GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA 05

2 - PLANO CARTESIANO ORTOGONAL Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema. IMPORTANTE Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal ) Origem (0,0) ) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares b i ( a, a) ou ( -a, -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares bp ( -a, a ) ou ( a, -a) TABELA: Obtenha o ponto P conforme a localização notável N PONTO LOCALIZAÇÃO NOTÁVEL RESPOSTA P(,k) EIXO X P(,0) P(,k) b i ( bissetriz dos quadrantes ímpares 3 P(,k) bp ( bissetriz dos quadrantes pares) 4 P (k,-3) EIXO Y 5 P (k,-3) b i ( bissetriz dos quadrantes ímpares 6 P (k,-3) bp ( bissetriz dos quadrantes pares) 7 P( m+3, m+) b ( bissetriz dos quadrantes ímpares 8 P( m+3, m+) bp ( bissetriz dos quadrantes i pares)

3 Após ter com concluído a TABELA, responda esses exercícios para as provas: ) Determine as coordenadas do ponto P( 3k-4, k+5) sabendo que ele pertence a bissetriz dos quadrantes ímpares. )-(UNIFESP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também y por (4 + y, x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, x é igual a a) -8. b) -6. c). d) 8. e) (IFSP) Os vértices de um triângulo ABC tem coordenadas A( 3,5) B(, -6) e C( -4,). O triângulo A B C é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A B C é: a) A(3,5) B( -,-6) C(, -4) D( 4,) 4-(ANGLO) Num sistema cartesiano, o ponto P (a-3, a-4) pertence ao segundo quadrante. Assim sendo, o número real a é tal que: a) <a<3 b) -3< a <- c) 0 <a < d) a < 3 e) 3 < a < 5- (FUVEST) Se (m + n, m - 4) e ( - m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: a) - b) 0 c) d) e)/ ) P(3, 3) )A 3)D 4)A 5) E Respostas: -DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras. y b B y a A d AB y b - y a x b x a x a x b d AB ( xa xb) ( ya yb ) ou d AB ( xb xa) ( yb ya ) 3

4 TABELA : Calcule a distância entre os pontos. N PONTOS RESPOSTAS A(,3) e B( 5,4) A( -,4 ) e B (,7) 3 A(,4 ) e origem 4 A(,3) e B( -,4) 5 A(-6,8) e origem TABELA 3: Determine as coordenadas do ponto P para que seja equidistante de A e B N PONTO P PONTOS A E B RESPOSTA P(x,5) A (-,3) e B(4,) Eixo x A(,3) e B (-3,5) 3 Bissetriz dos quadrantes pares A (8,-8) e B(,-) Após ter completado as tabela e 3, resolva esses exercícios para prova. 0-(UFRG) Sendo os pontos A = (-, 5) e B = (, ) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a). b). c) 3. d) 5. e) 5 0-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 b) 4 c) 8 d)8 e) 6 03-(ANGLO) Dois vértices consecutivos de um quadrado ABCD são os pontos A (,0) e B ( 0,). Calcule o comprimento da diagonal do quadrado 04-(UFRGS) A distância entre os pontos A(-, y) e B(6, 7) é 0. O valor de y é: a) b) 0 c) ou 3 d) - ou 0 e) ou 05-( ANGLO) Qual o ponto do eixo das ordenadas que equidista dos pontos A(, -) e B(6, 3)? a) (0,5) b) (5,0) c) (,3) d) (6,) e) (-,0) 06-(ANGLO) O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(, ) e D(0, 7) é: a) 5 b) 0 c) 0 d) 7 e) 9 Respostas )E )A 3) 4)C 5)A 6)B 4

5 3- PONTO MÉDIO Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas X M e Y M do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio. TABELA 4: Complete a tabela sabendo que A e B são pontos dos extremos de um segmento e M o ponto médio de AB. N PONTO A PONTO B PONTO MÉDIO M A (,4) B (3,7) A( -,8) Origem 3 A(,5) M (,8) 4 B ( -,4) M ( 5,3) 5 A ( 4,4) Origem 6 B( -,-7) M ( 4,-) Após ter completado a tabela 4, resolva esses exercícios para prova. )Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C( 5,-). ) Dados os vértices consecutivos, A(-,) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices. 5

6 3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (, 3), B (0, 9) e C (0, 3) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale: a) 3 b) 3 c) 5 d) 3 e) 6 4-(FEI) O simétrico do ponto A=(,3) em relação ao ponto P=(3,) é: a) B = (5, -) b) B = (, -) c) B = (-, 3) d) B = (, ) e) B = (4, 0) 5-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M = (-, 3) for o ponto médio da hipotenusa BC, é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: a) - 4 b) - c) d) (PUC) Os pontos (-, 6), (0, 0) e (3, ) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice. a) (, 7). b) (4, -5). c) (, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3). 07-(ANGLO) Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(,4), então W é igual a: a)5 b)3 c)34 d)44 e) 6 08-(ANGLO) O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A(-, ), B(, 3) e C(4, 7), é a) 4 b)3 c) 5 d) 6 e) RESPOSTAS )5 ) C (8,-3) e D (,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A 7)C 8)C 4-BARICENTRO Sabemos da Geometria plana, que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas. Sendo G o baricentro, temos que AG =. GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições, as coordenadas do baricentro G(x g, y g ) do triângulo ABC onde A(x a, y a ), B(x b, y b ) e C(x c, y c ) é dado por : 6

7 Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A, B e C. Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5), B(4, -) e C(, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas. TABELA 5: Complete a tabela sabendo que A, B e C são vértices de um triângulo e G o seu baricentro. N PONTO A PONTO B PONTO C BARICENTRO G A (,4) B (3,7) C( -,) A( -,8) Origem C( 3,5) 3 A(,5) C (,8) G(,4) 4 B ( -,4) C ( 5,3) Origem Após ter completado a tabela 5, resolva esses exercícios para prova. - O baricentro de um triângulo é G(,6) e dois de seus vértices são A(,5) e B (4,7). Determinar o terceiro vértice - Calcule a distância do baricentro do triângulo A (,4), B(,7) e C (3,) à origem. 3- (FEI) Dado um triângulo de vértices (,); (3,); (-,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é: a) (, 3/) b) (3/, ) c) (3/, 3/) d) (, 5/3) e) (0, 3/) 4-(ANGLO) -Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, ) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, ). Calcule o valor de m + n. 5-(ANGLO) Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(,5), Y(-4,6), qual o comprimento do segmento BZ? RESPOSTAS ) C( -3,6) ) 5 3)D 4) 850 5) 65 7

8 5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS 5. - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada por S = D onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A, B e C. Temos portanto: A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área) Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus Condição de alinhamento de três pontos Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta. É óbvio que se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). Fazendo S = 0 na fórmula de área do item., concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo, ou seja : D = 0. Exercício resolvido: Se os pontos P(3, 5), Q(-3, 8) e C(4, y) são colineares, então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) Solução: Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter: 8

9 Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 3-3y y + 0 = 0 y = 9/ = 4,5. Portanto a alternativa correta é a letra D. TABELA 6: Calcule a área do triângulo ABC. N PONTO A PONTO B PONTO C ÁREA A (,4) B (3,0) C( -,) A( -,) Origem C( 3,5) 3 A(,5) B(,4) C (,8) TABELA 7: Determine k para que os pontos ABC sejam colineares ( NÃO FORMAM TRIÂNGULO) N PONTO A PONTO B PONTO C k A (,k) B (3,) C( -,) A( -,) Origem C( k,5) 3 A(,k) B(,4) C (,0) Após ter completado as tabelas 6 E 7, resolva esses exercícios para prova. 0-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,) e C ( 7,-3), são colineares? 0-Para que valores de a os pontos A (0,a), B (a, -4) e C (, ) são vértices de um triângulo? 03-Dados A(3,) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 04-Dados A (,-3) e B ( 8,), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 05-Dados A (7,4) e B( -4,), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares. 06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são (, ), (3, 4) e (4, -), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 0. e) 07-(PUC) O valor de x para que os pontos (,3), (-,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) d) 0 e) 5 08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (, ), Q = (, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 0, a abscissa x do ponto R é: a) 8 b) 9 c) 0 d) e) 9

10 09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices A = (,), B = (,4) e C = (4,). a) 5/ b) 3 c) 7/ d) 4 e) 9/ 0-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,) e (,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 7/3 d) / e) 5,3 -(ANGLO) Dados os pontos A(0,0), B(5,0), C(8,5) e D(,8) no plano cartesiano ortogonal, P é um 5 ponto do.º quadrante tal que as áreas dos triângulos APB e CPD são, respectivamente, iguais a e 6. Em tais condições, o produto da abscissa pela ordenada de P pode ser igual a a) 8. b)0. c). d)4. e)5. RESPOSTAS ) x= ) a - e a 4 3) (0,-5) 4) ( -3,-3) 5) (-30/3, 30/3) 6)A 7)D 8)E 09)C 0)C )B 6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA 6.- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO Inclinação α é o ângulo que a reta forma com o eixo x ( ângulo da direita), sendo que esse ângulo α deve pertencer ao intervalo 0 α< 80 O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real a que representa a sua inclinação ( temos que: m = a =tgα ). Por definição, Exemplo Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º. Inclinação igual a 45 e coeficiente angular igual a: m = tg 45 =. Exemplo : Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90 e menor que 80. 0

11 Inclinação igual a 5 e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 5 = -,48 Exemplo 3: Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90 o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90. Exemplo 4: Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 80, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 80º = COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois pontos, A x, y e B x b, yb a a Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C. m tg cateto oposto cateto adjacente y x A A y x B B y x B B y x A A

12 TABELA 8: Calcule o coeficiente angular da reta conforme os dados fornecidos, sendo que α é a inclinação da reta N DADOS CONEFICIENTE ANGULAR m α = 30 A( 3,) E B (,8) 3 α = 0 4 A (3,8) e B ( 9, 8) 5 A( -,5) e origem 6 α = 35 Após ter completado as tabela 8, resolva esses exercícios para prova. 0- (UFRS) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo representado a seguir. A sequência das retas r, s e t que corresponde à ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. d) s, t, r. e) t, s, r. - (UFSCAR) Considere a relação gráfica: Podemos afirmar que a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo. c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero. d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I. e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II.

13 3-(ANGLO) O valor de b para que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(4,) e B(b +,4b) seja é: a) b) 0 c) d) e) 5 RESPOSTAS )C )D 3)C 7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x A, y A ) e do coeficiente angular m dessa reta. Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x A, y A ). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P A. y y0 A equação fundamenta da reta é: m y y0 m( x x0 ) x x 0 TABELA 9: Determine a equação da reta conforme os dados fornecidos, sendo que α é a inclinação da reta N DADOS EQUAÇÃO DA RETA ( ISOLAR Y) α = 30 e P (,5) A( 3,) E B (,8) 3 α = 0 e P (-,4) 4 A (3,8) e B ( 9, 8) 5 A( -,5) e origem 6 α = 35 e origem 7 A(,4) e B (5,5) 8 A(,7) e B (,9) 3

14 Após ter completado as tabela 9, resolva esses exercícios para prova. -(PUC) Os pontos A = (-; ), B = (; -) e C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é: a) x + 5y + 3 = 0 b) x -y - 4 = 0. c) x - 5y - 7 = 0 d) x +y - 3= 0 e) x-3y-5 = 0 -(FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é 8, a equação de r é: a) x - y = 4 b) x - y = 6 c) x + y = d) x + y = 4 e) x + y = 6 3) (UNITAU) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é: a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) y = x. e) 6y = x. 4- (UFPE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (, ) e faz com o semieixo positivo ox um ângulo de 60 é: a) x - y = - b) 3 x + y = - 3 c) 3 x - y = 3 - d) 3 x + y = - 3 e) 3 x - y = (FEI) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = - é: a) x - 3y - = 0 b) x - 3y - 3 = 0 c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - = 0 e) 3x + y + = 0 6-(PUC) Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (;3). Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então a equação da reta a) r é 3 x + 3y - 6 = 0 b) s é x + y + 4 = 0 c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0 d) s é x + y - 4 = 0 e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0 07-(Unirio ) A equação geral da reta anterior representada é: 4

15 a) 3x - 3 y + 6 = 0 b) 3x + 3 y + 6 = 0 c) 3 x - y - = 0 3 d) y = 3 x + 3 e) y = 3 (x+) 8-(PUC) A reta x + y = no plano xy passa pelos pontos a) (5, -4) e (/, /). b) (0, 0) e (/, /). c) (0, 0) e (, ). d) (, 0) e (, ). e) (5, -4) e (4, -5). 9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir. Uma equação cartesiana da reta r é 3 a) y = 3 - x b) y = 3 (-x) c) y = - 3 x d) y = 3 (-x) e) y = 3 (x-) 3 0-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7, representado a seguir. A área desse triângulo é a) 40 b) 35 c) 30 d) 5 e) 0 - (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 - k)y + k - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então seu coeficiente angular é igual a: a) 0 b) 5/4 c) - d) -8/5 e) / -(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = x +, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5. 3- (PUC) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k)y + k - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o valor da constante k deve ser: a) ± b) ± 3 c) e 6 d) - e -6 e) e 3 5

16 4-(URPR) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, ) e C = (, ) e avalie as afirmativas a seguir. I. O triângulo ABC é isósceles. II. O ponto D = (, /) pertence ao segmento AB. III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é x + y = 5. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 5-(UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: a) x y 4 b) 4x 9y 0 c) x 3y d) x y 3 e) x y 3 Gabarito ) D ) E 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 0)E )D )B 3)C 4)A 5)A 8.-Equação geral da reta 8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo: Em que: a, b, e c são números reais; a e b não são simultaneamente nulos. Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r. 6

17 8.-Equação reduzida da reta Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α): Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0: Onde: 7

18 8.3-Equação segmentária da reta Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0). Vamos escrever a equação da reta r: Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta: OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela origem. 8.4-Equação paramétrica da reta As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta. As equações x = t + 9 e y = t são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos: Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. x = t + 9 x 9 = t y = t y = (x 9) y = x 8 y = x 9 x y 9 = 0 é a equação geral da reta s. 8

19 8.5-Reta horizontal É toda reta do tipo y=k. 8.6-Reta vertical. É toda reta do tipo x=k. (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU) TABELA 0: Determine coeficiente angular m e o linear q das retas. N RETAS m q y=3x-5 +3y-=0 3 y =4 4 4x-3y-7=0 5 y t 5 x t 6 y 4t 6 x 3t 9

20 Após ter completado as TABELA 0, resolva esses exercícios para prova. -(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = x cuja distância ao ponto A = (, ) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 -(UEL) São dados os pontos A = (-, ), B = (0, -3) e C = (, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: a) y = b) x = c) x = y d) x - y = e) x + y = 3-(PUC) Considere a parábola de equação y = -x²+ x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 35, então a equação de r é a) x + y -6 = 0 b) x - y + = 0 c) x + y - = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: a) 3x + 4y - = 0 b) 3x - 4y + = 0 c) 4x + 3y + = 0 d) 4x - 3y - = 0 e) 4x - 3y + = 0 5-(UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, está representada a reta r de equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o valor de a é a) - 5 b) - c) 6/5 d) e) 5 6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t 0) x t dada pelas equações. A distância percorrida pelo ponto P (x,y) para 0 t 3 é y 3t. a) b) 3 c) 3 d) 3 3 e) 6 7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é a) 7/7 b) 0/3 c) 9/0 d) /5 08- (Fgv) O ponto da reta de equação y = (/)x + 3, situado no. quadrante e equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja soma é: a) menor que. b) maior que 5. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 0. GABARITO )D )A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C 0

21 9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico. 9.-Retas paralelas Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO m u m t e q u q t As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO m u m t e q u q t

22 9.-Retas concorrentes Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não. As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes. As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox. TABELA : Determine m para que as retas r e s sejam paralelas. N Reta r Reta s m 3x-y+4 = 0 mx + y +3 =0 mx-y+4=0 x + y +7=0 3 x+my-=0 x+y=0 4 x-my+4=0 5x-y=0 TABELA : Determine a equação da reta r que passa por P para que seja paralela à reta s N Ponto P Reta s Reta r P(,4) y=3x-4 P (-,) x +y-=0 3 Origem 6x-y+3=0 4 P(,6) x=4

23 Após ter completado as TABELA e, resolva esses exercícios para prova. 0-(UFMG ) Observe a figura. Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas a) 3, 5 b), 5 c) (, ) d) (3, ) e) (, ) 0-(UNAERP) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa: a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0 03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) - b) - 0,5 c) 0,5 d) e) (Cesgranrio) Se as retas y + (x/) + 4 = 0 e my + x + = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale: a). b) 3. c) 4. d) 5. e) (Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-0=0. Um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y=x-4 tem abscissa. A equação de r é a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 0 = 0 06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (6, ) e NÃO intercepta a reta de equação y = (x/) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 3/) c) (7, 7) d) (7, 5/) 07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/) +7. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é a) y = (x/) + 0 b) y = - x + 5 c) y = x + d) y = - x + 5 e) y = x (CFTMG) As retas x + ky = 3 e x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é a) - b) -/ c) / d) 09- (UFRRJ) Sabendo que as retas mx + (m - )y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + são paralelas, o valor de m será: a) /. b) - /. c) 3/. d) - 3/. e) 5/. 3

24 0- (UNEMAT) Dada a equação de reta (s): x - y + = 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(,) será: a) x - y = 0 b) x + y + = 0 c) x + y - = 0 d) x - y - = 0 e) x - y + = 0 )B )D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 0)D 0-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum. Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a tx + b ty + c t = 0 e a ux + b uy + c u = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum. O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x 0, y 0) que representa o ponto de intersecção. Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y 7 = 0 e 3x + y + = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s. Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo: x + 4y 7 = 0 3x + y + = 0 x + 4y = 7 (-3) 3x + y = - -3x y = - 3x + y = - -y = - y = Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x: x + 4y = 7 x + 4. = 7 x + 8 = 7 x = 7 8 x = - Portanto, o ponto P(x 0, y 0) = (-,). 4

25 TABELA 3: Determine o ponto de intersecção P das retas r e s N Reta r Reta s P y=3x- y=x+4 3x-y+4 = 0 x + y +7=0 3 x+y-=0 x+y=0 4 x=5 y=4 Após ter completado as TABELA 3, resolva esses exercícios para prova. 0-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações x - y - 3 = 0 e 3x - y + = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A = (5,) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é: a) 5x - y - 4 = 0 b) 5x + y - 6 = 0 c) x + 5y - 0 = 0 d) x - 5y = 0 0- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (,5) e a reta que passa por (,7) e (4,3) é: a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/, 4). e) (0/3, 3/3). 03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = x +, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de b é: a) b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e x + y = se interceptam: a) em nenhum ponto. b) num ponto da reta x = 0. c) num ponto da reta y = 0. d) no ponto (3, 0). e) no ponto (/, 0). 05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - = 0 e (/) x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(, 0) e P é a) /3. b) 5/3. c) 8/3. d) 0/3. e) 0/ (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-, 0) e P = (0, ) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, ). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é: a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 ) d) 3 (3 3 ) e) 5 ( ) 07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - y = 4, s: 5x + 6y = 56 e t: 5x + 0y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é a) 4. b) 8. c) 36. d) 48. e) (UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x +. O valor de a é a) - b) - c) 0 d) e) GABARITO )A )E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D 5

26 -CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO Considere duas retas perpendiculares r e s. Pelo teorema dos ângulos externos temos : =90 + tg( ) sen(90 cos( ) ) 0 sen90.cos 0 cos90.cos sen.cos90 0 sen90. sen 0 = cos sen = tg PORTANTO tg tg Portanto m s, ou seja, m r. ms m r TABELA 4: Determine m para que as retas r e s sejam perpendiculares. N Reta r Reta s m 3x-y+4 = 0 mx + y +3 =0 mx-y+4=0 x + y +7=0 3 x+my-=0 x+y=0 4 x-my+4=0 5x-y=0 6

27 TABELA 5: Determine a equação da reta r que passa por P para que seja perpendicular à reta s N Ponto P Reta s Reta r P(,4) y=3x-4 P (-,) x +y-=0 3 Origem 6x-y+3=0 4 P(,6) x=4 Após ter completado as TABELA 4 e 5, resolva esses exercícios para prova. 0-(FATEC) Se A=(-,3) e B=(,), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-,) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-/, /) e) (-/4, /4) 0-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação x + y - = 0 no ponto de abscissa -. A equação da reta r é a) x - y + 7 = 0 b) x + y - 7 = 0 c) -x + y + 7 = 0 d) x + y + 7 = 0 e) x + y - = 0 03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, ), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto: a) (5, 5) b) (5, 0) c) (5, 5) d) (5, ) e) (5, 0) 04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (, ) e é perpendicular à reta y=x+3 é: a) x + y - 5 = 0 b) x + y = 0 c) x + y - 4 = 0 d) x - y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0 05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - y + = 0, e o ponto de coordenadas (,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é: a) 4x + y - 5 = 0 b) x - y + 6 = 0 c) x + y - 0 = 0 d) x + y - 8 = (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas a) se interceptam no ponto de coordenadas (-,). b) se interceptam formando um ângulo de 60. c) são perpendiculares aos eixos OX e OY, respectivamente. d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3). 07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - = 0 e y + 3x + 9 = 0 são a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0). 08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) x-y=5, e passando pelo ponto P(,), intercepta o eixo das abscissas no ponto: a) (9/, 0) b) (5, 0) c) (/, 0) d) (6, 0) e) (3/, 0) 09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) -/5 b) -/5 c) 0 d) /5 e) /5 7

28 0 -(Fgv ) Considere os pontos A = (, - ); B = (-, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação: a) y - x - 3 = 0 b) y - x + 3 = 0 c) y + x + 3 = 0 d) y + x + 9 = 0 e) y + x - 9 = 0. (Fgv ) As retas de equações y = - x - e y = [(-a + )/(a - )] x + são perpendiculares. O valor de a é: a) b) / c) d) - e) 3/. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = x +, traçada pelo ponto P (4, -) é a) y = - (/)x - b) y = (/)x - c) y = - (/)x + d) y = (/) x + 3-(Puc) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (, 5) e são definidas pelas equações y = ax + e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a: a) - 4 b) - c) 4 d) 6 4- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 0 = 0 e equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 0x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 0y + 5 = 0. c) 5x - 9y - 6 = 0. d) 5x + 3y - 0 = 0. e) 5x - 3y - 4 = 0. 5-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (, ) em relação à reta r: x + y - = 0 é: a) (, ) b) (/, -3/) c) (-/, -/) d) (-/, -3/) e) (/, 3/) 6-(AMAN-05) O ponto simétrico do ponto (,5) em relação à reta x+3y-4=0 é o ponto a) ( -3,-) b) (-,-) c) (-4,4) d)(3,8) e) (3,) GABARITO )A )A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 0)A )E )C 3)D 4)A 5)C 6)A -DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P=(x o,y o ) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste ponto P à reta através da expressão matemática: DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR A distância da origem (0,0) à reta 5x+y+5=0 é: 8

29 TABELA 6: Calcule a distância do ponto P à reta r N Ponto P Reta r Distância d P(,4) y=3x-4 P (-,) 5x +y-=0 3 Origem 6x-y+3=0 4 P(,6) x=4 Após ter completado as TABELA 6, resolva esses exercícios para prova. -(FGV) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: a) - 6/3 b) - 7/3 c) - 8/3 d) - 9/3 e) - 0/3 - Calcule o comprimento da altura do triangulo ABC, sendo A ( 7,4), B ( -,) e C ( 0,3) em relação ao vértice A RESPOSTAS )A ) 3 3-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES Uma inequação do o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura. 9

30 Exemplo Resolver graficamente a) x + y - > 0 e x - y < 0 b) x + y - > 0 ou x - y < 0 30

31 EXERCÍCIOS PARA PROVA -(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir. Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y 0 e tais que 3 a) y x + 3 e y -3x + 3 b) y 3x + 3 e y -3x + c) y 3 x + 3 e y -3x + 3 d) y 3x + 3 e y 3 x + 3 e) y x + 3 e y -3x - -(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y 5 y 3 x 0 y 0 tem uma área A. O valor de A é: a) 0 b) 0,5 c) d),5 e) 3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas x + y = e x + y = 4 é: a) 3 b) c) 3,5 d),5 e),5 4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações 3x 5y 5 0 x 5y 0 0 x 0 a),5 b) 7,5 c) 5 d),5 e) 3 5- (Puc) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é: a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e). 6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = - x + 9, x = e y = é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 0. RESPOSTAS )A )B 3)D 4)A 5)B 6)D 3

32 4- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r², Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r. A definição de uma equação de uma circunferência é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r. Ou seja d CP r Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos: d CP ( xc x p ) ( yc y p ) =r ou seja ( b x a) ( y ) =r Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: (x-a)² + (y-b)² = r², Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,) e R = /3. Basta substituirmos esses dados na equação R = (x a) + (y b). (x (-4)) + (y ) = (/3) (x + 4) + (y ) = /9 Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x /) + (y + 5/) = 9. É preciso que seja feito à comparação das equações: (x /) + (y + 5/) = 9 (x a) + (y b) = R - a = -/ a = / e - b = 5/ b = -5/ R = 9 R = 3 Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x /) + (y + 5/) = 9 é igual a C(/, -5/) e raio igual a R = 3 3

33 TABELA 7: Determine a equação reduzida das circunferências de centro C e raio r N Centro C Raio r Equação C(,4) C (-,) 3 Origem 4 C (,0) 5 TABELA 8: Determine o centro e o raio das circunferências N Equação Raio r Centro C (x-3)²+(y-)²=4 x²+(y+3)² = 3 x²+y²=3 Após ter completado as TABELA 7e 8, resolva esses exercícios para prova. - (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é: a) (x - ) + (y - ) = 5 b) (x - ) + (y - ) = 0 c) (x - ) + (y - ) = 5 d) (x + ) + (y + ) = 5 e) (x + ) + (y + ) = 0 - (Pucrs) Os pontos (3, ) e (9, -7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a equação de c é a) (x + 6) + (y - 3) = 5 b) (x + 6) + (y - 3) = 0 c) (x - 6) + (y + 3) = 0 d) (x - 6) + (y - 3) = 5 e) (x - 6) + (y + 3) = 5 3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação (x + 3) + (y - 3) = 0 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 4- (PUC) A distância entre o centro da circunferência de equação (x - ) + (y + 5) = 9 e a reta de equação y + 5 x = 0 é a) - 5 b) 0 c) d) 5 e) 9 5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência de equação (x - ) + (y + ) = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas x - 3y + 5 = 0 e x - y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é: a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência. 33

34 6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função: f(x) = x - 5x + 6. Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é: a) (x - 6) + y = 45 b) x + (y - 6) = 9 c) x + (y - 6) = 45 d) (x - 6) + y = 9 e) x + (y - 3) = 9 7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4) + (y - 3) = 5 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 8 GABARITO )A )E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B 5-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes. (x a)² + (y b)² = r² x² xa + a² + y² yb + b² r² = 0 x + y ax by + a + b r = 0 Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução. Comparação Dada a equação x + y x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x + y ax by + a + b r = 0, temos: a = a = b = 8 b = 8 b = 4 a² + b² r² = 8 ² + ( 4)² r² = r² = 8 7 r² = 8 r² = 8 7 r² = 9 r = 3 34

35 Portanto, a circunferência de equação igual a x + y x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(, 4) e raio igual a r = 3. Redução Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio. Pegando como exemplo a equação x + y x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo: º passo É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente. (x x) + (y + 8y) = 8 º passo Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito. (x x +) + (y + 8y) = 8 + 3º passo Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito. (x x +) + (y + 8y + 6) = (x x +) + (y + 8y + 6) = 9 (x ) + (y + 4) = 9 Comparando com a equação reduzida. (x ) + (y + 4) = 9 (x + a) + (y + b) = r Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (, 4) e R = 3. TABELA 9: Determine o centro e o raio das circunferências N Equação Raio r Centro C x² +y²-4x-6y-=0 x² +y²+8x-6y-6=0 3 x² +y²-6y-7=0 4 x² +y²+8x-=0 35

36 Após ter completado as TABELA 9, resolva esses exercícios para prova. -(Udesc ) Para que a equação x + y - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter: a) K < 0 b) K > 3 c) K < d) K > e) K < 0 - (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x + y - x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é: a) y = x + b) y = x - c) y = x/ d) y = x e) y = x 3-(Cesgranrio) As circunferências x + y + 8x + 6y = 0 e x + y - 6x - y = 0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas. 4. (Ufrs ) A equação x + y + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 3 d) m > -3 e) m < 3 5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas x - y + = e x + y - = é: a) x + y - 4x - y - 0 = 0 b) x + y - 4x - y + 0 = 0 c) x + y - 4x + y + 0 = 0 d) x + y - 4x + y - 0 = 0 e) x + y + 4x - y - 0 = 0 6-(Unirio ) A equação x + y - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a: a) - b) 3 c) 5 d) 8 e) 5 7-(Unifesp ) A equação x + y + 6x + 4y + = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de raio e centro a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, ). d) (-3, -). e) (6, -4). 8-(Ufv ) Considere a equação x + y - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação anterior represente uma circunferência é: a) 3 b) c) 4 d) 8 e) 0 9- (Pucpr ) A distância do ponto P(; 8) ao centro da circunferência x + y - 8x - 8y + 4 = 0 é: a) b) c) 3 d) 5 e) 6 0-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos (, 3) e (-, ). Então, a equação do círculo é a) x + y + 4y - = 0. b) x + y - 4y + = 0. c) x + y - y + = 0. d) x + y + = 0. e) x + y - 4y = 0. (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de equações x + y - 6x + y + 6 = 0 e 3x + 7y - = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação a) 3x + 7y - = 0 b) 3x - 7y - = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 6 = 0 e) 7x + 3y - = 0 - ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à circunferência de equação x + y - 4x - 5 = 0 mede a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 36

37 3- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação x + y - 4 = 0. A área do octógono é a) 5. b) 8. c) 0. d) 0. e) (Ufjf ) Considere uma circunferência c de equação x + y + 8x - y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c de centro em O(3, - ) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à circunferência c e externos à circunferência c, em unidades de área, é: a) 0π. b) 80π. c) 00π. d) 0π. e) 00π. 5-(GV) Dada a equação x² + y² = 4x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x + y - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,4, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente, a) 7 e 3,04 b) 7 e 53,86 c) e 3,04 d) 4 e 3,04 e) 4 e 53,86 7-(Fgv ) Dada a circunferência de equação x + y 6x 0y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 0 b) 0,5 c) d),5 e) 8-(Fgv ) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) c) e) x y 0 x 0 y 0 0 b) x y 0 x 0 y 0 0 d) x y 4x 4y 4 0 x y 8 x 8 y 8 0 x y 8 x 8 y (Ueg ) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação y x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (0,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (0,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s. 0) (Ufjf) No plano cartesiano, considere os pontos A(,) e B(3,4). a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 35º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário. b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determinado pela intersecção das retas r e s. c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(,) e tangencia as retas r e s. RESPOSTAS ) A ) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 0)B )A )D 3)B 4)C 5)D 6)E 7)A 8)B 9) (x-5)² +y²=5 0)a) y=-x+ b) y=x+ c) (x-)² +(y-)² = 37

38 6-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA CASO RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0 CASO RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 CASO 3 RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 38

39 Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum. O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência (x - a) + (y - b) = R. Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência. Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau. Exemplo: Verifique se a circunferência (x+) + y = 5 e a reta x + y 6 = 0 possui algum ponto de intersecção. Resolução: x + y 6 = 0 equação (x+) + y = 5 equação Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y 6 = 0 x = 6 y Substituímos o valor de x na equação. (6 y +) + y = 5 (-y + 7) + y = 5 (-y) 4y y = 5 y 4y y = 0 y 4y + 4 = 0 (: ) y 7y + = 0 Δ = b 4ac Δ = (-7) 4.. Δ = Δ = Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação. Para y = 4 x = 6 y x = 6 4 x = Para y = 3 x = 6 y x = 6 3 x = 3 Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (,4) e (3,3). 39

40 EXERCÍCIOS PARA AS PROVAS - (Fei ) O comprimento da corda que a reta x + y = 3 determina na circunferência de centro em (,) e raio a) b) c) 3 d) 4 e) 5 5 é: -(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta x - y - 0 = 0 seja tangente a essa circunferência? a) 4 b) 5 c) 0 d) 5 e) (Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que passa pelos pontos (-, ) e (, 5), tem as coordenadas na relação a) y + x = 6 b) 5y + x = 5 c) 5y + 3x = 5 d) 8y + 3x = 5 e) 9y + 4x = (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência x + y = 9. O valor de b é a) 5/4 b) 6/3 c) 6 d) 0/3 e) 7 5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x + y - 4x - = 0, então a circunferência α, que é concêntrica à circunferência β e tangente à reta r: x + y = 0, é a) x + (y + ) = 4 b) y - 4x + y = 0 c) x + y + 4y + = 0 d) x + y - 4x + = 0 e) (x + ) + y = 6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(,) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é a) (x + ) + (y - ) = 8 b) (x - ) + (y - ) = c) (x - ) + (y + ) = d) (x - ) + (y - ) = 4 e) (x - )- (x - ) = 4 7- (Fgv ) A reta de equação y = x - determina, na circunferência de equação x + y = 3, uma corda de comprimento: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x + y - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale a) 5 b) 30 c) 45 d) 60 e) (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa circunferência é o ponto: a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (, 3) 0-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema x y 9, pode-se afirmar que esta área corresponde a x y 3 0 a) 9 π 9 π 3 π 3 b). c) π 3 π 3 d). e)

41 - (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos das inequações y - x - e x + y, no sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é a) π/4 - / b) π/4 - /3 c) π/ - d) π/ + e) 3π/ - -(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação (x - ) + (y - 3) =. Os valores de k são: a) - ou 0 b) - ou c) 0 ou d) ou 3 e) ou 4 3- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação x + y - 4x - 8y + 5 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é a) x - y + 3 = 0 b) x + y - 5 = 0 c) x + y - 4 = 0 d) x + y - 5 = 0 e) x - y - 4 = 0 4- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x + (y - ) = com a reta mx - y + = 0, onde m é real, podemos afirmar que: a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m. 5- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x + ) + (y - ) = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É CORRETO afirmar: a) r é tangente a C. b) r não corta C. c) r corta C no ponto (, ). d) r passa pelo centro de C. 6- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x - é a) b) c) d) e) - 7-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças (x - )+ (y - ) 4 e x y. A área de R, em unidades de superfície, é a) π b) π c) π d) 4π e) 4π 8-(PUC) A área da região do plano limitada pela curva de equação (x - ) + (y - ) = 4 com x e y é a) 4π b) π c) π d) π/ e) π/4 9- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - y = 0 e da circunferência λ: x + y - 0y + 5 = 0, podemos afirmar que a) a reta é tangente à circunferência. b) a reta é secante à circunferência. c) a reta é exterior à circunferência. d) a reta está em plano distinto da circunferência. 0- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c. -(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y = x + b é tangente ao círculo de equação x + y = é: a) b) c) d) e) 3 GABARITO )E )B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 0)B )A )D 3)B 4)C 5)D 6)D 7)B 8)C 9)A 0)C ) C 4

42 7-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS -ELIPSE Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F e F, resulta em uma constante a, onde a > c. Na ilustração da elipse acima temos: F e F são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (c). O segmento AA é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição a. O segmento BB é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a b. O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos AA e FF. A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a. Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que: a² = b² + c² É o conjunto de pontos P (x,y) do plano tal que a soma da distância a dois pontos fixos ( focos) é uma constante ( a) focos : os pontos F e F centro: o ponto C x ; ), que é o ponto médio de ( 0 y0 semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A, A, B, B 4

43 eixo maior: eixo menor: distância focal: relação fundamental : a² = b² + c² excentricidade e=c/a 0<e< EQUAÇÕES REDUZIDAS Eixo maior paralelo ao eixo x: ( x x0 ) ( y y0 ) a b Eixo maior paralelo ao eixo y: ( x x0 ) ( y y0 ) b a ÁREA DA ELIPSE: A= ab Exemplo Vamos determinar as equações das seguintes elipses: a) a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 00 a = 0 Equação: b) 43

44 a² = b² + c² a² = 5² + ² a² = a² = 69 a = 3 Equação: Exemplo Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 44. Temos que 6 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 6 a = 4 b² = 4 a = a² = b² + c² 6 = + c² c² = 6 c² = 4 Os focos são F(4,0) e F( 4,0) e as extremidades dos eixos maiores são A(5,0) e A( 5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (57 630), grande astrônomo alemão. -HIPÉRBOLE No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica. Definição de hipérbole: Considere F e F como sendo dois pontos distintos do plano e c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F e F é a constante a (0 < a < c). A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. 44

45 Hipérbole com focos sobre o eixo x. Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F (c, 0) e F ( c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: Hipérbole com focos sobre o eixo y. Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F (0, c) e F (0, c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: Elementos e propriedades da hipérbole: c é a distância focal. c = a + b relação fundamental. A ( a, 0) e A (a, 0) são os vértices da hipérbole. a é a medida do eixo real. b é a medida do eixo imaginário. c/a é a excentricidade Exemplo. Determine a equação da hipérbole com focos F ( 0, 0) e F (0, 0) e eixo real medindo 6 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 0. Foi dado que o eixo real tem 6 unidades de comprimento. Logo, temos que: 45

46 a = 6 a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c = a + b 0 = 8 + b b = b = 36 b = 6 Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: Exemplo. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F (0, c) e F (0, c). Da equação da hipérbole obtemos que: a = 6 a = 4 b = 9 b = 3 Utilizando a relação fundamental, teremos: c = a + b c = c = 5 c = 5 Portanto, os focos da hipérbole são F (0, 5) e F (0, 5). 3- PARÁBOLA -Como traçar uma parábola. Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não pertencente à diretriz, chamado foco. Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F. O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta: 46

47 -Definição Considere no plano cartesiano xoy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo: Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde: PF = distância entre os pontos P e F PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz). Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/ 3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP' Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano: 47

48 Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y = px onde p é a medida do parâmetro da parábola Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x 0, y 0 ) Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x 0, y 0 ), a equação acima fica: (y - y 0 ) = p(x-x 0 ) 3. - Parábola de eixo vertical e vértice na origem : Se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x = py Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x 0, y 0 ) : Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x 0, y 0 ), a equação acima fica: (x - x 0 ) = p(y - y 0 ) Exercícios resolvidos - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(,0) e vértice na origem? Solução: Temos p/ = p = 4 Daí, por substituição direta, vem: y =.4.x y = 8x ou y - 8x = 0. - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(,0)? Solução: Como já sabemos que VF = p/, vem, = p/ p = 4. Logo, (y - 0) =.4(x - ) y = 8(x-) y - 8x + 6 = 0, que é a equação da parábola. 3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(,3)? Solução: Como VF = p/, vem: 4 = p/ p = 8. Daí, vem: (y - 3) =.8(x - ) y - 6y + 9 = 6x - 3 y - 6y - 6x + 4 = 0, que é a equação procurada. 4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,)? Solução: Como VF = p/, vem: 3 = p/ p = 6. Logo, (x - 0) =.6(y - ) x = y - x - y + = 0, que é a equação procurada. Parte superior do formulário Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de parábola, deve deduzir sua utilização. Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais fracos se concentram tornando-se um sinal forte. 48

49 TABELA 0: Dadas as equações das elipses, calcule o eixo maior (a), o eixo menor (b), a distância focal (c), os focos F e F e a excentricidade (e), N Equação a b c F F e x 5 y 6 x 6 y 5 3 x 9 y 4 4 x 4 4 y 5 5 4x²+9y²-36=0 49

50 50 TABELA : Reconheça as curvas das equações dadas. N Equação Nome da curva x+3y+4=0 x²-7x+=0 3 x²+y²+4x+y-5= y x y x y x y x y x y x 0 4x² +9y²=36 4x² -9y²=36 x² = 4y 3 x² +y²-4x-6y-8=0 4 x²+y²-6x-4y+0=0

51 EXERCÍCIOS PARA PROVA A distância entre o centro da circunferência de equação x y x² + y² + 8x 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação é: 5 6 a) 58 b) 56 c)4 d) 7 e) ) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita. Associe a ª coluna com a ª coluna A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo, é: a) I, IV, II, V e III b) I, V, III, IV e II c) II, III, V, I e IV d) III, II, IV, I e V e) IV, II, V, I e III 3. (Uff ) As equações y - x = 0, y + x = 0 e y - x + = 0 representam no plano, respectivamente: a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole 4. (Unirio) As equações x - 9y - 6x - 8y - 9 = 0, x + y - x + 4y + = 0 e x - 4x - 4y + 8 = 0 representam, respectivamente, uma: a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta. 5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a curva de equação x + 6y = 6 é: 5

52 6. (Unirio ) A área do triângulo PFF, onde P(,-8) e F e F são os focos da elipse de equação x/5 + y/9 =, é igual a: a) 8 b) 6 c) 0 d) 3 e) (Cesgranrio) A equação 9x + 4y - 8x - 7 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36 b) 4 c) 8 d) 6 e) 8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x+5y=5 com os eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 3 c) 34 d) (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma: a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole. 0. (Ufpi ) O gráfico da equação x - y = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a),0 e,0 b) (, 0) e (-, 0) c) (, 0) e (-,0) d) (0, ) e (0, - ) e) 0, e 0,. (Ufc ) O número de pontos de interseção das curvas x + y = 4 e (x/5) + (y/) = é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=cost e y=5sent com t lr é: a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse 3. A expressão (x²/00)+(y²/36)= é a equação reduzida de uma elipse de a) excentricidade 5/3. b) distância focal 6. c) eixo menor igual a 6. d) eixo maior igual a 0. e) centro no ponto (5; 6).. 4. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é a) a parábola de equação y = (x/) + 4. b) a parábola de equação y = (x/4) +. c) a parábola de equação y = 4x +. d) a parábola de equação y = x +. 5

53 5. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x/4) - (y/9) = é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. 6. (Unifesp ) A área sombreada na figura, limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: a) π. b) π. c) 3π. d) 4π. e) 6π. 7. (Ufpe) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada: a) circunferência b) parábola c) hipérbole d) elipse e) reta 8. (Ufc ) No plano cartesiano, x - y + 5x - 5y = 0 é uma equação de: a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes. 9. (Unifesp ) A parábola y = x - nx + tem vértice no ponto (xn, yn). O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é a) uma parábola. b) uma elipse. c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta. e) duas retas concorrentes. 0. (Fatec) As intersecções das curvas de equações x + y - 7x - 9 = 0 e y = x + são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela intersecção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação x - y + 3 = 0, é a) x + y - = 0 b) x + y + = 0 c) x - y + 4 = 0 d) x - y - = 0 e) x - y + = 0. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A equação x - x + y + y + = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. ( ) A elipse de equação 9x + 4y = 36 intercepta a hipérbole de equação x - 4y = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x + 4y = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x - 4y = 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 53

54 . (Uft ) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR. Encontre os valores de b, tais que no plano x cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse y 4 em um único ponto. A soma dos valores de b é: a) 0 b) c) 5 d) 5 e) 5 3. (Ufrn) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões m por 8 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 0 m e o eixo menor, 6 m, conforme ilustra a figura abaixo. O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 4. (Unesp) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação x y 00 5 =, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede 4 π. A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: a) 5. b) 0. c) 5. d) 0. e) (Ufrn) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é a) a parábola de equação y = (x /) + 4. b) a parábola de equação y = (x /4) +. c) a parábola de equação y = 4x +. d) a parábola de equação y = x +. 54

55 6. (Puc) O gráfico da curva de equação (x /4) - (y /9) = é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. 7. (Unesp) A figura representa uma elipse. A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é a) x 5 + y 7 =. b) x y 7 6 =. c) (x - 5) + (y - 7) =. d) x y 7 6 =. e) x y 4 7 =. 8. (Fuvest) A elipse x + (y /) = 9/4 e a reta y = x +, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é: a) (-/3, -/3) b) (/3, -7/3) c) (/3, -5/3) d) (-/3, /3) e) (-/4, /) 9. (Fgv 03) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x ) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) (Udesc 03) A área delimitada por uma elipse cuja equação é Então, a área da região situada entre as elipses de equações a) π u.a. b) 0π u.a. c) 8π u.a. d) 56π u.a. e) π u.a. x y a b 6x 5y 400 e é dada por A ab π. 6x 9y 44 é: 3. (Uem 03) Sobre a cônica de equação x 4y 9, assinale o que for correto. 0) Trata-se de uma elipse. 0) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e ( 3,0). 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro. 08) A circunferência centrada na origem e de raio tangencia essa cônica. 6) O ponto, pertence à cônica. GABARITO )A )A 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 0)C )C)E 3)B 4)B 5)V 6)C 7)D 8)E 9)A 0)D )B )A 3)C 4)B 5)B 6)C 7)B 8)D 9)C 30) C 3) = 3. 55

56 FUVEST PRIMEIRA FASE 0-(Fuvest 994) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o centro da circunferência x + y - x - 4y = 0. Então a equação de s é: a) x - y = - 6 b) x + y = 6 c) x + y = 3 d) y - x = 3 e) x + y = 6. (Fuvest 995) Sejam A = (, ) e B = (3, ) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são: 5 a) (, + 3 ). b) 3, c) (, + 3 ). d) (, - 3 ). e) ( + 3, + 3 ). 3. (Fuvest 95) Uma circunferência de raio, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x - 3y = 0. Então a abscissa do centro dessa circunferência é: a) b) c) 3 d) 4 ) 5 4. (Fuvest 990) A reta y = mx (m > 0) é tangente à circunferência (x - 4) + y = 4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. a) 5. b). c) 3. d). e) (Fuvest 996) A figura adiante mostra parte do gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos os valores reais de m para os quais a equação f(x)=m tem três raízes reais distintas é: a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0 d) - < m < e) m > (Fuvest 996) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B = (, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x + y = 5. A abcissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é: a) - b) - 3/4 c) d) 3/4 e) 7. (Fuvest 996) Para cada número real n seja Pn=(xn,yn) o ponto de intersecção das retas nx + y = e x - ny =. Sabendo-se que todos os pontos Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência? a) (/, /) b) (0,0) c) (-/, /) d) (-/, -/) e) (,) 8. (Fuvest 989) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x + y = 0y. Se A é o ponto (3, ), então B é o ponto a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 0) d) (-3, ) e) (, 3) 9. (Fuvest 997) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é a) y + x = 0 b) y = x + c) y - x = 6 d) x + y = 8 e) y = x 0. (Fuvest 997) Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se 56

57 a) y < x e y < -x + b) y < x ou y > -x + c) x < y e y > -x + d) -x + < y < x e) x < y < -x +. (Fuvest 998) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (,0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (,), (5,), (5,5) e (,5). Então 5. (Fuvest 000) Se (m + n, m - 4) e ( - m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: a) - b) 0 c) d) e) / 6. (Fuvest 00) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação (x + y + ). (x + 3y - ). (3x - y + 3) = 0, pode ser representado, graficamente, por: a) 0 < m < 3 b) m = 3 c) 3 < m < d) m = e) < m < 5 3. (Fuvest-99) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é 8, a equação de r é: a) x - y = 4 b) x - y = 6 c) x + y = d) x + y = 4 e) x + y = 6 3. (Fuvest 000) Uma circunferência passa pelos pontos (,0), (,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 4. (Fuvest 000) Das regiões hachuradas na sequência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades x 0; y 0; x - y + 0; x + y 9, é: 7. (Fuvest 00) A elipse x + (y/) = 9/4 e a reta y = x +, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é: a) (-/3, -/3) b) (/3, -7/3) c) (/3, -5/3) d) (-/3, /3) e) (-/4, /) 8. (Fuvest 00) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = - x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então, as coordenadas de C são: a) (6, ) b) (6, ) c) (5, 3) d) (5, ) e) (5, ) 9. (Fuvest 003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (,). O produto de seus coeficientes angulares é e a 57

58 reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 0. (Fuvest 004) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado a seguir em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é: a) 5 - b) 5 - c) 5 - d) + 5 e) 5 +. (Fuvest 006) O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que satisfazem t - t - 6 = 0, onde t = x - y, consiste de a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas.. (Fuvest 008) A circunferência dada pela equação x + y - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale a) π - b) π + c) π + 4 d) π + 6 e) π (Fuvest 009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - ) + (y - ) = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a: a) - b) - c) d) + e) (Fuvest 00) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = é tangente à circunferência C no ponto (0,). Além disso, o ponto (,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a a) 3 d) 9 b) 5 e) c) 7 5. (Fuvest 0) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-/,4) é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale a) 5 8 b) 5 4 c) 5 d) e) 5 6.(FUVEST-0) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (, ). Nessas condições, o raio de C vale a) 5 b) 5 c) 5 d) 3 5 e) 0 7.(Fuvest 03) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação x y. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 8-(FUVEST-04) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado A B e o vértice P sobre o lado B C. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é a) (4, 6/ 5 ) b) ( 7 /4, 3) c) (5, /5 ) d) ( /, ) e) (6, 8 /5) 58

59 9-(FUVEST-05) A equação X² + x +y² + my =n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y= -x + contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e d) e 4 e) e 3 GABARITO ) B )A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 0)E )C )E 3)D 4)A 5)E 6)D 7)D 8)E 9)B 0)B )B )B 3)D 4)B 5)E 6)C 7)D 8)D 9)A FUVEST SEGUNDA FASE. (Fuvest 994) Fixado o ponto N = (0, ), a cada ponto P do eixo das abscissas associamos o ponto P' N obtido pela intersecção da reta PN com a circunferência x + y =. a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos pontos (x, y) da circunferência, com y < 0? b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferência, associado a P = (c, 0), c 0?. (Fuvest 995) Sejam A = (0, 0), B = (0, 5) e C = (4, 3) pontos do plano cartesiano. a) Determine o coeficiente angular da reta BC. b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz? c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A. 3. (Fuvest 99) a) As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são (-3, ) e (5, -5). Determine a equação da circunferência. b) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (9, y = 0 e y = 3. 3 ) e que é tangente às retas 4. (Fuvest 99) Seja S a região do plano cartesiano representada pelo triângulo ABC e seu interior. Determine um sistema de inequações que caracterize os pontos (x, y) pertencentes a S. 5. (Fuvest 993) Determine as equações das retas do plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que não interceptam a curva do plano dada pela equação x/4 - y/9 = 6. (Fuvest 996) Considere a função f(x) = x ( x a) Determine constantes reais α, β e γ de modo que (f(x)) = α [(x + β) + γ] b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação x + y =. 7. (Fuvest 996) Considere, no plano cartesiano, os pontos P = (0, -5) e Q = (0, 5). Seja X = (x, y) um ponto qualquer com x > 0. a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX? b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ. 59

60 c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = (x, y) tais que x > 0 e PXQ = (π/4) radianos. 8. (Fuvest 997) Considere as circunferências que passam pelos pontos (0, 0) e (, 0) e que são tangentes à reta y = x +. a) Determine as coordenadas dos centros dessas circunferências. b) Determine os raios dessas circunferências. 9. (Fuvest 998) Um quadrado está inscrito numa circunferência de centro (,). Um dos vértices do quadrado é o ponto (-3,-). Determine os outros três vértices do quadrado. 0. (Fuvest 999) Um pirata enterrou um tesouro numa ilha e deixou um mapa com as seguintes indicações: o tesouro está enterrado num ponto da linha reta entre os dois rochedos; está a mais de 50 m do poço e a menos de 0 m do rio (cujo leito é reto). a) Determine, em função de α, a área da região sombreada na figura. b) Para que valor de α essa área é máxima? 3. (Fuvest 00) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r: y = 5x - 3, e um de seus catetos está contido na reta s: y = x -. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine a) todos os vértices do triângulo; b) a área do triângulo. 4. (Fuvest 00) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x. a) Descreva, usando equações e inequações, as indicações deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de coordenadas mostrado na figura. b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenada x do ponto (x, 0) onde o tesouro está enterrado.. (Fuvest 999) A reta r tem equação x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(, ) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) determine a equação de s. b) calcule a área do triângulo ABC.. (Fuvest 000) Considere os pontos A = (-, 0), B = (, 0), C = (0, 3) e P = (0, α), com 0 < α < 3. Pelo ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo ABC. a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima. 5. (Fuvest 003) a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferência C passa pelos pontos (,0) e (3,0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C. 6. (Fuvest 004) Na figura a seguir, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto. Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta x - y = 0 e P = (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas 60

61 a) do vértice B. b) do vértice C. 7. (Fuvest 006) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB. 8. (Fuvest 006) a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y = (/x) - e x + y - 6 = 0 se interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AOB = ACB e que pertence à reta x =. Nota: AOB indica o ângulo cujos lados são OA e OB e ACB indica o ângulo cujos lados são CA e CB. 0. (Fuvest 008) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x + y = 5, o ponto P = (, 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. Os segmentos AB, AB, A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B0D, BD, BD3 são paralelos ao eixo Ox, e a distancia entre Bi e Bi+ é igual a 9, para 0 i. Nessas condições: a) Determine as abscissas de A, A, A3. b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+ e altura Ai+Di+, para 0 i, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R e R.. (Fuvest 009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, ) e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triangulo APQ. 3. (Fuvest 00) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função y 8 x. (Fuvest 009) Na figura a seguir, a reta r tem equação y = ( )x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B, B, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0,). Os pontos A0, A, A, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O = (0, 0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi, para i 3. Nessas condições, determine a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função. 6

62 b) a área do pentágono OABCD. Gabarito: ) a) P (a, 0)/- < a < b) P' [c/(c+); (c- )/(c+)] ) a) m = -/ b) y = x e o ponto A pertence à mediatriz c) y = -x/ 3) a) (x - ) + (y + ) = 5 b) λ: (x - 6) + (y - 3 ) = λ: (x - 4) + (y ) = 96/3 4) 3x y 4 0 3x y 4 0 y 5) y = mx, m 3/ ou x = 0 6) a) α = -, β = -/4 e γ = - /6 b) e 7) a) O coeficiente angular da reta PX é igual a (y+5)/x e o c.a. da reta QX é igual a (y-5)/x. b) Consideremos tg do ângulo PXQ = σ ) se σ = π/; não existe tg σ ) tg σ = 0x/(x+y-5) c) Graficamente é o arco da circunferência de centro (5, 0) e raio 5 contido no semiplano x>0. 8) a) (,) e (, -7) b) e 5 9) Os vértices pedidos são: (5, 5), (4, -) e (-, 6). 0) a) 0 < x < 0 y = 0 x + (y - 40) > 50 x y 0 < 0. ) a) x - y = -3 b) 8/0 ) a) - α + α + 3 b) A área é máxima para α =. 3) a) (6, 5), (3, ) e (4, 7) b) 6 4) a) (7u + 8). (8 - u)/54 b) 64/7 3 5) a) 3 b) m 3m m 6) a) B = (6, 3)b) C = (, ) 7) 8) a) A (4; ) e B (3; 3) b) C (; - 5 ) 0) a) x + y - 5 = 0. b) ( 3 +; 0). ) a) 3, 6 e 9. b) 9. ( + 6 )u.a. ) a) P (-,-) b) (x + 5) + (y - )=5 c) 5/4 u.a. a) A ;, B ;, C ; e D ; 3) b) 7 b) 30 < x < 0. ( + ) UNESP. (Unesp 994) Seja A a intersecção das retas r, de equação y = x, e s, de equação y = 4x -. Se B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é: a) /. b). c). d) 3. e) 4.. (Unesp 995) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(, ), B(4, -) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, o valor de m deve ser: a) 7/3. b) 8/3. c) 0/3. d) 3,5. e) /3. é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 4. (Unesp 993) Considere uma circunferência de raio r < 4, com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x um ângulo de 30, então o ponto de tangência correspondente é: a) (, - 3 ) b) (, - ) c) (, - 3 ) 3. (Unesp 99) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = x cuja distância ao ponto A = (, ) 6

63 d) (, - ) e) (, 3 ) 5. (Unesp 990) A distância do vértice da parábola y = (x - ) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é: a) 7/5 b) 9/5 c) 43 d) 43/5 e) 43/5 6. (Unesp 996) Os pontos O, A e B, do plano cartesiano da figura adiante, são os vértices de um triângulo equilátero cuja medida dos lados é dada por 3. As equações das retas AB e OB são, respectivamente, a) y = ( ). x - 3 e y = (- ). x. b) y = ( 3 ). x - e y = (- 3 ). x. c) y = ( 3 ). x - 3 e y = (- 3 ). x. d) y = x + 3 e y = -x. e) y = 3x + 3 e y = -3x. 7. (Unesp 989) Quando "a" varia sobre todos os números reais, as equações y = ax + representam a) um feixe de retas paralelas. b) um feixe de retas passando por (, 0). c) todas as retas passando pela origem. d) todas as retas passando por (0, ). e) todas as retas passando por (0, ), exceto uma. 8. (Unesp 998) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xoy, considere a reta r de equação y=x+ e o ponto P=(, ). O lugar geométrico dos pontos do plano, simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de equação a) y = x -. b) y = - x +. c) y = x + 3. d) y = x - 3. e) y = - x (Unesp 999) O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação (x + ) + (y - ) = 6 é a) 4. b) 4. c). d). e). 0. (Unesp 000) Seja S = {(x, y) e IR: x + y 6 e x + (y - ) 9} uma região do plano. A área de S é: a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π.. (Unesp 00) A equação da circunferência com centro no ponto C= (,) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por a) x + (y - 3) = 0. b) (x - ) + (y - ) = 4. c) (x - ) + (y - ) = 8. d) (x - ) + (y - ) = 6. e) x + (y - 3) = 8.. (Unesp 003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. 3. (Unesp 003) A figura representa uma elipse. A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é a) b) x 5 + x 5 9 y 7 + =. y 7 6 c) (x - 5) + (y - 7) =. =. 63

64 d) x y 7 6 =. e) x y 4 7 =. 4. (Unesp 004) O conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano, com y 0, para os quais x e y satisfazem a equação sen [y/(x + )] = 0 é uma a) família de parábolas. b) família de circunferências centradas na origem. c) família de retas. d) parábola passando pelo ponto Q(0,). e) circunferência centrada na origem. 5. (Unesp 006) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (, ) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q' = (, ) são, respectivamente: a) /3; x - 3y - 5 = 0. b) /3; x - 3y - = 0. c) - /3; x + 3y - 5 = 0. d) /3; x + 3y - 5 = 0. e) - /3; x + 3y + 5 = (Unesp 007) Um triângulo tem vértices P = (, ), Q = (, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendose que a área do triângulo é 0, a abscissa x0 do ponto R é: a) 8. b) 9. c) 0. d). e). 7. (Unesp 008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação x y 00 5 =, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede 4 π. A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: a) 5. b) 0. c) 5. d) 0. e) (Unesp 00) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,943 0,889 e 0, a) 35. b) 30. c) 5. d) 0. e) 5. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P e P, para produzir dois tipos de chocolates, C e C. Para produzir 000 unidades de C são exigidas 3 horas de trabalho no processo P e 3 horas em P. Para produzir 000 unidades de C 64

65 são necessárias hora de trabalho no processo P e 6 horas em P. Representando por x a quantidade diária de lotes de 000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P e por y a quantidade diária de lotes de 000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P é 3x + 6y. d) 9. (Unesp 00) Dado que no processo P podese trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P pode-se trabalhar no máximo 4 horas por dia, a representação no plano cartesiano do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, às duas restrições de número de horas possíveis de serem trabalhadas nos processos P e P, em um dia, é: a) e) 0. (Unesp 00) Dado que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P é de R$ 0,80, e se forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no número máximo possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será: a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00. d) 6.400,00. e).00,00. GABARITO )A )C 3)D 4)A 5)E 6)C 7)E 8)D 9)B 0)D )C )B 3)B 4)A 5)C 6)E 7)B 8)B 9)E 0)A b) c) 65

66 UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS. (Unesp 995) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de equação: x + y - 6x - 4y + = 0. Determine as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado.. (Unesp 994) A figura adiante mostra os gráficos de uma função exponencial y = ax e da reta que passa pelo ponto (0, 5/3) e tem inclinação 0/7. Pelo ponto C = (/, 0) passou-se a perpendicular ao eixo x, que corta os gráficos, respectivamente, em B e A. pontos em que r corta os eixos x e y. Seja, ainda, C o simétrico de B em relação à origem. Se o triângulo ABC é equilátero, determine a equação de r. 8. (Unesp 989) Ache os coeficientes angulares das retas r e s da figura a seguir e verifique se elas são ortogonais. 9. (Unesp 989) Usando apenas o material permitido nesta prova, esboce um gráfico e indique por meio de hachuras o conjunto dos pontos P(x,y) IR que satisfazem ao seguinte sistema de desigualdades: Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme mostra a figura, e que a medida do segmento AB é dada por 8/, determine o valor de a. 3. (Unesp 994) Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares de origem 0, considere os pontos A = (3, 0), B = (3, 5) e C = (0, 5). Seja 'r' a reta pelo ponto M = (, ) e que corta OC e AB em Q e P, respectivamente, de modo que a área do trapézio OQPA seja metade da do quadrado OCBA. Determine a equação de 'r'. 0 xy x y 0. (Unesp 989) Usando apenas o material permitido nesta prova, determine aproximadamente os coeficientes angulares das retas "r" e "s" da figura a seguir, sabendo que as escalas dos eixos x e y são iguais. 4. (Unesp 99) Seja AB o diâmetro da circunferência x + y - 6x - 8y + 4 = 0 contido na reta perpendicular a y = x + 7. Calcular as coordenadas de A e B. 5. (Unesp 99) Determinar os pontos de abscissa tais que, para cada um deles, o produto de suas distâncias aos eixos coordenados é igual ao quadrado de sua distância à reta y = x. 7. (Unesp 993) Seja r uma reta pelo ponto ( 3, - ). Indiquemos por A e B, respectivamente, os. (Unesp 996) Se M = (5/, 0) é o ponto médio do segmento cujos extremos são as interseções da circunferência x + y + mx - y - 4 = 0 com o eixo x, determine o centro dessa circunferência. 66

67 . (Unesp 990) A reta r é perpendicular à reta - 3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (, ). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (, ). 3. (Unesp 997) O tetraedro VABC da figura a seguir é regular e sua base encontra-se sobre um plano cartesiano, em relação ao qual seus vértices têm coordenadas A C 3 0,.,0, B,0 e Determine: a) a equação da reta; b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. 6. (Unesp 000) Considere a elipse de equação (x/5)+(y/9)= a) Mostre que o ponto P=(3,/5) pertence à elipse e calcule a distância de P ao eixo das abscissas. Dando-se à face ABV uma rotação em torno da aresta AB, no sentido indicado pela figura, até fazê-la coincidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas do ponto P que o vértice V ocupará após a rotação? 4. (Unesp 998) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (, -) e (-3, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas? 5. (Unesp 000) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, destas plantas. Após 0 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (,3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei 4x x matemática y =. Um esboço desses gráficos está apresentado na figura. b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, onde P=(3,/5). 7. (Unesp 00) Dada a reta r de equação 4x + y + 5 = 0 e o ponto P = (,-), determine a) o coeficiente angular de r; b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 8. (Unesp 00) Sejam A = (, 0) e B = (5, 0) pontos do plano e r a reta de equação y = x/. a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o gráfico da reta r. b) Se C = (x, x/), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C. 9. (Unesp 003) Considere a circunferência λ, de equação (x - 3) + y = 5. a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a λ, tal que y = e x > 3. b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de λ e por P, dê a equação e o coeficiente angular de r. 0. (Unesp 003) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (-, ) e (, -), 67

68 respectivamente, conforme a figura, a) calcule a distância entre A e B. b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xg, yg) =,, calcule as coordenadas (xc, yc) do 3 vértice C do triângulo.. (Unesp 004) Considere a circunferência x + (y - ) = 4 e o ponto P(0, -3). a) Encontre uma equação da reta que passe por P e tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa positiva. b) Determine as coordenadas do ponto Q. a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é y = x, determine as coordenadas de S. 3 b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região sombreada formada pela união dos triângulos OMT e PMS. 4. (Unesp 007) Sejam P = (a, b), Q = (, 3) e R = (-, -) pontos do plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares. 5. (Unesp 008) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m3 de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil m3.. (Unesp 005) A reta r de equação y = x intercepta a circunferência de centro na origem e raio 5 em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine: a) a equação da circunferência e os pontos P e Q; b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P. 3. (Unesp 006) Seja C a circunferência de centro (,0) e raio, e considere O e P os pontos de interseção de C com o eixo Ox. Sejam T e S pontos de C que pertencem, respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no ponto M, de forma que os triângulos OMT e PMS sejam congruentes, como mostra a figura. Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m3, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá mil m3. 6) (Unesp 03) Os pontos A e C são intersecções de duas cônicas dadas pelas equações x y 7 e y x, como mostra a figura fora de escala. Sabendo que tg 49 3 e tomando o ponto 3 B 0, 7, determine a medida aproximada do ângulo ABC, ˆ em graus. 68

69 7) a) b) x - y - 4 = 0 8) a) Observe o gráfico a seguir: Gabarito: ) y = x - e y = -x + 5 ) 4 3) x -y + = 0 4) (3 + ; 4 - ) e (3 - ; 4 + 5) ( ; 4-3 ) e ( ; ) 6) y = 3x - 7) y = 8) mr = 5 ; ms = x - 9) Observe a figura a seguir: b) C = (8,4). 9) a) P(4;) b) y =. x - 6 e mr = 0) a) AB = 3 b) C (3; 4) ) a) x - y - 6 =0 b) Q = /5; 6/5 ) a) x + y = 5; P(; ) e Q(-; -) b) x + y - 5 = ) a) (x - ) + y = 4 e S = ; 5 5 b) 4 3 u.a. e 3 5 u.a. 4) P = (, 5) 5) 6 anos 6) AOC ˆ ˆ 8 ABC 4 (ângulo inscrito) 0) ms = 3 mr = - ) (5/, /) ) (-,6) e (4,-) 3) P 3 0; 3 4) 3/0. 5) a) y = x b) 6 o dia, 9 cm. 6) a) I) Substituindo as coordenadas do ponto P na equação da elipse, temos: [3/5] + [(/5)/9] =, ou seja: = Logo, as coordenadas de P satisfazem à equação da elipse. Portanto, P pertence à elipse. II) Como a ordenada P é positiva, a distância pedida é /5. b) Q(-5, 0), R(5,0) e A = 69

70 UNICAMP PRIMEIRA FASE TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores. d) m.. (Unicamp 0) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por a) (x ) + (y 6). b) (x ) + (y 5). c) x ], 3[, y ]4, 6[. d) x =, y [5, 7]. 3. (Unicamp 0) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é a) 4 b) 3 4 c) 5 4 d) 7 4. (Unicamp 0) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de a) 500 m. b) m. c) 000 m. 4- (UNICAMP-04) No plano cartesiano, a reta de equação x 3y = intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas a) (4, 4/ 3). b) (3, ). c) (4, 4 /3). d) (3, ). GABARITO ) B ) B 3)C 4)D 70

71 UNICAMP SEGUNDA FASE. (Unicamp 994) a) Identifique as circunferências de equações x + y = x e x + y = y, calculando o raio e o centro das mesmas. Esboce seus gráficos. b) Determine os pontos de intersecção dessas circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em cada um desses pontos são perpendiculares entre si.. (Unicamp 995) Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano são dados o ponto (5, -6) e o círculo x + y = 5. A partir do ponto (5,-6), traçam-se duas tangentes ao círculo. Faça uma figura representativa desta situação e calcule o comprimento da corda que une os pontos de tangência. 3. (Unicamp 99) Um foguete com ogiva nuclear foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra e cairá perigosamente de volta à Terra. Se a trajetória plana desse foguete segue o gráfico da equação y = -x + 300x, com que inclinação se deve lançar outro foguete com trajetória retilínea, do mesmo ponto de lançamento, para que esse último intercepte e destrua o primeiro no ponto mais distante da Terra? 4. (Unicamp 99) Calcule a e b positivos na equação da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3, ) e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual (Unicamp 99) Dados três pontos a, b e c em uma reta, como indica a figura seguinte determine o ponto x da reta, tal que a soma das distâncias de x até a, de x até b e de x até c seja a menor possível. Explique seu raciocínio. 7. (Unicamp 996) Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto (0,-3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto (5/, 3/5). Justifique sua resposta. 8. (Unicamp 997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-, ) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x + y - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? b) Se a velocidade do ciclista A for de 0 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q? 9. (Unicamp 998) Se z = x + iy é um número complexo, o número real x é chamado "parte real de z" e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x + iy) = x. a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem à equação Re [(z + i)/(z - )] = /, ao qual se acrescenta o ponto (, 0), é uma circunferência. b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-, 0) e é tangente àquela circunferência. 0. (Unicamp 999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 4) e B(-4, 3) uma circunferência centrada na origem. a) Qual é o raio dessa circunferência? b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.. (Unicamp 000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? b) Se C é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os 6. (Unicamp 993) Dada uma elipse de semieixos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse. ângulos A C B.. (Unicamp 00) Considere, no plano xy, as retas y =, y = x - 5 e x - y + 5 = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do 7

72 triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC? 3. (Unicamp 003) As equações (x + ) + y = e (x - ) + y = 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas. b e y = cx são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c, a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área. a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências. b) Encontre o valor de a IR, a 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, 0), sejam tangentes às duas circunferências. 4. (Unicamp 004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = /x, x > 0. As abscissas de A, B e C são iguais a, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. 5. (Unicamp 005) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(00,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 0 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora? 6. (Unicamp 006) Sabe-se que a reta r(x) = mx + intercepta o gráfico da função y = I x l em dois pontos distintos, A e B. a) Determine os possíveis valores para m. b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima. 7. (Unicamp 007) Seja dada a reta x - 3y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45 com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). 9. (Unicamp 009) A circunferência de centro em (, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida pela equação x + y = 4, e pela semirreta que parte da origem e faz ângulo de 30 com o eixo-x, conforme a figura a seguir. a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Calcule a área da região sombreada. 0. (Unicamp 00) No desenho a seguir, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (,0), resolva as questões que se seguem. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x. 8. (Unicamp 008) As retas de equações y = ax + 7

73 b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada.. (Unicamp 0) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 4 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir. a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.. (Unicamp 03) Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por x, y e z. a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equações lineares: 3x y z 0,0 y z 0,55 z 0,5 Calcule x e y nesse caso. b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações 4% x y z 54%, x 0%, y 0% e z 0%. Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante. 3. (Unicamp 03) Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação ( p) x (p ) y 8p 4 0, nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real. a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y. Encontre o ponto de interseção neste caso. b) Considere a reta x 3y 0 dessa família para p =. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em que o segmento OA é um diâmetro. 73

74 4. (Unicamp 04) Considere no plano cartesiano os pontos A (, ) e B (, ). a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B. b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a 8. Gabarito: Resposta da questão : a) Observe a figura: Resposta da questão 9: Sendo z = x + iy um número complexo com (x,y) IR e i =. a) Substituindo z por x + iy, temos (z+i)/(z-) = (x+iy+i)/(x+iy-) com z = [x+(+y)i/(x-)+iy] Efetuando-se a divisão, temos que [(z+i)/(z-)] = (x-x+y+y)/(x+y-4x+4) = ½ Logo, x+y+4y-4 = 0 (z ). A condição z exclui o ponto (,0) da circunferência de equação x+y+4y-4=0, que tem centro (0,-) e raio. Portanto, se acrescentarmos o ponto (,0) a esse conjunto de pontos, obteremos a circunferência de centro (0,-) e raio. b) x - y + = 0 0) a) r = 5 b) S = 50 ) a) A (; ) e B (-; ) b) 45 ou 35 b) Um ponto de intersecção é (0,0) e as retas tangentes às respectivas circunferências por este ponto são x = 0 e y = 0, que são perpendiculares. O outro ponto de intersecção é (/, /) e as retas tangentes às respectivas circunferências por este ponto são y = / e x = / que são perpendiculares. ) A corda mede comprimento 3) α = arc tg 50 4) a = e b = unidades de ) a) (3; ), (-3; ) e (5; 5) b) u.a. 3) a) (0; 0) b) a = - 4 4) a) D = (3/, /3) b) Os pontos médios de AB e CD são, respectivamente, (5/, 5/) e (/4, /4). A equação da reta que passa por esses pontos é y = (/6)x. Como o coeficiente linear desta reta é zero, ela passa pela origem. 5) a) Não b) 400 (8 - π) km 6) a) - < m < b) m = 0 7) a) retas b) x - y + = 0 e x + y - = 0 5) O ponto x coincide com o ponto b. 6) A = 4 (a.b)/(a+b) 7) (0, -3) pertence a (5/, 3/5) é exterior à elipse 8) a) (7,7) b) 0π km/h 8) a) P = b b b a b, 0 a a b) a = - 8, b = 4 e c = 6.., Q = (0, b) e R = b b a, 74

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