CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI e RIO DAS OSTRAS - Gabarito

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 009 e 1 o semestre letivo de 010 CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI e RIO DAS OSTRAS - Gabarito INSTRUÇÕES AO CANDIDATO Verifique se este caderno contém: PROVA DE REDAÇÃO com uma proposta; PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS com questões discursivas, totalizando dez pontos. Se este caderno não contiver integralmente o descrito no item anterior, notifique imediatamente ao fiscal. No espaço reservado à identificação do candidato, além de assinar, preencha o campo respectivo com seu nome. Não é permitido fazer uso de instrumentos auxiliares para o cálculo e o desenho, portar material que sirva para consulta nem equipamento destinado à comunicação. Na avaliação do desenvolvimento das questões será considerado somente o que estiver escrito a caneta, com tinta azul ou preta, nos espaços apropriados. O tempo disponível para realizar as provas é de quatro horas. Ao terminar, entregue ao fiscal este caderno devidamente assinado. Tanto a falta de assinatura quanto a assinatura fora do local apropriado poderá invalidar sua prova. Certifique-se de ter assinado a lista de presença. Colabore com o fiscal, caso este o convide a comprovar sua identidade por impressão digital. Você deverá permanecer no local de realização das provas por, no mínimo, noventa minutos. AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVA RESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO RESERVADO AOS AVALIADORES REDAÇÃO rubrica: C. ESPECÍFICOS rubrica:

2 PROAC / COSEAC

3 PROAC / COSEAC Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Considere a função f definida por Determine: 4 x -9x f (x) =. x +7x+1 a) o domínio de f. b) lim f (x). x 4 c) a derivada de f. Cálculos e resposta: a) + (x + 3)(x + 4) x (x 3)(x 3) 0 f (x) = com x -3 e x -4 4 x -9x x (x 3)(x+ 3) = x + 7x +1 (x + 3)(x + 4) D = (, 4) [ 3, + ) 0 x x x x x {} x (x 3)(x+ 3) b) lim f(x) = lim = + x 4 x 4 (x + 3)(x + 4) c) f (x) lnf(x)= 1 ln x ln(x 3) ln(x 3) ln(x 3) ln(x 4) f'(x) =. f(x) + + = + x x 3 x+ 3 x+ 4 x x 3 x+ 4 x(x 3)(x+ 3) f'(x) =. + (x + 3)(x + 4) x x 3 x

4 PROAC / COSEAC a QUESTÃO: (1,5 ponto) x Calcule dx. 4x + 9 I = x dx = 4x tg θ 4 3. sec d 9sec θ θ θ = x = 3 tg θ tg θ = x/3 e sec θ = 1/3 4x + 9 x = 3 3 tgθ dx = sec θd θ 4x + 9 = 9 tg θ + 9 = 9 (1 + tg θ) = 9 sec θ I = θ θ θ θ θ θ θ θ θ tg sec d = (sec 1)sec d = (sec sec )d Cálculo de = sec θ tg θ - = sec θ tg θ - = 3 sec d sec.sec d θ θ θ θ θ u = sec θ du = sec θ tg θ d θ dθ = sec θ d θ v = tg θ θ θ θ = sec θtg θ θ θ θ sec tg d sec (sec 1) d θ θ 3 sec θdθ + sec d sec θdθ = sec θtg θ+ ln(sec θ+ tg θ) 4

5 PROAC / COSEAC Cálculos e respostas : Voltando, I sec tg ln(sec tg ) ln(sec tg ) C 8 θ θ+ θ+ θ θ+ θ + 9 = ( sec θ.tg θ ln(sec θ+ tg θ ) ) + C 16 9 x 4x x = 4x + 9 ln + C

6 PROAC / COSEAC 3 a QUESTÃO: (1,0 ponto) 11 6 Considere a matriz A = Determine, se possível: 4 6 a) sua inversa. b) seus autovalores A = det A = = 34 0 logo A admite inversa A = A -1 = 1 (CofA) T det A A-1 = T = b) Auto valores de A. det (A - λi) = 0 T 11 λ 6 det 6 10 λ 4 = 0 λ 3 7λ + 180λ 34 = λ λ 1 = 3, λ = 6, λ 3 = 18 6

7 4 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Dentre todos os paralelepípedos de volume 7, determine o que tem área mínima. z 4 = x. y. z Área = xz + xy + yz z = 7 xy A = xy + y x A 54 A 54 = y = + x x x y y x y A = x = y = x y 7 7 = x y 4 x = = = = = = 7 3 x x 0 ou x 7 3 y 3e z 3 A 18 A A A 18 = = = = 3 3 x x xy yx y y H (3,3) = 4 = 1 > 0 (3,3) é ponto de mínimo 4 Logo, o paralelepídedo é um cubo de lado 3. 7

8 5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Se um astronauta lançasse, na superfície da Lua, um objeto verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 4,0 m/s, o tempo de subida do objeto até alcançar a altura máxima seria de,5s. a) Qual a altura máxima que o objeto alcança? b) Se o objeto fosse lançado, com a mesma velocidade inicial, na superfície da Terra, onde a aceleração da gravidade é 10m/s, qual seria a altura máxima alcançada? c) O tempo de subida até o objeto alcançar a altura máxima na Terra é MAIOR, MENOR ou IGUAL do que o tempo de subida na Lua? a) na superfície da lua: 4 v = v o - g L. t 0 = 4 g L x,5 g L = = 1,6 m/s,5 v = v o g L h 0 = 16 x 1,6 x h m h m = 16 3, = 5 m h m = 5,0 m b) na superfície da Terra: v = v o g T. t 0 = 4 10t t = 4 10 = 0,4 s v = v o g T. h 0 = 16 x 10 x h m h m = 16 0 = 0,8 m h m = 0,80 m c) na Lua: t =,5 s na Terra: t = 0,40 s > t < t logo, na Terra o tempo é MENOR que na Lua. 8

9 6 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Uma ponte de 40 m de comprimento e peso 1,0 x 10 6 N está apoiada em dois pilares de concreto como mostra a figura abaixo. 0 m 0 m A 0. B 10 m a) Qual o valor do módulo da força que cada pilar (A e B) exerce sobre a ponte, quando um caminhão de peso igual a,0 x 10 5 N está parado a 10 m do pilar B? b) Se o caminhão estivesse parado no ponto 0, o valor do módulo da força exercida por cada um dos pilares A e B seria MAIOR, MENOR ou IGUAL aos valores encontrados no item a? a) F A F B A 0m 10m 10m B Pp Pc Em equilíbrio: F A + F B P C P p = 0 F A + F B = P C + P p = x x 10 5 F A + F B = 1 x 10 5 N ΣM A = 0 P p x 0 + P C x F B = x 10 x 0 + x 10 x 3 0 = 4 0 F B = 6,5 x 10 5 N F A = 1 x 10 5 F B F A = 1 x ,5 x 10 5 F A = 5,5 x 10 5 N F B 9

10 Cálculos e respostas : b) Neste caso : F A = F B = 5 1 x10 =6,0 x 10 5 N logo: F A > F A e F B < F B 10

11 7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Dois carrinhos A e B, de massas m A = 0,0 kg e m B = 0,40 kg, movem-se juntos sobre uma superfície horizontal sem atrito. Entre eles existe uma mola de massa desprezível que é mantida comprimida por um fio ideal, como indica a figura 1. v =10m/s v=14m/s B A B V A A B Figura 1 Figura No instante em que a velocidade dos carrinhos é de 10m/s, o fio arrebenta e os carrinhos se separam. Verifica-se, então, que o carrinho B passa a se mover com velocidade v B = 14m/s (figura ). a) Qual a velocidade v A com que o carrinho A passa a se mover? b) Calcule a diferença entre as energias cinéticas dos carrinhos depois e antes da explosão da mola. a) Pela conservação do momento linear: p F = p i m A v A + m B v B = (m A + m B )v 0,v A + 0,4 x 14 = 0,6 x 10 0,v A = 6 5,6 v A =,0 m/s b) E = E E cf c cf ci Ec = m F AvA + mbvb = x0, x 4+ x 0,4 x196 E = 0,4+ 39, E = 39,6J c cf 1 1 E c = (m i A + m B)v = x 0,6 x 100 Ec = 30 J i E = 39,6 30 E = 9,6J c 11

12 8 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um corpo, de massa 8,0 kg e volume 0 L, está preso a uma mola não deformada, cuja constante elástica é 50 N/cm, e a um fio de massa desprezível. O conjunto está totalmente imerso em água (figura 1). água água fio x Figura 1 Figura O fio foi cortado e o corpo atinge uma nova posição de equilíbrio, ainda totalmente submerso, deformando a mola de um comprimento x (figura ). Calcule o valor de x, considerando os dados abaixo: massa específica da água = 1,0 g/cm 3 aceleração da gravidade = 10 m/s Nas situações das figuras 1 e : P = mg = 8 x 10 = 80 N 3 1g 10 kg µ água = = 3 3 1cm 10 L E = V s µ L g = 0 x 1 x 10 = 00N µ água = 1kg/L Na situação de equilíbrio da figura : E E P F = 0 P F em módulo: F = kx 10 = 50. x x =,4 cm F = E P F = = 10 N 1

13 9 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Uma determinada massa de gás perfeito pode passar de um estado A para um estado C por dois percursos, de acordo com a figura abaixo. Percurso I: A B C Percurso II: A D C 6,0 x 10 5 p(n/m ) A D 3,0 x 10 5 B C 0 1,0,0 V(m 3 ) a) Em qual dos estados, A ou C, a temperatura do gás é maior? b) Qual a variação da energia interna do gás entre os estados A e C, pelo percurso II? c) Em qual dos percursos, I ou II, é maior a quantidade de calor trocada pelo gás? Justifique sua resposta. a) p.v = = T T T T 5 5 p A.VA C C 6,0 x 10 x 1 3,0 x 10 x A C A C T C = T A As temperaturas são iguais nos dois estados A e C b) como T A = T C U A = U C logo: U = U C U A U = 0 c) Q W = U U = 0 nos dois percursos (I e II) logo: Q = W nos dois percursos no percurso I: W I = W AB + W BC = x 10 5 x ( 1) W I = 3,0 x 10 5 J 13

14 No percurso II: W II = W AD + W DC = 6 x 10 5 ( 1) + 0 W II = 6,0 x 10 5 J Logo: Q I = 3,0 x 10 5 J Q II = 6,0 x 10 5 J Q II > Q I No percurso II 14

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