MARTA CRISTINA DE MORAES PARIZI

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1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE FACULDADE DE MATEMÁTICA - FAMAT MARTA CRISTINA DE MORAES PARIZI APLICAÇÕES DO MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Marabá - PA Março 2018

2 MARTA CRISTINA DE MORAES PARIZI APLICAÇÕES DO MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará- Instituto de Ciências Exatas - ICE, como pré-requisito para a obtenção do Título de Licenciada em Matemática. Orientadora: Prof a. Ma. Elizabeth Rego Sabino Marabá - PA Março 2018

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4 MARTA CRISTINA DE MORAES PARIZI APLICAÇÕES DO MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará- Instituto de Ciências Exatas - ICE, como pré-requisito para a obtenção do Título de Licenciada em Matemática. Data da defesa: 12 de março de Conceito: Banca Examinadora Prof a Ma. Elizabeth Rego Sabino Orientadora Prof. Me. Claudionei Pereira de Oliveira Prof. Me. Fábio Barros de Sousa 3

5 Agradecimentos Acima de tudo, agradeço a Deus por mais esta vitória concedida. Aos meus pais Waldemar e Iraildes pelo carinho, conselhos, apoio e cuidado que sempre tiveram comigo. Aos meus irmãos Marcos, Eliane, Maressa e minha cunhada Daiane pelas palavras de incentivo e pelo companheirismo de sempre. Aos meus avós, tios, primos e sobrinhos pela compreenção e apoio durante todo o curso. Em especial a minha orientadora Prof a. Ma. Elizabeth Sabino, pela dedicação, pelo apoio e pela inesgotável paciência durante o desenvolvimento deste trabalho. A minha turma 2012, foram tantas alegrias e lágrimas juntos vou levar vocês para sempre no meu coração. Em especial a Danielle, Josivan e Elisandra por serem os ombros amigos nos desafios mais difíceis deste curso. A todos os meus amigos e em especial a Sarah e Katiane pelo apoio moral, incentivo e por sempre acreditarem no meu sucesso. Aos professores da Famat pela dedicação e paciência ao longo do curso. Enfim, a todos que direta ou indiretamente tiveram participação na minha vida durante este curso. O meu muito obrigada, a todos vocês! 4

6 Resumo Neste trabalho apresentamos definições importantes para compreenssão do método dos multiplicadores de Lagrange e aplicações deste método. Este método é uma ferramenta poderosa para otimização de funções sujeitas a restrições. Tem aplicabilidade em várias áreas, tais como, na economia, na indústria, na construção, sendo um conteúdo indispensável para a química, física, engenharias, entre outras. Com este método podemos resolver vários tipos de problemas, tais como, otimizar lucros, custos, gastos de quantidade de material, áreas, volumes, distâncias, entre outros. Neste trabalho, trataremos do uso do método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e mínimo de funções de duas e três variáveis sujeitas a uma restrição. A pesquisa visa explorar primeiramente a teoria que fundamenta o método e posteriormente a aplicação do mesmo, através de problemas resolvidos detalhadamente. Palavras-chave: Multiplicadores de Lagrange. Derivadas. Máximos e Mínimos. 5

7 Abstract In this work we present important definitions for the Lagrange multipliers method and the applications of this method. This method is a powerful tool for optimizing constrained functions. It has applicability in several areas, such as in economics, industry, construction, being an indispensable content for chemistry, physics, engineering, among others. With this method we can solve several types of problems, such as optimizing profits, costs, quantity of material expenses, areas, volumes, distances, among others. In this work, we will use the Lagrange multipliers method to determine the maximum and minimum functions of two and three variables subject to a constraint. The research aims at exploring first the theory that bases the method and later the application of the same, through problems solved in detail. Key-Words: Lagrange multipliers. Derivatives. Maximum and Minimum. 6

8 Lista de Figuras 1.1 Interpretação geométrica para derivadas parciais. [10] Plano tangente de f(x, y) = xy no ponto P 1 (0, 0, 0) Plano tangente de f(x, y) = xy no ponto P 2 (1, 1, 1) Plano tangente de f(x, y) = xe x+y no ponto P 1 (1, 1, f(1, 1)) Plano tangente de f(x, y) = xe x+y no ponto P 2 (1, 0, f(1, 0)) Gráfico de máximo e mínimo. Fonte: referência [2] Exemplo de gráfico de sela Ponto de mínimo relativo de f Ponto de máximo de f Pontos de sela de f Gráfico dos extremos de f Gráfico dos extremos de f Gráfico dos extremos de f

9 Sumário Introdução 9 1 Derivadas Derivadas parciais Função diferenciável Plano tangente e vetor gradiente Regra da cadeia Derivadas parciais de 2 a ordem Máximos e mínimos de funções de duas variáveis Máximo e mínimo absoluto ou global Máximo e mínimo relativo ou local Ponto crítico ou estacionário Condição necessária para existência de pontos extremantes Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Aplicações do método dos multiplicadores de Lagrange 40 Considerações finais 52 Apêndice 55 8

10 Introdução Maximizar ou minimizar uma função de mais de uma variável sujeita a restrições, pode se tornar uma tarefa difícil ou até impossível, caso não seja utilizado um método adequado para tal fim. Neste trabalho, apresentaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa quando se trata de maximizar ou minimizar funções de duas ou mais váriaveis sujeitas a restrições. Joseph-Louis Lagrange, foi um importante matemático e astrônomo italiano nascido em Turim, em 27 de janeiro de Seu interesse pela matemática surgiu quando leu uma obra do astrônomo Halley. Suas obras contribuiram para o avanço significativo em várias áreas da ciência, principalmente na matemática tendo impacto importante no cálculo diferencial e integral. Lagrange era autodidata e desde muito jovem, seu talento e originalidade de pensamento já eram admirados por muitos colegas cientistas da época. Aos 19 anos, foi nomeado professor de matemática na Escola Real de Artilharia em Turim. Não era de família rica e também não tinha grandes pretensões de juntar riquezas, seu desejo era poder ter mais tempo para se dedicar a matemática. Foi membro importante de algumas conhecidas e respeitadas sociedades de ciências. Membro da Academia de Berlim, na Alemanha, Académie de Sciences, na França e membro fundador da uma sociedade científica que mais tarde viria a ser a Academia Real de Ciências de Turim, na Itália. Contribuiu com várias obras matemáticas importantes para o cálculo, alguns exemplos dos seus descobrimentos são série de Lagrange, equação diferencial, princípio de Lagrange, equação do movimento e dentre eles, o objeto de estudo deste trabalho, um método revolucionário que leva seu nome, os multiplicadores de Lagrange. Faleceu em Paris no dia 10 de abril de 1813, e foi enterrado com honras em seu país de origem. Conforme consta em [3] e [4]. O objetivo deste trabalho é mostrar a aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange, usando a derivada, para maximizar ou minimizar funções de duas e três variáveis sujeitas a uma restrição em problemas matemáticos. A pesquisa foi realizada de forma bibliográfica, feita a partir da análise de livros didáticos de cálculo diferencial e integral utilizados no ensino superior de várias áreas acadêmicas e sites relacionados ao tema. No primeiro capítulo deste trabalho, mostraremos definições essenciais para melhor com- 9

11 preenção do conteúdo dos próximos capítulos, tais como, função diferenciável, vetor gradiente, regra da cadeia e derivadas parciais de 2 a ordem. Já no segundo capítulo, apresentaremos um estudo sobre máximos e mínimos de duas variáveis explorando as definições de máximo e mínimo absoluto e relativo, ponto crítico, proposições e teoremas que ajudam a classificar se o ponto estudado é máximo, mínimo ou sela, condição necessária para existência de pontos extremantes e condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local. No terceiro capítulo, apresentaremos o método dos Multiplicadores de Lagrange e alguns problemas de maximização e minimização de funções de duas e três váriaveis com uma restrição. Por fim, apresentaremos as considerações finais, as referências e apêndices. Para a construção dos gráficos em todo o trabalho, foram utilizados os softwares Maple 17 e Geogebra 5. 10

12 Capítulo 1 Derivadas Neste capítulo, apresentaremos um estudo sobre derivadas, mostraremos as definições de derivadas parcias, plano tangente, vetor gradiente, regra da cadeia e derivadas parciais de 2 a ordem. Iniciaremos com algumas definições fundamentais para melhor compreenção do conteúdo deste trabalho. Função de uma variável real a valores reais Definição 1.1 Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de IR. Sendo A o domínio de f, denotado por D(f) e B o contradomínio de f. Derivada de uma variável Definição 1.2 Sejam f uma função de uma variável e P um ponto de seu domínio. O limite f(x) f(p ) lim x P x P quando existe e é finito, denomina-se derivada em P e indica-se por f (P ). Assim, f f(x) f(p ) (P ) = lim. x P x P Se f admite derivada em P, então dizemos que f é derivável em P. Função de duas variáveis reais a valores reais Definição 1.3 Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A IR 2 IR, onde associa a cada par (x, y) A, um único número f(x, y) IR. O domínio é formado por todos os pontos (x, y) IR 2, para os quais o valor da função z = f(x, y) pode ser calculado. Função contínua de duas variáveis reais a valores reais 11

13 Definição 1.4 Sejam f : A IR 2 IR e (x 0, y 0 ) A um ponto de acumulação de A. Dizemos que f é contínua em (x 0, y 0 ) se 1.1 Derivadas parciais lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Definição 1.5 Sejam f : A IR 2 IR z = f(x, y) uma função de duas variáveis e (x 0, y 0 ) A. Fixando y = y 0 podemos considerar a função g(x) = f(x, y 0 ). A derivada de g no ponto x = x 0, denominada derivada parcial de f em relação a x no ponto (x 0, y 0 ), denotada por, é definida por x (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) = lim x x0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = lim x x0 f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x x 0 se o limite existir. Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x 0, y 0 ) é dada por se o limite existir. y (x 0, y 0 ) = lim y y0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) y y 0 A figura 1.1 mostra uma interpretação geométrica para a definição 1.5. Tomamos um ponto A na superfície por onde passam duas retas tangentes. A derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente em uma seção paralela ao eixo x, com y constante, onde a tg α =. Analogamente, a derivada em relação a y, mede a inclinação da reta tangente em uma x seção paralela ao eixo y, com x constante, onde a tg β = y 12

14 Figura 1.1: Interpretação geométrica para derivadas parciais. [10]. Definição 1.6 Sejam f : A IR 2 IR z = f(x, y) uma função de duas variáveis e B A, o conjunto formado por todos os (x, y) tais que x (x 0, y 0 ) existe. Definimos a função derivada parcial de 1 a ordem de f em relação a x como sendo a função que a cada (x, y) B associa o número dado por x (x, y) = lim x x 0 f(x + x, y) f(x, y). x Definimos, também a função derivada parcial de 1 a ordem de f em relação a y como, (x, y) = lim y y 0 Diante das notações de derivadas podemos escrever: f(x, y + y) f(x, y). y i) Para a derivada de x (x, y): f x(x, y); D x f(x, y); D 1 f(x, y). ii) Para a derivada de y (x, y): f y(x, y); D y f(x, y); D 2 f(x, y). Exemplo 1.1 Usando a definição 1.6, calcule x e, onde f(x, y) = 2x + 5y 3. y Solução: Para (x, y), temos que x (x, y) = lim x x 0 2(x + x) + 5y 3 2x 5y + 3. x 13

15 Daí, Resolvendo, Logo, (x, y) = lim x x 0 2x + 2 x + 5y 3 2x 5y + 3. x 2 x (x, y) = lim x x 0 x. Analogamente, para (x, y), temos que y (x, y) = 2. x Daí, Resolvendo, Logo, (x, y) = lim y y 0 (x, y) = lim y y 0 2x + 5(y + y) 3 2x 5y + 3. y 2x + 5y + 5 y 3 2x 5y + 3. y 5 y (x, y) = lim y y 0 y. (x, y) = 5. y Exemplo 1.2 Calcule x e y, para f(x, y) = 2xy + sen2 xy. Solução: Para, teremos que derivar f(x, y) em relação a variável x, e a variável y será x constante, isto é, (x, y) = 2y + 2ysen(xy) cos xy. x Analogamente, para, teremos que derivar f(x, y) em relação a variável y, e a variável x y será constante, ou seja, (x, y) = 2x + 2xsen(xy) cos xy. y 14

16 1.2 Função diferenciável Definição 1.7 Dizemos que a função f(x, y) é diferenciável no ponto (x 0, y 0 ) se as derivadas parciais x (x 0, y 0 ) e y (x 0, y 0 ) existem e se [ ] f(x, y) f(x 0, y 0 ) + (x x 0, y 0 )[x x 0 ] + (x y 0, y 0 )[y y 0 ] lim = 0. (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) Reescrevendo, podemos ter, onde, f(x, y) A lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) = 0, A = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )[x x 0 ] + y (x 0, y 0 )[y y 0 ]. Proposição 1.1 Se f(x, y) é diferenciável no ponto (x 0, y 0 ) então f é contínua nesse ponto. Demonstração: Temos, por hipótese, que f(x, y) é diferenciável em (x 0, y 0 ). Assim, existem E ainda, onde, Como, x (x 0, y 0 ) e y (x 0, y 0 ). f(x, y) A lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) A = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )[x x 0 ] + y (x 0, y 0 )[y y 0 ]. = 0, (1.1) Fazendo o produto entre (1.1) e (1.2), temos, Daí, lim (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = 0. (1.2) (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) A lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ). (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = 0, 2 Agora, aplicando o limite em A temos, lim A = (x,y) (x 0,y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 ) lim [f(x, y) A] = 0. (1.3) (x,y) (x 0,y 0 ) [ f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )[x x 0 ] + y (x 0, y 0 )[y y 0 ] 15 ].

17 Note que, logo, lim [x x 0 ] = 0 e lim [y y 0 ] = 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) E daí, substituindo (1.4) em (1.3), temos ou seja, Portanto, f é contínua em (x 0, y 0 ). lim A = f(x 0, y 0 ). (1.4) (x,y) (x 0,y 0 ) lim f(x, y) f(x 0, y 0 ) = 0, (x,y) (x 0,y 0 ) lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Proposição 1.2 Seja (x 0, y 0 ) um ponto do domínio da função f(x, y). Se f(x, y) possui derivadas parciais x e y em um conjunto aberto A que contem (x 0, y 0 ) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x 0, y 0 ), então f é diferenciável em (x 0, y 0 ). Demonstração: Por hipótese, as derivadas parciais x (x 0, y 0 ) e y (x 0, y 0 ) existem. De acordo com a definição 1.7, devemos mostrar que f(x, y) f(x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 )[x x 0 ] y (x 0, y 0 )[y y 0 ] lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) = 0. (1.5) Como o conjunto A é aberto e (x 0, y 0 ) A, por definição, existe uma bola aberta B = B((x 0, y 0 ), r) que está contida em A. Tomamos (x, y) B. Temos que f(x, y) f(x 0, y 0 ) = f(x, y) f(x 0, y) + f(x 0, y) f(x 0, y 0 ). (1.6) Fixando y, obtemos a função f que pode ser vista como uma função de x e sua derivada parcial em relação a x pode ser vista como a derivada de uma função de uma variável. Como f tem derivadas parciais em todos os pontos da bola aberta B, usando o teorema do valor médio, ver apêndice Teorema.2, concluímos que existe um x entre x 0 e x tal que f(x, y) f(x 0, y) = x ( x, y)[x x 0]. (1.7) Analogamente, podemos concluir que existe um ȳ entre y 0 e y tal que f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) = y (x 0, ȳ)[y y 0 ]. (1.8) 16

18 Reescrevendo (1.6) usando (1.7) e (1.8), obtemos, f(x, y) f(x 0, y 0 ) = x ( x, y)[x x 0] + y (x 0, ȳ)[y y 0 ]. (1.9) Portanto, usando (1.9), o quociente do limite dado em (1.5) pode ser escrito como x ( x, y)[x x 0] + y (x 0, ȳ)[y y 0 ] x (x 0, y 0 )[x x 0 ] y (x 0, y 0 )[y y 0 ] (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ou [ ] [ ( x, y) x x (x 0, y 0 ) [x x 0 ] y (x 0, ȳ) ] y (x 0, y 0 ) [y y 0 ] +. (1.10) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Agora, usando as propriedades de limite, vamos mostrar que o limite dado na expressão (1.10) é zero. Temos que x x 0 1 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 e y y 0 1. (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Por outro lado, por hipótese, como x e y são contínuas em (x 0, y 0 ) e x,e ainda ȳ estão entre x 0 e x e y 0 e y, respectivamente, temos [ ] lim ( x, y) (x,y) (x 0,y 0 ) x x (x 0, y 0 ) = 0 e [ lim (x,y) (x 0,y 0 ) y (x 0, ȳ) ] y (x 0, y 0 ) = 0. Portanto, concluimos que o limite de (1.10) é zero. Logo f é diferenciável no ponto (x 0, y 0 ). Exemplo 1.3 Prove que f(x, y) = 2x 2 y 2 é diferenciável em IR 2, usando a definição 1.7. Solução: Considere (x 0, y 0 ) IR 2. As derivadas parciais de f são, e y x = 4x = 4x 0 (x0,y 0 ) = 2y = 2y 0. (x0,y 0 ) 17

19 Usando a definição 1.7, devemos mostrar que, lim (x,y) (x 0,y 0 ) De fato, tem-se, e daí, ou ainda, Reescrevendo, temos isto é, f(x, y) f(x 0, y 0 ) (x x 0, y 0 )[x x 0 ] (x y 0, y 0 )[y y 0 ] = 0. (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 (2x 2 y 2 ) (2x 2 0 y lim 0) 2 4x 0 (x x 0 ) + 2y 0 (y y 0 ), (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 lim (x,y) (x 0,y 0 ) 2x 2 y 2 2x y0 2 4x 0 x + 4x y 0 y 2y0 2 lim. (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 2x 2 4x 0 x + 2x 2 0 y 2 + 2y 0 y y0 2 lim. (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 2(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ), 2 2(x x 0 ) 2 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Usando as propriedades de limite, temos e Logo, f(x, y) é diferenciável em (x 0, y 0 ). lim (x,y) (x 0,y 0 ) 2(x 0 x lim 0 )2 x=x 0 y y 0 (x0 x 0 ) 2 + (y y 0 ) = 0 2 (y 0 y lim 0 )2 y=y 0 x x 0 (x x0 ) 2 + (y 0 y 0 ) = 0. 2 (y y 0 ) 2 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) Plano tangente e vetor gradiente Definição 1.8 Seja f : IR 2 IR diferenciável no ponto (x 0, y 0 ). Chamamos de plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ao plano dado pela equação z f(x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Exemplo 1.4 Determinar o plano tangente ao gráfico de f(x, y) = xy nos pontos P 1 (0, 0, 0) e P 2 (1, 1, 1). Solução: Para determinar o plano tangente, vamos encontrar as derivadas parciais, x = y e y = x. 18

20 No ponto P 1 (0, 0, 0), temos x (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0, y e ainda f(0, 0) = 0. Substituindo os valores encontrados, na equação do plano tangente dada na definição 1.8, obtemos z 0 = 0(x 0) + 0(y 0). Portanto, z = 0. Figura 1.2: Plano tangente de f(x, y) = xy no ponto P 1 (0, 0, 0). No ponto P 2 (1, 1, 1), temos x (1, 1) = 1 e (1, 1) = 1 y e ainda f(1, 1) = 1. Substituindo os valores encontrados, na equação do plano tangente dada na definição 1.8, obtemos z 1 = 1(x 1) + 1(y 1). Consequentemente, x + y z = 1. Figura 1.3: Plano tangente de f(x, y) = xy no ponto P 2 (1, 1, 1). 19

21 Exemplo 1.5 Determinar o plano tangente ao gráfico de f(x, y) = xe x+y nos pontos P 1 (1, 1, f(1, 1)) e P 2 (1, 0, f(1, 0)). Solução: Para determinar o plano tangente, vamos encontrar as derivadas parciais, No ponto P 1 (1, 1, f(1, 1)), temos x = xex+y + e x+y e y = xex+y. x (1, 1) = 1 e2 + e 2 = 2e 2 e y (1, 1) = 1 e2 = e 2. Substituindo os valores encontrados, na equação do plano tangente dada na definição 1.8, obtemos z e 2 = 2e 2 (x 1) + e 2 (y 1). Portanto, z = e 2 (2x + y 2). Figura 1.4: Plano tangente de f(x, y) = xe x+y no ponto P 1 (1, 1, f(1, 1)). No ponto P 2 (1, 0, f(1, 0)), temos x (1, 0) = e + e = 2e e (1, 0) = e. y Substituindo os valores encontrados, na equação do plano tangente dada na definição 1.8, obtemos z e = 2e(x 1) + e(y 0). Consequentemente, z = e(2x + y 1). 20

22 Figura 1.5: Plano tangente de f(x, y) = xe x+y no ponto P 2 (1, 0, f(1, 0)). Definição 1.9 Seja z = f(x, y) uma função que admite derivadas parciais de 1 a ordem no ponto (x 0, y 0 ). O gradiente de f no ponto (x 0, y 0 ) denotado por Grad f(x 0, y 0 ) ou f(x 0, y 0 ), é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de 1 a ordem de f nesse ponto. Exemplo 1.6 Determinar o vetor gradiente de f(x, y) = x 2 + y 2 3, no ponto P (0, 0). Solução: Para determinar o vetor gradiente, devemos inicialmente, encontrar as derivadas parciais de f: x (x, y) = 2x e (x, y) = 2y. y Assim, f(x, y) = (2x, 2y). No ponto P (0, 0), temos f(0, 0) = (0, 0). Exemplo 1.7 Determinar o vetor gradiente de f(x, y) = sen(3x + y), no ponto P (0, π 2 ). Solução: Para determinar o vetor gradiente, calcularemos as derivadas parciais de f: Assim, x (x, y) = 3cos(3x + y) e (x, y) = cos(3x + y). y f(x, y) = (3cos(3x + y), cos(3x + y)). No ponto P (0, π ), temos 2 f(0, π ) = (0, 0). 2 21

23 1.4 Regra da cadeia A regra da cadeia é usada nos estudos de cálculo para encontrar as derivadas das funções compostas. Existem vários casos para a regra da cadeia. Neste tópico, estudaremos dois casos. Caso I Definição 1.10 Sejam A e B conjuntos abertos em IR 2 e IR, respectivamente, e sejam z = f(x, y) uma função que tem derivadas parciais de 1 a ordem contínuas em A, x = x(t) e y = y(t) funções diferenciáveis em B tais que, para todo t B, temos (x(t), y(t)) A. Seja a função composta h(t) = f(x(t), y(t)), t B, então, essa função composta é diferenciável para todo t B e dh dt dh dt Exemplo 1.8 Encontrar a derivada dh dt Solução: Seja h(t) = f(x(t), y(t)). Daí, dh dt Agora, vamos calcular a derivada parcial = x dx dt + y dy dt. dada por = x dx dt + y dy dt x = 5y + 2x e dx dt = 2t, y = 5x 2y, e dy dt = 1. Substituindo os valores encontrados, temos dh dt = [5y + 2x] 2t + [5x 2y] 1. Substituindo os valores de x(t) e y(t), dados, temos, Daí, Segue que, é dada por f(x, y) = 5xy + x 2 y 2 x(t) = t 2 1 y(t) = t + 2 dh dt = [ 5(t + 2) + 2(t 2 1) ] 2t + 5(t 2 1) 2(t + 2). dh dt = (5t t2 2) 2t + 5t 2 5 2t 4. dh dt = 10t2 + 20t + 4t 3 4t + 5t 2 2t 9 22

24 Logo, Caso II dh dt = 4t3 + 15t t 9. Definição 1.11 Sejam A e B conjuntos abertos em IR 2 e sejam z = f(u, v) uma função que tem derivadas parciais de 1 a ordem continuas em A, u = u(x, y) e v = v(x, y) funções diferenciáveis em B tais que, para todo (x, y) B, temos (u(x, y), v(x, y)) A. Seja a função composta h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)), (x, y) B, então, a função composta h(x, y) é diferenciável para todo (x, y) B valendo: h x = u u x + v v x h y Ou ainda, na notação matricial, tem-se [ h x h y ] = = u u y + v v y [ u Exemplo 1.9 Encontrar x e y para v ] u x v x f(u, v) = u 2 + v 2 u(x, y) = cos xy v(x, y) = sen xy u y v y. Solução: Cálculo da, da definição 1.11, x Resolvendo as derivadas, temos x x = u u x + v v x. Substituindo os valores de u e v em (1.11), temos Logo, x = 2uy sen xy + 2vy cos xy (1.11) = 2y cos xy sen xy + 2y sen xy cos xy. x = 0. 23

25 Cálculo da. De modo análogo, y Resolvendo as derivadas, temos y y Substituindo os valores de u e v em (1.12), temos Logo, y = u u y + v v y. = 2ux sen xy + 2vx cos xy (1.12) = 2x cos xy sen xy + 2x sen xy cos xy. y = Derivadas parciais de 2 a ordem Definição 1.12 Seja z = f(x, y) temos para esta função quatro derivadas parciais de 2 a ordem. Para a derivada de f em relação a x, x, obtemos as seguintes derivadas parciais de 2a ordem: x ( ) = 2 f x x 2 e y ( x ) = 2 f y x Para a derivada de f em relação a y, y, obtemos as seguintes derivadas parciais de 2a ordem: ( ) ( ) = 2 f e = 2 f x y x y y y y. 2 Observação: Derivadas puras: 2 f x 2 e 2 f y 2. Derivadas mistas: 2 f x y e 2 f y x. Exemplo 1.10 Dada a função z = x 2 y 2 xy, determinar as suas derivadas parciais de 2 a ordem. Solução: Primeiramente, devemos encontrar as derivadas parciais de 1 a ordem de z. z x = 2xy2 y e z y = 2x2 y x. 24

26 Agora, partindo de z x, obtemos, as derivadas de 2a ordem em relação a x, e 2 z x 2 = x (2xy2 y) = 2y 2 2 z y x = y (2xy2 y) = 4xy 1. Partindo de z y, obtemos, as derivadas de 2a ordem em relação a y, 2 z y 2 = y (2x2 y x) = 2x 2 e 2 z x y = x (2x2 y x) = 4xy 1. Exemplo 1.11 Dada a função z = x 2 3y 3 + 4x 2 y 2, determinar as suas derivadas parciais de 2 a ordem. Solução: Primeiramente, devemos encontrar as derivadas parciais de 1 a ordem de z z x = 2x + 8xy2 e z y = 9y2 + 8x 2 y. Partindo de z x, obtemos, as derivadas de 2a ordem em relação a x, e 2 z x = 2 x (2x + 8xy2 ) = 2 + 8y 2 2 z y x = y (2x + 8xy2 ) = 16xy. Partindo de z y, obtemos, as derivadas de 2a ordem em relação a y, e 2 z y 2 = y ( 9y2 + 8x 2 y) = 18y + 8x 2 2 z x y = x ( 9y2 + 8x 2 y) = 16xy. O Teorema de Schwartz garante que se a função tem as derivadas parciais de 2 a ordem contínuas então as suas derivadas mistas são iguais. 25

27 Teorema 1.1 (Teorema de Schwartz) Seja z = f(x, y) uma função com derivadas parciais de 2 a ordem contínuas em um conjunto aberto A IR 2. Então, 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ) para todo (x 0, y 0 ) A. Note que, as derivadas mistas nos exemplos 1.10 e 1.11 são iguais, assim como é exposto no teorema 1.1. A demonstração deste teorema não será feita e pode ser encontrada na referência [5]. 26

28 Capítulo 2 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis Neste capítulo faremos um estudo de máximos e mínimos de duas variáveis pontuando as definições de máximo e mínimo absoluto e relativo, ponto crítico, condição necessária para existência de pontos extremantes e condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local e, também, apresentaremos técnicas de resolução de exercícios para classificar os pontos de mínimo e de máximo. 2.1 Máximo e mínimo absoluto ou global Definição 2.1 Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x 0, y 0 ) D(f) é ponto de máximo absoluto ou máximo global de f se, f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) D(f). Dizemos que f(x 0, y 0 ) é o valor máximo de f. Definição 2.2 Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x 0, y 0 ) D(f) é ponto de mínimo absoluto ou mínimo global de f se, f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) D(f). Dizemos que f(x 0, y 0 ) é o valor mínimo de f. 2.2 Máximo e mínimo relativo ou local Definição 2.3 Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x 0, y 0 ) D(f) é ponto de máximo relativo ou máximo local de f se existir uma bola aberta B ((x 0, y 0 ); r) tal que f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) B D(f). 27

29 Definição 2.4 Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x 0, y 0 ) D(f) é ponto de mínimo relativo ou mínimo local de f se existir uma bola aberta B ((x 0, y 0 ); r) tal que f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) B D(f). A figura 2.1. exibe os pontos apresentados nas definições anteriores. Figura 2.1: Gráfico de máximo e mínimo. Fonte: referência [2]. 2.3 Ponto crítico ou estacionário Definição 2.5 Seja f uma função de duas variáveis definida em uma região aberta R que contém o ponto (x 0, y 0 ). O ponto (x 0, y 0 ) é um ponto crítico ou estacionário de f se nele ocorrer algumas dessas restrições: i) x (x 0, y 0 ) = 0 e y (x 0, y 0 ) = 0, ou ii) x (x 0, y 0 ) ou y (x 0, y 0 ) não existe, isto é, o plano tangente da função é horizontal ou não existe. Exemplo 2.1 Encontrar o ponto crítico de f(x, y) = x 2 + y 2 + 2x 6y + 6 Solução: Para encontrar o ponto crítico, primeiramente calculamos as derivadas parciais de 1 a ordem de f em relação a x e y, isto é, x = 2x + 2 e y 28 = 2y 6.

30 Agora, igualamos as derivadas parciais a zero, temos { 2x + 2 = 0 2y 6 = 0. Da primeira equação do sistema, temos x = 1. Da segunda equação do sistema, temos y = 3. Logo, o ponto crítico de f é ( 1, 3). Apesar dos pontos extremantes (máximo ou mínimo) de f estarem entre seus pontos críticos, nem sempre um ponto crítico é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é um ponto extremante é chamado de ponto de sela. A figura 2.2 permite a visualização do esboço de um gráfico com pontos de sela. Figura 2.2: Exemplo de gráfico de sela. 2.4 Condição necessária para existência de pontos extremantes Proposição 2.1 Seja z = f(x, y) uma função diferenciável em um conjunto aberto A IR 2. Se (x 0, y 0 ) A é um ponto extremante local, então ou seja, (x 0, y 0 ) é ponto crítico de f. x (x 0, y 0 ) = 0 e y (x 0, y 0 ) = 0, A demonstração desta proposição pode ser encontrada na referência [5]. 29

31 2.5 Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Proposição 2.2 Seja z = f(x, y) uma função cujas derivadas parciais de 1 a e 2 a ordem são contínuas em um conjunto aberto que contém (x 0, y 0 ) e suponhamos que (x 0, y 0 ) seja um ponto crítico de f. Seja H 1 (x, y) o determinante 2 f (x, y) x2 2 f (x, y) x y 2 f (x, y) y x 2 f (x, y) y2 Observando H(x, y) temos, a seguir, uma condição suficiente para um ponto crítico de f ser extremante local. a) Se H(x, y) > 0 e 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f. b) Se H(x, y) > 0 e 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f. c) Se H(x, y) < 0, então (x 0, y 0 ) não é extremante local. Nesse caso, (x 0, y 0 ) é um ponto de sela. d) Se H(x, y) = 0, nada se pode afirmar. A ideia da demonstração desta proposição pode ser encontrada na referência [5]. Exemplo 2.2 Encontrar e classificar o ponto crítico da função z = x 2 + y 2 2x 8y + 7. Solução: Calculando as derivadas parciais z x e z y, temos Resultando no seguinte sistema, com a seguinte solução, z x = 2x 2 e z y { 2x 2 = 0 2y 8 = 0 x = 1 e y = 4.. = 2y 8. Assim, o ponto crítico é (1, 4). Calculando as derivadas de 2 a ordem, temos 2 z x 2 = 2, 2 z y x = 0, 2 z x y = 0 e 2 z y 2 = 2. 1 A matriz H(x, y) é conhecida como Matriz Hessiana. 30

32 Agora, usando a matriz hessiana calculamos o determinante, 2 f 2 f x 2 y x 2 0 H(x, y) = = 2 f 2 f 0 2 x y y 2 = 4 Como, H(x, y) = 4 > 0, analisamos a 2 f (1, 4) = 2 > 0. Logo, pela proposição 2.2 item a, o x2 ponto (1, 4) é ponto de mínimo relativo. O gráfico de f está representado na figura 2.3, onde A indica o ponto de mínimo. Figura 2.3: Ponto de mínimo relativo de f. Exemplo 2.3 Encontrar e classificar o ponto crítico da função f(x, y) = x+2y 2xy x 2 3y 2. Solução: Calculando as derivadas parciais de 1 a ordem de f em relação a x e a y, temos x = 1 2y 2x e y = 2 2x 6y Daí, construindo o sistema de equações a partir das derivadas parciais, temos, { 2x + 2y = 1 Resolvendo o sistema, temos que Isto é, temos o ponto crítico 2x + 6y = 2 y = 1 4 e x = 1 4. ( 1 4, 1 ). Calculando as derivadas de 2 a ordem, temos 4 2 f x 2 = 2, 2 f y x = 2, 2 f x y = 2 e 2 f y 2 = 6 31

33 Agora, usando a matriz hessiana calculamos o determinante 2 f 2 f x 2 y x 2 H(x, y) = = 2 f 2 f 2 x y y 2 ( 1 Como, H 4, 1 ) = 8 > 0, e observando que 4 ( 2 f 1 x 2 4, 1 ) = 2 < = 8 Pela proposição 2.2 item b, o ponto ( 1 4, 1 4) é ponto de máximo relativo. O gráfico de f está representado na figura 2.4, onde A indica o ponto de máximo. Figura 2.4: Ponto de máximo de f. Exemplo 2.4 Encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x, y) = x 3 3x 2 y + 27y. Solução: Calculando as derivadas parciais de 1 a ordem de f em relação a x e a y, temos x = 3x2 6xy e y = 3x Daí, construindo o sistema de equações a partir das derivadas parciais, temos, { 3x 2 6xy = 0 3x = 0. Da segunda equação do sistema, temos x = ±3. 32

34 Substituindo os valores de x na primeira equação do sistema. Para x = 3, temos 18y = 27 y = 3 2. Para x = 3, temos 18y = 27 y = 3 2. Daí, obtemos os pontos críticos ( 3, 3 2), ( 3, 3 2). Calculando as derivadas de 2 a ordem, temos 2 f = 6x 6y, x2 2 f y x = 6x, 2 f x y = 6x e 2 f y 2 = 0 Agora, usando a matriz hessiana calculamos o determinante 2 f 2 f x 2 y x 6x 6y 6x H(x, y) = = 2 f 2 f 6x 0 = 36x2 x y y 2 Analisando os pontos críticos da função encontrada ao calcular H(x, y). Para ( 3, 3 2), temos H ( 3, 3 ) = = 324 < 0. 2 Logo, pela proposição 2.2 item c, o ponto ( 3, 3 2) é ponto de sela. Para ( 3, 3 2), temos H ( 3, 3 ) = 36 ( 3) 2 = 324 < 0. 2 Logo, pela proposição 2.2 item c, o ponto ( 3, 3 2) é ponto de sela. O gráfico de f está representado na figura

35 Figura 2.5: Pontos de sela de f. Exemplo 2.5 Encontrar e classificar os pontos críticos de z = 8x 3 + 2xy 3x 2 + y Solução: Calculando as derivadas parciais de 1 a ordem de z em relação a x e y, temos z x = 24x2 + 2y 6x e z y Resultando no seguinte sistema, { 24x 2 + 2y 6x = 0 2x + 2y = 0. Da segunda equação do sistema, temos = 2x + 2y Substituindo o valor de (2.1) na primeira equação do sistema, temos x = y. (2.1) 24 ( y) 2 + 2y 6( y) = 0, ou ainda, 24y 2 + 8y = 0. Isto é, Substituindo os valores de y em (2.1), temos { y1 = 0 y 2 = 1. 3 x = 0 e x =

36 Assim, obtemos os pontos críticos (0, 0) e ( 1 3, 1 3). Agora, calculando as derivadas parciais de 2 a ordem, temos 2 z = 48x 6, x2 2 z y x = 2, 2 z x y = 2 e 2 z y 2 = 2. Usando a matriz hessiana calculamos o determinante, 2 z 2 z x 2 y x 48x 6 2 H(x, y) = = = 2 (48x 6) 2 2 = 96x z 2 z 2 2 x y y 2 Analisando os pontos críticos na função encontrada ao calcular o H(x, y). Para (0, 0), temos H(0, 0) = = 16 < 0. Logo, pela proposição 2.2, item c, o ponto (0, 0) é ponto de sela. Para ( 1 3, 1 3), temos E observando que H ( ) 1 3, 1 = 96 ( 1 ) 16 = 16 > ( ) 2 z 1 x 2 3, 1 = = 10 > Logo, pela proposição 2.2, item a, o ponto ( 1 3, 1 3) é ponto de mínimo relativo. O gráfico de f está representado na figura 2.6, onde A indica o ponto de mínimo. Figura 2.6: Gráfico dos extremos de f. Exemplo 2.6 Encontrar e classificar os pontos críticos de z = 1 3 y3 + 4xy 9y x 2. 35

37 Solução: Calculando as derivadas parciais de 1 a ordem de z em relação a x e a y, temos Resultando no seguinte sistema, Da primeira equação do sistema, temos z x = 4y 2x e z y = y2 + 4x 9. { 4y 2x = 0 y 2 + 4x 9 = 0 Substituindo (2.2) na segunda equação do sistema, temos x = 2y. (2.2) y 2 + 8y 9 = 0. Resolvendo, temos y 1 = 1 Substituindo os valores de y em (2.2), temos y 2 = 9. x = 2 e x = 18. Assim, obtemos os pontos críticos (2, 1) e ( 18, 9). Calculando as derivadas de 2 a ordem 2 z x 2 = 2, 2 z y x = 4, 2 z x y = 4 e 2 z y 2 = 2y. Agora, usando a matriz hessiana calculamos o determinante 2 z 2 z x 2 y x 2 4 H(x, y) = = = 2 2y 4 4 = 4y z 2 z 4 2y x y y 2 Analisando os pontos críticos na função encontrada ao calcular H(x, y). Para (2, 1), temos H(2, 1) = = 20 < 0. Logo, pela proposição 2.2, item c, o ponto (2, 1) é ponto de sela. Para ( 18, 9), temos H( 18, 9) = 4 ( 9) 16 = 20 > 0. 36

38 Observando que 2 f ( 18, 9) = 2 < 0. x2 Logo, pela proposição 2.2, item b, o ponto ( 18, 9) é ponto de máximo relativo. O gráfico de f está representado na figura 2.7, onde A indica o ponto de máximo. Figura 2.7: Gráfico dos extremos de f. Exemplo 2.7 Encontrar e classificar os pontos críticos de f(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y Solução: Calculando as derivadas parciais de 1 a ordem de f em relação a x e y, temos x = 3x2 + 3y 2 15 e y = 6xy 12. Daí, construindo o sistema de equações a partir das derivadas parciais, temos, { 3x 2 + 3y 2 15 = 0 6xy 12 = 0 Da segunda equação do sistema, temos Substituindo (2.3) na primeira equação do sistema, temos ( ) y 2 5 = 0. y x = 2 y. (2.3) Isto é, y 4 5y = 0. Faremos a seguinte mudança de variavel, y 2 = m, daí m 2 5m + 4 = 0. 37

39 Resolvendo, temos que Agora, substituindo m, temos e m 1 = 1 e m 2 = 4 y 2 = 1 y = ±1 y 2 = 4 y = ±2. Assim, substituindo os valores de y em (2.3) temos; para y = 1 x = 2; para y = 1 x = 2; para y = 2 x = 1; para y = 2 x = 1; Portanto, os pontos críticos são (2, 1), ( 2, 1), (1, 2) e ( 1, 2). Calculando as derivadas de 2 a ordem, temos 2 f x 2 = 6x, 2 f y x = 6y, 2 f x y = 6y e 2 f y 2 = 6x Agora, usando a matriz hessiana calculamos o determinante 2 f 2 f x 2 y x 6x 6y H(x, y) = = 2 f 2 f 6y 6x = 6x 6x 6y 6y = 36x2 36y 2 x y y 2 Analisando os pontos críticos na função encontrada ao calcular H(x, y). Para (2, 1), temos H(2, 1) = = 108 > 0. Observando que 2 f (2, 1) = 6 2 = 12 > 0. x2 Logo, pela proposição 2.2, item a, o ponto (2, 1) é ponto de mínimo relativo. Para ( 2, 1), temos H( 2, 1) = 36 ( 2) 2 36 ( 1) 2 = 108 > 0. Observando que 2 f ( 2, 1) = 6 ( 2) = 12 < 0. x2 Logo, pela proposição 2.2, item b, o ponto ( 2, 1) é ponto de máximo relativo. Para (1, 2), temos H(1, 2) = = = 108 < 0. 38

40 Logo, pela proposição 2.2, item c, o ponto (1, 2) é ponto de sela. Para ( 1, 2), temos H( 1, 2) = 36 ( 1) 2 36 ( 2) 2 = = 108 < 0. Logo, pela proposição 2.2, item c, o ponto ( 1, 2) é ponto de sela. O gráfico de f está representado na figura 2.8, onde A indica o ponto de máximo e B indica o ponto de mínimo. Figura 2.8: Gráfico dos extremos de f. 39

41 Capítulo 3 Aplicações do método dos multiplicadores de Lagrange O método dos multiplicadores de Lagrange é um assunto estudado nas disciplinas de Cálculo diferencial e integral no ensino superior. É uma ferramenta poderosa quando se trata de maximizar ou minimizar funções de duas ou mais variáveis sujeitas a m restrições. Muito usado em resolução de problemas que pedem a maximização de lucros, de volume e, minimização de custos, de gastos de material, sendo um método cuja a aplicação é indispensável para várias áreas, tais como na indústria, na construção, na economia, entre outros. Neste capítulo, faremos a aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange em problemas de maximização e minimização de funções de duas e três variáveis sujeita a uma restrição. Entretanto, ressaltamos que o método também é válido para funções de n variáveis sujeitas m restrições, onde exemplos, podem ser encontrados na referência [8]. Teorema 3.1 Seja f(x, y) diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y) A g(x, y) = 0}, onde g é uma função contínua e suas derivadas parciais também são contínuas em A, e g(x, y) (0, 0), para todo (x, y) B. Uma condição necessária para que (x 0, y 0 ) B seja extremante local de f em B é que exista um real λ 0 tal que f(x 0, y 0 ) = λ 0 g(x 0, y 0 ). Recorde que f e g representam o gradiente de cada função. A demonstração deste teorema pode ser encontrada na referência [6]. O método dos multiplicadores de Lagrange para duas variáveis consiste em determinar os valores máximo e mínimo de f(x, y) sujeita a g(x, y) = k, supondo que esses valores extremos existam e que g 0 sobre a superfície g(x, y) = k. Assim, reescrevemos a função de 40

42 forma que possamos determinar todos os valores de x, y e λ tal que x = λ g x (S) y = λ g y g(x, y) = k. Depois, deve-se calcular f em todos os pontos (x, y) que resultam do passo anterior. O maior desses valores será o valor máximo de f, e o menor será o valor mínimo de f. Exemplo 3.1 Encontre os extremos de f(x, y) = x 2 + 2y 2 sujeito a restrição x 2 + y 2 = 1. Solução: Sejam f(x, y) = x 2 + 2y 2 e g(x, y) = x 2 + y 2 1. Calculando o gradiente de f(x, y), temos Também, para o gradiente de g(x, y), temos Do teorema 3.1 temos que Substituindo os valores encontrados, temos x = 2x e y = 4y. g x = 2x e g y = 2y. f(x, y) = λ g(x, y) g(x, y) = k. (2x, 4y) = λ(2x, 2y) Daí, construindo o sistema de equações, temos 2x = λ2x 4y = λ2y x 2 + y 2 1 = 0 Da primeira equação do sistema, temos λ = 1. Agora, substituindo o valor de λ na segunda equação do sistema, temos 4y 2y = 0 y = 0. Também, substituindo o valor de y na terceira equação do sistema, obtemos x 2 1 = 0 x = ±1. Logo, os extremos de f(x, y) são ( 1, 0) e (1, 0). 41

43 Exemplo 3.2 Um fazendeiro quer cercar um pasto retangular ao longo da margem de um rio. O pasto deve ter 3200m 2. E não há necessidade de cercar do lado da margem do rio. Encontre as dimensões do pasto que consumirão a quantidade mínima de cerca. Solução: De acordo com as informações do problema, temos que função é obtida através do perimetro do pasto, P (x, y) = 2y + x. A restrição é obtida através da área, A(x, y) = xy = multiplicadores de Lagrange, primeiramente calculamos o A e P. Isto é, A x = y e A y = x Para usarmos o método dos Logo, A(x, y) = (y, x). E, Logo, P (x, y) = (1, 2). Do sistema S, temos P x = 1 e P y = 2 y = λ x = 2λ xy 3200 = 0. Da primeira equação do sistema, temos que λ = y. E substituindo y na segunda equação do sistema, temos x = 2y (3.1) Agora, substituindo (3.1) na terceira equação do sistema, temos 2y = 0 y = 40. E daí, x = 80. Assim, substituindo os valores de (80, 40) em P = 2y + x, temos P = 160. Logo, as dimensões do pasto para que se use uma quantidade mínima de cerca são x = 80m e y = 40m, onde serão usados 160m de cerca. O método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis consiste em determinar os valores máximo e mínimo de f(x, y, z) sujeita a g(x, y, z) = k, supondo que esses valores 42

44 extremos existam e que g 0 sobre a superficie g(x, y, z) = k. Assim, reescrevemos a função de forma que possamos determinar todos os valores de x, y, z e λ tal que x = λ g x (S 1 ) y = λ g y z = λ g z g(x, y, z) = k. Depois, deve-se calcular f em todos os pontos (x, y, z) que resultam do passo anterior. O maior desses valores será o valor máximo de f, e o menor será o valor mínimo de f. O método dos multiplicadores de Lagrange, também, pode ser estendido para espaços com dimensões infinitas. [9] Exemplo 3.3 Encontre o valor mínimo da função f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 sujeita a restrição 3x 2y + z 4. Solução: Sejam f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 e g(x, y, z) = 3x 2y + z 4. Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar f e g. Ou seja, x = 2x, Logo, f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). E, Logo, g(x, y, z) = (3, 2, 1). g x = 3, y = 2y e z = 2z. g y = 2 e g z = 1. Substituindo os valores encontrados em S 1 temos, 2x = 3λ 2y = 2λ S 1 2z = λ 3x 2y + z 4 = 0 Da segunda equação do sistema, temos que Agora, da primeira e terceira equações de S 1, temos λ = y. (3.2) λ = 2x 3 = 2z (3.3) 43

45 De (3.2) e (3.3), temos λ = y = 2x 3 Daí, y = 2x 3. (3.4) Ou ainda, z = x 3. (3.5) Agora, substituindo (3.4) e (3.5) na última equação de S 1, obtemos ( 3x 2 2x ) + x = 0 x = 2 7. De posse do valor de x, temos de (3.4) que E de (3.5) que Logo, o extremo de f(x, y, z) é y = z = 2 21 ( 2 7, 4 ) 21, Exemplo 3.4 Encontre a menor distância entre o ponto (1, 1, 1) e o plano x + 4y + 3z = 2. Solução: Da geometria analítica, sabemos que distância do ponto (x, y, z) ao ponto (1, 1, 1) é dada por d = (x 1) 2 + (y + 1) 2 + (z + 1) 2. Dessa forma, para facilitar os cálculos seguinte, usaremos d 2 = f(x, y, z) = (x 1) 2 + (y + 1) 2 + (z + 1) 2. (3.6) A restrição é que o ponto (1, 1, 1) pertença ao plano, ou seja, g(x, y, z) = x + 4y + 3z 2 = 0 Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar f e g. Ou seja, x = 2x 2, y = 2y + 2 e z = 2z

46 Logo, f(x, y, z) = (2x 2, 2y + 2, 2z + 2). E, Logo, g(x, y, z) = (1, 4, 3) g x = 1, g y = 4 e g z = 3. Daí, construindo o sistema de equações S 1, temos, 2x 2 = λ 2y + 2 = 4λ S 1 2z + 2 = 3λ x + 4y + 3z 2 = 0 Igualando as equações, temos 2x 2 = 2y Da primeira igualdade de (3.7), temos ou seja, 2x 2 = 2y A segunda igualdade de (3.7), nos dá E daí, 2y = 2z = 2z x 2 = y + 1 2, = λ. (3.7) x = y (3.8) y = z z = 3y 1. (3.9) 4 Agora, substituindo (3.8) e (3.9) na quarta equação de S 1, obtemos ( ) y + 5 3y 1 + 4y = 0 y = De posse do valor de y em (3.9), temos z = De modo análogo, usando o valor de y em (3.8), temos x = Agora, substituiremos os valores de x, y e z, em (3.6). Obtemos ( ) 2 ( ) d 2 = f(x, y, z) = ( 113 )

47 Resolvendo, temos Logo, d 2 = d = Portanto, a menor distância entre o ponto (1, 1, 1) e o plano é dado por Exemplo 3.5 Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. Solução: Sejam f(x, y, z) = x + y + z S e g(x, y, z) = xyz 100. Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar f e g. Ou seja, Logo, f(x, y, z) = (1, 1, 1). E, x = 1, g x = yz, Logo, g(x, y, z) = (yz, zx, xy). Daí, substituindo em S 1, temos S 1 y = 1 e z = 1. g y = zx e g z = xy. 1 = λyz 1 = λzx 1 = λxy xyz 100 = 0 Igualando as três primeiras equações de S 1, temos Na primeira igualdade de (3.10), temos Na segunda igualdade de (3.10), temos 1 yz = 1 xz = 1 xy 1 yz = 1 xz 1 xy = 1 xz x = y. z = y. Daí, substituindo x = y e z = y na quarta equação do sistema, temos y 3 = 100 y = = λ. (3.10) Como, y = x = z, assim, x = e z = logo, os três números que satisfazem o problema são: (x, y, z) = ( 3 100, , 3 100).

48 Exemplo 3.6 A temperatura T em qualquer ponto (x, y, z) no espaço é dada por T = 100x 2 yz. Determine a temperatura máxima sobre a esfera x 2 +y 2 +z 2 4, com z 0. Qual a temperatura mínima? Solução: Sejam T = f(x, y, z) = 100x 2 yz e g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 4. Vamos encontrar os candidatos a ponto crítico que estão na fronteira da esfera. Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar f e g. Ou seja, calculando o gradiente de f(x, y, z), temos x = 200xyz, y = 100x2 z Logo, f(x, y, z) = (200xyz, 100x 2 z, 100x 2 y). E, g x = 2x, Logo, g(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). e z = 100x2 y. g y = 2y e g z = 2z. Daí, construindo o sistema de equações S 1, temos, 200xyz = 2λx 100x S 2 z = 2λy 1 100x 2 y = 2λz x 2 + y 2 + z 2 4 = 0 Igualando as três primeiras equações de S 1, temos 100yz = 50x2 z y Na primeira igualdade de (3.11), temos = 50x2 y z = λ (3.11) 2y 2 = x 2, e daí, Na segunda igualdade de (3.11), temos e daí, y 2 = x2 2 2z 2 = x 2, (3.12) z 2 = x2 2 Daí, substituindo (3.12) e (3.13) na quarta equação de S 1, temos (3.13) x 2 + x2 2 + x2 2 = 4 x2 = 2, 47

49 e daí, x = ± 2. Substituindo os valores de x em (3.12), temos y = ±1 Substituindo os valores de x em (3.13), temos z = ±1 Assim, encontramos dois extremos na fronteira da esfera ( 2, 1, 1) e ( 2, 1, 1), com z 0. Agora, substituindo ( 2, 1, 1) em T, temos T ( 2, 1, 1) = 200. E ainda, ( 2, 1, 1) em T, temos T ( 2, 1, 1) = 200. Logo, T = 200 é a temperatura máxima e T = 200 é a temperatura mínima. Exemplo 3.7 Uma companhia possui três fábricas produzindo o mesmo produto. Se as fábricas A, B e C produzem x, y e z unidades, respectivamente, seus custos de fabricação são (3x ), (y ) e (2z ). Se um pedido de 1100 unidades deve ser entregue, use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar como a produção deve ser distribuida entre as três fábricas, a fim de minimizar o custo total de fabricação. Solução: De acordo com as informações extraídas do problema, temos a função custo C dada por C(x, y) = 3x 2 + y 2 + 2z , e a função Q é a quantidade de produzidos pelas três fábricas, a saber, Q(x, y) = x + y + z Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar C e Q. Ou seja, C x = 6x, Logo, C(x, y, z) = (6x, 2y, 4z). E, Q x = 1, C y = 2y e C z = 4z. Q y = 1 e Q z = 1. 48

50 Logo, Q(x, y, z) = (1, 1, 1). Substituindo os valores encontrados, obtemos o sistema de equações S 1, daí 6x = λ 2y = λ S 1 4z = λ x + y + z 1100 = 0. Igualando a primeira e a segunda equações de S 1, temos x = y 3 (3.14) Igualando a segunda e a terceira equações de S 1, temos z = y 2 (3.15) Daí, substituindo (3.14) e (3.15) na quarta equação de S 1, temos Sendo assim, y 3 + y + y 2 = y 6 x = 200 e z = 300 = 1100 y = 600 Para minimizar o custo total de fabricação de produtos, as quantidades devem estar distribuidas de forma que a fábrica A produza 200 unidades, a fábrica B produza 600 unidade e a fábrica C produza 300 unidades. Exemplo 3.8 Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 64cm 3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo. Solução: Sejam f(x, y, z) = 2xya + zxa + yza, com a constante representando o custo do material e g(x, y, z) = xyz 64. Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar f e g. Ou seja, x = 2ya + za, y = 2xa + za e z Logo, f(x, y, z) = (2ya + za, 2xa + za, xa + ya). E, g x = yz, Logo, g(x, y, z) = (yz, zx, xy). g y = zx e g z = xy. Daí, substituindo no sistema S 1, temos, 2ya + za = λyz 2xa + za = λzx S 1 xa + ya = λxy xyz 64 = 0 49 = xa + ya.

51 Igualando as três primeiras equações do sistema, temos 2ya + za yz Na primeira igualdade de (3.16), temos ou ainda, 2ya + za yz = = 2xa + za xz 2xa + za xz = xa + ya xy 2xya + yza = 2xya + xza Também, igualando a primeira e a terceira equações de (3.16), temos = λ (3.16) x = y (3.17) 2ya + za yz = xa + ya xy xza + yza = 2xya + xza Daí, substituindo (3.17) e (3.18) na quarta equação de S 1, temos z = 2x (3.18) 2x 3 = 64 x = Como, y = x, logo, y = e z = Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o custo são (x, y, z) = (2 3 4, 2 3 4, 4 3 4). Exemplo 3.9 A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia(por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. Solução: Sejam f(x, y, z) = 5xy + 2z(x + y) e g(x, y, z) = xyz V. Para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange para três variáveis, vamos inicialmente encontrar f e g. Ou seja, x = 5y + 2z, y = 5x + 2z e z = 2x + 2y. Logo, f(x, y, z) = (5y + 2z, 5x + 2z, 2x + 2y). E, g x = yz, g y = zx e g z = xy. 50

52 Logo, g(x, y, z) = (yz, zx, xy). Daí, substituindo em S 1, temos, 5y + 2z = λyz 5x + 2z = λzx 2x + 2y = λxy xyz V = 0 Igualando as três primeiras equações de S 1, temos 5y + 2z yz = 5x + 2z xz = 2x + 2y xy Igualando a primeira e a terceira equações de (3.19), temos ou ainda, 5y + 2z yz = 2x + 2y xy 2xz + 2yz = 5xy + 2xz = λ (3.19) z = 5x 2 (3.20) Na primeira igualdade de (3.19), temos ou seja, 5y + 2z yz = 5x + 2z xz 5xy + 2yz = 5xy + 2xz Daí, substituindo (3.20) e (3.21) na quarta equação de S 1, temos ( ) 5x x x = V 5x 3 = 2V 2 e daí, De (3.21), como x = y, então y = x (3.21) x = 3 2V 5. y = 3 2V 5. Agora, x = y = 2z 5. Substituindo x e y na quarta equação de S 1, temos e daí, ( 2z 5 ) ( ) 2z z = V 4z = V, 25V z = 3 4 ( 3 2V Portanto, as dimensões do aquário são, 3 2V, V 4 ).