Lógica de Predicados ( 1.3)

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1 Lógica de Predicados ( 1.3) Podemos usar lógica proposicional para provar que certas inferências são válidas. Por exemplo, Se está frio então vai nevar. Assim: Se não nevar então não está frio Em lógica proposicional (fácil de verificar): c s. Então s c. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 64 Lógica de Predicados ( 1.3) Mas algumas inferências não podem se provadas pela lógica proposicional Algumas garotas são adoradas portodo mundo. Então: Todo mundo adora alguém Para inferências como esta, precisamos de uma lógica mais expressiva Tratamento para `algum e `todo 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 65

2 Lógica de Predicados ( 1.3) Lógica de Predicados é uma extensão da lógica proposicional que permite quantificação em classes de entidades. Lógica Propositional trata proposições simples (sentenças) como entidades atômicas. Por outro lado, lógica de predicados distingue o sujeito de uma sentença do seu predicado. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 66 Lógica de Predicados - Aplicações Uma das mais usadas notações formais para escrever definições, axiomas e teoremas matemáticos. Por exemplo, em álgebra linear, uma ordem parcial é introduzida dizendo que uma relação R é reflexiva e transitiva e estas noções são definidas usando lógica de predicados. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 67

3 Lógica de Predicados - Aplicações Base para provadores automáticos de teoremas e muitos sétemas de IA. E.g. verificação automática de programas. Setenças parecidas com a lógica de predicados são suportadas por algumas arquiteturas de consultas a Banco de Dados Mas existem problemas no uso desta lógica 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 68 Primeiro: Um pouco de gramática Na sentença O cão está dormindo : O sujeito da sentença é : o cão. O predicado é: está dormindo Uma propriedade do sujeito Lógica de predicados segue o mesmo padrão. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 69

4 Fórmulas da Lógica de Predicados Constantes que identificam indivíduos ou objetos: a,b,c, variáveis individuais sobre objetos: x, y, z, O resultado da aplicação de um predicado P a umaconstante a é a proposição P(a) Significando: o objeto denotado por a possui a propriedade denotada por P. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 70 Fórmulas da Lógica de Predicados (informal) O resultado da aplicação do predicado P à variável x é a proposição P(x). E.g. se P = é um número primo, então P(x) é a forma proposicional de x é um número primo. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 71

5 Predicados/relações com n argumentos Lógica de predicados generaliza a noção de predicado para permitir a inclusão de funções de qualquer número de argumentos. E.g., usando variáveis: Seja R(x,y,) = x ama y, então se x = Mário, y = Maria então R(x,y) = Márioa ama Maria Seja P(x,y,z) = x deu a y a nota z, então se x= Mário, y = Maria, z= 10, então P(x,y,z) = Mário deua a Maria a nota 10. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 72 Universo de Discurso (U.D.s) A força da distinção de objetos com predicados reside no fato de podermos afirmar coéas sobre vários objetos de uma única vez. E.g., Seja P(x)= x*2 x. Podemos dizer, Para qualquer número x, P(x) é true e não (0*2 0) (1*2 1) (2*2 2)... A coleção de valores que a variável x pode assumir é denominado universo de discurso de x. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 73

6 Universo de Discurso (U.D.s) E.g., seja P(x)= x*2 x. Para qualquer número x, P(x) é true é true quando U.D. = N Para qualquer número x, P(x) é true é false quando U.D. = Z 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 74 Expressões com Quantificadores Quantificadores fornecem uma notação que permite quantificar (contar) quantos objetos no U.D. satisfazem um dado predicado. é o quantificador universal Para todos. é o quantificador existencial, Existe um Por exemplo, x P(x) e x P(x) são proposições 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 75

7 Significado de Expressões com Quantificadores Primeiro informalmente: x P(x) significa para todo x no U.D., P se aplica. x P(x) significa existe um x no U.D. (que é, 1 ou mais) tal que P(x) é true. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 76 Exemplo: Seja x com U.D. estacionamentos do Brazil, e P(x) a propr. x está cheio. Então o quantificador existencial de P(x), x P(x), é a proposição dizendo que Algum estacionamento no Brasil está cheio. Existe um estacionamento no Brazil está cheio. Ao menos um estacionamento no Brazil está cheio. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 77

8 Exemplo: Seja x com U.D. estacionamentos do Brazil, e P(x) a propr. x está ocupado. O quantificador universal de P(x), xp(x), é a proposição: Todos os estacionamentos do Brazil estão ocupados. Para cada estacionamento do Brazil, o espaço está ocupado. Etc. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 78 Consequências da Posição Padrão Duas equivalências lógicas da Lógica de Predicados: x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) Abordamos isto novamente depois 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 79

9 Mesma Situação em Lógica Proposicional Valor verdade de p q quando p é Falso: F T T F T F Podemos dizer que: se p é falso então não é válido dizer que p implica q Ao invés disso, simplesmente dizemos que p implica q é True neste caso 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 80 Variáveis livres e restritas Diz-se que uma expressão como P(x) te uma variável livre x (significa que x é indefinida). Um quantificador ( ou ) opera em uma expressão possuindo uma ou mais variáveis livres, e restringe uma ou mais dessas variáveis, para produzir uma expressão que possua uma ou mais variáveis restritas. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 81

10 Exemplo de Restrição P(x,y) possui 2 variáveis livres, x e y. x P(x,y) possui 1 variável livre e uma variável restrita. [Qual?] Uma expressão com zero variáveis livres é uma proposição. Uma expressão com uma ou mais variáveis livres é similar a um predicado: e.g. Seja Q(y) = x Adora(x,y) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 82 Aninhamento de Quantificadores Exemplo: Seja o u.d. de x e y pessoas. Seja L(x,y)= x parece y (predicado com 2 VL) Então y L(x,y) = Existe alguem que se parece com x. (predicado com 1 VL, x) E x ( y L(x,y)) = Todo mundo tem alguém parecido. (proposição; sem variáveis livres) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 83

11 Mais Sobre Restrições x x P(x) - x não é uma VL em x P(x), assim a restrição x não está sendo usada. ( x P(x)) Q(x) - x está fora do escopo de x, sendo portanto uma VL. Não é uma proposição completa! ( x P(x)) ( x Q(x)) proposição completa sem quantificadores superflúos 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 84 LN é ambiguo! Todo mundo gosta de alguém. Para todo mundo, existe um alguém que ele(a) gosta, x y Likes(x,y) ou, existe alguem que gosta dele(a)? y x Likes(x,y) [Probably more likely.] Depende do contexto, da ênfase na frase 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 85

12 Sintaxe da Lógica de Predicados (Predicados com 1 ou 2 variáveis) Variável: x,y,z, Constantes: a,b,c, Predicados de uma variável: P,Q, Predicados de duas variáveis: R,S, Fórmulas atômicas: Se a é um predicado de uma variável e β é umavariávelouconstante, então a(β) é uma fórmula atômica. Se a é um predicado de duas variáveis e β e γ são variáveis ou constantes, então a(β,γ) é umafórmula atômica. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 86 Sintaxe da Lógica de Predicados (Predicados com 1 ou 2 variáveis) Fórmulas: Toda fórmula atômica é uma fórmula Se α e β são fórmulas então α, (α β), (α β), (α β) são fórmulas. Se ϕ é uma fórmula então x ϕ e y ϕ são fórmulas. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 87

13 Sintaxe da Lógica de Predicados (Predicados com 1 ou 2 variáveis) xp(x) yq(x) x y R(x,y) xp(b) P(x) é uma fórmula atômica, então xp(x) é uma fórmula Q(x) é uma fórmula atômica, então yq(x) é uma fórmula R(x,y) é uma fórmula atômica, então y R(x,y) é uma fórmula, então x y R(x,y) é uma fórmula P(b) é uma fórmula atômica, então xp(b) é uma fórmula 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 88 Sintaxe da Lógica de Predicados (Predicados com 1 ou 2 variáveis) Exemplos: xp(x) e yq(x), x( y R(x,y)), x( x R(x,y)), xp(b) etc. Alguns casos patológicos. Por exemplo, xp(b) étrue sss P(b) étrue um quantificadorque não restringe nenhuma variável pode ser ignorado 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 89

14 Considere xp(a) Relembrando a definição: Seja ϕ uma fórmula. Então xϕ é True se em D cada expressão ϕ(x:=a) é True em D, e False de outra maneira. xp(b) é True em D se cada expressão da forma P(b)(x:=a) é True em D, falsa de outra maneira. Qual é o conjunto de todas as expressões da forma P(b)(x:=a)? 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 90 Considere xp(a) Qual é o conjunto de todas as expressões da forma P(b)(x:=a)? O conjunto {P(b)}!, xp(b) é True em D se P(b) é True, e False otherwise. Assim, xp(b) significa P(b) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 91

15 Algumas formas resumidas As vezes o U.D. é restrito dentro do quantificador, e.g., x>0 P(x) é uma forma resumida para Para todo x maior que zero então, P(x). = x (x>0 P(x)) x>0 P(x) é uma forma resumida para Existe um x maior que zero tal que P(x). = x (x>0 P(x)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 92 Algumas formas resumidas Quantificadores consecutivos do mesmo tipo podem ser combinados: xyz P(x,y,z) def xyz P(x,y,z) def x y z P(x,y,z) x y z P(x,y,z) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 93

16 Avaliação de Quantificadores: Jogo Jogo para ajudar a definir quando uma proposição como quantificadores aninhados é True. Dois jogadores, ambos com mesmo conhecimento: Verificador: quer demonstrar que a proposição é True. Falsificador: quer demonstrar que a proposição é False. Regras: Leia os quantificadores da esquerda para a direita atribuindo os valores das variáveis. Quando encontrar, o falsificador pode escolher o valor. Quando encontrar, o verificador pode escolher o valor. Se o verificador sempre ganha, a proposição é True. Se o falsificador sempre ganha, a proposição é False. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 94 Exemplo!!!! Seja B(x,y) [aniversário de y acontece até um mês após o aniversário de x ] Suponha que : x y B(x,y) y B(so-and-so,y) E se eu mudar os quantificadores y x B(x,y)? Quem ganha?? 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 95

17 Leis de Equivalência de Quantificadores Expandindo quantificadores: u.d.=a,b,c, x P(x) P(a) P(b) P(c) x P(x) P(a) P(b) P(c) Assim podemos provar que: x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) Quais equivalências posso usar para provar isso? 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 96 Lembrete Em lógicaproposicional podiamos apenas construir fórmulas com tamanho finito. E.g., podemos escrever P(a) P(b) P(a) P(b) P(c) P(a) P(b) P(c) P(d), etc. Mas não conseguimos escrever que todos os números naturais tem uma certa propriedade P 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 97

18 Em lógica de predicados podemos afirmar isto facilmente: xp(x) Mas ainda gostariamos de ter lógica proposicional podendo escrever fórmulas de comprimento infinito. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 98 Mais Leis de Equivalência x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) Que tal esta? x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 99

19 Mais Leis de Equivalência Que tal esta? x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x))? Esta equivalência é falsa. Contra exemplo: P(x): aniversário de x é 30 de Abril Q(x): aniversário de x é 1 de agosto 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 100 Interações entre quantificadores e conectivos Seja u.d. estacionamentos no Brasil. Seja P(x) x está ocupado. Seja Q(x) x está gratuito. 1. x (Q(x) P(x)) 2. x (Q(x) P(x)) 3. x (Q(x) P(x)) 4. x (Q(x) P(x)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 101

20 I. Construa frases em LN Seja u.d. estacionamentos no Brasil. Seja P(x) x está ocupado. Seja Q(x) x está gratuito. 1. x (Q(x) P(x)) 2. x (Q(x) P(x)) 3. x (Q(x) P(x)) 4. x (Q(x) P(x)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 102 I. Construa frases em LN 1. x (Q(x) P(x)) Alguns estac.são gratuitos e estão ocupados 2. x (Q(x) P(x)) Todos os estac. são gratiutos e estão ocupados 3. x (Q(x) P(x)) Todos os estac. gratuitos estão ocupados 4. x (Q(x) P(x)) Para alguns estac. x. Se x é gratuito então está ocupado 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 103

21 Teoremas sobre a Lógica Estamos estudando a linguagem e os cálculos da lógica para entende-la melhor Lógicos estudam a lógica para entender suas limitações Meta-teoremas podem dizer coisas como isto não pode ser expresso em lógica de predicados 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 104 Teoremas sobre a Lógica Podemos questionar sobre a lógica de predicados Que coisas ela pode expressar? Quantos conectivos eupreciso? Sobre a lógica de predicados, os lógicos fazem questões similares Esses dois quantificadores são suficientes para dizer qualquer coisas? Estas são questões sobre o poder de expressão dalógicade predicados 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 105

22 Exemplo 1 Quantificadores são usados para expressar que um predicado é True para um certo número de objetos. Exemplo: Pode a lógica de predicados expressar: Existe exatamente um objeto com a propriedade P? 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 106 Exemplo 1 x (P(x) y (P(y) y x)) Existe um x tal que P(x), onde naão exista um y tal que P(y) e y é diferente de x. Definimos!x P(x) para significar isto:!x P(x) def x (P(x) y (P(y) y x)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 107

23 Pode a Lógica de Predicados afirmar: Existe pelo menos dois objetos com a propriedade P? 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 108 Pode a Lógica de Predicados afirmar: Existe pelo menos dois objetos com a propriedade P? Sim, isto é fácil: x y (P(x) P(y) x y) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 109

24 Pode a lógica de predicados afirmar que: Existem exatamente dois objetos com a propriedade P 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 110 Pode a lógica de predicados afirmar que: Existem exatamente dois objetos com a propriedade P Sim x y (P(x) P(y) x y z (P(z) (z= x z= y )) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 111

25 O que está errado? x y (P(x) P(y) x y) z (P(z) (z= x z= y )) como uma fórmula de exatamente dois? 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 112 O que está errado? x y (P(x) P(y) x y) z (P(z) (z= x z= y )) como uma fórmula de exatamente dois? Esta é uma conjunção de duas proposições separadas. Como resultado disso, x e y não estão restritas, assim isto nem é uma proposição 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 113

26 Pode a lógica de predicados afirmar que Existem infinitos objetos com a propriedade P? Não! Isto vem do Teorema da Compacidade: Um conjunto infinito S de modelos pode ser descrito por p sss cada subconjunto finito de S pode ser descrito por p Similarmente, não podemos expressar Existe um número finitos de objetos com a propriedade P 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 114 Similarmente, não podemos expressar Existe um número finitos de objetos com a propriedade P A não ser que permitamos conjunções infinitas:!x P(x) 2!x P(x) 3!x P(x) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 115

27 Pode a lógica de predicados dizer a maioria dos objetos possui a propriedade P? Não! (Isto vem do teorema da Compacidade. De novo, a menos que possamos escrever disjunções infinitas) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 116 Decidibilidade Mostramos duas maneiras de mostrar equivalências lógicas: 1. Tabelas Verdade ( pode ser feito de maneira automática:algoritmo) 2. Leis de equivalência (precisa de criatividade) Termo técnico: checar a equivalência na lógica proposicional é decidível 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 117

28 Decidibilidade checar a equivalência na lógica proposicional é decidível checar a equivalência na lógica de predicados não é decidível Ebora a prova de teoremas seja uma arte (para computadores e humanos) Alguns fragmentos da lógica de predicados é decidível. Uma aplicação: PROLOG 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 118 Bonus : Programação em Lógica Existe LPs inteiramente baseada na lógica de predicados! A mais famosa é Prolog. Um programa Prolog é um conjunto de proposições ( fatos ) e ( regras ) em lógica de predicados. A entrada ao programa é uma proposiçào de consulta. Que queremos saber se é True ou False. O interpretador Prolog realiza algumas deduções automáticas para determinar quando a pergunta segue dos fatos. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 119

29 Fatos em Prolog Representa uma proposição simples, não composta em lógica dos predicados. e.g., Joao gosta de Maria Pode ser escrito Gosta(Joao,Maria) em lógica de predicados. Pode ser escrito gosta(joao,maria). Em n Prolog! Símbolos em letra minúscula deve ser usado para constantes e predicados, maiúsculas reservadas para nomes de variáveis. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 120 Regras em Prolog Uma regra em Prolog representa um proposição com quantificador universalcom a seguinte forma geral x: [ y P(x,y)]? Q(x), onde x e y deve ser variáveis compostas x=(z,w) e P,Q proposições compostas. Em Prolog, isto é escrito como uma regra: q(x) :- p(x,y). i.e., os quantificadores, são implícitos. Exemplo: likable(x) :- likes(y,x).? Variables must be capitalized 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 121

30 Conjunção e Disjunção Conjunção lógica é codificada usando termos separados por vírgulas em uma regra. Disjunção lógica é escrita usando regras múltiplas. E.g., x [(P(x) Q(x)) R(x)]? S(x) pode ser escrito em Prolog como: s(x) :- p(x),q(x) s(x) :- r(x) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 122 Dedução em Prolog Quando uma pergunta é entrada para o interpretador Prolog, Ele busca em sua base de dados se a mesma pode ser definida como True a partir dos fatos já definidos. Caso positivo retorna True, se não, retorna False (!) Se a pergunta possui variáveis, todos os valores que a tornam True são impressos. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 123

31 Programa Prolog Exemplo Exemplo: gosta(joao,maria). gosta(maria,fred). gosta(fred,maria). segostam(x) :- gosta(y,x). Pergunta:? segostam(z) retorna: maria fred 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 124 Relação entre PROLOG e Lógica de Predicados PROLOG não pode usar todas as fórmulas da lógica de predicados. (somente cobre um fragmento.) Usa a negação como falha Com essas limitações a dedução baseada no odelo Prologé decidível. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 125

32 Exemplo de Dedução Definições: H(x) := x é humano ; M(x) := x é mortal ; G(x) := x é um deus Premissas: x H(x) M(x) ( Humanos são mortais ) and x G(x) M(x) ( Deuses são imortais ). Mostre que x (H(x) G(x)) ( Nenhum humano é deus. ) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 126 Prova Semântica x H(x) M(x) ( Humanos são mortais ) and x G(x) M(x) ( Deuses são imortais ). Suponha x (H(x) G(x)). Por exemplo, H(a) G(a). Então Pela primeira premissa temos M(x). Pela segunda premissa temos M(x). Contradição! Então segue que x (H(x) G(x)) ( Nenhum humano é Deus. ) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 127

33 Prova usando equivalências x H(x) M(x) and x G(x) M(x). x M(x) H(x) [Contrapositiva.] x [G(x) M(x)] [ M(x) H(x)] x G(x) H(x) [Transitividade fi] x G(x) H(x) [Definição fi.] x (G(x) H(x)) [DeMorgan.] x G(x) H(x) [lei de equivalência] 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 128 Exemplos: Teoria dos Números Seja u.d. = os números naturais 0, 1, 2, O que significa? x (E(x) ( y x=2y)) x (P(x) (x>1 yz x=yz y 1 z 1)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 129

34 Exemplos: Teoria dos Números Seja u.d. = os números naturais 0, 1, 2, Um número é par, E(x), sss ele é igual a 2 vezes outronúmero. x (E(x) ( y x=2y)) Um número é primo, P(x), sss é maior que 1 e não é o produto de dois números diferentes de 1. x (P(x) (x>1 yz x=yz y 1 z 1)) 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 130 Conjectura de Goldbach s (não provada) Usando E(x) e P(x) slide anterior, x( [x>2 E(x)]? p q P(p) P(q) p+q = x). Todo número maior que dois é a soma de dois números primos. 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 131

35 9/2/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 132 Exemplo de Cálculo ( ) ( ) ( ) < < > > = ε δ δ ε ) ( : 0 : 0 : ) ( lim L x f a x x L x f a x Maneira de definir precisamente o conceito de limite usando quantificadores: