Apostila de Raciocínio Lógico Notas de Aula Professor Joselias 2010 LÓGICA

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1 LÓGICA eremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões. 1 LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSIÇÃO Chamaremos de proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 1 Exemplo a) O Lula é o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis não morreu. As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: O João é mais novo que o Pedro, ou podemos expressar também por O Pedro é mais velho que o João. Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: verdadeiro () ou falso (). 2 Exemplo: Se a proposição p = O Lula é o presidente do Brasil é verdadeira então representaremos o valor lógico da proposição p por AL(p) =. Se a proposição p = O Lula não é o presidente do Brasil é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por AL(p) =. Sendo assim a frase Parabéns! não é uma proposição, pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto também não serão proposições as seguintes expressões: Exclamações: Oh!, Que susto!. Interrogações: Tudo bem?, Que dia é hoje?, ocê é professor?. Imperativos: Seja um bom marido., Estude para concursos. Paradoxos: Esta sentença é falsa. Teremos dois princípios no caso das proposições:

2 1.2 PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira () ou falsa (), não podendo ter outro valor. 1.3 PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) O Lula é o presidente do Brasil. é uma proposição verdadeira. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. é uma proposição falsa. c) Elvis não morreu, é uma proposição falsa. As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C,... As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas) CONECTIOS Os conectivos serão representados da seguinte forma: corresponde a não (Alguns autores usam o símbolo ~, para representar a negação). corresponde a e (conjunção) corresponde a ou (disjunção) corresponde a se... então... (condicional) corresponde a...se e somente se... (bi-condicional) corresponde a... ou..., ou..., mas não ambos (disjunção exclusiva) Assim podemos ter: Negações: ~ (lê-se: não p) 3 Exemplo: Seja a proposição p = Lógica é difícil.

3 A proposição Lógica não é difícil poderá ser representada por ~. Conjunções: p q (lê-se: p e q) 4 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Trabalho e estudo Disjunções: p q (lê-se: p ou q) 5 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Trabalho ou estudo Condicionais: p q (lê-se: Se p então q) 6 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Se trabalho então estudo Bi-condicionais: p q (lê-se: p se e somente se q) 7 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Trabalho se e somente se estudo Disjunção exclusiva: p q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos) 8 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos Podemos usar parênteses para evitar ambigüidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente: (A prioridade mais alta) (A prioridade mais baixa)

4 2 - TABELA ERDADE O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo. a) Tabela verdade da negação ( p) (não p) Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: p p b) Tabela verdade da disjunção (p q) (p ou q) (ou p, ou q) A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: p q p q c) Tabela verdade da conjunção (p q) (p e q) A conjunção será verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela: p q p q

5 d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q) A condicional somente será falsa quando p for verdadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira. p q p q e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q) A bi-condicional será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso contrário será falsa. p q p q f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p q) A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa. p q p q

6 Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q: TABELA ERDADE p q p p q p q p q p q p q 9 Exemplo Sejam as proposições p e q, tal que: p = Corre q = O bicho pega Descrever as seguintes proposições abaixo: a) p b) p q c) p q d) p q e) p q f) p q : a) p = Não corre b) p q = Corre ou o bicho pega c) p q = Corre e o bicho pega d) p q = Se corre, então o bicho pega e) p q = Corre se e somente se o bicho pega f) p q = Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos

7 10 Exemplo Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo p q p q p q p q p q p q p q p q : p q p q p q p q p q p q p q p q 11 Exemplo Determinar o valor verdade da proposição R (P Q), sabendo-se que AL (P) =, AL (Q) = e AL (R) =. P Q R P Q R (P Q) Logo o AL(R (P Q)) = 12 Exemplo

8 (ST-2008) ilho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(c) ou errado(e). a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errado. A sentença não é proposição. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. Certo. A sentença A resposta branda acalma o coração irado é uma proposição simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, formando uma proposição simples. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Errado. A sentença Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade apresenta apenas o conetivo condicional. 13 Exemplo Sabendo que a proposição se A, então B é falsa, podemos concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa. e) A proposição A é sempre falsa. Teremos se verdade, então falso. Logo A é verdadeira e B é falsa. Resposta: B 3 - TAUTOLOGIA São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar

9 se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição composta. 14 Exemplo a) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. p p p p b) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. p p p c) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. p ( p) ( p) ( p) p d) A proposição (p q) ( p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. p q (p q) p ( p q) (p q) ( p q)

10 e) A proposição (p q) ( q p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. p q (p q) q p ( q p) (p q) ( q p) A tautologia (p q) ( q p) é conhecida como contra-positiva. f) A proposição (p q) ( p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. p q (p q) (p q) p q ( p q) (p q) ( p q) A tautologia (p q) ( p q) é conhecida como tautologia de Morgan. g) A proposição (p q) ( p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. p q (p q) (p q) p q ( p q) (p q) ( p q)

11 A tautologia (p q) ( p q) também é conhecida como tautologia de Morgan. h) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. p q (p q) (p q) q (p q) (p q) (p q) 3.1 LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS a) (p p) b) (p p) c) (p p) (Identidade) d) (p q) ( p q) e) (p q) ( q p) (Contra-positiva) f) (p q) ( p q) (Morgan) g) (p q) ( p q) (Morgan) h) ( p) p (Negação dupla) i) (p q) (p q) 4 - CONTRADIÇÕES São as proposições compostas sempre falsas, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição composta. 15 Exemplo A proposição (p p) é uma contradição, pois é sempre falsa para qualquer valor lógico da proposição p. p p p p

12 5 - CONTINGÊNCIA São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência. 16 Exemplo A proposição (p q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. p q q (p q) 17 Exemplo a) (p p) (p p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre verdadeira. b) (p p) (p p) é uma contradição, pois a proposição composta é sempre falsa. 18 Exemplo Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia é: a) se filosofamos, então filosofamos. b) se não filosofamos, então filosofamos. c) Lógica é fácil, mas é difícil. d) ele é feio, mas para mim é bonito. e) eu sempre falo mentira. A única proposição sempre verdadeira é se filosofamos, então filosofamos, pois é a tautologia (p p). Resposta: A

13 6 - EQUIALÊNCIA Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas possuem a mesma tabela-verdade. Para verificar se duas proposições são equivalentes devemos comparar as suas valorações. 19 Exemplo a) A proposição (p q) é equivalente a (q p). p q (p q) (q p) b) A proposição (p q) é equivalente a (q p). p q (p q) (q p) c) A proposição (p q) é equivalente a (q p). p q (p q) (q p).

14 d) A proposição (p q) é equivalente a ( p q). p q (p q) p ( p q) e) A proposição (p q) é equivalente a ( q p). A equivalência entre (p q) e ( q p) é chamada de contra-positiva. p q (p q) q p ( q p) f) A proposição (p q) é equivalente a ( p q). A equivalência entre (p q) e ( p q) é chamada de equivalência de Morgan. p q (p q) (p q) p q ( p q)

15 g) A proposição (p q) é equivalente a ( p q). A equivalência entre (p q) e ( p q) é chamada de equivalência de Morgan. p q (p q) (p q) p q ( p q) LISTA DE ALGUMAS EQUIALENCIAS COMUNS a) (p q) é equivalente a (q p) b) (p q) é equivalente a (q p) c) (p q) é equivalente a (q p) d) (p q) é equivalente a ( p q) e) (p q) é equivalente a ( q p) f) (p q) é equivalente a ( p q) g) (p q) é equivalente a ( p q) h) ( p) é equivalente a p i) (p q) é equivalente a (p q) 20 Exemplo Uma sentença lógica equivalente a Se Pedro é economista, então Luisa é solteira. é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. (Se Pedro é economista, então Luisa é solteira) ( p q ) é equivalente(contra-positiva) a ( q p ) (Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista) Resposta: E

16 21 Exemplo Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a ( p q) é a) (p q) b) ( p q) c) (p q) d) (p q) e) (~p q) (p q) é equivalente a ( p q) é a equivalência de Morgan. Resposta: A 22 Exemplo Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro (André é artista ou Bernardo não é engenheiro) A expressão acima é equivalente a: (Bernardo não é engenheiro ou André é artista) ( p q ) é equivalente a ( p q ) (Se Bernardo é engenheiro, então então André é artista) Resposta: D 23 Exemplo Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista (Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista) Resposta: A ( p q ) é equivalente a ( p q ) (Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista)

17 24 Exemplo (CESGRANRIO) A negação de não sabe matemática ou sabe português é: (A) não sabe matemática e sabe português. (B) não sabe matemática e não sabe português. (C) sabe matemática ou sabe português. (D) sabe matemática e não sabe português. (E) sabe matemática ou não sabe português. (não sabe matemática ou sabe português) é equivalente a (Morgan) (sabe matemática e não sabe português) Resposta: D 25 Exemplo A afirmação Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris é logicamente equivalente à afirmação: (A) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris. (B) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris. (C) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris. (D) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. (E) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris) Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris) Não é verdade que ( p q ) é equivalente a Não é verdade que ( p q ) é equivalente a Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris Resposta: D 26 Exemplo Dizer que João não é honesto ou José é alto é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se João é honesto, então José não é alto. b) se João não é honesto, então José é alto. c) se José é honesto, então João é alto d) se João não é alto, então José não é honesto e) se João é honesto, então José é alto. João não é honesto ou José é alto é equivalente a Se João é honesto então José é alto Resposta: E

18 27 Exemplo A negação de se correr, o bicho pega é: (A) corre ou o bicho pega. (B) corre e o bicho pega. (C) se não corre, bicho não pega (D) corre e o bicho não pega. (E) se o bicho pegar então corre. A negação de se correr, o bicho pega é corre e o bicho não pega Resposta: D 7 NÚMERO DE LINHAS DA TABELA ERDADE O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. 28 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma proposições simples possui 2 1 = 2 linhas. p 29 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas proposições simples possui 2 2 = 4 linhas. p q

19 30 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três proposições simples possui 2 3 = 8 linhas. p q r 7.1 NÚMERO DE PROPOSIÇÕES NÃO-EQUIALENTES O número de proposições não equivalentes, tabelas-verdade distintas, com n proposições simples é 2 2 n. 31 Exemplo O número de valorações, tabelas distintas, com uma proposição simples é p P 1 P 2 P 3 P 4 Observe que: P 1 é equivalente a (p p). P 2 é equivalente a p. P 3 é equivalente a p. P 4 é equivalente a (p p).

20 32 Exemplo O número de valorações, tabelas distintas, com duas proposições simples é p q P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 P 13 P 14 P 15 P PROPOSIÇÃO CONDICIONAL (p q) 8.1 CONDIÇÕES NECESSÁRIAS E SUICIENTES Na condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição consequente q é chamada de condição necessária para p. 33 Exemplo Sejam as proposições: p = João é paulista. q = João é brasileiro. Temos que a proposição (p q) representa a seguinte sentença: Se João é paulista, então João é brasileiro. Podemos dizer que a sentença João é paulista é condição suficiente para a sentença João é brasileiro. Por outro lado a sentença João é brasileiro é condição necessária para a sentença João é paulista. A proposição (p q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como segue: a) Se p, então q. b) Se p, q. c) q, se p d) p implica q. e) p acarreta q. f) p é suficiente para q.

21 g) q é necessário para p. h) p somente se q. i) p apenas se q. Apostila de Raciocínio Lógico Notas de Aula 34 Exemplo A sentença Se João é paulista, então João é brasileiro pode ser lida como: a) Se João é paulista, então João é brasileiro. b) Se João é paulista, é brasileiro. c) João é brasileiro, se é paulista. d) João ser paulista implica João ser brasileiro. e) João ser paulista acarreta João ser brasileiro. f) João ser paulista é suficiente para João ser brasileiro. g) João ser brasileiro é necessário para João ser paulista. h) João é paulista somente se é brasileiro. i) João é paulista apenas se é brasileiro. 8.2 RECÍPROCA, CONTRÁRIA E CONTRA-POSITIA Se p e q são proposições então: Recíproca Chamamos de recíproca de (p q) a proposição (q p). Contrária Chamamos de contrária de (p q) a proposição ( p q). Contra-positiva Chamamos de contra-positiva de (p q) a proposição ( q p). 35 Exemplo Considere a sentença condicional Se João é paulista, então João é brasileiro. Podemos dizer que: A recíproca é Se João é brasileiro então João é paulista. A contrária é Se João não é paulista então João não é brasileiro. A contra-positiva é Se João não é brasileiro então João não é paulista EQUIALÊNCIA DE (p q) Algumas equivalências da condicional surgem com muita freqüência, conforme listamos abaixo:

22 (p q) é equivalente a ( p q) (Se p então q) é equivalente a (não p ou q). 36 Exemplo A sentença Se João é paulista, então João é brasileiro é equivalente a João não é paulista ou João é brasileiro (p q) é equivalente a ( q p) (Se p então q) é equivalente a (Se não-q então não-p). (Contra-positiva) 37 Exemplo A sentença Se João é paulista, então João é brasileiro é equivalente a Se João não é brasileiro, então João não é paulista (p q) é equivalente a (p q) A negação de (Se p, então q) é (p e não-q) 38 Exemplo A negação da sentença Se João é paulista, então João é brasileiro é equivalente a João é paulista e João não é brasileiro. 9 BI-CONDICIONAL (IMPLICAÇÃO DUPLA) (p q) Na bi-condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de condição necessária e suficiente para p. 39 Exemplo Sejam as proposições: p = Estuda. q = Trabalha. Temos que a proposição (p q) representa a seguinte sentença: Estuda se e somente se trabalha. Podemos dizer que a sentença Estuda é condição necessária e suficiente para a sentença Trabalha. Por outro lado a sentença Trabalha é condição necessária e suficiente para a sentença Estuda. A proposição (p q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como segue: a) p se e somente se q.

23 b) p se e só se q. c) p é condição necessária e suficiente para q e p é equivalente a q 40 Exemplo A proposição Estuda se e somente se trabalha pode ser enunciada também das seguintes maneiras: a) Estuda se e somente se trabalha b) Estuda se e só se trabalha. c) Estudar é condição necessária e suficiente para trabalhar. d) Estudar é equivalente a trabalhar. 9.1 EQUIALÊNCIA DE (p q) Algumas equivalências da proposição (p q) são muito freqüentes (p q) é equivalente a (p q) (q p) Portanto (p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q então p). p) (p q) é equivalente a ( q p) (contra-positiva) Portanto (p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se não (p q) é equivalente a (q p) (recíproca) Portanto (p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p) (p q) é equivalente a ( p q) (contrária) Portanto (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se não q) (p q) é equivalente a (p q) Portanto a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se somente se não q).

24 10 DISJUNÇÃO EXCLUSIA (OU EXCLUSIO) p q A proposição p q representa a disjunção exclusiva (ou exclusivo), e significa ou p, ou q, mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta será quando ambos p e q forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela verdade: p q p q 41 Exemplo Sejam as proposições: p = Trabalho q = Estudo A proposição p q significa Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos EQUIALÊNCIA DE p q Entre as equivalências da proposição p q destacamos algumas das mais freqüentes: p q É EQUIALENTE A (p q) ( p q) Portanto (ou p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não-q) ou (não-p e q) (p q) É EQUIALENTE A p q Portanto a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (ou p ou q, mas não ambos).

25 11 - NEGAÇÃO (, ~) A proposição p representa a negação da proposição p. Se a proposição p é verdadeira então a proposição p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= Eu estudo é p = Eu não estudo. Negamos as proposições compostas conforme o quadro abaixo: PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO p p ( p) p (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) (p q ) (p q) (p q) (p q) p q 42 Exemplo A negação da sentença Eu trabalho é Eu não trabalho 43 Exemplo A negação da sentença Eu trabalho ou estudo é Eu não trabalho e não estudo 44 Exemplo A negação da sentença Eu trabalho e estudo é Eu não trabalho ou não estudo. 45 Exemplo A negação da sentença Se eu trabalho então estudo é Eu trabalho e não estudo. 46 Exemplo A negação da sentença Eu trabalho se e somente se estudo é Eu trabalho se somente se não estudo. 47 Exemplo A negação da sentença Eu trabalho se e somente se estudo é Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos.

26 12 - SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS GERAIS As proposições são declarações que podem ser verdadeiras ou falsas, mas não podem receber ambos valores. Portanto as sentenças abaixo são proposições: a) João é um médico. b) 10 é um número natural. c) > 20 Considere agora as seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributo verdadeiro ou falso: 1) X é um médico. 2) n é um número natural. 3) x + y >20 Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentenças abertas acima, teremos as proposições dos casos anteriores a, b e c respectivamente. Há outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial. Quantificador universal - Significa Para todo..., Qualquer que seja.... Quantificador Existencial - Significa Existe..., Há um.... Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas em proposições falsas ou verdadeiras, por exemplo: 48 Exemplo A sentença, n é um número natural é uma proposição verdadeira. 49 Exemplo A sentença " 100 " é uma proposição falsa. As proposições que utilizam quantificadores são chamadas de sentenças gerais.

27 12.1 NEGAÇÕES DE SENTENÇAS GERAIS Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x. A negações de algumas sentenças gerais podem ser da forma abaixo: ( x)( Px) é equivalente a ( x)( Px) ( x)( Px) é equivalente a ( x)( Px) ( x)( Px Qx) é equivalente a ( x)( Px Qx) ( x)( Px Qx) é equivalente a ( x)( Px Qx) ( x)( Px Qx) é equivalente a ( x)( Px Qx) 50 Exemplo Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições compostas quatro átomos é: a) 3 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposições simples é 2 n. Logo o número de linha será 2 4 =16 linhas. Resposta: E 51 Exemplo Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de três átomos é: a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256 O número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de n 2 proposições simples é 2 n. Logo o número de proposições não equivalentes de três átomo é Resposta: E = =.

28 52 Exemplo Sabe-se que se x > 4 então y = 2. Podemos daí concluir que: a) Se x < 4 então y 2. b) Se x 4 então y 2. c) Se y = 2 então x > 4. d) Se y 2 então x 4. e) Se y 2 então x < 4. x > 4 então y = 2 Resposta: D ( p q ) é equivalente(contra-positiva) a ( q p ) é equivalente Se y 2 então x 4 53 Exemplo A negação da proposição " x 3 y < 2" é: a) " x= 3 y 2" b) " x= 3 y > 2" c) " x= 3 y 2" d) " x 2 y < 3" e) " x 3 y < 2" Resposta: C ( x 3 y < 2) é equivalente a (Morgan) ( x = 3 y 2) Texto para os itens de 54 a 57. (TRT - CESPE): Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro () ou falso (), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.

29 54 Exemplo P Q é verdadeira. P Q Resposta: Certo. 55 Exemplo [( P Q) ( R S)] é verdadeira. [( ) ( )] [( ) ( )] [ ] Resposta: Errado. 56 Exemplo [P (Q S) ] ( [(R Q) (P S)] ) é verdadeira. [P (Q S) ] ( [(R Q) (P S)] ) [ ( ) ] ( [( ) ( )] ) [ ] ( [ ] ) ( ) Resposta: Errado.

30 57 Exemplo (P ( S)) (Q ( R)) é verdadeira. (P ( S)) (Q ( R)) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Resposta: Certo. 58 Exemplo (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposição passe a ser falsa: (A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. (B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. (D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. Pela relação de Morgan temos que a negação do ou transforma-se em e. Logo é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. Resposta: D 59 Exemplo A negação da proposição ( x)( y)( x+ y< 2 ( x 0 y< 0)) é: a) ( x)( y)( x+ y 2 ( x< 0 y 0)) b) ( x)( y)( x+ y < 2 ( x< 0 y 0)) c) ( x)( y)( x+ y < 2 ( x< 0 y 0)) d) ( x)( y)( x+ y 2 ( x 0 y 0)) e) ( x)( y)( x+ y 2 ( x< 0 y 0)) ( x)( y)( x+ y < 2 ( x 0 y < 0)) ( x) ( y)( x+ y < 2 ( x 0 y < 0))

31 Resposta: C Apostila de Raciocínio Lógico Notas de Aula ( x)( y) ( x+ y < 2 ( x 0 y < 0)) ( x)( y)( x+ y < 2 ( x 0 y < 0)) ( x)( y)( x+ y < 2 ( x < 0 y 0)) 13 - ARGUMENTO É um conjunto de proposições em que algumas delas implicam outra proposição. Chamaremos as proposições p 1, p 2, p 3,..., p n de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Representaremos os argumentos da seguinte maneira: p 1 p 2 p 3... p n 60 Exemplo Se chover então fico em casa. Choveu. ico em casa. 61 Exemplo Todas as mulheres são bonitas. Maria é mulher. Maria é bonita. q 62 Exemplo João ganha dinheiro ou João trabalha João ganha dinheiro. João não trabalha 13.1 ARGUMENTOS DEDUTIOS E INDUTIOS Os argumentos são divididos em dois grupos: Dedutivos e indutivos.

32 A noção de argumento dedutivo gera a idéias de transportar o geral ao particular, isto quer dizer que a conclusão apenas ratifica o conteúdo das premissas. 63 Exemplo O argumento abaixo é dedutivo, pois o conteúdo da conclusão é conseqüência apenas das premissas. Todas as mulheres são princesas. Todas as princesas são bonitas. Todas as mulheres são bonitas. A noção de argumento indutivo gera a idéia de transportar o particular para o geral, portanto a conclusão não é derivada apenas das premissas. 64 Exemplo O argumento abaixo é indutivo, pois o conteúdo da conclusão não é conseqüência apenas das premissas. Segunda-feira choveu. Terça-feira choveu. Quarta-feira choveu. Quinta-feira choveu. Amanhã vai chover. Para os argumentos dedutivos haverá uma classificação como válidos ou não válidos. Os argumentos dedutivos válidos são raciocínio corretos, e os não válidos são raciocínio incorretos. A classificação da validade não se aplica aos argumentos indutivos. á ã á Pelo princípio do terceiro-excluído temos que uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.

33 Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras implica que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. 65 Exemplo No exemplo 63 observamos não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. amos substituir mulheres, princesas e bonitas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos A é B. Todo B é C. Todo A é C 13.2 ARGUMENTOS DEDUTIOS ÁLIDOS Sabemos que a classificação de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores lógicos das proposições do argumento. Sabemos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. eremos agora alguns argumentos dedutivos válidos importantes Afirmação do antecedente(modus ponens) O argumento válido chamado de afirmação do antecedente possui a seguinte estrutura: Se p, então q. p q Ou Nesse argumento a afirmação da condição suficiente garante a conclusão da condição necessária.

34 66 Exemplo Se ama, então cuida. Ama. Cuida. 67 Exemplo Se é divisível por dois, então é par. É divisível por dois. É par Negação do consequente(modus tollens) O argumento válido chamado de negação do consequente possui a seguinte estrutura: q p Nesse argumento a negação da condição necessária garante a negação da condição suficiente. 68 Exemplo Se ama, então cuida. Não cuida. Não ama. 69 Exemplo Se é divisível por dois, então é par. Não é par. Não é divisível por dois Dilema Outro argumento válido é o dilema. Geralmente este argumento ocorre quando a escolha de algumas opções levam a algumas consequências, e nesse caso a conclusão será pelo menos uma das consequências.

35 p ou q. Se p então r. Se q então s. r ou s 70 Exemplo João estuda ou trabalha. Se João estudar será feliz. Se João trabalhar será rico. João será feliz ou rico ARGUMENTOS DEDUTIOS NÃO-ÁLIDOS Chamaremos de falácias aos argumentos com estruturas não válidas. Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão alácia da negação do antecedente Negando o antecedente em uma condicional não podemos obter conclusão, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da negação do antecedente possui a seguinte estrutura: 71 Exemplo Se ama, então cuida. Não ama. Não cuida. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não amar não garante que não cuida.

36 72 Exemplo Se chover, ficarei em casa. Não está chovendo Não ficarei em casa. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de está chovendo não garante se ficarei ou não em casa. 73 Exemplo Se eu for eleito, acabará a miséria. Não fui eleito. A miséria não acabará Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não ser eleito não implica que a miséria não acabará alácia da afirmação do consequente Afirmando o consequente em uma condicional não podemos obter conclusão sobre a afirmação do antecedente, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da afirmação do consequente possui a seguinte estrutura: q p 74 Exemplo Se ele ama, então cuida. Ele cuida. Ele ama. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de ele cuidar não garante que ele ama. 75 Exemplo Se chover, ficarei em casa. iquei em casa Choveu. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato ficar em casa não garante que choveu.

37 76 Exemplo Se eu for eleito, acabará a miséria. Acabou a miséria. ui eleito Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de acabar a miséria não implica que fui eleito PROPOSIÇÕES UNIERSAIS E PARTICULARES Podemos classificar algumas sentenças como proposições universais ou particulares. Nas proposições universais o predicado refere-se a totalidade do conjunto. 77 Exemplo Todas as mulheres são vaidosas é universal e simbolizamos por todo S é P. 78 Exemplo A mulher é sábia é universal e simbolizamos por todo S é P. Nas proposições particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. 79 Exemplo Algumas mulheres são vaidosas é particular e simbolizamos por algum S é P Proposições afirmativas e negativas As proposições podem ser classificas como afirmativas ou negativas. 80 Exemplo Nenhuma mulher é vaidosa é universal negativa e simbolizamos por nenhum S é P. 81 Exemplo Algumas mulheres não são vaidosas é particular negativa e simbolizamos por algum S não é P. Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos: Todo S é P, algum S é P, algum S não é P e nenhum S é P.

38 Silogismo categórico de forma típica O silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) será argumento formado por duas premissas e uma conclusão, tal que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). O silogismo categórico de forma típica apresenta os seguintes termos: Termo menor sujeito da conclusão. Termo maior predicado da conclusão. Termo médio é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor. 82 Exemplo Todos os brasileiros são alegres. Todos os alegres são felizes. Todos os brasileiros são felizes. Termo menor: os brasileiros Termo maior: felizes Termo médio: os alegres Premissa menor: Todos os brasileiros são alegres. Premissa maior: Todos os alegres são felizes.

39 15 DIAGRAMAS LÓGICOS a) Universal afirmativa (A) Todo S é P Observação: - A negação de Todo S é P é Algum S não é P. b) Universal negativa (E) Nenhum S é P Observação: - Nenhum S é P é equivalente a Nenhum P é S. - A negação de Nenhum S é P é Algum S é P. c) Particular Afirmativa (I) Algum S é P Observação: - Algum S é P é equivalente a Algum P é S. - Algum S é P é equivalente a Pelo menos um S é P. - A negação de Algum S é P é Nenhum S é P.

40 d) Particular negativa (O) Algum S não é P Observação: - A negação de Algum S não é P é Todo S é P. 83 Exemplo A negação da sentença Todas as crianças são levadas é: a) nenhuma criança é levada. b) existe pelo menos uma criança que não é levada. c) não existem crianças levadas. d) algumas crianças são levadas. e) existe pelo menos uma criança levada. A negação da sentença Todas as crianças são levadas é Algumas crianças não são levadas, que é equivalente a existe pelo menos uma criança que não é levada. Resposta B. 84 Exemplo A negação da proposição Todo A é B é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) nenhum A é B. c) algum B é A. d) nenhum B é A. e) algum A não é B. A negação da proposição Todo A é B é Algum A não é B. Resposta A. 85 Exemplo A negação da proposição Nenhum A é B é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) algum A não é B. c) algum B não é A. d) nenhum B é A. e) todo A é B. A negação da proposição Nenhum A é B é Algum A é B. Resposta A.

41 86 Exemplo A negação da proposição Todas as mulheres são bonitas é: a) Nenhuma mulher é bonita. b) Todos os homens são bonitos. c) Algumas mulheres são bonitas. d) Algumas mulheres não são bonitas. e) Todas as mulheres não são bonitas A negação da proposição Todas as mulheres são bonitas é Algumas mulheres não são bonitas. Resposta D. 87 Exemplo Para que a afirmativa Todo matemático é louco seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco. e) Algum matemático não seja louco. A negação de todos pode ser Algum..., Existe um..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmação Todo matemático é louco seja falsa basta que Algum matemático não seja louco. Resposta: E 88 Exemplo Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo: Assim concluímos que algum A é C. Resposta: C

42 89 Exemplo Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele é pobre mas me ama. b. Ele é rico mas é pão duro. c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e. Ele não me ama e não casa comigo. Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos: Ele me ama ele casa comigo () Ele casa comigo não vou trabalhar () ou trabalhar () Como a terceira premissa é verdadeira temos: Ele me ama ele casa comigo () Ele casa comigo não 14 vou trabalhar () ou trabalhar Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso, sendo assim temos que o antecedente(ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos: () Ele me ama ele casa comigo () Ele casa comigo não 14 vou trabalhar () ou trabalhar () Conseqüentemente obtemos: Ele me ama Ele casa comigo () Ele casa comigo ou trabalhar não 14vou trabalhar () Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(ele casa comigo) é falso, sendo assim temos que o antecedente(ele me ama) tem que ser falso. Logo temos: ()

43 Ele me ama Ele casa comigo () Ele casa comigo ou trabalhar não 14vou trabalhar () Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão as conclusões: ou trabalhar.() Ele não casa comigo.() Ele não me ama.() Resposta: E 90 Exemplo (ESA) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. () Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () Beto não é bondoso Homero é honesto () Observamos que todas as premissas são disjunções e nesse caso não temos uma proposição com o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma hipótese sobre alguma delas. Se a hipótese for correta encontraremos a resposta final, se não for correta chegaremos a um absurdo e nesse caso trocamos a hipótese e teremos a resposta. Suponhamos que a proposição Homero não é honesto é verdadeira. Então pela hipótese teremos: Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () Beto não é bondoso Homero é honesto ()

44 Como a última premissa é verdadeira temos que a proposição Beto não é bondoso tem que ser verdadeira. Então teremos: Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () Beto 1444 não 2é 4443 bondoso Homero é honesto () Como a terceira premissa é verdadeira temos que a proposição Júlio não é justo tem que ser verdadeira. Então teremos: Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () B eto não é bondoso Homero é honesto () Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposições são falsas e a premissa é verdadeira. Sendo assim nossa hipótese esta errada, isto é a proposição Homero não é honesto deve ser falsa. Mudando a nossa hipótese inicial teremos que a proposição Homero não é honesto é falsa. Sendo assim vamos refazer o exercício com a nova hipótese correta: Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () Beto não é bondoso Homero é honesto () Temos pela primeira premissa que Júlio é justo tem que ser verdadeira.

45 Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () Beto não é bondoso Homero é honesto () Temos pela primeira premissa que Beto é bondoso tem que ser verdadeira. Homero não é honesto Júlio é justo () Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso () Beto é bondoso Júlio não é justo () B eto não é bondoso Homero é honesto () Assim teremos as seguintes conclusões: Júlio é justo. Homero é honesto. Beto é bondoso. Resposta: C (CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira () ou falsa (), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição e, simbolizada usualmente por, então obtém-se a forma P Q, lida como P e Q e avaliada como se P e Q forem, caso contrário, é. Se a conexão for feita pela preposição ou, simbolizada usualmente por, então obtém-se a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como se P e Q forem, caso contrário, é. A negação de uma proposição é simbolizada por P, e avaliada como, se P for, e como, se P for. Um argumento é uma seqüência de proposições P 1, P 2,..., P n, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é sempre que P 1, P 2,..., P n forem, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue item abaixo. 91 Exemplo Considere as seguintes proposições: P: Mara trabalha e Q: Mara ganha dinheiro

46 Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro e Mara não trabalha, e a conclusão é Mara não ganha dinheiro. Argumento: P Q () P () Q Suponhamos que as premissas são verdadeiras, temos então: P Q () P () Q Temos que a proposição Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o argumento é NÃO ÁLIDO Resposta: Errado (CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras () ou falsas (), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração quando A é e B é, e tem valoração nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração quando A é, e tem valoração quando A é. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração apenas quando A e B são, nos demais casos tem valoração. Uma expressão da forma A B, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração apenas quando A e B são ; nos demais casos, é. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 92 Exemplo Uma expressão da forma (A B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações ou da proposição A B. Basta saber que (A B) é equivalente a (A B) Resposta: Correto. 93 Exemplo Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica e Mara não acertou na loteria sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição Ela não ficou rica é também verdadeira. Trata-se da falácia conhecida como negação do antecedente. Resposta: Errado.

47 94 Exemplo A proposição simbolizada por (A B) (B A) possui uma única valoração. amos fazer a tabela verdade de (A B) (B A) A B (A B) (B A) (A B) (B A) Resposta: Correto. 95 Exemplo Considere que a proposição Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição Sílvia ama Tadeu é verdadeira. Podemos ter a proposição verdadeira de modo que: Silvia ama Joaquim Silvia ama 4 Tadeu Resposta: Errada ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBLEMA DA CONTAGEM A análise combinatória surge como uma ferramenta eficiente para problemas de contagem, conforme os exemplos abaixo: - (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada entre salada verde, salpicão e mista, um prato principal cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana e uma sobremesa doce de leite ou pudim. Qual a quantidade de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente? - As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condições?

48 Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamos começar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge a análise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando assim a contagem PRINCÍPIO UNDAMENTAL DA CONTAGEM Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e, para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrência de B é m x n. 96 Exemplo (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada entre salada verde, salpicão e mista, um prato principal cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana e uma sobremesa doce de leite ou pudim. Qual a quantidade de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente? amos dividir a formação da refeição em três acontecimentos: Primeiro acontecimento: Escolher a salada 3 maneiras distintas. Segundo acontecimento: Escolher o prato principal 4 maneiras distintas. Terceiro acontecimento: Escolher a sobremesa 2 maneiras distintas. Aplicando o princípio fundamental da contagem teremos: 3 x 4 x 2 = 24 maneiras distintas de refeições completas. 97 Exemplo As chapas dos automóveis são formadas por três letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condições? Como as placas são formadas por três letras e quatro algarismos, vamos seguir a configuração abaixo, onde L representa uma letra escolhida no alfabeto de vinte e seis letras e N representa uma algarismo do sistema decimal. L L L N N N N Primeiro acontecimento: Escolher a primeira letra 26 maneiras distintas. Segundo acontecimento: Escolher a segunda letra 26 maneiras distintas.

49 Terceiro acontecimento: Escolher a terceira letra 26 maneiras distintas. Quarto acontecimento: Escolher o primeiro algarismo - 10 maneiras distintas. Quinto acontecimento: Escolher o segundo algarismo 10 maneiras distintas. Sexto acontecimento: Escolher o terceiro algarismo 10 maneiras distintas. Sétimo acontecimento: Escolher o quarto algarismo 10 maneiras distintas. Aplicando o princípio fundamental da contagem temos: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = placas. 98 Exemplo (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: a. 54 b. 56 c. 58 d. 60 e. 64 Com um algarismo temos 4 números. Com dois algarismos temos 4x3 = 12 números. Com três algarismos temos 4x3x2 = 24 números. Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 números. Logo o total de números com os algarismos distintos é 64. Resposta: E 99 Exemplo Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9? Seja o esquema: Observamos que os números m ser deve ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamos primeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares.

50 Regra: Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazêla em primeiro lugar Sendo assim, temos: Posição C - 2 possibilidades (algarismos 2, 6) Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números ATORIAL Seja n um número natural maior que um. Chamamos de n fatorial a: 100 Exemplo a) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 b) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 c) 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = Exemplo Simplificar: 10! 7! 10! ! = = = 720 7! 7! ARRANJOS SIMPLES Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p n. Chamamos de arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos de A. Como o subconjunto é ordenado, temos que os arranjos são distintos quanto a ordem. p Chamaremos de An ao número de arranjo de n objetos, p a p.