GABARITO PROVA P2 CALCULO 2 2/2017. (Em cada questão não é necessário reproduzir cálculos feitos em questão anterior) Questão 1 (1,5 ponto).

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1 17/11/017 GABARITO PROVA P CALCULO /017 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA Em cada questão não é necessário reproduzir cálculos feitos em questão anterior) Questão 1 1,5 ponto). { Considere as funções: { xy x, y) 0, 0), x 3 y fx, y) = x +y x, y) 0, 0), hx, y) = x +y 0 x, y) = 0, 0). 0 x, y) = 0, 0). Julgue os seguintes items como erdadeiro V) ou falso F): a) A função fx, y) é contínua em todos os pontos. b) A função hx, y) é contínua em todos os pontos. c) A função fx, y) é diferenciáel em todos os pontos. d) h h0,t) h0,0) 0, 0) = lim t 0 t = 0. e) Toda função diferenciáel é contínua. f) Se fx, y) é contínua em a, b) então fx, y) é diferenciáel em a, b). Solução. Temos: a) F b) V c) F d) V e) V f) F Questão 1,5 ponto). Considere a função real em R 3 dada por P x, y, z) = y + z. a) Determine os alores de a, b, c para os quais a, b, c) é um ponto crítico de P x, y, z). 1 pt) Solução. P x, y, z) = 0, y, z). Temos que a, b, c) é um ponto crítico P a, b, c) = 0 b = c = 0. Portanto todos os pontos a, 0, 0) com a R são pontos críticos de P x, y, z). b) Determine se os pontos críticos do item anterior são pontos de mínimo, máximo, local ou absoluto) ou pontos de sela da função P x, y, z). 0,5 pt) Solução. Temos que P a, 0, 0) = 0 P x, y, z), para todo x, y, z) R 3, portanto a, 0, 0) são pontos de mínimo absoluto. Questão 3 3 pontos). Considere a parametrização de um toro er figura) dada por: xs, t) = coss)cost) + ) ys, t) = sens)cost) + ) zs, t) = sent) Boa proa!!

2 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA a) Calcule Solução. s, t), s, t) = sens)cost) + ), s, t) = coss)cost) + ), s, t) = 0, s, t) = sent) coss), s, t) = sent)sens), s, t) = cost) s, t), s, t). 1pt) b) Seja Gs, t) = P x y zs, t)), onde P x, y, z) = y + z, determine a maior taxa de ariação da função Gs, t) no ponto s, t) = π 4, π ) e a direção unitária = 1) correspondente a essa maior taxa de ariação. 1pt) Solução. A maior taxa de ariação é G π 4, π ), dado na direção unitária Pela regra da cadeia: = G π 4, π ) G π 4, π ). e G P s, t) = + P + P = ycoss)cost) + )) G P s, t) = + P + P quando s, t) = π 4, π ) temos y = e z = 1 = y sent)sens)) + z cost) π G 4, π ) =, ) /) = 4, ) A maior taxa de ariação é: π G 4, π ) = 4 + = 5, na direção: = G π 4, π ) G π 4, π ) = / 5, 1 / 5). c) Use calculado no item anterior e calcule o etor w R 3 dado por: ) w = Dx π /4, π /), Dy π /4, π /), Dz π /4, π /), onde Dfa, b) é a deriada direcional de f na direção no ponto a, b). 1pt) Caso ocê não tenha resolido o item b), use = 3/, 1 /)).

3 GABARITO PROVA P CALCULO /017 3 Solução. Temos: π /4, π /) =, π /4, π /) =, π /4, π /) = 0, π /4, π /) = /, π /4, π /) = /, π /4, π /) = 0 Usando = / 5, 1 / 5): Assim Dx π /4, π /) = / 5 ) + 1 / 5) /) = 3 / 5 Dy π /4, π /) = / 5 ) + 1 / 5) /) = 5 / 5 Usando = 3/, 1 /): Assim Dy π /4, π /) = 0 w = 3 5, 5 ) 5, 0. Dx π /4, π /) = 3/ ) + 1 /) /) = 1 3) /4 Dy π /4, π /) = 3/ ) + 1 /) /) = 1 + 3) /4 w = Dy π /4, π /) = 0 1 3) 4, 1 + 3) ), 0. 4 Obseração. Se P x, y, z) é o potencial elétrico, um elétron restrito ao toro descrito por x y zs, t)), posicionado em x π /4, π /), y π /4, π /), z π /4, π /)) se moerá na direção de w. Questão 4 4 pontos). Considere a função gx, y, z) = x + y + z + 3) 16x + y ). a) Calcule o gradiente gx, y, z). 1,5pt) Solução. gx, y, z) = 4xx + y + z + 3) 3x, 4yx + y + z + 3) 3y, 4zx + y + z + 3)) = 4xx + y + z 5), 4yx + y + z 5), 4zx + y + z + 3))

4 4 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA b) Escrea as quatro equações proenientes do método de multiplicadores de Lagrange para encontrar o máximo e mínimo absolutos de P x, y, z) = y + z, dada a restrição gx, y, z) = 0. 1,5 pt) Solução. Multiplicadores de Lagrange: P x, y, z) = λ gx, y, z); gx, y, z) = 0 i) 0 = λ4xx + y + z 5) ii) y = λ4yx + y + z 5) iii) z = λ4zx + y + z + 3) i) x + y + z + 3) 16x + y ) = 0 c) Determine o máximo e mínimo de P x, y, z) = y +z, restrito à superfície gx, y, z) = 0 e os pontos nos quais estes ocorrem. Lembre que se ab = 0, considere casos a = 0 ou b = 0, e se, ab = ac então b = c ou a = 0.) 1 pt) Solução. Se λ = 0: então y = z = 0 i.e., pontos críticos de P ) e x + 3) 16x = 0, x + 3) = ±4x, 4 opções para x: x ± 4x + 3 = 0, ou x = ± = ±3, x = ± Consideramos λ 0: Por i), ou x = 0 ou x + y + z 5) = 0. Caso x + y + z 5) = 0: temos y = 0, = ±1. e z = λzx + y + z + 3) = λz5 + 3) = 16λz x + y + z + 3) 16x + y ) = 8 16x = 0 portanto x = ± e como x + y + z 5) = x + z 5) = 0 temos z = ±1. Caso x = 0: Se y = 0 temos em i): x + y + z + 3) 16x + y ) = z + 3) = 0 absurdo, pois z > 0. Então, y 0 e, em ii), 1 = λy + z 5). Em iii) temos que se z 0 então absurdo. 1 = λy + z + 3) = λy + z 5) 3 = 5,

5 GABARITO PROVA P CALCULO /017 5 Então temos z = 0 e x = 0, da onde tiramos y + 3) 16y = 0,. Temos então que comparar: y = ±3, y = ±1 P 0, ±1, 0) = P ±, 0, ±1) = 1, P ±3, 0, 0) = P ±1, 0, 0) = 0 mínimo, P 0, ±3, 0) = 9 máximo. Obseração. Obsere que gx y zs, t)) = 0, para xs, t) = coss)cost)+), ys, t) = sens)cost) + ), zs, t) = sent).