UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ MATEMÁTICA

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1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ MATEMÁTICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 28/06/2015 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. Questão 1 (10 pontos). Considere o sistema linear { a 11 x + a 12 y + a 13 z = 0 a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0 onde a ij R. Pode-se afirmar que este sistema a) admite apenas a solução trivial b) não admite soluções c) admite solução única d) admite infinitas soluções e) admite duas soluções d) O sistemas homogêneo tem mais variáveis do que equações, logo existem infinitas soluções. Questão 2 (10 pontos). Encontre o conjunto solução do sistema de inequações 3x + 2 > 5x 2 4x 1 3x 4 3 2x x 6 a) x ( 3, 2) b) x [ 3, 2) c) d) x > 3 e) x 3 c) Resolvendo separadamente cada inequação, temos 3x + 2 > 5x 2 x A 1 = {x R, x < 2} 4x 1 3x 4 x A 2 = {x R, x 3} 3 2x x 6 x A 3 = {x R, x 3} Tomando a interseção, vem A 1 A 2 A 3 =.

2 Questão 3 (10 pontos). Calcule: 3x 3 8 lim x 1 x 2 a) 3 b) 3 c) 5 d) 2 e) c) Como a função é racional e o ponto de interesse está em seu domínio, temos 3x 3 8 lim x 1 x 2 = 5 Questão 4 (10 pontos). Avalie f (0) para f(x) = 2 x 3x + 1 a) 0 b) c) 6 d) -6 e) -7 e) Avaliando a derivada, temos f (x) = (3x + 1) 3(2 x) (3x + 1) 2 Como a expressão é racional e 0 está em seu domínio temos f (0) = 7. Questão 5 (10 pontos). A densidade populacional numa cidade é dada por D(r) = 15r + 5 r 2 + r + 2, onde r indica a distância até o centro da cidade. Para quais valores de r a densidade populacional é decrescente? a) r [0, 1) b) r ( 5, 1) c) r < 1 d) r > 1 e) a densidade nunca decresce. 3 d) Queremos encontrar os valores de r > 0 para os quais D (r) < 0. Calculando a derivada ontemos, D (r) = 5(3r2 + 2r 5) (r 2 + r + 2) 2 Vemos que D (r) < 0 r > 1. 2

3 Questão 6 (10 pontos). Um fabricante de celulares observa que a cada N milhares de celulares produzidos, todos são vendidos quando o preço é modelado por P(N) = 1000 N Quantos celulares devem ser vendidos para que a receita da empresa seja a maior possível? A receita é dada pela custo de venda vezes o número de milhares de aparelhos vendidos, logo R(N) = 1000N N Procuramos o ponto de máximo para R(N). Derivando obtemos, R (N) = 1000(3 N)(3 + N) (N 2 + 9) 2 Considerando N positivo, vemos que R (N) = 0 quando N = 3. Note que se N < 3, então R (N) > 0 e quando N > 3, temos R (N) < 0. Assim, devem ser vendidos 3000 celulares para que a receita seja máxima. Questão 7 (10 pontos). Determine os valores de k para que o sistema x + y z = 1 2x + 2z = 2 3x + y + z = k seja impossível, isto é, não admita soluções. Calculando o determinante associado ao sistema vemos que é nulo, logo as equações são dependentes. Somando a primeira e segunda equações e subtraindo a terceira temos 0 = 3 k Assim, se k 3 o sistema não admite soluções. Questão 8 (10 pontos). Encontre o conjunto solução da seguinte equação x2 + 5x + 1 = 2x 1 3

4 Temos como condição para existência de solução, x > 1/2, para que o lado direito seja positivo e a equações esteja bem definida. Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando obtemos a equação x 2 3x = 0 que tem como raízes x 1 = 0 e x 2 = 3. Logo, a solução é x = 3. Questão 9 (10 pontos). Um fabricante de bolos vende-os a 38 reais cada. Se ele tem custos fixos de 600 reais e cada bolo custa 8 reais para ser produzido, qual a quantidade mínima de bolos para que o fabricante tenha lucro? A expressão para o lucro obtido será a diferença entre receita e custo, logo Vemos que L é positivo quando N > 20. L(N) = 38N 8N 600 Questão 10 (10 pontos). Seja a função f(x) = { x 1 x 2 1 x 1 0, x = 1 Avalie o limite de f quando x tende ao valor 1. lim x 1 x 1 x 2 1 = lim x 1 (x 1) (x 1)(x + 1) = lim x 1 1 x + 1 =

5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG Coordenação de Processos Seletivos COPS PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 28/06/2015 Programação CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 01 Prova sem consulta. 02 A prova pode ser feita a lápis. 03 Duração: 2 HORAS. 1 a Questão (10 pontos): Supondo que pela leitura de dois números, os dígitos iniciais do n o de CPF, uma organização de eventos consegue distribuir o ingresso dos participantes em quatro setores. Na distribuição, serão associadas as letras k e n aos números ímpares e pares respectivamente, direcionando ocupantes aos setores kk, kn, nn e nk, conforme informação recebida. Considerando que um participante foi encaminhado ao setor kn, assinale a alternativa que originou essa indicação apresentada pelo comando ESCREVA no fragmento de programa abaixo, escrito em pseudocódigo. (obs.: o símbolo corresponde ao comando de atribuição, isto é, a variável à esquerda recebe o valor apontado para ela): CARACTER A, B INTEIRO X, Y LEIA X SE X = 1 OU X = 3 OU X = 5 OU X = 7 OU X = 9 A 'k' A 'n' LEIA Y SE Y = 1 OU Y = 3 OU Y = 5 OU Y = 7 OU Y = 9 B 'k' B 'n' ESCREVA Setor, A, B ( a ) 2, 9 ( b ) 4, 6 ( c ) 5, 2 ( d ) 5, 7 2 a Questão (10 pontos): Observe abaixo um trecho de programa, escrito em pseudocódigo, que calcula e imprime os N primeiros elementos da série de Fibonacci (N > 1): X 0 Y 1 i 2 ESCREVA X,,, Y ENQUANTO i N FAÇA Fib X + Y X Y Y Fib i i + 1 ESCREVA,, Fib Escolha a alternativa que representa uma parte da série construída com esse programa: ( a )..., 6, 9, 12,... ( b )..., 21, 34, 55,... ( c)..., 5, 8, 16,... ( d )..., 42, 50, 88,... 3 a Questão (10 pontos): Um departamento que controla o índice de poluição do meio ambiente mantém 3 grupos de indústrias (A, B, C) que são altamente poluentes do meio ambiente. O índice de poluição aceitável varia de 0,05 até 0,25. Se o índice sobe para 0,3, as indústrias do grupo A serão intimadas a interromper as atividades. Se o índice cresce para 0,4, as indústrias dos grupos A e B são intimadas a suspenderem suas atividades. Se o índice atingir 0,5, todos os 3 grupos devem ser notificados a paralisarem suas atividades. Escolha, dentre os trechos de código abaixo, qual realiza a seleção de notificações quando o índice ultrapassa o valor 0,25.

6 (a) SE Ind 0,5 ESCREVA notif A, B e C SE Ind 0,4 ESCREVA notif A e B SE Ind 0,3 ESCREVA notif A (c) SE Ind > 0,3 ESCREVA notif A SE Ind > 0,4 ESCREVA notif A e B SE Índ > 0,5 ESCREVA notif A,B, C (b) SE Ind > 0,25 E Ind < 0,4 ESCREVA notif A SE Ind > 0,3 ESCREVA notif A e B SE Ind > 0,3 ESCREVA notif A (d) SE Ind 0,25 ESCREVA notif A SE Índ > 0,3 ESCREVA notif A e B SE Índ > 0,4 ESCREVA notif A, B e C 4 a Questão (10 pontos): Admitindo que uma data é lida por um programa em uma variável inteira e não em uma variável do tipo data, precisa-se criar uma rotina que leia uma data no formato DDMMAA e imprima essa data no formato AAMMDD, onde: DD corresponde a dois algarismos representando o dia; MM corresponde a dois algarismos representando o mês; AA corresponde aos dois últimos algarismos representando o ano. Qual dos trechos de programa realiza essa tarefa corretamente: (a) INTEIRO Data, Resto, AA, DD, MM LEIA Data DD Data/1000 MM Data/10 DD*100 AA Data DD*10000 MM*100 ESCREVA AAMMDD (b) INTEIRO Data, Resto, AA, MM, DD LEIA Data DD Data/ MM Data/100 DD*100 AA Data + DD*10000 MM*100 ESCREVA AAMMDD (c) INTEIRO Data, Resto, AA, MM, DD LEIA Data DD Data/10000 MM Data/100 DD*100 AA Data DD*10000 MM*100 ESCREVA AAMMDD (d) INTEIRO Data, Resto, AA, DD LEIA Data DD Data/10000 MM Data/100 DD*100 AA Data DD*10000 MM*100 ESCREVA AAMMDD 5 a Questão (10 pontos): Considere o seguinte problema: Dados dois números naturais m e n determine, entre todos os pares de números naturais (x,y) tais que x < m e y < n, um par para o qual o valor da expressão xy - x 2 + y seja máximo e calcule também esse máximo. Escolha o fragmento de programa entre os listados abaixo, escrito em pseudocódigo, que resolve o problema: (a) X 1 Y -1 ENQUANTO X n FAÇA ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y + X*X - Y SE Valor > ValorMax ValorMax Valor X X + 1 Y Y + 1 (b) Xmax 0 Ymax 0 ValorMax 0 ENQUANTO X n FAÇA Y Y + 1 ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y - X*X + Y SE Valor > ValorMax ValorMax Valor

7 (c) Xmax 0 Ymax 0 ValorMax 0 X 0 Y -1 ENQUANTO X n FAÇA Y Y + 1 ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y - X*X + Y SE Valor > ValorMax ValorMax Valor Xmax X Ymax Y X X + 1 (d) Xmax 0 Ymax 0 ValorMax 0 X 1 Y 1 ENQUANTO X n FAÇA Y Y + 1 ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y + X*X - Y SE Valor > ValorMax ValorMax Valor Xmax X Ymax Y X X + Y 6 a Questão (10 pontos): Escreva um programa que armazene, via leitura, três números inteiros positivos (A, B, C), calcule e mostre o resultado da seguinte expressão: M = [(A+B) 2 + (B+C) 2 ]/2 Programa-6 INTEIRO A, B, C REAL M ESCREVA digite três números inteiros LEIA A, B, C M = ((A+B)*(A+B)+(B+C)*(B+C))/2 ESCREVA M = [(, A, +, B, )^2 + (, B, +, C, )^2]/2 =, M FIM Programa-6 7 a Questão (10 pontos): Escreva um algoritmo que leia dois números inteiros, x e y, verifique se um é múltiplo do outro e, em seguida, os escreva dizendo se são múltiplos ou não. Exemplos: Se a leitura foi x=2 e y=6, após a verificação escreva a mensagem: "6 é múltiplo de 2". Outra leitura com x=7 e y=2 vai resultar na mensagem "7 e 2 não são múltiplos". Programa-7 INTEIRO X, Y, Resto ESCREVA digite dois números inteiros LEIA X, Y SE X < Y Resto Y X * (Y/X) SE Resto = 0 ESCREVA Y, é múltiplo de, X ESCREVA X, e, Y, não são múltiplos Resto X Y * (X/Y) SE Resto = 0 FIM Programa-7 ESCREVA X, é múltiplo de, Y ESCREVA X, e, Y, não são múltiplos

8 8 a Questão (10 pontos): Qualquer número natural de quatro algarismos pode ser dividido em duas dezenas formadas pelos seus dois primeiros e dois últimos dígitos. Exemplos: 1297: 12 e : 53 e 14 Escreva um programa que imprima todos os números naturais com 4 algarismos (1000 N 9999) cuja raiz quadrada seja a soma das dezenas formadas pela divisão acima. Exemplo: raiz de 9801 = 99 = Portanto, 9801 é um dos números a ser impresso. Programa-8 INTEIRO N, MC, DU N 1000 ESCREVA digite um número inteiro e positivo ENQUANTO N 9999 FAÇA MC N/100 DU N MC*100 SE (MC + DU) * (MC + DU) = N ESCREVA N, = (, MC, +, DU, )^2, N N + 1 FIM Programa-8 9 a Questão (10 pontos): Escreva um trecho de programa para imprimir uma palavra armazenada em um vetor de caracteres e, em um espaço à frente, uma cópia invertida não anotando as vogais. Exemplo: Palavra armazenada: futebolista Palavras impressas: futebolista tslbtf Obs.: O vetor V[ ] tem 60 posições. Após a palavra armazenada, o símbolo # sinaliza seu final. Declare as variáveis de controle que for utilizar no trecho de programa. INTEIRO i i 1 ENQUANTO V[i] # FAÇA ESCREVA V[i] i i + 1 ESCREVA i i - 1 ENQUANTO i 1 FAÇA SE V[i] A E V[i] E E V[i] I E V[i] O E V[i] U ESCREVA V[i] i i a Questão (10 pontos): Escreva um trecho de programa para facilitar as vendas de um supermercado considerando que as compras são efetuadas em dois momentos. Primeiro o cliente faz sua escolha de produtos anotando em um dispositivo portátil o código e a quantidade desejada e, no segundo momento, recebe a lista de sua compra discriminando o produto, unidade de venda (quilo, metro, litro, dúzia, etc.), valor unitário, percentual de imposto (Nessa região os preços não incorporam impostos, uma vantagem no esclarecimento tributário aos cidadãos.), quantidade e valor total de cada item, e, no final, o total geral a pagar, ou seja, um cupom para pagar e receber sua compra. Considere que a lista de compra fica armazenada em uma matriz M N 2, recebida pelo dispositivo, contendo na 1ª coluna o código do produto e na 2ª a quantidade de N produtos selecionados. As informações dos produtos do supermercado estão armazenadas na matriz EST K 5 com os K itens de seu estoque de produtos contendo os campos: código na coluna 1, descrição na coluna 2, unidade na coluna 3, valor unitário na coluna 4 e taxa de imposto na coluna 5. Sua tarefa será preparar o trecho de código no qual é montado o cupom de venda. Observe o exemplo abaixo, sabendo que já foram lidas as matrizes M e EST e são conhecidas as quantidades N e K. Declare variáveis de controle, contadores, variáveis para cálculo dos valores parciais e total, além de imprimir no cupom cada um dos N itens processados e, ao final, a mensagem Valor total cupom com o valor a pagar. Como exemplo, considere uma venda de 3 produtos: Lista cupom cód qtde cód descrição qtde unid Valor un taxa Valor total Laranja pera 1 dz 3,60 5,5% 3, Água mineral 3 gl 9,70 7,6% 31, , Carne bovina 1ª 1,25 kg 28,70 15% 41,26 Valor total cupom 76,37

9 INTEIRO i, j, k REAL Val-Cupom, Val-total Val-Cupom 0 ESCREVA Cupom, ESCREVA Cod descrição qtde unid Val-unit taxa Val-total PARA(i 1; i ; i i + 1) FAÇA j 1 ENQUANTO j < K E M[i,1] EST[j,1] FAÇA j j + 1 Val-total M[i,2] * EST[j,4]*(1+EST[j,5]) ESCREVA EST[j,1], EST[j,2], M[i,2], EST[j,3], EST[j,4], EST[j,5], Val-total Val-Cupom Val-Cupom + Val-total FIM-PARA ESCREVA Valor total cupom =, Val-Cupom