Lógica de Predicados
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- Igor Covalski
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1 Lógica de Predicados
2 Conteúdo Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Quantificadores Agrupados Negando expressões com quantificadores Agrupados
3 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) ( x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x))
4 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) ( x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) Isso nos mostra o conceito de variável ligada
5 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) ( x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) E o conceito de escopo de uma variável
6 Variável Ligada x (x+y = 1) x é ligada Quando um quantificador é usado na variável x, dizemos que essa ocorrência da variável é ligada.
7 Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Uma ocorrência de uma variável que não é ligada por um quantificador ou não representa um conjunto de valores particulares é chamada de variável livre (y).
8 Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Não é uma proposição, pois y é variável livre Todas as variáveis que ocorrem em um função proposicional devem ser ligadas ou devem representar um conjunto de valores particulares para ser uma proposição.
9 Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x) Escopo não se sobrepõe. Escopo Escopo É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.
10 Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v y R(y) Escopo Escopo Escopo não se sobrepõe. Pode ser y ao invés de x. É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado. Uma variável é livre se não está sob o escopo de algum quantificador.
11 Dúvidas!!! Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada e Escopo????
12 Predicados com duas variáveis Dados os conjuntos A={ -2,0,1,2} B={-1,0,3} Determinar o conjunto verdade de P(x,y)= x+y < 1 x A e y B
13 Predicados com duas variáveis Dados os conjuntos A={ -2,0,1,2} B={-1,0,3} Determinar o conjunto verdade de P(x,y)= x+y < 1 x A e y B CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}
14 Refrescar a Mente!!! Todo estudante da classe visitou Canadá ou México!!!
15 Predicados com duas variáveis Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio: {estudantes desta classe} V(x,y) = x visitou o país y x (V(x,México) v V(x,Canadá))
16 Quantificadores Agrupados Dois quantificadores são agrupados se um está no escopo do outro. x y (x+y = 0)
17 Quantificadores Agrupados Dois quantificadores são agrupados se um está no escopo do outro. x y (x+y = 0) x Q(x) onde Tudo que está no escopo pode ser considerado uma função proposicional Q(x) = yp(x,y) P(x,y) = (x+y = 0)
18 Quantificadores Agrupados Dois quantificadores são agrupados se um está no escopo do outro. x y (x+y = 0) É difícil de se x Q(x) onde entender!!!! Q(x) = yp(x,y) P(x,y) = (x+y = 0)
19 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) 1 2 a b c a b c = V = V = V = V = V = V Todas as combinações devem ser verdadeiras 3 a b c = V = V = V
20 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) 1 2 a b c a b c =? =? =? =? =? =? Pelo menos um de cada deve ser verdadeiro 3 a b c =? =? =?
21 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) a b c a b c a b c = V = V = V =? =? =? =? =? =? Em um grupo tem que dar tudo Verdade
22 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) a b c a b c a b c = V =? =? =? =? =? =? =? =? Basta que um resultado seja Verdade
23 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que todos sejam iguais ( ou ).
24 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} y x Q(x,y) Falso ou Verdadeiro?
25 Pensando... x,y R y x(x+y = 0) Existe um número real y para todo numero real x = V = F = F = F = V = F = F = F = V Deveria ser o mesmo y para todo x
26 Pensando... x,y R y x(x+y = 0) = V = F = F = F = V = F Deveria ser o mesmo y para todo x, logo é = F = F = V FALSO
27 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} y x Q(x,y) Falso!!!! x y Q(x,y) Falso ou Verdadeiro?
28 Pensando... x,y R x y(x+y = 0) = V = F = F = F = V = F Sempre tem um V no conjunto logo é = F = F = V
29 Pensando... x,y R x y(x+y = 0) = V = F = F = F = V = F Sempre tem um V no conjunto logo é = F = F = V Verdade
30 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} y x Q(x,y) Falso!!!! x y Q(x,y) ENTÃO... A ORDEM IMPORTA!!! Verdadeiro!!!
31 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} Podemos ter quantificações com mais de duas variáveis!!! y x Q(x,y) Falso!!!! x y Q(x,y) Verdadeiro!!!
32 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z +
33 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z + x y (x+y > 0)
34 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z + x y (x+y > 0) Domínio = Z
35 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z + x y (x+y > 0) Domínio = Z x y (((x>0)^(y>0)) (x+y > 0))
36 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y
37 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y?????????
38 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y (F(x) ^ P(x))????
39 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y (F(x) ^ P(x)) M(x,y) e os quantificadores?
40 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y x((f(x) ^ P(x)) M(x,y)) Todas as pessoas que são do sexo feminino e tem filhos.
41 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y Para todos os x s existe um y. x((f(x) ^ P(x)) ym(x,y))
42 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y Podemos por do lado de fora x y ((F(x) ^ P(x)) M(x,y))
43 Negando Quantificadores Agrupados Sentenças que envolvem quantificadores agrupados podem ser negados por aplicações sucessivas das regras de negação de sentenças com um único quantificador. Quais eram as regras?
44 Negando Quantificadores Agrupados Sentenças que envolvem quantificadores agrupados podem ser negados por aplicações sucessivas das regras de negação de sentenças com um único quantificador. ~ x P(x) x ~P(x) ~ x P(x) x ~P(x)
45 Negando Quantificadores Agrupados Sentenças que envolvem quantificadores agrupados podem ser negados por aplicações sucessivas das regras de negação de sentenças com um único quantificador. ~ x y (xy=1)
46 Negando Quantificadores Agrupados Sentenças que envolvem quantificadores agrupados podem ser negados por aplicações sucessivas das regras de negação de sentenças com um único quantificador. ~ x y (xy=1) x~ y (xy=1)
47 Negando Quantificadores Agrupados Sentenças que envolvem quantificadores agrupados podem ser negados por aplicações sucessivas das regras de negação de sentenças com um único quantificador. ~ x y (xy=1) x~ y (xy=1) x y ~(xy=1)
48 Negando Quantificadores Agrupados Sentenças que envolvem quantificadores agrupados podem ser negados por aplicações sucessivas das regras de negação de sentenças com um único quantificador. ~ x y (xy=1) x~ y (xy=1) x y ~(xy=1) x y (xy 1) Verdade?
49 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo
50 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Vamos construir primeiro a afirmação!!!!
51 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Quais predicados teremos que usar???
52 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Qual o conectivo??? P(w,f)???? Q(f,a)
53 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Qual o quantificador de w??? (P(w,f) ^ Q(f,a))
54 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Qual o quantificador de a??? w(p(w,f) ^ Q(f,a))
55 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Qual o quantificador de f??? w a(p(w,f) ^ Q(f,a))
56 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo w a f(p(w,f) ^ Q(f,a))
57 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Negando!!!!! ~ w a f (P(w,f) ^ Q(f,a))
58 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo De Morgan!!!!! ~ w a f (P(w,f) ^ Q(f,a))
59 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo De Morgan Novamente!!!!! w~ a f (P(w,f) ^ Q(f,a))
60 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo De Morgan Mais Uma Vez!!!!! w a ~ f (P(w,f) ^ Q(f,a))
61 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo Eita De Morgan!!!!! w a f ~ (P(w,f) ^ Q(f,a))
62 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Não existe uma mulher que já tenha tomado um avião em todas as linhas aéreas do mundo No Português!!!!! w a f (~ P(w,f) v ~ Q(f,a))
63 Negando Quantificadores Agrupados Exemplo: P(w,f) = w tomou o avião f Q(f,a) = f é um avião da linha a Domínio = {todas as mulheres} Para toda mulher existe uma linha aérea tal que, para todos os aviões, essa mulher não tomou esse avião ou esse avião não é dessa linha aérea w a f(~ P(w,f) v ~ Q(f,a))
64 Negando Quantificadores Agrupados
65 Traduzindo para o português É complicado!!!!
66 Traduzindo para o português 1o. Passo: Escrever por extenso o que os quantificadores e predicados da expressão significam.
67 Traduzindo para o português Exemplo: C(x) = x tem um computador F(x,y) = x e y são amigos Domínio(x,y)= {estudantes da sua escola} x(c(x) v y(c(y) ^F(x,y)))
68 Traduzindo para o português Exemplo: C(x) = x tem um computador F(x,y) = x e y são amigos Domínio(x,y)= {estudantes da sua escola} x(c(x) v y(c(y) ^F(x,y))) 1o. Passo: Escrever por extenso o que os quantificadores e predicados da expressão significam.
69 Traduzindo para o português Exemplo: C(x) = x tem um computador F(x,y) = x e y são amigos Domínio(x,y)= {estudantes da sua escola} x(c(x) v y(c(y) ^F(x,y))) Para todo estudante x da sua classe, x tem um computador ou existe um estudante y tal que y tem um computador e x e y são amigos!!!
70 Traduzindo para o português 2o. Passo: Expressar esse significado em uma sentença o mais simples possível Para todo estudante x da sua classe, x tem um computador ou existe um estudante y tal que y tem um computador e x e y são amigos!!! Todo estudante da sua classe tem um computador ou tem um amigo que tem uma computador!!!
71 Traduzindo para o português Podemos continuar???
72 Exercício F(x,y) = x e y são amigos Domínio (x,y,z) = estudantes da sua escola x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y z)) ~(F(y,z))) Traduzir para o português!!!!
73 Exercício F(x,y) = x e y são amigos Domínio (x,y,z) = estudantes da sua escola x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y z)) ~(F(y,z))) Se os estudantes x e y são amigos e os estudantes x e z são amigos e, ainda mais, se y e z não são o mesmo estudante, então y e z não são amigos.
74 Exercício F(x,y) = x e y são amigos Domínio (x,y,z) = estudantes da sua escola x y z((f(x,y)^f(x,z)^(y z)) ~(F(y,z))) Entenderam?! Se os estudantes x e y são amigos e os estudantes x e z são amigos e, ainda mais, se y e z não são o mesmo estudante, então y e z não são amigos.
75 Exercício F(x,y) = x e y são amigos Domínio (x,y,z) = estudantes da sua escola x y z((f(x,y)^f(x,z)^(y z)) ~(F(y,z))) Com os quantificadores!!! Existe um estudante tal que para todo estudante y e para todo estudante z diferente de y, se x e y são amigos e x e z são amigos então y e z não são amigos.
76 Exercício F(x,y) = x e y são amigos Domínio (x,y,z) = estudantes da sua escola x y z((f(x,y)^f(x,z)^(y z)) ~(F(y,z))) Simplificando!!! Existe um estudante tal que nenhum par de amigos seus é também amigos entre si.
77 Exercício F(x,y) = x e y são amigos Domínio (x,y,z) = estudantes da sua escola x y z((f(x,y)^f(x,z)^(y z)) ~(F(y,z))) Simplificando!!! Existe um estudante tal que nenhum par de amigos seus é também amigos entre si.!!! Meus amigos não são amigos uns dos outros!!!
78 Perguntas?!!
79 Exercícios Rosen pg 58 1 Rosen pg 59 9 a), b), c), d), e), f), i) 11 a), b) Rosen pg 61 exercício 26 Exercício 30
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