OFICINA DA PESQUISA. Prof. Msc. Carlos José Giudice dos Santos

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1 OFICINA DA PESQUISA DISCIPLINA: LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL APOSTILA 6 TEORIA DOS CONJUNTOS Prof. Msc. Carlos José Giudice dos Santos

2 TEORIA DE CONJUNTOS [1] A ideia básica de conjunto é tão ou mais antiga que a noção de número. Ainda hoje existem algumas tribos não contaminadas pela civilização em que essa noção que confunde conjunto com a noção de número é clara. A matemática desses povos é extremamente simples. Por exemplo, a noção de quantidade se resume a apenas três ordens de grandeza: um, dois e muitos. O conceito de conjunto e o de elemento de um conjunto são considerados conceitos primitivos, ou seja, não são definidos. Apesar disso, os matemáticos aceitam o fato de que um conjunto fica categorizado a partir do momento em que conhecemos seus elementos.

3 TEORIA DE CONJUNTOS [2] Partindo do pressuposto que podemos afirmar que um dado objeto ou ser faz ou não parte de um determinado conjunto, temos assim um conjunto formalmente caracterizado. Assim, só podemos trabalhar com conjuntos a partir do momento em que seus elementos também possuem características que nos permita reconhece-los. Um conjunto pode ser determinado de duas maneiras: 1. Pela designação de seus elementos; 2. Pela propriedade de seus elementos.

4 TEORIA DE CONJUNTOS [3] Por exemplo, um conjunto determinado pela designação de seus elementos é aquele em que indicamos os elementos do conjunto, escrevendo eles entre chaves. Assim, o conjunto das vogais de nosso alfabeto pode ser designado pelo conjunto A = {a, e, i, o, u} Já um conjunto designado pela propriedade de seus elementos pressupõe a existência de uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, possuem. Assim, o conjunto {6, 7, 8, 9, 10,...} pode ser designado como um conjunto B = {x x é natural e x > 10}.

5 TEORIA DE CONJUNTOS [4]

6 CONJUNTOS NUMÉRICOS A utilização de conjuntos numéricos surgiu da necessidade de representar quantidades. Ao longo da história, surgiram necessidades como a de ordenar ou contar um certo número de objetos em diversas culturas (babilônica, romana, chinesa e indo-arábica). O sistema de numeração utilizado por nós hoje é derivado do sistema indo-arábico, que embora tenha sido inventado há cerca de 5 mil anos, só foi formalmente introduzido na Europa no século XIII. O primeiro conjunto numérico derivado dessa representação é o conjunto dos números naturais.

7 Conjunto dos Números Naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra N = {0, 1, 2, 3, 4,...} É um conjunto infinito e ordenado, ou seja, dados dois números naturais quaisquer, é sempre possível dizer se são iguais ou se um deles é maior ou menor que o outro. A partir do conjunto N, podemos definir o conjunto N*, como o conjunto dos números naturais não nulos. Assim: N* = {1, 2, 3, 4,...}

8 Conjunto dos Números Inteiros Relativos [1] A primeira vez que se pediu para que alguém desse o resultado da operação 1 2, não foi possível encontrar uma resposta. A solução desse problema ficou sem resposta por um bom tempo porque a subtração de dois números naturais (a-b) só era admitida quando a b. Para resolver situações desse tipo foi criado o conjunto dos números inteiros relativos, em que qualquer número negativo é menor que zero ou qualquer outro número positivo. Esse é o conjunto conhecido como Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

9 Conjunto dos Números Inteiros Relativos [2]

10 Conjunto dos Números Racionais

11 Conjunto dos Números Irracionais

12 Conjunto dos Números Reais Quando falamos em números reais, estamos falando em todos os números vistos até aqui, ou seja, o conjunto, o conjunto R dos números reais abrange o conjunto Q dos números racionais e o conjunto I rac dos números irracionais. R = Q + I rac ou R = Q U I rac. Além do conjunto dos números reais, existe ainda o conjunto dos números complexos (Conjunto C), em que R é um subconjunto de C. Todo número complexo é formado por uma par ordenado (a, b), que equivale ao valor a + b.i, em que a R e b R. No segundo termo, i é a unidade imaginária, que equivale a 1.

13 Relação entre conjuntos e seus elementos

14 Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos. Assim, os conjuntos A e B são iguais, ou A = B, se, e somente se, x(x A x B) Exemplos: Seja A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3} A = B Seja C = {a, b, c, d, e} e D = {a, b, c} A B

15 Conjunto Universo O conjunto universo U é o conjunto com todos os elementos que precisamos para trabalhar. Exemplos: Podemos definir o conjunto dos animais de um zoológico como o nosso conjunto U (Universo). Nesse caso, as espécies de aves desse zoológico seria um subconjunto de U. Podemos definir o conjunto de todos os alunos dessa faculdade como o nosso conjunto U. Nesse caso, os alunos de cada sala de aula seriam os subconjuntos de U.

16 Diagramas de Venn Seja U o conjunto de todas as letras do alfabeto. Nesse caso, as vogais seriam um subconjunto de U. Podemos usar a representação gráfica (Diagrama de Venn) para ilustrar essa situação.

17 Exemplos [1] A é um subconjunto de B, denotado por A B, se, e somente se, x(x A x B). Por exemplo: {1, 2} é um subconjunto de {1, 2, 3, 4}. {1, 2, 3, 4} é um subconjunto de {1, 2, 3, 4}.

18 Exemplos [2] Se A BeA B, então podemos dizer que A é um subconjunto próprio de B, denotado por A B. Formalmente: x(x A x B) x(x B x / A). Por exemplo: {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3, 4}. {1, 2, 3, 4} não é um subconjunto próprio de {1, 2, 3, 4}.

19 União de Conjuntos A união de 2 conjuntos A e B é o conjunto que contém elementos que pertençam à A ou B (ou ambos). A B={x x A x B} Exemplo 1: {1, 2, 3} {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Exemplo 2: {1, 2, 3} {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

20 Interseção de Conjuntos A interseção de 2 conjuntos A e B é o conjunto que contém elementos que pertençam tanto à A quanto à B. A B={x (x A) (x B)} Exemplo 1: {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5} = {2, 3} Exemplo 2: {1, 2, 3} {1, 4, 5, 6} = {1}

21 Conjuntos Disjuntos Dois conjuntos A e B são disjuntos se a interseção entre eles é vazia. Exemplo: {1, 2, 3, 4} e {5, 6, 7, 8, 9, 10} são disjuntos.

22 Diferença de Conjuntos A diferença de A e B (ou o complemento de A em relação à B) é o conjunto que contém elementos de A que não estão em B. Formalmente: A B = {x x A x / B} Exemplo: {1, 2, 3, 4} {2, 3} = {1, 4}

23 Identidades de Conjuntos [1]

24 Identidades de Conjuntos [2]

25 Exercício de Fixação [1] Dado um grupo de N alunos que estão estudando para fazer um concurso, sabe-se que: 20 alunos fazem um curso preparatório 35 alunos assistem vídeo-aulas no Youtube 10 alunos fazem curso preparatório e assistem vídeoaulas no Youtube. 5 alunos estudam sozinhos Qual é o número de alunos desse grupo?

26 Resolução do Exercício de Fixação [1] Seja A o conjunto de alunos que fazem o curso preparatório, e B o conjunto de alunos que fazem vídeoaulas no Youtube. Usando o diagrama de Venn, temos:

27 Exercício de Fixação [2] Uma pesquisa de mercado com 200 clientes que fizeram degustação e compraram três tipos de queijos raros (A, B e C) revelou as seguintes informações: 10 clientes compraram apenas o queijo A; 20 clientes compraram apenas o queijo C; 90 clientes compraram o queijo A; 20 clientes compraram o queijo A e B; 25 clientes compraram o queijo B e C; 15 compraram os queijos A, B e C Quantas unidades de cada tipo de queijo foram compradas pelos clientes?

28 Resolução do Exercício de Fixação [2] Usando o diagrama de Venn, temos:

29 Exercício Proposto [1]

30 Exercício Proposto [2]

31 Exercício Proposto [3] José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias de julho. José Carlos conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene obteve licença no escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a 25. Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as suas obrigações? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

32 Exercício Proposto [4] (UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é: a) exatamente 16 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18

33 Exercício Proposto [5] (PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

34 Exercício Proposto [6] (Concurso Bombeiros MG 2008) Considere que temos o conjunto A = {x Є U x satisfaz p}. Sobre A podemos afirmar: a) Se x Є U então x Є A b) Se x Aentão x U c) Se x não satisfaz p então x A d) U A e) Todas as afirmativas anteriores são falsas

35 Exercício Proposto [7] (Concurso PM Acre 2012) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5}, determine o conjunto A B. A) { } B) {1, 5} C) {5} D) {1} E) {2, 3}

36 Exercício Proposto [8] (Concurso PM Acre 2012) Considere o conjunto A = {1, 2, {3}} e assinale a alternativa que contém um subconjunto de A. A) {3} B) {1, 3} C) {2, 3} D) {4, {3}} E) {{3}}

37 Exercício Proposto [9] Ao final de um dia, foram feitas 100 denúncias de crimes contra os direitos humanos no site da Polícia Federal. Os crimes que podem ser denunciados são: [1] Tráfico de pessoas; [2] Exploração sexual; [3] Pornografia infantil. Após a análise de informações, constatou-se que: (A) 5 denúncias não correspondem a nenhum dos três crimes; (B) 5 denúncias correspondem aos três crimes juntos; (C) 30 denúncias correspondem apenas aos crimes [1] e [3] juntos, e 5 denúncias, aos crimes [2] e [3] juntos; (D) O número de denúncias exclusivas do crime [1] foi de 5, e de denúncias exclusivas do crime [2] foi de 20, e apenas desses dois crimes [1] e [2] juntos foi de 5; (E) O total de denúncias mais alto foi do crime [3], totalizando 65 denúncias, mas que podem estar associadas com ou outros dois tipos de crimes. Quantas foram as denúncias exclusivas do crime [3] (Pornografia infantil)?

38 Exercício Proposto [10] (Concurso PMSC 2011) Leia as afirmações a seguir: I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero. II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas. III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais. Assinale a única alternativa correta: a) Somente a assertiva II está correta. b) Somente a assertiva III está correta. c) Somente a assertiva I está correta. d) Somente as assertivas II e III estão corretas. e) Todas as assertivas são incorretas

39 Exercício Proposto [11] (Concurso PM Piauí 2009) Considerando o conjunto universo U = {2, 4, 6, 8, 10} e os conjuntos não-vazios A e B, subconjuntos de U, tais que B A, A U B = {6, 8, 10} e A B = {8}, pode-se afirmar, CORRETAMENTE, que A é: a) {6,8,10} b) {4,6} c) {4,6,8} d) {2,6,10} e) {6,8}

40 Exercício Proposto [12] (Concurso PM Piauí 2009) Dados os conjuntos: A = {x R/1 x<10} B = {x R/(x+1)(x-6) < 0} C = {z R/z² = 6z} O conjunto A (C B) é: a) (-1, 7) b) {3} (5, 7) c) {0, 3} d) (5, 7) e) [1, 6]

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