2º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1

Transcrição

1 º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo Conteúdo: Função do º grau (Função Afim) Introdução No estudo científico de qualquer fato sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações eistentes entre essas grandezas. A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta). Os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro permanece investido, o preço pago pelo abastecimento de um carro, seja a álcool ou gasolina, depende da quantidade de litros,... Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor de outra, que podemos denominar de, onde para cada valor obtemos um único valor de y. Simbolicamente, temos: y = f () (lê-se y é igual a f de ) onde: : variável independente, y: variável dependente e f representa a função. Muitas vezes, o valor de y é dado por uma regra ou fórmula que diz como calculá-lo a partir da variável. Eemplo: Em uma indústria de autopeças, o custo de produção de peças é de R$,00 fio mais um custo variável de R$ 0,70 por cada unidade produzida. a) Determine a lei algébrica da função que indica o custo total (C()) para a produção de () unidades. b) Qual o custo, em reais, para a produção de 500 peças? c) Se em certo mês o custo de produção foi de R$ 7,00, quantas unidades foram produzidas? Função do o grau (Função afim): Definição, gráfico e características Chama-se função polinomial do o grau, ou função afim, a qualquer função f: R R dada por uma lei da forma f () = a + b, onde a e b são números reais dados e a 0. a: coeficiente de (coeficiente angular), fornece a taa de variação da função b: é o termo constante. (coeficiente linear), parte fia: mostra onde o gráfico cruza o eio y. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do o grau, y = a + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eios e y. Coeficientes da função afim

2 O coeficiente a é chamado o coeficiente angular da reta, ele está ligado à inclinação da reta em relação ao eio O.(eio ). y 7 5 a > 0 a > 0 y a < 0 - a = tangente do ângulo de inclinação = = taa de variação da função Obs: Apenas a função do º grau tem taa de variação constante O coeficiente b, é chamado coeficiente linear da reta, ou seja, a ordenada do ponto que a reta corta o eio Oy (eio y) Se b = 0 a função é dita função linear e o gráfico corta os eios coordenados no ponto O = (0, 0) Cálculo da raiz ou zero da função (intersecção com o eio ) É o valor de para o qual f () = 0. Eemplo: Dada a função f () = 4, pede-se: Verificar se a função é crescente ou decrescente a) Determinar o ponto de intersecção com o eio y b) Determinar a raiz da função c) Determinar o ponto de intersecção com o eio d) Utilizando os pontos de intersecção com os eios e y, construa o gráfico da f() e) Verifique para que valores de a função é positiva e para quais valores ela é negativa

3 Obs: No item E, avaliamos para quais valores de temos f () > 0, e para quais valores de temos f () < 0. Dessa forma, fizemos o estudo do sinal da função, e para tanto precisamos saber o valor de, tal que f () = 0, ou seja, precisamos da raiz da função. Observe os gráficos abaio: f () < f () > 0 + f () > 0 - f () < 0 : raiz Situações que observamos uma função do º grau: I) Dados obtidos através de tabelas Eemplo: Uma pessoa vai diariamente à uma padaria e tem os seguintes gastos: Quantidade de pães Gastos (R$), 50,75 3 3,00 4 3,5 a) Qual é a lei algébrica que determina o gasto (C()) que uma pessoa terá na compra de pães? b) Quanto uma pessoa gastará se comprar 50 pães? c) Uma pessoa gastou R$ 9,75, quantos pães ela comprou? II) Dados obtidos através de problemas Eemplo: Uma torneira que despeja 40 litros de água por minuto é aberta para acabar de encher uma caia d água que já contém 00 litros. a) Qual é a lei que associa o volume (V) da caia (em litros) em função do tempo t (em minutos) gasto para encher a caia? 3

4 b) Quantos minutos serão necessários para encher totalmente a caia cuja capacidade é de litros de água? III) Dados obtidos através de gráficos Eemplo: (PUC-RS) Um determinado tipo de óleo foi aquecido a partir de 0 o C até atingir 60 o C e obteve-se o gráfico abaio, da temperatura (T) em função do tempo (t). a) Determine a lei da função b) Calcule T(3) c) Determine em que instante a temperatura é 0 o C. Eercícios: ) Dada a função f () = , pede-se: a) Verificar se a função é crescente ou decrescente b) Determinar o ponto de intersecção com o eio y c) Determinar a raiz da função d) Determinar o ponto de intersecção com o eio e) Utilizando os pontos de intersecção com os eios e y, construa o gráfico da f() f) Verifique para que valores de a função é positiva e para quais valores ela é negativa ) A figura abaio representa os gráficos das funções f() = m + n e g() = c + d. Determinar a lei da f () e da g () 4

5 3) Uma função f afim é tal que f (-) = 3 e f () =. Determine o valor de f (3). 4) Dados os gráficos das funções de R em R, e considerando que cada quadradinho tem cm de lado, obtenha a lei de correspondência de cada uma; 5) A raiz da função y = - k + 3 é. Determine k. 6) Em certa cidade, a tarifa de tái é calculada da seguinte forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$,0 por quilômetro rodado. a) Pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? Em caso afirmativo, quais seriam as variáveis ( dependente e independente) dessa função? b) Qual a lei matemática definiria essa função? 7) Na época do Natal, a loja A oferece aos funcionários temporários um salário fio de R$ 450,00 mais uma comissão de % (em reais) sobre o total vendido, já a loja B não oferece salário fio, mas paga 5% (em reais) de comissão sobre o total vendido. a) Escreva a lei de formação das funções correspondentes ao salário recebido (y) em cada uma das lojas pelo total de vendas () em reais. b) Para um total de vendas de R$ 000,00, qual é o salário recebido na loja A? E na loja B? c) Qual deve ser o total de vendas para que um funcionário da loja A receba R$ 800,00 de salário? E na loja B? d) A partir de que valor de vendas é mais vantajoso trabalhar na loja B? 5