\{}) D* ), U = {, θ, θ 2, θ 3, } e D = {,, 2,, θ } N é perfeito se e só se θ = A ±, A Z.

30 Conjuntos de Dígitos Alternativos VII: Exemplo: θ = - + i = - A + i; θ = 2. α = i = e + f i. Seja c = e + A f = = 3. Tem se c + f θ = e + A f + f (- A + i) = e + f i = α Como θ A θ + A 2 = (θ + A) 2 = -, se c < ou f <, então: c (- c) (θ A θ + A 2 ) f (- f) (θ A θ + A 2 ) No nosso caso: α = θ.

31 Conjuntos de Dígitos Alternativos VII: Divide se o primeiro dígito por A 2 + = 2: 3 = (A 2 + ) + = 2 + A 2 + = (A ) 2 θ+ (2 A ) θ 2 + θ 3 3 = ((A ) 2 θ+ (2 A ) θ 2 + θ 3 ) + = + θ 2 + θ 3 α = + θ 2 + θ θ = + 4 θ + θ 2 + θ 3 = + θ (4 + θ + θ 2 )

32 Conjuntos de Dígitos Alternativos VII: E repete-se o processo para α =4 + θ + θ 2 4 = = 2 ((A ) 2 θ+ (2 A ) θ 2 + θ 3 ) = 2 θ θ 3 α = 2 θ θ 3 + θ + θ 2 = θ + 3 θ θ 3 = θ ( + 3 θ + 2 θ 2 ) α 2 = + 3 θ + 2 θ 2 = + θ ( θ) α 3 = θ = + θ ( 2 + θ + θ 2 ) α 4 = 2 + θ + θ 2 = θ ( + 2 θ + θ 2 ) α 5 = + 2 θ + θ 2 = + θ ( 2 + θ) α 6 = 2 + θ = θ + θ 2 + θ 3 α = + θ 2 + θ 3 + θ 5 + θ 7 + θ 8 + θ 9

33 Bibliografia: Jean-Paul Allouche & Jeffrey Shallit. Automatic Sequences Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press, 23.

34 Problemas em aberto Encontrar uma fórmula simples ou uma forma eficiente de calcular N n= 2 k ( n ) Podem todos os inteiros não múltiplos de 3 ser escritos na forma a/b, onde a e b têm representações na base 3 unicamente os dígitos e? s que usam

35 Um último desafio Será que existem inteiros a, b, c tais que: s ( a + b) < 5 s ( a + c) < 5 s ( b + c) < 5 s ( a + b + c) > 5