GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA EDIÇÃO 016 1

2 1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema. IMPORTANTE Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal 1) Origem (0,0) ) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a, a) ou ( -a, -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a, a ) ou ( a, -a) EXERCÍCIO BÁSICO 01-(Unifesp 00) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e y também por (4 + y, x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, x é igual a a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9. GABARITO 1)A -DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.

3 EXERCÍCIOS BÁSICOS 01-Calcule a distância entre os pontos A( 1, 3 ) e B( -1,4) 0-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à origem. 03-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da BD é a) b) 3 c) d) 5 e) 5 04-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a).b). c) 3. d) 5. e) 5 05-Dados A (x,5), B (-,3) e C ( 4,1), obtenha x para que A seja equidistante de B e C. 06-Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que é equidistante aos pontos A(1,3) e B (-3,5) 07-Determine P, pertencente a bissetriz dos quadrantes pares, equidistante de A (8,-8) e B( 1,-) 08-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 b) 4 c) 8 d)8 e) (PUC) O ponto B = (3, b) é eqüidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3). d) (3, ) e) (3, 0) 10-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: a) 14. b) 13. c) 1. d) 9. e) 8. GABARITO 1) 5 )10 3)D 4) E 5) x= 6)P (-3,0) 7) (-5,5) 8)A 9)C 10)B 3- PONTO MÉDIO Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas X M e Y M do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1)Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C( 5,-1). ) Dados os vértices consecutivos, A(-,1) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices. 3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale: a) 3 b) 3 c) 5 d) 3 e) 6 4-(FEI) O simétrico do ponto A=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1) é: a) B = (5, -1) b) B = (1, -1) c) B = (-1, 3) d) B = (, ) e) B = (4, 0) 5-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da hipotenusa BC, é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: 3

4 a) - 4 b) - 1 c) 1 d) (Puc-rio) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice. a) (, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3). GABARITO 1)5 ) C (8,-3) e D (,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A 4-BARICENTRO Sabemos da Geometria plana, que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas. Sendo G o baricentro, temos que AG =. GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições, as coordenadas do baricentro G(x g, y g ) do triângulo ABC onde A(x a, y a ), B(x b, y b ) e C(x c, y c ) é dado por : Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A, B e C. Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5), B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1) O baricentro de um triângulo é G( 1,6) e dois de seus vértices são A(,5) e B (4,7). Determinar o terceiro vértice ) Calcule a distância do baricentro do triângulo A ( 1,4), B(,7) e C (3,1) à origem. d) (1, 5/3) e) (0, 3/) GABARITO 1) C( -3,6) ) 5 3)D 3)- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é: a) (1, 3/) b) (3/, 1) c) (3/, 3/) 4

5 5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada por S = 1 D onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A, B e C. Temos portanto: A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área) Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus Condição de alinhamento de três pontos Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta. É óbvio que se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1, concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo, ou seja : D = 0. Exercício resolvido: Se os pontos P(3, 5), Q(-3, 8) e C(4, y) são colineares, então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) Solução: Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter: 5

6 Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 3-3y y + 0 = 0 y = 9/ = 4,5. Portanto a alternativa correta é a letra D. EXERCÍCIOS BÁSICOS 01-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,1) e C ( 7,-3), são colineares? 0-Para que valores de a os pontos A (0,a), B (a, -4) e C (1, ) são vértices de um triângulo? 03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 04-Dados A (,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 05-Dados A (7,4) e B( -4,), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares. 06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são (1, ), (3, 4) e (4, -1), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 1 07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3), (-,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5 08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (, 1), Q = (, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 0, a abscissa x do ponto R é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,), B = (,4) e C = (4,1). a) 5/ b) 3 c) 7/ d) 4 e) 9/ 10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/ e) 5,3 GABARITO 1) x= ) a -1 e a 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13) 5) (-30/13, 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C 6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA 6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta). Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M. A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m) igual a: m = tg β. A inclinação da reta irá variar entre 0 β <180. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares: 6

7 Exemplo 1: Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º. Inclinação igual a 45 e coeficiente angular igual a: m = tg 45 = 1. Exemplo : Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90 e menor que 180. Inclinação igual a 15 e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 15 = -. Exemplo 3: Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90 o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90. Exemplo 4: Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 180º = COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois pontos, A x, y e B x b, yb a a 7

8 Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C. m tg cateto oposto cateto adjacente y x A A y x B B y x B B y x A A EXERCÍCIOS BÁSICOS 01- (Ufrs 007) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo representado a seguir. Podemos afirmar que a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo. c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero. d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I. e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II. GABARITO 1)C )D A sequência das retas r, s e t que corresponde à ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. d) s, t, r. e) t, s, r. - (Ufscar 004) Considere a relação gráfica: 8

9 7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x A, y A ) e do coeficiente angular m dessa reta. Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x A, y A ). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P A. A equação fundamenta da reta é: PARA FACILITAR A(x A, y A ) =A x 0, y0 m y x y x 0 y y0 m x x0 0 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1) Determine a equação da reta de 135 de inclinação e que passa pelo ponto A (1,4). ) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (,3) e B( 1,5) c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 e) 3x + y + 1 = 0 6-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (1;3). 3) (Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é: a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) y = x. e) 6y = x. 4- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um ângulo de 60 é: a) x - y = - 1 b) 3 x + y = 1-3 c) 3 x - y = 3-1 d) e) 3 3 x + y = x - y = 3-1 Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então a equação da reta a) r é 3 x + 3y - 6 = 0 b) s é x + y + 4 = 0 c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0 d) s é x + y - 4 = 0 e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0 5-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é: a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0 9

10 07-(Unirio ) A área desse triângulo é A equação geral da reta anterior representada é: a) 3x - 3 y + 6 = 0 b) 3x + 3 y + 6 = 0 c) 3 x - y - = 0 d) y = 3 x + 3 e) y = 3 3 (x+) 8-(Puc-rio) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos a) (5, -4) e (1/, 1/). b) (0, 0) e (1/, 1/). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5). 9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir. a) 40 b) 35 c) 30 d) 5 e) (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 - k)y + k - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então seu coeficiente angular é igual a: a) 0 b) 5/4 c) -1 d) -8/5 e) 1/ 1-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = x +, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/ (Pucpr ) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k)y + k - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o valor da constante k deve ser: a) ± b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) e 3 14-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e C = (1, ) e avalie as afirmativas a seguir. Uma equação cartesiana da reta r é 3 a) y = 3 - x b) y = 3 3 (1-x) c) y = 1-3 x d) y = 3 (1-x) e) y = 3 (x-1) 10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7, representado a seguir. I. O triângulo ABC é isósceles. II. O ponto D = (, 1/) pertence ao segmento AB. III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é x + y = 5. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 15-(UFPR-1)Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa 10

11 por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: d) x y 3 e) x y 3 Gabarito 1) y= -x+5 ) y=-x+7 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 10)E 11)D 1)B 13)C 14)A 15)A a) x y 4 b) 4x 9y 0 c) x 3y 1 8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA 8.1-Equação geral da reta Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo: Em que: a, b, e c são números reais; a e b não são simultaneamente nulos. Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r. 11

12 8.-Equação reduzida da reta Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α): Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0: Onde: 8.3-Equação segmentária da reta Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0). Vamos escrever a equação da reta r: 1

13 Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta: OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela origem. 8.4-Equação paramétrica da reta As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta. As equações x = t + 9 e y = t 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos: Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. x = t + 9 x 9 = t y = t 1 y = (x 9) 1 y = x 18 1 y = x 19 x y 19 = 0 é a equação geral da reta s. 8.5-Reta horizontal É toda reta do tipo y=k. 8.6-Reta vertical. É toda reta do tipo x=k. (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU) 13

14 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 -(UEL) São dados os pontos A = (-, 1), B = (0, -3) e C = (, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1 3-(PUC) Considere a parábola de equação y = -x²+ x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 135, então a equação de r é a) x + y -6 = 0 b) x - y + = 0 c) x + y - = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: a) 3x + 4y - 1 = 0 b) 3x - 4y + 1 = 0 c) 4x + 3y + 1 = 0 d) 4x - 3y - 1 = 0 e) 4x - 3y + 1 = 0 5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir. Nessa figura, está representada a reta r de equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o valor de a é a) - 5 b) - c) 6 d) e) (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t 0) dada pelas equações. x t A distância percorrida pelo ponto y 3t. P (x,y) para 0 t 3 é a) b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61 7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é a) 7/17 b) 10/3 c) 9/0 d) 1/5 08- (Fgv) O ponto da reta de equação y = (1/)x + 3, situado no 1. quadrante e equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja soma é: a) menor que 11. b) maior que 5. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 0. GABARITO 1)D )A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C 14

15 9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico. 9.1-Retas paralelas Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO m u m t e q u q t As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO m u m t e q u q t 15

16 9.-Retas concorrentes Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não. As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes. As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox. EXERCÍCIOS BÁSICOS 01-(Ufmg ) Observe a figura. 03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) - b) - 0,5 c) 0,5 d) e) (Cesgranrio) Se as retas y + (x/) + 4 = 0 e my + x + 1 = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale: a). b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas a) 3, 5 b) d) (3, ) e) (, ) 1, 5 c) (, 1) 0-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa: a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0 05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y=x-4 tem abscissa 1. A equação de r é a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0 06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação y = (x/) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/) c) (7, 7) d) (7, 15/) 07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/) +17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é a) y = (x/) + 10 b) y = - x + 5 c) y = x + 1 d) y = - x + 5 e) y = x

17 08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é a) - b) -1/ c) 1/ d) 09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - )y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o valor de m será: a) 1/. b) - 1/. c) 3/. d) - 3/. e) 5/. 10- (Unemat 010) Dada a equação de reta (s): x - y +1 = 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será: a) x - y = 0 b) x + y +1 = 0 c) x + y -1 = 0 d) x - y -1 = 0 e) x - y + = 0 1)B )D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D 10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum. Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a tx + b ty + c t = 0 e a ux + b uy + c u = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum. O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x 0, y 0) que representa o ponto de intersecção. Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s. Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo: x + 4y 7 = 0 3x + y + 1 = 0 x + 4y = 7 (-3) 3x + y = -1-3x 1y = -1 3x + y = -1-11y = - y = Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x: 17

18 x + 4y = 7 x + 4. = 7 x + 8 = 7 x = 7 8 x = -1 Portanto, o ponto P(x 0, y 0) = (-1,). EXERCÍCIOS BÁSICOS 01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações x - y - 3 = 0 e 3x - y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é: a) 5x - y - 4 = 0 b) 5x + y - 6 = 0 c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0 0- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (,5) e a reta que passa por (,7) e (4,3) é: a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/, 4). e) (10/3, 13/3). 03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de b é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e x + y = 1 se interceptam: a) em nenhum ponto. b) num ponto da reta x = 0. c) num ponto da reta y = 0. d) no ponto (3, 0). e) no ponto (1/, 0). 05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - = 0 e (1/) x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(, 0) e P é a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 0/ (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, ). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é: a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 ) d) 3 (3 3 ) e) 5 ( ) 07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 1y = 4, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 0y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é a) 14. b) 8. c) 36. d) 48. e) (UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x +. O valor de a é a) - b) - 1 c) 0 d) 1 e) GABARITO 1)A )E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D 11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO Considere duas retas perpendiculares r e s. Pelo teorema dos ângulos externos temos : =

19 tg sen 90 cos sen90.cos 0 cos90.cos 1 1 sen 1.cos90 0 sen90. sen 0 1 = cos sen 1 1 = 1 tg 1 PORTANTO tg 1 tg 1 Portanto m s 1, ou seja, m r. ms 1 m r EXERCÍCIOS BÁSICOS 01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/, 1/) e) (-1/4, 1/4) 0-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1. A equação da reta r é a) x - y + 7 = 0 b) x + y - 7 = 0 c) -x + y + 7 = 0 d) x + y + 7 = 0 e) x + y - 1 = 0 03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto: a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0) 04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (1, ) e é perpendicular à reta y=x+3 é: a) x + y - 5 = 0 b) x + y = 0 c) x + y - 4 = 0 d) x - y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0 05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas (,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é: a) 4x + y - 5 = 0 b) x - y + 6 = 0 c) x + y - 10 = 0 d) x + y - 8 = (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas a) se interceptam no ponto de coordenadas (-1,). b) se interceptam formando um ângulo de 60. c) são perpendiculares aos eixos OX e OY, respectivamente. d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3). 07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (1, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0). 08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) x-y=5, e passando pelo ponto P(1,), intercepta o eixo das abscissas no ponto: a) (9/, 0) b) (5, 0) c) (11/, 0) d) (6, 0) e) (13/, 0) 09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) -/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) /5 10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - ); B = (-, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação: a) y - x - 3 = 0 b) y - x + 3 = 0 c) y + x + 3 = 0 d) y + x + 9 = 0 e) y + x - 9 = (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y = [(-a + 1)/(a - )] x + 1 são perpendiculares. O valor de a é: a) b) 1/ c) 1 d) - e) 3/ 1. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é a) y = - (1/)x - 1 b) y = (1/)x - 1 c) y = - (1/)x + 1 d) y = (1/) x (Pucmg ) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a: a) - 4 b) - c) 4 d) (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e 19

20 equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = (FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (1, 1) em relação à reta r: x + y - 1 = 0 é: a) (1, 1) b) (1/, -3/) c) (-1/, -1/) d) (-1/, -3/) e) (1/, 3/) GABARITO 1)A )A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 11)E 1)C 13)D 14)A 15)C 1-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P=(x o,y o ) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste ponto P à reta através da expressão matemática: DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR A distância da origem (0,0) à reta 5x+1y+5=0 é: EXERCÍCIOS BÁSICOS 1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 0/3 GABARITO 1)A 0

21 13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES Uma inequação do 1 o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura. 1

22 Exemplo 1 Resolver graficamente a) x + y - > 0 e x - y < 0 b) x + y - > 0 ou x - y < 0 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir. Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y 0 e tais que a) y b) y c) y 3 x + 3 e y -3x + 3 3x + 3 e y -3x x + 3 e y -3x d) y 3x + 3 e y x + 3 e) y x + 3 e y -3x -1 -(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y 5 y 3 x 0 y 0 tem uma área A. O valor de A é: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

23 3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas x + y = 1 e x + y = 4 é: a) 3 b) c) 3,5 d),5 e) 1,5 GABARITO 1)A )B 3)D 4)A 5)B 6)D 4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações 3x 5y 15 0 x 5y 10 0 x 0 a),5 b) 7,5 c) 5 d) 1,5 e) 3 5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é: a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1. 6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = - x + 9, x = 1 e y = 1 é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r², Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r. A definição de uma equação de uma circunferência é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r. Ou seja d CP r Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos: d x x y y =r CP c p c p x a y b =r 3

24 Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: (x-a)² + (y-b)² = r², Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. Basta substituirmos esses dados na equação R = (x a) + (y b). (x (-4)) + (y 1) = (1/3) (x + 4) + (y 1) = 1/9 Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x 1/) + (y + 5/) = 9. É preciso que seja feito à comparação das equações: (x 1/) + (y + 5/) = 9 (x a) + (y b) = R - a = -1/ a = 1/ - b = 5/ b = -5/ R = 9 R = 3 Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x 1/) + (y + 5/) = 9 é igual a C(1/, -5/) e raio igual a R = 3 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é: a) (x - 1) + (y - ) = 5 b) (x - 1) + (y - ) = 0 c) (x - 1) + (y - ) = 5 d) (x + 1) + (y + ) = 5 e) (x + 1) + (y + ) = 0 - (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a equação de c é a) (x + 6) + (y - 3) = 5 b) (x + 6) + (y - 3) = 10 c) (x - 6) + (y + 3) = 10 d) (x - 6) + (y - 3) = 5 e) (x - 6) + (y + 3) = 5 3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação (x + 3) + (y - 3) = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 1 4- (Pucrs ) A distância entre o centro da circunferência de equação (x - ) + (y + 5) = 9 e a reta de equação y + 5 x = 0 é a) - 5 b) 0 c) d) 5 e) 9 5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência de equação (x - ) + (y + 1) = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas x - 3y + 5 = 0 e x - y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é: a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência. 6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função: f(x) = x - 5x + 6. Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é: a) (x - 6) + y = 45 b) x + (y - 6) = 9 c) x + (y - 6) = 45 d) (x - 6) + y = 9 e) x + (y - 3) = 9 4

25 7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4) + (y - 3) = 5 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 8 GABARITO 1)A )E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B 15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes. (x a)² + (y b)² = r² x² xa + a² + y² yb + b² r² = 0 x + y ax by + a + b r = 0 Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução. Comparação Dada a equação x + y x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x + y ax by + a + b r = 0, temos: a = a = 1 b = 8 b = 8 b = 4 a² + b² r² = 8 1² + ( 4)² r² = r² = 8 17 r² = 8 r² = 8 17 r² = 9 r = 3 Portanto, a circunferência de equação igual a x + y x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1, 4) e raio igual a r = 3. Redução Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio. Pegando como exemplo a equação x + y x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo: 1º passo É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente. (x x) + (y + 8y) = 8 º passo Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito. (x x +1) + (y + 8y) = º passo Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito. (x x +1) + (y + 8y + 16) =

26 (x x +1) + (y + 8y + 16) = 9 (x 1) + (y + 4) = 9 Comparando com a equação reduzida. (x 1) + (y + 4) = 9 (x + a) + (y + b) = r Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, 4) e R = 3. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1-(Udesc ) Para que a equação x + y - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter: a) K < 0 b) K > 13 c) K < 1 d) K > 1 e) K < 10 - (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x + y - x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é: a) y = x + 1 b) y = x -1 c) y = x/ d) y = x e) y = x 3-(Cesgranrio) As circunferências x + y + 8x + 6y = 0 e x + y - 16x - 1y = 0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas. 4. (Ufrs ) A equação x + y + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 d) m > -13 e) m < 13 5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas x - y + 1 = e x + y - 1 = é: a) x + y - 4x - y - 0 = 0 b) x + y - 4x - y + 0 = 0 c) x + y - 4x + y + 0 = 0 d) x + y - 4x + y - 0 = 0 e) x + y + 4x - y - 0 = 0 6-(Unirio ) A equação x + y - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a: a) - b) 3 c) 5 d) 8 e) 15 circunferência de raio 1 e centro a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, ). d) (-3, -). e) (6, -4). 8-(Ufv ) Considere a equação x + y - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação anterior represente uma circunferência é: a) 13 b) 1 c) 14 d) 8 e) (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro da circunferência x + y - 8x - 8y + 4 = 0 é: a) 1 b) c) 3 d) 5 e) 6 10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos (1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do círculo é a) x + y + 4y - = 0. b) x + y - 4y + = 0. c) x + y - y + = 0. d) x + y + = 0. e) x + y - 4y = (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de equações x + y - 6x + y + 6 = 0 e 3x + 7y - 1 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação a) 3x + 7y - = 0 b) 3x - 7y - = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - = 0 1- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à circunferência de equação x + y - 4x - 5 = 0 mede a) 3 b) 4 c) 5 d) (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação x + y - 4 = 0. 7-(Unifesp ) A equação x + y + 6x + 4y + 1 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma 6

27 e) x y 4x 4y 4 0 A área do octógono é a) 5. b) 8. c) 10. d) 10. e) (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de equação x + y + 8x - y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c de centro em O(13, - ) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à circunferência c1 e externos à circunferência c, em unidades de área, é: a) 0π. b) 80π. c) 100π. d) 10π. e) 00π. 15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x + y - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente, a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 1 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86 19-(Ueg 01) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação y x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s. 0) (Ufjf 01) No plano cartesiano, considere os pontos A( 1,) e B(3,4). a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido antihorário. b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determinado pela intersecção das retas r e s. c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(,1) e tangencia as retas r e s. GABARITO 1) A ) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 10)B 11)A 1)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 18)B 19) (x-5)² +y²=5 0)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-)² +(y-1)² = 17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação x + y 6x 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 18-(Fgv 011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) b) c) d) x y 10 x 10 y 10 0 x y 8 x 8 y 8 0 x y 10 x 10 y 10 0 x y 8 x 8 y 8 0 7

28 16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA CASO 1 RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0 CASO RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 CASO 3 RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum. 8

29 O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência (x - a) + (y - b) = R. Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência. Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau. Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1) + y = 5 e a reta x + y 6 = 0 possui algum ponto de intersecção. Resolução: x + y 6 = 0 equação 1 (x+1) + y = 5 equação Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y 6 = 0 x = 6 y Substituímos o valor de x na equação. (6 y +1) + y = 5 (-y + 7) + y = 5 (-y) 14y y = 5 y 14y y = 0 y 14y + 4 = 0 (: ) y 7y + 1 = 0 Δ = b 4ac Δ = (-7) Δ = Δ = 1 Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação. Para y = 4 x = 6 y x = 6 4 x = Para y = 3 9

30 x = 6 y x = 6 3 x = 3 Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (,4) e (3,3). EXERCÍCIOS BÁSICOS 1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta x + y = 3 determina na circunferência de centro 5 em (,1) e raio é: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 -(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta x - y - 10 = 0 seja tangente a essa circunferência? a) 4 b) 5 c) 0 d) 5 e) (Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na relação a) y + x = 6 b) 5y + x = 15 c) 5y + 3x = 15 d) 8y + 3x = 5 e) 9y + 4x = (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência x + y = 9. O valor de b é a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 0/3 e) 7 5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x + y - 4x - 1 = 0, então a circunferência α, que é concêntrica à circunferência β e tangente à reta r: x + y = 0, é a) x + (y + ) = 4 b) y - 4x + y = 0 c) x + y + 4y + = 0 d) x + y - 4x + = 0 e) (x + ) + y = 6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é a) (x + ) + (y - 1) = 8 b) (x - ) + (y - 1) = c) (x - ) + (y + 1) = d) (x - ) + (y - 1) = 4 e) (x - )- (x - 1) = 4 7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, na circunferência de equação x + y = 13, uma corda de comprimento: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x + y - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa circunferência é o ponto: a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (, 3) 10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema x y 9, pode-se afirmar que esta área x y 3 0 corresponde a a) 9 π 9 π b) π 3 d) 4. e) π 3 π 3. c) (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos das inequações y - x - 1 e x + y 1, no sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é a) π/4-1/ b) π/4-1/3 c) π/ - 1 d) π/ + 1 e) 3π/ (Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação (x - ) + (y - 3) = 1. Os valores de k são: a) - ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou d) 1 ou 3 e) ou (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação x + y - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é a) x - y + 3 = 0 b) x + y - 5 = 0 c) x + y - 4 = 0 d) x + y - 5 = 0 e) x - y - 4 =

31 14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x + (y - ) = com a reta mx - y + = 0, onde m é real, podemos afirmar que: a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m. 15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x + 1) + (y - 1) = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É CORRETO afirmar: a) r é tangente a C. b) r não corta C. c) r corta C no ponto (1, 1). d) r passa pelo centro de C. 16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x -1 é a) 1 b) 1 c) d) e) (Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças (x - )+ (y - ) 4 e x y. A área de R, em unidades de superfície, é a) π b) π c) π d) 4π e) 4π 18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada pela curva de equação (x - 1) + (y - ) = 4 com x 1 e y é a) 4π b) π c) π d) π/ e) π/4 19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - y = 0 e da circunferência λ: x + y - 10y + 5 = 0, podemos afirmar que a) a reta é tangente à circunferência. b) a reta é secante à circunferência. c) a reta é exterior à circunferência. d) a reta está em plano distinto da circunferência. 0- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c. 1-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y = x + b é tangente ao círculo de equação x + y = 1 é: 1 a) b) 1 c) d) e) 3 GABARITO 1)E )B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B11)A 1)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B 18)C 19)A 0)C 1) C 17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS 1-ELIPSE Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F, resulta em uma constante a, onde a > c. 31

32 Na ilustração da elipse acima temos: F1 e F são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (c). O segmento A1A é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição a. O segmento B1B é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a b. O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A e F1F. A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a. Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que: a² = b² + c² Equação reduzida da elipse De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas: Exemplo 1 Vamos determinar as equações das seguintes elipses: a) a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10 Equação: 3

33 b) a² = b² + c² a² = 5² + 1² a² = a² = 169 a = 13 Equação: Exemplo Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144. Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 16 a = 4 b² = 4 a = a² = b² + c² 16 = + c² c² = 16 c² = 14 Os focos são F1(14,0) e F( 14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A( 5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler ( ), grande astrônomo alemão. -HIPÉRBOLE No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica. Definição de hipérbole: Considere F 1 e F como sendo dois pontos distintos do plano e c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F 1 e F é a constante a (0 < a < c). A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. Hipérbole com focos sobre o eixo x. 33

34 Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F (c, 0) e F 1( c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: Hipérbole com focos sobre o eixo y. Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F (0, c) e F 1(0, c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo: Elementos e propriedades da hipérbole: c é a distância focal. c = a + b relação fundamental. A 1( a, 0) e A (a, 0) são os vértices da hipérbole. a é a medida do eixo real. b é a medida do eixo imaginário. c/a é a excentricidade Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F 1( 10, 0) e F (10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: a = 16 a = 8 Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c = a + b 34

35 10 = 8 + b b = b = 36 b = 6 Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: Exemplo. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F 1(0, c) e F (0, c). Da equação da hipérbole obtemos que: a = 16 a = 4 b = 9 b = 3 Utilizando a relação fundamental, teremos: c = a + b c = c = 5 c = 5 Portanto, os focos da hipérbole são F 1(0, 5) e F (0, 5). 3- PARÁBOLA -Como traçar uma parábola. Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não pertencente à diretriz, chamado foco. Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F. O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta: 35

36 -Definição Considere no plano cartesiano xoy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo: Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde: PF = distância entre os pontos P e F PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz). Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/ 3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP' Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano: Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y = px onde p é a medida do parâmetro da parábola Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x 0, y 0 ) Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x 0, y 0 ), a equação acima fica: (y - y 0 ) = p(x-x 0 ) 3. - Parábola de eixo vertical e vértice na origem 36