Conjuntos: Noções Básicas Parte I

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1 em 05/02/2011 Conjuntos: Noções Básicas Parte I Publicado por Newton de Góes Horta Apresenta as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo ( ), e é decorrência de três axiomas ou noções primitivas noções cuja verdade é de si evidente: a) Conjuntos A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto; Conjunto dos números inteiros pares; Conjunto dos dias da semana; Conjunto dos Presidentes da República do Brasil. b) Elemento Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim: V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima; 2, 4, 6 são elementos do segundo; Sábado, Domingo do terceiro; e FHC, Lula e Dilma do último. c) Pertinência entre elemento e conjunto Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence. Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos. Notação Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por: Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos: Representações de Conjuntos a) Extensão ou Enumeração Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Exemplos: Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana}; Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro}; Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

2 Observações: 1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez; 2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4}; 3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, }; 4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3,, 100}. b) Propriedade dos Elementos Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente: A = {x x tem a Propriedade P} e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que ( ) x tem a propriedade P. Exemplos: A = {x x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006}; B = {x x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. (Último exemplo do item a) acima); C = {x x é um deputado federal eleito em 2006}. c) Diagrama de Euler-Venn Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto. Conjunto Unitário e Conjunto Vazio Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø). O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa. Exemplos de Conjuntos Unitários: Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro}; Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11}; Conjunto das vogais da palavra blog: {o}. Exemplos de Conjuntos Vazios: {x x > 0 e x < 0} = Ø; Conjunto dos meses com mais de 31 dias; {x x 2 = -1 e x é um número real} = Ø. Conjunto Universo É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U. Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados

3 federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura. Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo: ou Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A: Observações: 1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa para todo ; 2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos; 3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}. Subconjunto Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e somente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B: onde a notação significa A é subconjunto de B ou A está contido em B ou A é parte de B. A leitura da notação no sentido inverso é feita como B contém A. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionada para o conjunto maior. Na forma de diagrama é representado como: Exemplos: ; ; ;, onde significa não está contido, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo. Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que: Propriedades da Inclusão Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

4 1. : O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; 2. : Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva); 3. : veja acima (propriedade Anti-Simétrica); 4. : Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva). Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira: Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira. Conjunto das Partes Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E P(E) o conjunto formado por todos os subconjuntos de E: Exemplos: ;. ; Observações: 1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos; 2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido); 3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A); 4. Se definirmos n(e) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(p(e)) = 2 n(e). A propriedade é válida para conjuntos finitos; 5. Veja nos exemplos: n(a) = 3 e n(p(a)) = 8 = 2 3 ; n(b) = 2 e n(p(b)) = 4 = 2 2 e n(c) = 1 e n(p(c)) = 2 = 2 1. A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente. Referências 1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977; 2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001

5 Conjuntos: Operações Parte II Publicado por Newton de Góes Horta Em seqüência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos. Reunião ou União Consideremos os dois conjuntos: A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e} Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é: C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e} Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se: A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e} Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos. Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: Exemplos: A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições x pertence A ou x pertence a B é verdadeira. Desse fato decorre que: Propriedades da União Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades: 1. Idempotência:. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A; 2. Comutativa: ; 3. Elemento Neutro: = A. O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos; 4. Associativa:. Demonstração da propriedade comutativa: Da definição da união de conjuntos temos:

6 Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira. Intersecção Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral. Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido: Exemplos: Da definição de intersecção resulta que: Os fatos acima nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja: Propriedades da Intersecção Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades: 1. Idempotência: ; 2. Comutativa: ; 3. Elemento Neutro:. O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos: 4. Associativa: Demonstração da propriedade associativa: O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição): p q r onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que: p q r

7 Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio. Propriedades da União e Intersecção Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos: Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união. Diferença Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Exemplos: {a, b, c} {a, c, d, e, f} = {b} {a, b} {e, f, g, h, i} = {a, b} {a, b} {a, b, c, d, e} = Ø Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro. Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama. Complementar de B em A Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A B, e indicamos como:

8 Exemplos: A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A B = {c, d, e, f} A = B = {1} => complementar: A B = Ø Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A). Propriedades da Complementação Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir: Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas. Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que: Referências 1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977; 2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001

9 Conjuntos Numéricos Publicado por Newton de Góes Horta A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades. E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar. Conjunto dos Números Naturais Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3,, ou seja: N = {0; 1; 2; 3; } Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*. Observações: Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação; Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação; Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produtos Notáveis para maiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para N; Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não existe em N. Como conseqüência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade. Conjunto dos Números Inteiros Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto: Z = {, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los: 1. Conjunto dos inteiros não negativos: Z + = {0; 1; 2; 3; }; 2. Conjunto dos inteiros não positivos: Z - = { ; -3; -2; -1; 0}; 3. Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {, -3; -2; -1; 1; 2; 3; }; 4. Conjunto dos inteiros positivos Z + * = {1; 2; 3; }; 5. Conjunto dos inteiros negativos Z - * = { ; -3; -2; -1}. Note que Z + = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z. Observações:

10 No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0; Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z; Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z; Por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números inteiros; Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b simbolizado por b a se existe um inteiro c tal que b = ca; Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento; Cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa; Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: x = x se x >= 0 e x = -x se x < 0, para todo xpertencente a Z. Como decorrência da definição temos que x >= 0 para qualquer número inteiro. Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero: Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para os conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q + (conjunto dos números racionais não negativos) e Q - (conjunto dos números racionais não positivos). Observações: São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros; Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1; Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q; Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333 ). Números Irracionais Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero. São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q. A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

11 Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero: Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que: Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo, pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e, portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1. Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática. Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais: R = {x x é racional ou x é irracional} Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R. Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R + = conjunto dos reais não negativos e R - = conjunto dos reais não positivos. Conjunto dos Números Complexos O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que R está contido em C. Referências: 1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Lezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977; 2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

12 Questionário Conjuntos Publicado por Newton de Góes Horta 1. Determinar o conjunto X tal que: 1. {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e} 2. {c,d} U X = {a,c,d,e} 3. {b,c,d- X =,c- i. {a,b} ii. {a,c,e} iii. {b,d,e) iv. {c,d,e} v. {a,b,c,d} Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos 2. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam a língua inglesa, 163 estudam a língua francesa e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam a língua inglesa ou francesa? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? i. 384 e 52 ii. 332 e 31 iii. 332 e 83 iv. 384 e 83 v. Nenhuma das respostas anteriores 3. Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que: n(x U Y) = n(x) + n(y) - n(x Y) *1+ é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, onde a notação n(z) representa a quantidade de elementos do conjunto Z, então n(a U B U C) é igual a: i. n(a) + n(b) + n(c) - n(a B C) ii. n(a) + n(b) + n(c) - n(a B) - n(b C) - n(c A) - n(a B C) iii. n(a) + n(b) + n(c) + n(a B C) iv. n(a) + n(b) + n(c) - n(a B) - n(b C) - n(c A) + n(a B C) v. Nenhuma das respostas anteriores 4. (PUC-76) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então: i. A B tem no máximo 1 elemento ii. A U C tem no máximo 5 elementos iii. (A B) C tem no máximo 2 elementos iv. (A U B) C tem no máximo 2 elementos v. A Ø tem pelo menos dois elementos 5. (CESGRANRIO-77) A interseção dos três conjuntos é: i. N ii. Ø iii. Q iv. R v. Z R C, (N Z) U Q e N U (Z Q)

13 6. (CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto é: 1. {a,b,c,e} 2. {a,c,e} 3. A 4. {b,d,e} 5. {b,c,d,e} (A - C) U (C - B) U (A B C) 7. (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1,2,-1,0,4,3,5} e B = {-1,4,2,0,5,7} assinale a afirmação verdadeira: 1. A U B = {2,4,0,-1} 2. A (B - A) = Ø 3. A B = {-1,4,2,0,5,7,3} 4. (A U B) A = {-1,0} 5. Nenhuma das respostas anteriores

14 Relações Publicado por Newton de Góes Horta René Descartes (31 de Março de 1596, La Haye en Touraine, França 11 de Fevereiro de 1650, Estocolmo, Suécia), também conhecido como Cartesius, foi um filósofo, um físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo pelo seu trabalho revolucionário da Filosofia, tendo também sido famoso por ser o inventor do sistema de coordenadas cartesiano, 1637, que influenciou o desenvolvimento do Cálculo moderno. Note que com essa invenção Descartes mostrou como traduzir problemas de geometria para a álgebra. Visite a Wikipédia, de onde o trecho acima foi extraído, para saber mais sobre René Descartes. Em linhas gerais, um sistema de coordenadas cartesiano consiste de um esquema que permite especificar pontos em um determinado espaço com n-dimensões. Assim, por exemplo, a reta corresponde à dimensão 1 (n = 1), o plano à dimensão 2 e o espaço à dimensão 3. Um ponto qualquer em uma reta orientada ou eixo orientado x, com origem O, o centro das coordenadas e que corresponde ao valor 0 (zero), é representado por um número real. Se positivo estará localizado à direita e se negativo à esquerda de O. Para o assunto a ser tratado é necessário começar pela definição a seguir. Plano Cartesiano O plano cartesiano é definido por dois eixos orientados x e y as dimensões -, perpendiculares entre si, que se cruzam no ponto O, origem de ambos os eixos, conforme figura a seguir. Observações: O eixo x é denominado de eixo das abscissas ou eixo Ox; O eixo y é denominado de eixo das ordenadas ou eixo Oy; Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes (I, II, III e IV na figura); Cada ponto P do plano cartesiano é identificado por dois números reais x e y e é representado na forma de um par ordenado (x,y), também chamado de coordenadas do ponto P, onde x é a abscissa e y a ordenada; Um ponto P é obtido por meio do encontro das perpendiculares aos eixos Ox e Oy traçadas a partir de sua abscissa e de sua ordenada. Veja na figura a representação do ponto P = (2,3); A origem O é representada pelo par ordenado (0,0); Os pontos do quadrante I são representados pelos pares ordenados (x, y) em que x e y são positivos; E os do quadrante II pelos pares ordenados (x, y) em que x < 0 e y > 0; Os do quadrante III pelos pares ordenados (x, y) em que x e y são negativos; Os pontos do quadrante IV são representados pelos pares ordenados (x, y) em que x > 0 e y < 0; Um par ordenado (a, b) é igual a outro par ordenado (c, d) se, e somente se, a = c e b = d; Em um par ordenado (a, b), se a é diferente de b, então (a, b) é diferente do par ordenado (b, a). Determine, por exemplo, no plano cartesiano os pontos P = (1, 2) e Q = (2, 1) para comprovar a afirmação; De forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada ponto é representado por um único par ordenado (a, b), a e b números reais. A recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (a,b) representa um único ponto no plano cartesiano; E, por fim, o plano cartesiano é obtido associando-se a cada um dos eixos o conjunto dos números reais. y 2º Q (-, +) P = (2, 3) 1º Q Q = (3, 2) (+, +) O x 3º Q 4º Q (-, -) (+, -)

15 Produto Cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Definimos como produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos os pares ordenados (a,b) em que a pertence a A e b pertence a B: Observações: A x B = {(a,b) a Ɛ A e b Ɛ B} O símbolo A x B lê-se A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B ; Se o conjunto A é diferente do conjunto B, A e B diferentes do conjunto vazio, então A x B é diferente de B x A, veja exemplo abaixo; A x ø = ø, ø x A = ø e ø x ø = ø; Se A ou B é infinito e nenhum deles for vazio, então A x B é infinito; A x A pode ser também representado por A 2, que se lê A dois ; Se A e B são finitos e A tem m elementos e B tem n elementos, então A x B tem m.n elementos: n(a x B) = n(a).n(b) = m.n. Exemplo extraído do livro Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 01, Conjuntos e Funções ver referências no final: Se A = {1,2,3} e B = {1,2} então: e A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)} B x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} cujas representações no plano cartesiano são as seguintes: Relação Binária Dados dois conjunto A e B não vazios, chama-se relação R, ou mais simplesmente relação binária, de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Uma relação R de A em B é representada pelo símbolo R: A -> B: Exemplo: R: A -> B <=> R C A x B Se A = {1,5} e B = {3,4,6}, então A x B = {(1,3), (1,4), (1,6), (5,3), (5,4), (5,6)}. Logo: R = {(1,3), (1,6), (5,4)} S = {(5.4)} T = {(1,3), (1,4), (5,3), (5,6)} são relações de A em B, uma vez que R, S e T são subconjuntos de A x B. As relações que estabelecem uma condição matemática para que um determinado par ordenado (x,y) pertença à uma relação são de grande importância. Vejamos alguns exemplos para ilustrar o fato. Se A = {1,3,4} e B = {2,4}, então A x B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4)}. São relações de A em B:

16 a) R = {(x,y) Ɛ A x B x = y} = {(4,4)} b) S = {(x,y) Ɛ A x B x/y Ɛ Z} = {(4,2), (4,4)} c) T = {(x,y) Ɛ A x B y x = 1} = {(1,2), (3,4)} Domínio e Imagem Seja R uma relação de A em B. 1. Chama-se domínio de R, e denotamos por D(R), o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Ou, alternativamente, o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B. 2. Chama-se imagem de R, e denotamos por Im(R), o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Com base no exemplo anterior, temos: a) D(R) = {4} e Im(R) = {4} b) D(S) = {4} e Im(S) = {2,4} c) D(T) = {1,3} e Im(T) = {2,4} Referências Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977; Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001