Ensino Médio - 3ª série Estudos de Recuperação para o EXAME MATEMÁTICA Luiz Antonio Escossi Números Complexos 01 - (MACK SP) Gab 02 - (FGV )

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1 Ensino Médio - ª série Estudos de Recuperação para o EXAME Disciplina: MATEMÁTICA Professor: Luiz Antonio Escossi Números Complexos 01 - (MACK SP) Se y = x, sendo 1 i x 1 i e i 1, o valor de (x + y) é 9i 9 + i 9 9 e) 9 i Gab: C 0 - (FGV ) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i) 0 (1 i) 0 é igual a i e) 104i. Gab: C 0 - (UNIMONTES MG) Se i é a unidade imaginária, para que satisfazer: a bi c di seja um número real, a relação entre a, b, c e d deve b a c d b + d = 0 e a + c 0 a b c d b d a c Gab: D

2 04 - (UFV MG) Considere os números complexos z = i (5 + i) e w = + i, onde i = 1. Sendo z CORRETO afirmar que a parte real de z w é: o conjugado complexo de z, é Gab: D 05 - (UFF RJ) No período da Revolução Científica, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli ( ), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos. Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta. o conjugado de (1 + i) é (1- i) 1 i (1 + i) é raiz da equação z z 0 (1 + i) 1 = (1 i) e) (1 + i) = i Gab: D 06 - (FGV ) Sendo i 1 a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão i e) -16i Gab: E 6 6 ( 1 i) (1 i) é:

3 07 - (UNICID SP) Seja o número complexo Z 5a i onde a é real. Sabendo-se que Z 7 então a pertence ao intervalo, [0,0 ; 0,5] [0,7 ; 1,] [1,5 ;,0] [, ;,7] e) [,0 ;,5] Gab: C 08 - (UEPB) O valor da expressão 1 14i i i 14 1i e) i Gab: C 6 8i 1 ( i)(4 i) i 1i é igual a: 09 - (UFC CE) O valor do número complexo 1 i i 1 e) 0 Gab: A i 7 1 i é: 10 - (FEI SP) Seja o número complexo z, tal que z z 105i. Então z.z (sabendo que z é o conjugado de z ) é igual a: + 5i 9 5 e) 4 Gab: B

4 11 - (UNIMONTES MG) A relação entre os números naturais m e n, para que se tenha n i m i, é (m + n) múltiplo de 4. (m n) múltiplo de. (m + n) divisor de. (m n) divisor de 5. Gab: A 1 - (UNIMONTES MG) Dados os números complexos z i e 10 w i, se w é o complexo conjugado de w, então, z w. z w. z w z w.. Gab: C e D 1 - (UFCG PB) Um número complexo z é tal que de z seja será: / 6 z a i, sendo a um número real. O valor de a para que um dos argumentos e). Gab: A 14 - (UEM PR) Denomina-se argumento de um número complexo não nulo em que r z. Considerando 0, assinale a alternativa incorreta. z x yi um ângulo tal que cos x r e y sen r, O argumento de z i é 6 1 Se o argumento de um número complexo z 0 é e o módulo de z0 é 1, então z 0 i Se z = i, então o argumento de z é Se z x yi é um número complexo qualquer não nulo, então podemos escrevê lo como argumento z. z z (cos i sen), em que é um e) Se o módulo de um número complexo z 0 é 5, então 5 5i Gab: E z 0 4

5 15 - (FGV ) A figura indica a representação dos números Z 1 e Z no plano complexo. Se Z 1. Z = a + bi, então a + b é igual a 41 e) 1 1 Gab: A (UNESP SP) Sendo i a unidade imaginária e Z 1 e Z os números complexos Z 1 i i i... i Z 78 i i i... i, o produto (Z 1 Z ) resulta em (1 + i). (1 i). i. i. e). Gab: D 17 - (URCA CE) O valor de 1 i 0 é: 1 i 1 i 1 i 1 i e) 1 i Gab: E 5

6 18 - (MACK SP) Sendo i 1, o módulo do número complexo z, solução da equação z iz 69i, é e) 19 Gab: A 0 - (EFOA MG) O número complexo imaginária. Então é CORRETO afirmar que 4/5 7/5 /5 /5 e) 6/5 Gab: D a bi z 1 i a b é:, onde a, b R e i 1, tem módulo 1 e parte real igual ao dobro da parte 1 - (UEPB) Calculando z em 4 8 z i z 6i, teremos: z = 7 + i z = 7 z = 7 i z = 7 + i e) z = 7 i Gab: B - (FGV ) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura: Se o ponteiro dos minutos tem unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o número complexo: 1 i 1 i 1 i i e) i Gab: A 6

7 4 - (FATEC SP) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. Se z é o complexo conjugado de z, então: z i z i z i z i e) z i Gab: D 5 - (UEPB) Considere no campo complexo a equação x 4x + 5 = 0. O produto das raízes dessa equação é igual a: 5 1 e) 5 Gab: E 6 - (FURG RS) As raízes da equação polinomial z 1 = 0 determinam, no plano complexo, um triângulo. Qual a área desse triângulo? 4 5 e) 1 Gab: A 7

8 7 - (UFJF MG) O número complexo z de módulo igual a: está representado abaixo no plano complexo. Podemos afirmar que z é Im z 6 Re i i i i Gab: B 8 - (UNESP SP) Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de i e) i Gab: E z 4 z z 1 z z é 9 - (INTEGRADO RJ) Sejam z 1 e z números complexos representados pelos seus afixos na figura abaixo. Então, o produto de z 1 pelo conjugado de z é: y 5 z z x i i i e) i Gab: B 8

9 0 - (INTEGRADO RJ) Considere u = + i e v = i. Então, u 8. v 7 é igual a: i - + i + i i e) i Gab: A 1 - (PUC RS) Um número complexo O módulo de z vale 1 a b z a bi, em sua forma trigonométrica, foi escrito como z r (cos isen ). e) r Gab: E - (UFS) Se é o argumento principal do número complexo 1 i z i, então e) Gab: E 9

10 - (UEMS) O número complexo z está representado no Plano de Argand Gauss conforme indica a figura. A forma trigonométrica de z é: cos i sen cos i sen 4 cos i sen e) 4cos i sen cos i sen Gab: E 4 - (UEMG) Seja o número complexo 1 i z 1 i. O número complexo 100 z pode ser expresso por: e) z cos 50 i sen 50 5 i sen z cos 5 z cos100 i sen 100 i sen z cos10 10 z cos i sen Gab: A 5 - (UNIMONTES MG) Geometricamente, a adição dos números complexos z 1 (,4) e z (1, 1) é 10

11 Gab: B 6 - (UNCISAL) Dados os números complexos plano de Argand-Gauss, na alternativa Z 1i e W 1i, o afixo do número Z W está representado pelo ponto P, no 11

12 e) Gab: E 7 - (UNIFOR CE) Seja o número complexo z = x + i, em que x é um número real negativo. Se z 6, então a forma trigonométrica de z é e) 6.(cos i.sen ) (cos i.sen ) (cos i.sen ) (cos i.sen ) (cos i.sen ) 6 6 Gab: B 8 - (UFC CE) Ao dividir 1 i por 1+i, obtém-se um complexo de argumento igual a: /4 5 /1 7 /1 /4 e) 11 /1 Gab: E 9 - (UFSM RS) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro do relógio de ponteiros da questão anterior, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo i i 1

13 i i e) i Gab: A 40 - (UEM PR) Seja 5 5 z cos i sen um número complexo. É correto afirmar que o conjugado de z é z (1 i ) z (1 i ) z (1 i ) z ( 1 i ) e) z (1 i ) Gab: B 41 - (UFMT) Dados os números complexos não nulos z a bi e w i z. Sendo w, com 0 e 0, pode-se afirmar que é igual a e os argumentos, respectivamente de z e e) 4 4 Gab: D 4 - (FFFCMPA RS) No gráfico abaixo, os pontos A, B, C são vértices de um triângulo eqüilátero, inscrito num círculo de raio 1 cujo centro está na origem do sistema de coordenadas. Identificando A, B, C com números complexos z, w, t, nesta ordem, examine as sentenças abaixo. I. z, w, t são raízes de 1. II. III. w, t são números complexos conjugados. z, w, t têm o mesmo módulo. 1

14 Quais são verdadeiras? Apenas I Apenas II Apenas III Apenas II e III e) I, II e III Gab: E 4 - (UNIUBE MG) O valor da potência 1 1 i 1 cos i sen 6 6 e) 1 Gab: A 1 cos i sen 1 i é 45 - (UFSM RS) O módulo do complexo cos a i. sen a é: 1 i i i 4 e) n.d.a Gab: D 46 - (USP SP) Lembrando que um número real cos 55º + i. sen 55º cos 18º + i. sen 18º cos 44º + i. sen 44º e) n.d.a Gab: A 1i cos45º i.sen45º, o valor de 100 ( 1 i ) é: 14

15 POLINÔMIOS 1. (CEFET-PR) Os valores de A e B de forma que são, respectivamente: a. 1 e - b. -1 e - c. -1 e d. 1 e e. - e -1. (UFPA) Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo? a. a. x + (a 1)x (7-x b. (a + 1)x + (b 1)x + (a 1) c. (a + 1)x (a 1)x d. (a 1)x (b + )x + (a 1 1) e. a x - ( + x - 5x. (UNIFOR CE) Dados os polinômios p, q e r de graus, 4 e 5,respectivamente,é verdade que o grau de p + q + r : a. não pode ser determinados; b. pode ser igual a ; c. pode ser igual a 4; d. pode ser menor que 5; e. é igual a 5; 4. (PUC BA) Se os polinômios x x + 4 e (x + (x + são idênticos, então a + b é igual a: a. 0 b. 1 c. d. e (PUC MG) Se com x 0 e x -1, é correto afirmar que o produto A.B é igual a: a. - b. - c. 0 d. e. 6. (UEPG PR) Os valores de a e b que tornam idênticos os polinômios P 1 (x) = x x 6 e P (x) = (x + b são, respectivamente: a. 1 e 7 b. -1 e 5 c. -1 e 7 d. 1 e 5 e. -1/ e 5/4 15

16 7. (UEL PR) Sendo f, g e h polinômios de graus 4,6 e, respectivamente, o grau de (f + g).h será: a. 9 b. 10 c. 1 d. 18 e (UFRS) Se P(x) é um polinômio de grau 5,então o grau de [P(x)] + [P(x)] + P(x) é: a. b. 8 c. 15 d. 0 e (CEFET PR) Se A(x )(x ) + Bx( x - ) + Cx(x ) = 1,então: a. A = ; B = 1 e C = - b. A = ; B = -6 e C = 4 c. A = ; B = 0 e C = - d. A = ; B = 1; C qualquer e. Não existem valores reais de A, B e C 10. (UFPR) Se os polinômios P(x) = 4x 4 (r + )x 5 e Q(x) = sx 4 + 5x 5 são idênticos, então r s é: a. 79 b. -4 c d. -64 e (PUC BA) Dado o polinômio P(x) = x x + mx 1, onde m IR e seja P( o valor de P para x = a. Se P() =.P(0),então P(m) é igual a: a. -5 b. - c. -1 d. 1 e (UEL PR) Sejam os polinômios f = x x + ; g = x + e h = x x. Os números reais a e b, tais que f = a.g + b.h, são, respectivamente: a. - e 1 b. - e 1 c. -1 e d. 1 e e. 1 e 1.(PUCC SP) Dado o polinômio P(x) = x n + x n x + x +,se n for ímpar, então P(-1) vale: a. -1 b. 0 c. d. 1 e. 16

17 14. (PUC SP) O polinômio P(x) = (x 1).(x ).(x ).( ).(x 10) 10 tem grau: a. 10 b. 10! c. 10 d. 110 e (UFBA) O polinômio P(x) = (C m 1)x + (A m n 0)x + (p 8)! é identicamente nulo, se mnp é: a. 10 b. 0 c. 50 d. 80 e (FUVEST SP) Um polinômio P(x) = x + ax + bx + c satisfaz as seguintes condições:p(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P()? a. b. c. 4 d. 5 e (UMPA) Sejam P(x) e Q(x) dois polinômios de grau n. Se p é o grau de P(x) + Q(x),temos: a. p < n b. p n c. p = n d. p n e. p > n POLINÔMIOS - OPERAÇÕES 1. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x 4 4x + x 1 por q(x) = 4x +1 é: a. x 5 b. x 1 c. x + 5 d. 4x 5 e. 4x + 8. (UFPE) Qual o resto da divisão do polinômio x x + x + 1 por x x +? a. x + 1 b. x + c. -x + d. x 1 e. x 17

18 . (CEFET-PR) O quociente da divisão de P(x) = x 7x +16x 1 por Q(x) = x é: a. x b. x x + 1 c. x 5x + 6 d. x 4x + 4 e. x + 4x 4 4. (UNICAMP-SP) O resto da divisão do polinômio P(x) = x x + 4 pelo polinômio Q(x) = x 4 é: a. R(x) = x b. R(x) = -x + 4 c. R(x) = x + d. R(x) = 4x 4 e. R(x) = -x (PUC-PR) O resto da divisão de x 4 x + x + 5x + 1 por x é: a. 1 b. 0 c. 0 d. 19 e. 6. (PUC-BA) O quociente da divisão do polinômio P = x x + x 1 pelo polinômio q = x 1 é: a. x b. x 1 c. x 1 d. x x + 1 e. x x + 7. (UEM-PR) A divisão do polinômio x 4 + 5x 1x + 7 por x 1 oferece o seguinte resultado: a. Q = x + 7x + 7x 5 e R = b. Q = x + 7x 5x + e R = c. Q = x + x x 9 e R = 16 d. Q = x + 7x 5x + e R = 0 e. Q = x + x 15x + e R = 8. (CESGRANRIO-RJ) O resto da divisão de 4x 9 + 7x 6 + 4x + por x + 1 vale: a. 0 b. 1 c. d. e (UFRS) A divisão de p(x) por x + 1 tem quociente x e resto 1. O polinômio P(x) é: a. x + x 1 b. x + x + 1 c. x + x d. x x + x e. x x + x (UFSE) Dividindo-se o polinômio f = x 4 pelo polinômio g = x 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a: 18

19 a. x + 1 e x + 1 b. x 1 e x + 1 c. x + 1 e x 1 d. x 1 e -1 e. x + 1 e (FATEC-SP) Se um fator do polinômio P(x) = x 5x + 7x é Q(x) = x - x + 1, então o outro fator é: a. x b. x + c. -x d. -x + e. x (CESCEM-SP) Dividindo x 4x + 7x por um certo polinômio P(x), obtemos como quociente x 1 e resto x 1. O polinômio P(x) é igual a: a. x x + b. x x + c. x x + 1 d. x x + 1 e. Nda 1. (UFU-MG) Dividindo-se um polinômio f por (x ), resulta um resto (-7) e um quociente (x 4). O polinômio é: a. x b.?? x + 4 / x 4 c. x x + 14 d. x 14x + e. x 7x (S. CASA-SP) Dividindo-se um polinômio f por x x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto x + 1. O resto da divisão de f por x + 1 é: a. - b. -1 c. d. x 1 e. x (UFPA) O polinômio x 5x + mx n é divisível por x x + 6. Então, os números m e n são tais que m + n é igual a: a. 0 b. 1 c. 4 d. 18 e (UFGO) Se o polinômio x + kx x + é divisível pelo polinômio x x + 1, então o quociente é: a. x b. x + c. x 1 d. x + 1 e. x (UFPA) Sejam P e Q dois polinômios de grau n e m respectivamente. Então, se r é o grau de R, resto da divisão de P por Q, temos: 19

20 a. r = n/m b. r = n m c. r m d. r < m e. r < n m 18. (EESCUSP) Seja Q o quociente e R o resto da divisão de um polinômio A por um polinômio B. Então, quando A é dividido por B : a. quociente é Q e o resto R b. quociente é Q/ e o resto R/ c. quociente é Q/ e o resto é R d. quociente é Q e o resto R e. quociente é Q e o resto R/ 19. (PUC-PR) O resto da divisão de P(x) = x +4x -x+1 por x+1 é : a. b. 4 c. 1 d. 0 e (PUC-SP) O resto da divisão do polinômio P(x)= x 4 -x +x -x+1 por x+1 é: a. b. 4 c. 7 d. 5 e (UNESP-SP) Indique o resto da divisão a. b. 0 c. 60 d. 8 e. 66. (CESGRANRIO-RJ) O resto da divisão do polinômio x 100 por x+1 é: a. x-1 b. x c. 1 d. 0 e. 1. (FGV-SP) O resto da divisão de 5x n - 4x n+1 - ( n é natural) por x+1 é igual a: a. 7 b. 8 c. 7 d. 9 e (UFRN) Se o polinômio f(x)= x +7x-6K é divisível por x-, então K é igual a: 0

21 a. b. c. 5 d. 7 e (PUC-SP) Qual é o resto da divisão de x 1 +1 por x+1? a. 0 b. 1 c. 0 d. 1 e. um polinômio de grau 0 6. (UFRS) O resto da divisão de p(x)= x +ax -x+a por x-1 é 4. O valor de a é: a. 0 b. 1 c. d. 4 e (UFCE) Se x +px-q é divisível por (x+, então: a. a =ap b. a +pa=q c. a -q=ap d. p-q=a e. nda 8. (UEL-PR) O valor de K para que o polinômio p(x)= kx +kx+1 satisfaça a sentença p(x) x = p(x-1) é : a. -1/ b. 0 c. ½ d. 1 e. / 9. (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de x +px+1 por x-a e x+ são iguais, então o valor de p é: a. - b. 1 c. 0 d. 1 e. 0. (UEPG-PR)- Sabendo-se que o polinômio P(x)= 6x +ax +4x+b é divisível por D(x)= x +4x+6 então a+b vale: a. 8 b. c. 8 d. e. 64. (PUC-BA) Dividindo-se um polinômio f por 8x +1 obtém-se quociente x-1 e resto 4x-. Qual é o resto da divisão de f por x-1 a. 1

22 b. 0 c. 10 d. e. 10. (PUC-PR) O resto da divisão de f(x)= x n -a n por g(x)= x-a, é: a. 0 b. 1 c. a d. a n, se n for par e. an, se s for ímpar 4. (FGV-SP)- Para que o polinômio P(x)= x -8x +mx-n seja divisível por (x+1). (x-), m.n deve ser igual a : a. -8 b. 10 c. 70 d. 8 e. 6 POLINÔMIOS C D E E A E A C B C B E C E E E B B D POLINÔMIOS OPERAÇÕES B C D D A C E E A B E B C B D C B E A E C C C C D B 1 4 E B A C Equações Algébricas 1. (FGV-SP) O valor de m, de modo que 1 seja raiz da equação x ³ + (m+)x² + (1-m)x - = 0, é igual a: a. 0

23 b. -1 c. 1 d. e.. (UFRN) Seja P(x) = x³ + 6x x 0. Se P() = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é : a. {-, -, -5} b. {, -, -5} c. {, -} d. {,, 5} e. {, 6, 0}. (PUC-SP) A equação do terceiro grau cujas raízes são 1, e é: a. x³ - 6x² + 11x 6 =0 b. x³ - 4x² + x 5 = 0 c. x³ + x² + x 5 = 0 d. x³ + x² +x + = 0 e. x³ + 6x² - 11x + 5 = 0 4. (FGV - SP) Na equação x 4 + px³ + px² + p = 0, sabendo-se que 1 é raiz, então: a. p = -1/4 b. p = 0 ou p = 1 c. p = 0 ou p =-1 d. p = 1 ou p = -1 e. p = -1/ 5. (CESGRANRIO - RJ) A soma das raízes da equação vale: a. 10 b. 7 c. d. 7 e (ACAFE - SC) A maior raiz da equação x³ + 4x² + x = 0 é: a. 4 b. 1 c. 0 d. e. 7. (CESCEM - SP) A equação x³ - 5x² - x + 6 = 0 admite uma raiz igual a. Então, as outras duas raízes são: a. / e 1 b. e 1 c. e 1 d. / e 1 e. / e 8. (UEL - SP) A equação x³ - 5x² + x + = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. As outras duas são tais que: a. ambas são números inteiros b. ambas são números negativos c. estão compreendidas entre 1 e 1

24 d. uma é o oposto do inverso da outra e. uma é a terça parte da outra 9. (PUC - BA) É verdade que a equação (x 4x).(x² + x + 1) = 0, no universo IR: a. tem quatro soluções distintas b. tem uma solução que é número irracional c. tem cinco soluções distintas d. não tem soluções e. tem apenas duas soluções distintas 10. (PUC - SP) O polinômio P(x) = x³ + x² - 6x + 4 é divisível por x 4. Os zeros deste polinômio são: a. 6, -4, 1 b. 6, 1, 4 c. 4, -1, 6 d. 1, 4, 6 e. 1, 4, Sabe-se que 1 é raiz de multiplicidade da equação x³ + x² - 4x = 0. A outra raiz dessa equação é um número: a. racional e não inteiro b. inteiro c. irracional e negativo d. irracional positivo e. complexo e não real 1. Se é raiz de multiplicidade da equação x 4 9x³ + 0x² - 44x + 4 = 0, então, seu conjunto solução é: a. {1; } b. {1;} c. {;} d. {1;;} e. {1;;;4} 1. (PUC - SP) A raiz x = 1 da equação x 4 - x³ - x² + 5x = 0 é: a. simples b. dupla c. tripla d. quádrupla e. quíntupla 14. (FATEC - SP) Se a, b e 1/ são as raízes da equação x³ + x² - x = 0, então a b é igual a: a. 1 ou 0 b. 1/ ou c. d. ½ ou 1/ e. ou (OSEC - SP) O grau de uma equação polinomial P(x) = 0, cujas raízes são, e 4 com multiplicidade de 5, 6 e 10, respectivamente, é: a. 9 b. 00 c. menor que 0 4

25 d. 1/9 e (MACK - SP) Na equação (x³ - x² + x 1 ) 18 = 0, a multiplicidade da raiz x = 1 é: a. 1 b. 9 c. 18 d. 6 e (CESCEA - SP) Assinale entre as equações abaixo a que representa raiz de multiplicidade três: a. x³ - 1 = 0 b. (x-) = 0 c. x 4x² = 0 d. (x-1). (x+1) = 0 e. Nda 18. (UFMG) Sabe-se que a equação x 4 6x +15x 18x + 10 = 0 admite as raízes complexas 1 i e + i. Quais as demais raízes dessa equação? a. -1 i e + i b. 1 + i e + i c i e i d. 1 i e i e. 1 + i e i 19. (PUC SP) Qual dos números abaixo é raiz da equação 15x + 7x 7x + 1 = 0? a. 7/15 b. 1/ c. / d. /5 e. 1/ 0. (VUNESP) Uma das raízes da equação x + x 7x 6 = 0 é x =.pode-se afirmar que : a. As outras raízes são imaginárias; b. As outras raízes são 17 e 19; c. As outras raízes são iguais; d. As outras raízes estão entre e 0; e. Só uma das outras raízes é real. 1. (UFRN) A equação (x + 1) (x + 4) = 0 tem : a. Duas raízes reais e uma imaginária; b. Uma raiz real e uma imaginária; c. Duas raízes reais e duas imaginárias; d. Uma raiz real e duas imaginárias; e. Apenas raízes reais.. (PUC - SP) As raízes da equação x 1x + 1x = 0 são : a. 7; 6 e 1/7 b. 6; 5 e 1/6 c. 1; e 1/ 5

26 d. ; 4 e 1/ e. 5; 7 e 1/5. (PUC RJ) Sobre as raízes da equação x x + x = 0, podemos afirmar que : a. Nenhuma raiz é real; b. Há uma raiz real e duas imaginárias; c. Há três raízes reais, cuja soma é ; d. Há três raízes reais, cuja soma é 1; e. Há três raízes reais, cuja soma é ; 4. (ITA SP) A equação (1 x) (1 x).x = 1 x tem : a. Três raízes reais; b. Uma raiz dupla igual a 1; c. Não tem raízes complexas; d. S = {1; i ; - i}; e. Nda. 5. Os valores de p e q para que i seja raiz da equação x + px + qx + = 0, são respectivamente: a. e b. -1 e 0 c. 1 e 1 d. 1/ e e. 1/ e 0 6. (UEPG PR) O polinômio P(x) = x x + x + a é divisível por x 1. Suas raízes são: a. 1, i e i b. -1, - i e i c. 0, 1 e i d. 1, - 1 e i e. Nda 7. (PUC SP) O grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo-se que 1 + i e 1 + i são raízes, é? a. 1º grau; b. º grau; c. º grau; d. 4º grau; e. 5º grau. 8. (ITA SP) A equação 4x x + 4x = 0 admite uma raiz igual a i (unidade imaginári. Deduzimos que: a. Tal equação não admite raiz real menor que ; b. Tal equação admite como raiz um número racional; c. Tal equação não admite como raiz um número positivo; d. Tal equação não possui raiz da forma bi, com b < 1; e. Nda 9. (MACK SP) A equação x 4 x 1x + 7x 15 = 0 tem uma raiz igual a + i. As outras raízes da equação são : a. i; - ; 1/ b. + i; ; -1/ 6

27 c. i; -; 1/ d. + i; - 1 ;-/ e. i; 1; / 0. (AMAN-RJ) A soma das raízes da equação x 4 - x - 4x + 4x = 0 é igual a: a. 0 b. 1 c. -4 d. 4 e. Nda 1. (UFPR) A média aritmética das raízes da equação x - x - 6x = 0 é: a. 1 b. 1/ c. 8/ d. 7/ e. 5/. (CESGRANRIO-RJ) A soma das raízes de x = 0 é: a. 1 b. -1 c. 0 d. i e. -i. (UFSE) A soma e o produto das raízes da equação x + x - 8x - 4 = 0 são, respectivamente: a. - 8 e - 4 b. - 8 e 4 c. - 4 e 1 d. - 1 e 4 e. 4 e 8 4. (FGV-SP) A soma e o produto das raízes da equação x 4-5x + x + 4x - 6 = 0 formam qual seguinte par de valores? a. -5; 6 b. 5; - 6 c. ; 4 d. 1; 6 e. 4; 5. (PUC-PR) Se a, b e c são raízes da equação x - 4x - 1x + 70 = 0, podemos afirmar que log (a + b + é igual a: a. 4 b. 0 c. 1 d. e. Nda 6. (UNESP-SP) Consideremos a equação x + ax + b = 0. Sabendo-se que 4 e -5 são as raízes dessa equação, então: a. a = 1, b = 7 7

28 b. a = 1, b= -0 c. a =, b = -0 d. a = -0, b = -0 e. a = b = 1 7. (PUC-SP) Os números complexos 1 e + i são raízes do polinômio x + ax + bx + c, onde a, b e c são números reais. O valor de c é: a. - 5 b. - c. d. 5 e (UFMT) Sejam - e duas das raízes da equação x - x + kx + t =0, onde k, t IR. A terceira raiz é: a. -1 b. -1/ c. 1/ d. 1 e. nda 9. Se p e q são as raízes da equação x - 6x + 7= 0, então (p + )(q + ) é igual a: a. 41/ b. 4/ c. 45/ d. 47/ 40. (UFMG) As raízes da equação x - bx + = 0 são positivas e uma é o triplo da outra. Então o valor de b é: a. - b. - c. d. e (MACK-SP) Uma das raízes da equação x + ax + b =0, a e b reais, é 1 -.i.os valores de a e b são, respectivamente: a. - e / b. - e -/ c. e -/ d. e / e. e / 4. (FGV-SP) Se a soma das raízes da equação kx + x - 4 = 0 é 10, podemos afirmar que o produto das raízes é: a. 40/ b. -40/ c. 80/ d. -80/ e. -/10 4. (UFP-RS) A soma dos inversos das raízes da equação x - x + x - 4 = 0 é igual a: 8

29 a. -/4 b. -1/ c. /4 d. 4/ e. 44. (MACK-SP) Uma raiz da equação x - 4x + x + 6 = 0 é igual à soma das outras duas. As raízes dessa equação são: a., -, 1 b., -1, c., -, 1 d. 1, -1, - e. nda 45. (CEFET-PR) Se a, b, e c são raízes da equação x - 8x + 4x - 16 = 0, então o valor de sen( /a + /b + / será: a. -1 b. 1 c. -8/4 d. -16/4 e. 1/ 46. A soma dos quadrados das raízes da equação x + x + x + 8 = 0 é igual a: a. 5 b. 5-4 c. 1 d e. nda 47. (PUC-SP) O produto de duas das raízes da equação 4x - x + 68x - 15 = 0 é /4. A soma das duas maiores raízes da equação é: a. 1/4 b. - c. 1/ d. 8 e (MACK-SP) As raízes (x 1,x,x ) da equação x - x + cx + d = 0 formam uma progressão aritmética de razão, então o valor de x 1. x. x é: a. -8 b. 1 c. d. 9 e. 6 9

30 RESPOS TAS C B A E E C D D A B A C C E E C D E E D D C B D A A D B A B B C D B D B A B B D A A C B A B D A Geometria Analítica 0

31 Questão 01) A área do polígono ABCD, onde A (, ), B (6, 6), C (4, 8) e D (0, 6) são os seus vértices, é e) 6 Questão 0) Sejam os pontos A(,) e B(5,4). A medida do segmento de reta AB é e) 6 Questão 0) A área do quadrilátero abaixo, em unidades de área, é: y 8 B A 5 C D -1 4 x / 15 e) 5/ Questão 04) Os pontos A(,1), B(4,-) e C(x,7) são colineares. O valor de x é igual a: e) 7 1

32 Questão 05) A distância entre o ponto de encontro (interseção) das retas x + y - = 0 e x - y - 4 = 0 e a origem do sistema de coordenadas, (0, 0), é: 7 4 e) Questão 06) valor de k é: Sabe-se que a reta x y + 4 = 0 passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos A(k, 1) e B(1, k). O e) 0 Questão 07) A área do triângulo cujos vértices são os pontos (1,), (,5) e (4, -1) vale: 4,5 6 7,5 9 e) 15 Questão 08) Os gráficos de y = x + e x + y = 6 definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de área e) 14 Questão 09) O perímetro de um terreno triangular cujas medidas dos lados representam a progressão aritmética de termos x 1, x e x 5, nessa ordem, é:

33 Questão 11) A medida da altura AH de um triângulo de vértices A 1,5 ; B 0,0 e C 6, é: e) Questão 1) O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas. Sendo assim, as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo de vértices (,), (-4,-) e (,-4) são: 4 0, 5 0, 4 0, 4 1, Questão 1) Sendo A (, ) uma das extremidades de um segmento, cujo ponto médio é M (, ), pode-se concluir que as coordenadas da outra extremidade desse segmento são (9,). (8,). (8,). (8, ). e) (6, ). Questão 14) As retas de equações y x 1 0 e y x 0 são coincidentes. são paralelas não coincidentes. interceptam-se no ponto 1 ; interceptam-se no ponto ;.

34 Questão 15) Sobre as retas r: y = x + ; s: y = x e t: 1 y x 1, é verdade que s e t são perpendiculares entre si e interceptam-se em um ponto pertencente ao eixo das abcissas. s e t são perpendiculares entre si e interceptam-se em um ponto pertencente ao º quadrante r // t e r intercepta o eixo das abcisssas no ponto (-1, 0). r // s e s intercepta o eixo das abcisssas no ponto (, 0). Questão 16) As retas de equações x 5y 1 0 e x 5y 1 0 são paralelas entre si. perpendiculares entre si. concorrentes no ponto (, ) concorrentes no ponto (, ). 1 5 e) perpendiculares entre si no ponto (1,0). Questão 17) A distância entre as retas paralelas r : y x e s: y x 7 é igual a: e) 7 7 Questão 18) A reta que contém o ponto A (1,) e é perpendicular a reta r, cuja equação é x + y - 7 = 0, intercepta r no ponto cujas coordenadas são: (1, 6) (, 5) (, 4) (4, ) e) (5, ) Questão 19) equação: Considere os pontos A = (1, ); B = (, 4) e C = (, ). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem y x = 0 y x + = 0 y + x + = 0 4

35 Questão 0) Uma equação da reta (r) representada na figura abaixo é y 1. ( r ) x y = x y = y = x x y = x e) x + y 5 = 0 Questão 1) O valor de m para que as retas r 1 : y = mx e r : y = (m + )x + 1 sejam perpendiculares é: e). Questão ) A equação da reta mostrada na figura abaixo é : -4 x + 4y - 1 = 0 x -4y + 1 = 0 4x + y + 1 = 0 4x - y - 1 = 0 e) 4x - y + 1 = 0 Questão ) A distância entre o ponto de encontro (interseção) das retas x + y - = 0 e x - y - 4 = 0 e a origem do sistema de coordenadas, (0, 0), é: 7 5

36 4 e) Questão 4) Se (a, é o ponto comum das retas s e t da figura, a b vale: e) Questão 5) O gráfico da função y = mx + n, onde m e n são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(,). A taxa de variação média da função é: 1/ 1/ e) 4 Questão 6) Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y A área desse triângulo mede 15/. 1/4. 11/6. 9/4. e) 7/. Questão 7) As retas x y = e x + ay =5 são perpendiculares. Então: a = 1 a = 4 a = 1 a = 4 e) nda 6

37 Questão 8) Considere as retas ( r ) 4x y + 17 = 0 e ( s ) 4x y 8 = 0. A distância entre ( r ) e ( s ) é: 17/9. 5/ e) 5. Questão 9) As equações paramétricas de uma reta r são: x t y 1 4t Então o coeficiente angular da reta r é: 1 4 e) Questão 0) Sejam r e s retas de equações y x 1 e y x 1 distância entre elas, dada pela medida do segmento AB indicado na figura abaixo. Então d é igual a:, respectivamente, e d a e) Questão 1) Dadas a reta de equação 5x y 8 0 reta perpendicular à reta dada, contendo o centro da circunferência, é: x + 5y 7 = 0. x + y = 0. x + 5y 4 = 0. 4x + 6 = 0. e) x + y + 5 = 0. Questão ) Seja r a reta definida por A( 5, 1) e B( 1, 1). A ordenada de um ponto e a circunferência de equação x y x 4y 1 0, a equação da P r, de abscissa 8, é igual a: 7

38 e) 5 Questão ) Num sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P (,4) e a reta r de equação x+ y = 0. Seja Q o ponto de r cuja abscissa é o dobro da ordenada. A distância de P até Q é: Questão 4) A distância entre o centro da circunferência de equação (x ) (y 5) 9 e a reta de equação y 5x 0 é e) 9 Questão 5) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos 4-5 e) 5 A(1,5) e B(4,14) é: Questão 6) Determine o valor de k, de modo que a reta que passa por P( 1, 1) e relativamente ao eixo x. Q(k, k - k) tenha inclinação 45º 0 1 8

39 e) 4 Questão 8) Para que a reta r : kx y 0 seja perpendicular à reta s : x 1 t y t, o valor de k deve ser: Questão 9) O valor de k, para que as retas x 5y 7 e x ky1 sejam paralelas, é Questão 40) O coeficiente angular da mediatriz do segmento AB, sendo A(, ) e B(4,7), é Questão 41) No plano cartesiano, a reta que passa pelo ponto P(6,9) e é paralela à reta de equação x + y = 6 intercepta o eixo das abscissas no ponto: (1, 0) 5, 0 (18, 0) 9

40 9, 0 e) (, 0) Questão 4) A reta r de equação 6x + 8y 48 = 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q. Desse modo, a distância, em u.c., de P a Q é igual a Questão 4) Sejam A e B pontos no plano OXY de coordenadas, respectivamente iguais a (, ) e (1, 1). Se r é uma reta paralela à mediatriz do segmento AB e intercepta o eixo y no ponto (0,), então uma equação cartesiana para reta r é x = y x y + 6 = 0 x y + 6 = 0 y = x + e) y = x + Questão 44) A circunferência de equação x y 4x y 4 0 intercepta o eixo das abcissas nos pontos A e B. A distância entre esses dois pontos é igual a 5 4 e) Questão 45) O raio da circunferência de equação x + y x + y + c = 0 mede unidades de comprimento. Nessas condições, o valor da constante c é igual a:

41 Questão 46) Na figura abaixo tem-se o hexágono regular ABCDEF, inscrito na circunferência de equação x² + y² 4x 6y = 0. y C B D. A E F x A medida do segmento CF é igual a Questão 47) Uma circunferência de raio é tangente ao eixo Oy na origem e possui centro O (h, 0) com h > 0. Então a equação da circunferência é: x² + y² - 4y = 0 x² + y² - 4x = 0 x² - y² - 4y = 0 x² - y² + 4y = 0 Questão 48) Uma reta r contém o centro da circunferência x² + y² 6x 16 = 0 e é perpendicular à reta x y + = 0. A equação da reta r é: x + y + = 0 x - y - = 0 x + y + = 0 x - y + 6 = 0 e) x + y - 6 = 0 Questão 49) entre r e s é: Duas retas r e s são paralelas e tangenciam a circunferência de equação (x ) + (y ) = 5. A distância e) 10 41

42 Questão 50) A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada pela figura abaixo é: y x x + y x 4y = 0 x + y + 6x + 8y = 0 x + y + 6x 8y = 0 x + y + 8x 6y = 0 e) x + y 8x + 6y = 0 Questão 51) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a circunferência de equação x + y = 4x é: (A) y (B) y x x (C ) y (D) y (E) y x x x Questão 5) O menor valor numérico de m para que a equação x + y + 8x y m = 0 represente uma circunferência é: e) 17 4

43 Questão 5) igual a: A equação x + y 4x + 6y = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é 5 8 e) 15 Questão 54) Os pontos (, 1) e (9, 7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a equação de c é: (x + 6) + (y ) = 5 (x + 6) + (y ) = 10 (x 6) + (y + ) = 10 (x 6) + (y ) = 5 e) (x 6) + (y + ) = 5 Questão 55) coordenadas. O diâmetro de uma circunferência é o segmento da reta 4x y 1 0, situado entre os eixos de A equação dessa circunferência é: x + y + 4x + y = 0 x + y + 4x y = 0 x + y + x 4y = 0 x + y 4x + y = 0 e) x + y + 8x 6y = 0 Questão 56) A equação da circunferência com centro no ponto C(, ) e tangente à reta de equação x + 4y + 7 = 0 é: x + y x + y 6 = 0. x + y + x y + 6 = 0. x + y + 4x 6y + 1 = 0. x + y 4x 6y 1 = 0. e) x + y 4x + 6y + 1 = 0. Questão 57) O raio de uma circunferência de centro C(,4) tangente ao eixo do x é:

44 Questão 58) Assinale qual das equações abaixo representa uma circunferência: x + y + 4x y + 1 = 0 x + y + xy 4x 6y 9 = 0 x + y 4x 6y = 0 4x 4y = 0 e) x + y + 4x 6y + 15 = 0 Questão 60) A equação da circunferência de centro no ponto C(1;) e que passa pelo ponto P( 1;5) é: x + y + x + 4y = 44 x + y + x 4y = 4 x + y x + 4y = 48 x + y x 4y = 8 e) x + y x y = Questão 61) Os laboratórios de física nuclear, até 190, dispunham de aceleradores de partículas apenas na forma linear. O inconveniente desses aceleradores é que necessitam uma extensão muito grande para as partículas atingirem altas velocidades. A partir daquele ano, Ernest Lawrence inventou o cíclotron, no qual as partículas são aceleradas em trajetórias circulares.com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que uma partícula que descreve uma trajetória circular sobre uma circunferência de equação x + y 16x 1y = 0 percorre, nessa trajetória, uma distância igual a 0 u.c 10 u.c 100 u.c 8 u.c Questão 6) Sendo afirmativas: a circunferência de equação x + y 6y + 7 = 0 no plano cartesiano, considere as seguintes I. O raio de é 7 II. O centro de é o ponto C = (0,) III. A reta r tangente a no ponto P = (1,) tem equação y = 1 + x. Assinale a alternativa correta. Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. Somente a afirmativa II é verdadeira. Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 44

45 Questão 6) Duas circunferências têm equações x + (y ) = 4 e (x 1) + y = 1. Podemos afirmar que elas são tangentes internas secantes tangentes externas interiores não concorrentes Questão 64) Sendo a circunferência L: x + y 6x y 6 = 0 e os pontos A(7, 1), B(, ) e D(5, 8); é verdadeiro afirmar: A L, B é ponto exterior de L e D é ponto interior de L. A L, B é ponto interior de L e D é ponto exterior de L. A L, B é ponto interior de L e D é ponto exterior de L. A L, B é ponto exterior de L e D é ponto interior de L. Questão 65) A distância do centro da circunferência x x y 4y 0 à origem é 5 Questão 66) Considere os pontos A(,0) e B(0,4) dados em relação ao sistema cartesiano ortogonal xoy. Se estes pontos são extremos de um diâmetro de uma circunferência, então a equação reduzida desta circunferência é dada por: (x ) + (y 4) = (x 1) + (y ) = 5 (x ) + (y 4) = (x 1) + (y ) = 5 e) (x + 1) + (y + ) = 5 Questão 67) Se as retas de equações unitário, a equação dessa circunferência é: x + y + 8x 4y 1 = 0. x + y +4x 8y + 19 = 0. x + y 4x + 8y 19 = 0. x + y + 4x 8y 1 = 0. e) x + y 4x + 8y + 19 = 0. x y 6 e 6x y 8 se interceptam no centro de uma circunferência de raio 45

46 Questão 68) Considere a circunferência C dada pela equação x y 4x 5 0. O raio desta circunferência é: Questão 69) Considerando que o triângulo eqüilátero ABC está inscrito na circunferência de equação (x ) (y - ) , então a medida do segmento AB é Questão 70) Os valores de k para os quais o ponto (k, ) seja exterior à circunferência x y - 4x 6y 8 0, são: k < 0 ou k > 4 0 < k < 4 0 k k e) k 1 Questão 71) Sejam a circunferência valer :x y - y k 0 e a reta r :x 4y Para que r seja tangente a, k deve e) 10. Questão 7) Considere as retas r : x + y - 4 = 0, s : x + y - 5 = 0 e o círculo x + x + y - 4y = 0. A reta que passa pelo centro do círculo e pela interseção das retas r e s é x - y - = 0 x - y - 1 = 0 x - y - = 0 x + y - 7 = 0 e) x + y - 5 = 0 Questão 7) Qual das seguintes retas passa pelo centro da circunferência x + y + 4y = 0? 46

47 x + y = 4. 5x y =. x + y = 0. x 5y =. e) x + y = 7. TEXTO questão: 74 Poderão ser utilizados os seguintes símbolos e conceitos com os respectivos significados: log x: logarítimo de x na base 10 log a x : logarítimo de x na base a Círculo de raio r 0 : conjunto dos pontos do plano cuja distância a um ponto fixo do plano é igual a r. Questão 74) Na figura abaixo, o octógono regular está inscrito no círculo de equação x y 4 0. A área do octógono é e) 0 47

48 Ensino Médio - ª série Estudos de Recuperação para o EXAME Disciplina: MATEMÁTICA Professor: Luiz Antonio Escossi GABARITO: 5) Gab: A 50) Gab: C 1) Gab: D 8) Gab: A 6) Gab: B 1) Gab: D 6) Gab: A 51) Gab: E 14) Gab: D 9) Gab: C 64) Gab: B ) Gab: A 7) Gab: B 5) Gab: B 15) Gab: A 40) Gab: B 65) Gab: B ) Gab: E 8) Gab: E 5) Gab: B 16) Gab: C 41) Gab: D 66) Gab: B 4) Gab: A 9) Gab: C 54) Gab: E 17) Gab: D 4) Gab: 0 67) Gab: E 5) Gab: E 0) Gab: A 55) Gab: C 18) Gab: C 4) Gab: B 68) Gab: A 6) Gab: B 1) Gab: A 56) Gab: D 19) Gab: A 44) Gab: B 69) Gab: C 7) Gab: C ) Gab: E 57) Gab: D 0) Gab: A 45) Gab: A 70) Gab: A 8) Gab: E ) Gab: B 58) Gab: C 1) Gab: D 46) Gab: A 71) Gab: B 9) Gab: C 4) Gab: B 59) Gab: D ) Gab: B 47) Gab: B 7) Gab: E 10) Gab: B 5) Gab: E 60) Gab: D ) Gab: E 48) Gab: E 7) Gab: B 11) Gab: D 6) Gab: C 61) Gab: A 4) Gab: E 49) Gab: E 74) Gab: B 1) Gab: A 7) Gab: C 6) Gab: A

49 49

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

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94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

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