SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA CONCEITUALIZAÇÃO DE DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

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1 UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA CONCEITUALIZAÇÃO DE DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA Autora: Monique Sequeira Lehmann Vassouras 0

2 MONIQUE SEQUEIRA LEHMANN SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA CONCEITUALIZAÇÃO DE DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA Produto da dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Educação Matemática. Orientadores: Júlio César da Silva Patrícia Nunes Silva Vassouras 0

3 LISTA DE FIGURAS Figura Gráfico referente à ª questão do teste diagnóstico a priori... 7 Figura Gráfico referente à ª questão do teste diagnóstico a priori... 8 Figura 3 Figura referente à 3ª questão do teste diagnóstico a priori... 8 Figura 4 Gráfico referente à 4ª questão do teste diagnóstico a priori... 9 Figura 5 Gráficos referentes à 4ª questão do teste diagnóstico a priori (SMOLE, Figura 6 Gráfico referente à 6ª questão do teste diagnóstico a priori... Figura 7 Gráfico referente à 7ª questão do teste diagnóstico a priori... Figura 8 Gráfico da questão A referente à ª aula da sequência de ensino... 4 Figura 9 Translações de F( + k... 5 Figura 0 Translações de F( ( h... 6 Figura Translações de F( a... 6 Figura Gráfico da questão B referente à ª aula da sequência de ensino... 8 Figura 3 Interpretação geométrica da declividade de uma reta... 8 Figura 4 Demonstração de retas com diferentes declividades... 9 Figura 5 Gráfico da questão B referente à ª aula da sequência de ensino... 0 Figura 6 Gráfico da questão C referente à ª aula da sequência de ensino... Figura 7 Gráfico da questão C referente à ª aula da sequência de ensino... Figura 8 Gráfico das questões A, B e C referente à ª aula da sequência de ensino... 6 Figura 9 Taa de variação da função A referente à ª aula da sequência de ensino... 7 Figura 0 Taa de variação da função B referente à ª aula da sequência de ensino... 8 Figura Taa de variação da função C referente à ª aula da sequência de ensino... 8 Figura Interpretação geométrica da reta secante se tornando reta tangente... 9 Figura 3 Figura referente à ª questão do teste diagnóstico a posteriori... 3 Figura 4 Figura referente ao item a da ª questão do teste diagnóstico a posteriori... 3 Figura 5 Figura referente à 3ª questão do teste diagnóstico a posteriori Figura 6 Gráfico referente à 4ª questão do teste diagnóstico a posteriori... 34

4 LISTA DE TABELAS Tabela Tabela referente à 3ª questão do teste diagnóstico a priori... 9 Tabela Tabela referente à 5ª questão do teste diagnóstico a priori... 0 Tabela 3 Tabela referente ao item e da 6ª questão do teste diagnóstico a priori... Tabela 4 Tabela referente ao item e da 7ª questão do teste diagnóstico a priori... 3 Tabela 5 Tabela da questão C referente à ª aula da sequência de ensino... Tabela 6 Tabela da questão C referente à ª aula da sequência de ensino... Tabela 7 Tabela da questão C referente à ª aula da sequência de ensino... Tabela 8 Problema A referente à ª aula da sequência de ensino... 3 Tabela 9 Problema B referente à ª aula da sequência de ensino... 3 Tabela 0 Problema C referente à ª aula da sequência de ensino... 3 Tabela Variação da função da questão A referente à ª questão da sequência de ensino... 5 Tabela Variação da função da questão B referente à ª questão da sequência de ensino... 5 Tabela 3 Variação da função da questão C referente à ª questão da sequência de ensino... 5 Tabela 4 Tabela referente à 3ª questão do teste diagnóstico a posteriori... 34

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 6 TESTE DIAGNÓSTICO A PRIORI SEQUÊNCIA DE ENSINO... 4 AULA : FUNÇÕES E GRÁFICOS... 4 AULA : TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA... AULA 3: TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA TESTE DIAGNÓSTICO A POSTERIORI... 3

6 INTRODUÇÃO A proposta deste produto é disponibilizar um material de apoio para o ensino de derivada como taa de variação instantânea. Este produto é o resultado de uma pesquisa de mestrado na qual a sequencia e os testes propostos foram aplicados a um grupo de alunos de cursos de engenharia. O objetivo desta sequencia didática é auiliar os alunos no processo de ensino-aprendizagem em relação ao conceito de derivada como taa de variação instantânea. Este material está dividido em três partes: na primeira, é sugerida a aplicação de um teste diagnóstico com o objetivo de verificar o nível de resposta dos alunos bem como observá-las a fim de comparar os conhecimentos iniciais e após a aplicação da sequência de ensino, segunda etapa do material. O teste diagnóstico a priori contém sete questões discursivas que abordam: construção e interpretação de gráficos de funções polinomiais do º grau, º grau e eponencial; variação de funções, taa de variação média e instantânea. A sequência de ensino foi dividida em três aulas e sugere-se um tempo de duas horas por aula para as eplanações. As aulas estão distribuídas tópicos foram distribuídos da seguinte maneira: AULA : Construção, leitura e interpretação de gráficos; AULA : Variação de funções, Taa de variação média; AULA 3: Reta secante como taa de variação média e Reta tangente como taa de variação instantânea. Os conceitos trabalhados nas aulas serão vistos a partir de situações problematizadas, nas quais os alunos devem ser questionados a respeito de determinado conceito, a ser trabalhado em seguida. Durante a sequência de ensino os alunos devem ser divididos em três grupos e levados a resolver às questões e discutir com os outros grupos antes da eplanação do professor. Por fim, na terceira etapa, propõem-se a aplicação de mais um teste, o teste diagnóstico a posteriori, composto de quaro questões discursivas que abordam todos os assuntos trabalhados na sequência de ensino, de forma a validar o trabalho efetuado. 6

7 TESTE DIAGNÓSTICO A PRIORI ª Questão: Uma bola é lançada verticalmente para cima. Suponha que a sua altura F( em metros relativamente ao solo, segundos após o lançamento, seja dada pela função F( + 8. O gráfico que representa a função é: Figura Gráfico referente à ª questão do teste diagnóstico a priori a Qual é a altura aproimada da bola no instante de segundo? b Qual é a altura aproimada da bola no instante de 3,8 segundos? c Qual é a altura máima atingida pela bola? E em que instante isto acontece? d Qual é a variação da altura da bola quando o tempo varia de para segundos? e Qual é a variação da altura da bola quando o tempo varia de 3 para 3,8 segundos? ª Questão: Uma substância se decompõe aproimadamente segundo a lei F( 0,5 5., em que indica o tempo em minutos e F( indica a quantidade da substância, em gramas, no instante. O gráfico que representa a função é: 7

8 Figura Gráfico referente à ª questão do teste diagnóstico a priori a Quanto havia de substância no início do eperimento? b Quanto havia, aproimadamente, de substância no primeiro minuto do eperimento? c Quanto havia, aproimadamente, de substância 3 minutos após o início do eperimento? d Quanto tempo após o início da eperiência a quantidade de substância era de gramas? e Qual a variação aproimada da quantidade de substância no intervalo de a 3 minutos? 3ª Questão: Um reservatório de água, com capacidade de 000 litros está cheio. O registro é aberto para esvaziá-lo e um cronômetro, com tempo em horas, é acionado no instante em que se inicia o escoamento constante, conforme ilustram as figuras abaio. Observe que o desenho mostra o reservatório e os visores do cronômetro. Figura 3 Figura referente à 3ª questão do teste diagnóstico a priori 8

9 a Observando as ilustrações, preencha a tabela: Tabela Tabela referente à 3ª questão do teste diagnóstico a priori Tempo (horas 0 0,5,5, Volume (litros b Qual o volume de água que sai do reservatório por hora? c Represente o gráfico que você observou na tabela. d Para tempos superiores a 5 horas, qual seria o volume do reservatório? e O volume de água observado no reservatório depende do tempo transcorrido? Justifique. Em caso afirmativo, que relação se estabelece entre o volume de água do reservatório e o tempo transcorrido? 4ª Questão: Uma locadora de veículos cobra o aluguel de um carro popular conforme apresenta o gráfico a seguir: Figura 4 Gráfico referente à 4ª questão do teste diagnóstico a priori a Que epressão matemática relaciona o valor a ser pago pelo cliente, F(, com a distância percorrida,. b Se Pedro tem disponível apenas R$ 40,00 quantos quilômetros ele pode percorrer com o carro alugado? 9

10 c Determine a variação no valor a ser pago quando o percurso aumenta de 0 para 40 km. d Determine a variação no valor a ser pago quando o percurso aumenta de 80 para 60 km. e Qual é o acréscimo na conta, em R$, correspondente a cada quilômetro percorrido? Eplique como concluiu a resposta. Que procedimentos matemáticos utilizaram? f Sabendo que a taa de variação média de uma função é dada por TVm y y, determine a taa de variação média de y quando passa de 0 para y 50 km. g O conceito de taa de variação média poderia auiliar na solução do item e? h O que representa esta taa de variação média? Justifique. 5ª Questão: Observe os três gráficos abaio e responda as questões: Figura 5 Gráficos referentes à 4ª questão do teste diagnóstico a priori (SMOLE, 003 a As funções são crescentes ou decrescentes? Justifique. b Com base nos gráficos, complete a tabela: Tabela Tabela referente à 5ª questão do teste diagnóstico a priori no intervalo Taa de variação de F F( Taa de variação de G G( Taa de variação de H H( [0, ] [, ] 3 [, 3] [3, 4] [4, 5] 0

11 c O que acontece com a variação média da função F( em cada intervalo? d O que acontece com a variação média da função G( em cada intervalo? e O que acontece com a variação média da função H( em cada intervalo? f Podemos afirmar que as funções têm taas de variação diferentes. Qual delas cresce mais rapidamente? Justifique. 6ª Questão: Uma substância se decompõe aproimadamente segundo a lei F( 0,5 5., em que indica o tempo em minutos e F( indica a quantidade da substância, em gramas, no instante. O gráfico que representa a função é: Figura 6 Gráfico referente à 6ª questão do teste diagnóstico a priori Utilizando o gráfico mostrado anteriormente, faça uma reta que corte os pontos: a P (,0; 7,5 e P (6,0;,88 b P (,0; 7,5 e P 3 (4,0; 3,75 c P (,0; 7,5 e P 4 (,5; 6,3 d P (,0; 7,5 e P 5 (,; 7,4 e Complete a tabela abaio, calculando as taas de variação da função a partir dos pontos determinados pelas retas traçadas anteriormente:

12 Tabela 3 Tabela referente ao item e da 6ª questão do teste diagnóstico a priori F( TV m,00 7,50 6,00,88,00 7,50 4,00 3,75,00 7,50,50 6,3,00 7,50,0 7,4 f Observe que os pontos, em, foram sendo aproimados cada vez mais. O que se pode concluir sobre o valor da taa de variação média? Justifique. 7ª Questão: Uma bola é lançada verticalmente para cima. Suponha que a sua altura F( em metros relativamente ao solo, segundos após o lançamento, seja dada pela função F( O gráfico que representa a função é: Figura 7 Gráfico referente à 7ª questão do teste diagnóstico a priori Utilizando o gráfico mostrado anteriormente, faça uma reta que corte os pontos: a P (,0; 6,0 e P (,; 7,9 b P (,0; 6,0 e P 3 (,6; 7,68 c P (,0; 6,0 e P 4 (,; 6,7 d P (,0; 6,0 e P 5 (,; 6,38

13 e Lembrando que a taa de variação média de uma função é dada por TVm y y, complete a tabela abaio, calculando as taas de variação da y função a partir dos pontos determinados pelas retas traçadas anteriormente: Tabela 4 Tabela referente ao item e da 7ª questão do teste diagnóstico a priori F( TV m,0 6,00, 7,9,0 6,00,6 7,68,0 6,00, 6,7,0 6,00, 6,38 f Observe que os pontos, em, foram sendo aproimados cada vez mais. O que se pode concluir sobre o valor da taa de variação média? Justifique. g Sabendo que a taa de variação instantânea de uma função em o é dada por y y lim lim 0 0 y, calcule a taa de variação instantânea da função para o,0. h Comparando os resultados obtidos nos itens e e g, o que se pode concluir sobre as taas de variação? 3

14 3 SEQUÊNCIA DE ENSINO AULA : FUNÇÕES E GRÁFICOS No início da aula, os alunos devem ser divididos em 3 grupos, A, B e C. Cada um dos grupos deve receber um problema, traduzir graficamente os fenômenos descritos. As funções trabalhadas são do tipo polinomial do grau, polinomial do grau e eponencial. QUESTÃO A: a Numa partida de futebol, o goleiro do time A colocou a bola em jogo cobrando um tiro de meta. Ao chutar a bola, esta subiu até atingir a altura máima de 9 metros, 3 segundos após o chute. A partir daí, a bola foi perdendo altura e tocou o chão, 6 segundos após o chute. Traduzir graficamente o fenômeno descrito. b Observar o comportamento da bola analisando o gráfico. c Que epressão traduz o fenômeno descrito, ou seja, qual é a epressão algébrica da função? Figura 8 Gráfico da questão A referente à ª aula da sequência de ensino Analisar o gráfico baseando-se nas questões: - período em que ela ganha altitude (função crescente; 4

15 - altura máima que ela atinge (y v ponto de máimo e quanto tempo após o chute ( v ; - mudança de comportamento (ponto crítico; - o período em que ela perde altitude (função decrescente. Funções Quadráticas: Uma abordagem geométrica Por meio de transformações geométricas, mostra-se que a função pode ser escrita da forma: F( a( h + k A forma geral desta função é: F( a + b + c O gráfico de F( + k pode ser obtido a partir do gráfico de F(. Figura 9 Translações de F( + k Para valores positivos de k, translada-se a parábola para cima. E para valores negativos de k, translada-se para baio. O gráfico de F( ( h pode ser obtido a partir do gráfico de F(. 5

16 Figura 0 Translações de F( ( h 3 O gráfico de F( a pode ser obtido a partir do gráfico de F(. Figura Translações de F( a Funções Quadráticas: Observações Importantes Se a > 0 Concavidade voltada para cima. Se a < 0 Concavidade voltada para baio. Para obter a epressão que representa a função, procede-se a partir desta análise: A epressão a + b + c pode ser escrita como a + b a + c. a 6

17 b + b 4ac Sejam e a Pode-se calcular S + e P. b b 4ac as duas raízes. a Considerando: b + b 4ac e a b b 4ac, tem-se: a S b + b a 4ac + b b a ( b + b 4ac ( b b 4ac P 4 a 4ac b, como sendo a soma das raízes e a c a, como o produto das raízes. b c Logo, a + b + c a + + a( S + P a( ( + + a a Ainda pode-se fatorar a epressão ( + a ( + ( ( e obter: + b + c a ( (. E a epressão é: F( a F( a( r ( r F( a( 0( 6 F( a( 6 F( a + b + c 6a 3 F( 9 9 a.3 6. a.3 9 9a 8a 9a 9 a F( + 6 QUESTÃO B: a Uma empresa A, para construir uma estrada de 0 km, cobra uma taa fia de R$ 4 milhões mais uma taa de R$ 00 mil para cada quilômetro de estrada construída. Traduzir graficamente o fenômeno descrito. Traduzir graficamente o fenômeno descrito. b O que significa, geometricamente, a taa fia?; E a taa adicional? c Qual é a epressão que traduz o fenômeno descrito? d Suponhamos agora que uma empresa B, para realizar o mesmo serviço, cobra uma taa fia de R$ milhão e mais uma taa de R$ 300 mil para cada quilômetro de estrada construída. O que vai acontecer com o gráfico? e Qual das propostas é mais vantajosa? f Qual é a epressão que traduz o fenômeno descrito para a empresa B? 7

18 Figura Gráfico da questão B referente à ª aula da sequência de ensino Função Polinomial do Grau: Observações Importantes A declividade (ou coeficiente angular de uma reta não vertical que passa pelos pontos P 0 ( 0, y 0 e P (, y é: m y y 0 0 Usando semelhança de triângulos, é fácil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto é, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relação: m y y y y0 0 y y 0 0 Geometricamente, pode-se interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente do ângulo ω que a mesma faz com a direção horizontal. Figura 3 Interpretação geométrica da declividade de uma reta 8

19 As retas mais inclinadas são aquelas para as quais o valor absoluto da declividade é maior. Figura 4 Demonstração de retas com diferentes declividades Para encontrar a equação da reta que passa por um determinado ponto P (, y e tem declividade m, tem-se: y y Um ponto P(, y pertence a esta reta se e somente se m ; Tem-se, portanto, a equação y y m( ; Supondo que a reta tenha declividade m e intercepte o eio y no ponto (0, b. Neste caso, a equação da reta é: y b m( y m + b 0, que é chamada de equação reduzida da reta. Ao número b, dá-se o nome de coeficiente linear da reta, que é a ordenada do ponto onde a reta corta o eio y. Observando o gráfico, observa-se que ele intercepta o eio y no ponto P (0, 4, portanto, b 4 (coeficiente linear. A declividade m pode ser dada por: y y 5 4 m 0, Logo: F( 0, + 4 E então, pode-se concluir: - A taa fia representa o coeficiente linear da reta. 9

20 - A taa adicional a ser paga por quilômetro de estrada construída representa o coeficiente angular, ou declividade da reta. Analisando as duas funções: Figura 5 Gráfico da questão B referente à ª aula da sequência de ensino Conclui-se que: - A empresa B cobra uma taa fia menor, porém, cobra mais por cada quilômetro de estrada. - Analisando o gráfico, observa-se que para a construção de 0 km de estrada, na empresa A o custo é de R$ 6 milhões e, na empresa B, o custo é de R$ 7 milhões. - Logo, apesar de cobrar uma taa fia maior, a empresa A é mais vantajosa. - Mas analisando-se até 5 km de estrada, a empresa B é mais vantajosa. - Em 5 km, tem-se o ponto de intersecção entre as duas retas (o custo é o mesmo. E a epressão que traduz o fenômeno descrito para a empresa B é: F( 0,3 + QUESTÃO C: a Um pesquisador estuda o crescimento de uma espécie de planta rara. A altura de desta planta dobra a cada mês, durante certo período de sua vida e sua altura inicial é de cm. O pesquisador está interessado em observar a altura desta planta durante um tempo de vida de 5 meses. Traduzir graficamente o fenômeno descrito. b Observando o crescimento, onde é mais acelerado? Por quê? c Qual é a epressão que traduz o fenômeno descrito? 0

21 d Imagine que, numa outra planta, o pesquisador aplicou um produto e observou que e a altura dela passou a triplicar a cada mês. Neste caso, como ficaria o gráfico da função? E como fica a epressão? Figura 6 Gráfico da questão C referente à ª aula da sequência de ensino Tabela 5 Tabela da questão C referente à ª aula da sequência de ensino Tempo (meses Altura (centímetros Observando o gráfico, pode-se dizer que a altura da planta cresce eponencialmente. Utiliza-se este termo para epressar que ela cresce com sua altura variando na forma de potência de base fia, que, neste caso, é igual a. Analisando novamente a tabela: Tabela 6 Tabela da questão C referente à ª aula da sequência de ensino Tempo (meses Altura (centímetros

22 Pode-se concluir que: F( Observando a tabela: Figura 7 Gráfico da questão C referente à ª aula da sequência de ensino Tabela 7 Tabela da questão C referente à ª aula da sequência de ensino Tempo (meses Altura (centímetros Conclui-se que a epressão é: F( 3 AULA : TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA Os grupos devem ser mantidos e receber cada um uma questão (A, B e C com aplicação na física e que envolve variação, taa de variação média e velocidade média. É importante frisar que as questões e perguntas são as mesmas, havendo variação apenas nos valores e nas formas das funções. QUESTÃO A: A trajetória de um carro está sendo monitorada via satélite. A posição inicial do carro é zero. Os dados coletados estão dispostos na tabela a seguir:

23 Tabela 8 Problema A referente à ª aula da sequência de ensino Tempo (segundos Posição (metros 0 4, 8,4,6 6,8,0 5, QUESTÃO B: A trajetória de um carro está sendo monitorada via satélite. A posição inicial do carro é zero. Os dados coletados estão dispostos na tabela a seguir: Tabela 9 Problema B referente à ª aula da sequência de ensino Tempo (segundos Posição (metros 0 0,5,0 4,5 8,0,5 8,0 QUESTÃO C: A trajetória de um carro está sendo monitorada via satélite. A posição inicial do carro é zero. Os dados coletados estão dispostos na tabela a seguir: Tabela 0 Problema C referente à ª aula da sequência de ensino Tempo (segundos Posição (metros,0,0 4,0 8,0 6,0 3,0 64,0 A partir das questões, devem ser trabalhados os conceitos de variação, taa de variação media e velocidade media: a Qual foi a variação na posição do carro durante os 6 primeiros segundos? b Qual foi a taa de variação média do carro durante os 6 primeiros segundos? c E qual foi a velocidade média do carro durante os 6 primeiros segundos? Observações Importantes O termo variação se refere à mudança ocorrida da condição inicial para a final. No instante t segundos Posição p metros No instante t segundos Posição p metros A variação da posição será determinada por: p p p No caso dos problemas propostos, esta variação leva em conta que posição o carro saiu e em que posição ele chegou. Não se tem noção do caminho! Sobre a variação no intervalo considerado, tem-se: QUESTÃO A: p p p 5, 0 5, metros p p p 8,0 0 8, 0metros 3

24 QUESTÃO B: QUESTÃO C: p p p 64,0,0 63, 0metros Com relação à taa de variação média, tem-se uma relação entre as mudanças de posição e o intervalo de tempo entre a posição inicial e a final. No instante t segundos Posição p metros No instante t segundos Posição p metros A taa de variação média será determinada por: tvm p p t t Nos problemas propostos, a taa de variação média será uma relação entre as grandezas: posição e tempo. tvm p p t t posição velocidade tempo Neste caso, no cálculo da taa de variação média num dado intervalo, determina-se a velocidade do carro neste intervalo. A taa de variação média do carro durante os 6 primeiros segundos é: QUESTÃO A: p p 5, 0 tvm 4,metros / segundo t t 6 0 Que é a velocidade média do carro nos 6 primeiros segundos do trajeto!!! QUESTÃO B: p p 8,0 0 tvm 3,0metros / segundo t t 6 0 Que é a velocidade média do carro nos 6 primeiros segundos do trajeto!!! QUESTÃO C: p p 64,0,0 tvm 0,5metros / segundo t t 6 0 4

25 Que é a velocidade média do carro nos 6 primeiros segundos do trajeto!!! Ainda sobre a questão da variação, utiliza-se tabelas para visualizar as diferentes funções: QUESTÃO A: - a variação da posição é constante; - logo, a mudança da variação é igual a zero. Tabela Variação da função da questão A referente à ª questão da sequência de ensino Intervalo de tempo Variação da posição Mudança da Variação t0 e t 4, t e t 4, 0 t e t3 4, 0 t3 e t4 4, 0 t4 e t5 4, 0 t5 e t6 4, 0 QUESTÃO B: - a variação da posição é uma progressão aritmética; - a mudança da variação é constante e igual a um. Tabela Variação da função da questão B referente à ª questão da sequência de ensino Intervalo de tempo Variação da posição Mudança da Variação t0 e t 0, t e t,5 t e t3,5 t3 e t4 3,5 t4 e t5 4,5 t5 e t6 5,5 QUESTÃO C: - a variação da posição é uma progressão geométrica; - a mudança da variação dobra a cada intervalo. Tabela 3 Variação da função da questão C referente à ª questão da sequência de ensino Intervalo de tempo Variação da posição Mudança da Variação t0 e t, t e t,0 t e t3 4,0 t3 e t4 8,0 4 t4 e t5 6,0 8 t5 e t6 3,0 6 5

26 As funções que representam o movimento do carro nos três casos são: QUESTÃO A: Função Polinomial do Grau F( 4, QUESTÃO B: Função Polinomial do Grau F ( 0,5 QUESTÃO C: Função Eponencial F( As representações gráficas das funções são: Figura 8 Gráfico das questões A, B e C referente à ª aula da sequência de ensino Observando, graficamente, a taa de variação média da função polinomial do º grau (Questão A: 6

27 Figura 9 Taa de variação da função A referente à ª aula da sequência de ensino A taa de variação média pode ser interpretada, geometricamente, considerando a reta que passa pelos pontos dados. E neste caso, chama-se esta taa de variação média de coeficiente angular da reta. y m tgα tvm - Como se tem uma função polinomial do grau, o coeficiente angular é um parâmetro da função, e é constante! Por esse motivo, a mudança da variação é nula! - A velocidade é constante! - E a velocidade média é igual à instantânea! Observando, graficamente, a taa de variação média da função polinomial do º grau (Questão B: 7

28 Figura 0 Taa de variação da função B referente à ª aula da sequência de ensino - No caso da função polinomial do º grau, a taa de variação média pode ser representada, graficamente, traçando-se uma reta que ligue os dois pontos considerados. - A taa de variação média será o coeficiente angular desta reta. Para pontos diferentes, a inclinação da reta é variável, logo, a taa de variação média não é constante. - Neste caso, a velocidade média não é igual à velocidade instantânea. Observando graficamente, a taa de variação média da função eponencial (Questão C: Figura Taa de variação da função C referente à ª aula da sequência de ensino - No caso da função eponencial, a taa de variação média também pode ser representada, graficamente, traçando-se uma reta que ligue os dois pontos considerados. 8

29 - A taa de variação média será o coeficiente angular desta reta. Para pontos diferentes, a inclinação da reta é variável, logo, a taa de variação média não é constante. - Neste caso, a velocidade média não é igual à velocidade instantânea. AULA 3: TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA Nesta aula devem ser apresentados novamente os problemas B e C da aula anterior e os alunos devem ser questionados sobre a questão da velocidade instantânea. A eplanação deve ser: No intervalo de tempo de amplitude entre e um instante posterior +, o carro se desloca de uma distância y. A velocidade média durante esse intervalo é o quociente y/. Quando é pequeno, essa velocidade média está perto da velocidade eata v, ou seja: y v Quanto menor for, torna-se cada vez melhor a aproimação. Graficamente, considerando novamente a reta secante s, passando pelos pontos P( 0 +, F( 0 + e P ( 0, F( 0. Para diminuir cada vez mais, ou seja, para tendendo a zero, a reta s muda de posição (ver retas s e s. Q se aproima de P; A reta s, tende à reta t, tangente ao gráfico em P; α s tende a α e m s tende a m t. Figura Interpretação geométrica da reta secante se tornando reta tangente Daí tem-se: m t F( 0 + F( 0 tgα lim 0 9

30 30 '( lim 0 F y F F y F v F + ( ( lim lim ( ' 0,5 ( 0 0 0,5( ( 0,5( ( 4 0,5(4 ( 0,5( ( ( F F F F segundo metros F v F v F v F F y F v / ( ' 0,5 lim 0,5( lim ( ' 0,5( lim ( ' ( ( lim lim ( ' F ( Assim, a velocidade instantânea ou taa de variação instantânea (tvi da velocidade do carro, no instante 0, será dada por: À essa taa de variação instantânea, dá-se o nome de derivada da função F em 0. A derivada de uma função F em 0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F no ponto de abscissa 0. Resolvendo a Questão B da aula : Considerando, por eemplo, segundos, calcula-se a velocidade instantânea do carro neste ponto. Pode-se dizer que o número, encontrado: - é a derivada da função F no ponto de abscissa ; - é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função F no ponto de abscissa ; - representa, no caso do problema proposto, a velocidade instantânea do carro no instante de tempo segundos. Resolvendo a Questão C da aula :

31 Para resolver esta função, precisa-se utilizar a derivada da função eponencial, que é tabelada, e dada por: Se F( a, com a R+, a e R, então F ( a.ln a. Considerando, por eemplo, segundos e calculando a velocidade instantânea do carro neste ponto. Utilizando a derivada da função F em : v.ln.ln 4.0,693 v,774metros / segundo Pode-se dizer que o número,774, encontrado: - é a derivada da função F no ponto de abscissa ; - é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função F no ponto de abscissa ; - representa, no caso do problema proposto, a velocidade instantânea do carro no instante de tempo segundos. 3

32 ª Questão: 4 TESTE DIAGNÓSTICO A POSTERIORI Abaio, são dados diversos reservatórios com a mesma capacidade e a mesma altura: Figura 3 Figura referente à ª questão do teste diagnóstico a posteriori Vamos imaginar que estamos enchendo os reservatórios. O comportamento do nível de água no decorrer do tempo nos reservatórios não é o mesmo. a Os gráficos abaio mostram a altura água (A em função do tempo (T. Relacione cada gráfico com reservatório que ele representa. Reservatório: Reservatório: Reservatório: Reservatório: Reservatório: Reservatório: Figura 4 Figura referente ao item a da ª questão do teste diagnóstico a posteriori b Tente eplicar seu raciocínio para cada um dos reservatórios. ª Questão: Numa certa cidade, os taistas cobram R$,00 a bandeirada mais R$,00 por cada quilômetro rodado. a Traduza graficamente o problema descrito. 3

33 b Determine a epressão que representa o problema descrito. c Qual é o coeficiente angular da reta? d E o que representa, no problema proposto, este coeficiente angular? e Qual é o coeficiente linear da reta? f E o que representa, no problema proposto, este coeficiente linear? g Qual é a variação no valor a ser pago quando a distância percorrida aumenta de 3 para 7 quilômetros? h Se uma pessoa tem disponível R$0,00, quantos quilômetros ela pode percorrer de tái? i João, um taista iniciante, resolve trabalhar de forma diferente dos outros: ele não cobra pela bandeirada, mas cobra R$ 3,00 por cada quilômetro rodado. Represente graficamente o problema. j É mais vantagem viajar com João ou com os taistas antigos? Eplique sua resposta. 3ª Questão: Pedro faz o trajeto de sua casa à escola a pé. Faz sempre o mesmo trajeto e percorre 700m. Sai às 7h de casa para chegar às 7h30min na escola. Na aula de Matemática de quarta-feira, o professor pediu aos alunos que representassem graficamente tempo distância de seus trajetos de ida à escola daquela semana. Pedro apresentou os gráficos, observando que o trajeto sempre tinha sido o mesmo e que a diferença estava na "forma" de fazer o trajeto: (segunda-feira (terça-feira (quarta-feira Figura 5 Figura referente à 3ª questão do teste diagnóstico a posteriori a Interprete, por meio de situações-problema, os trajetos de Pedro na segunda, terça e quarta-feira. Use sua criatividade! 33

34 b Calcule a velocidade média com que Pedro estava caminhando em cada um dos dias, nos intervalos de tempo considerados. Intervalos de Tempo (hora t 0,0 e t 0, t 0, e t 0, t 0, e t 0,3 Tabela 4 Tabela referente à 3ª questão do teste diagnóstico a posteriori Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Velocidade média Velocidade média Velocidade média (quilômetros por (quilômetros por (quilômetros por hora hora hora c Se for considerado o intervalo entre a hora da saída de casa e a hora da chegada na escola, em qual dos dias Pedro andou mais rápido? 4ª Questão: Duas motos A e B partiram do Rio de Janeiro no mesmo horário e deveriam percorrer 500 km até o destino final num tempo máimo de 0 horas de viagem. As funções abaio mostram a distância percorrida pelas motos A e B, em quilômetros, por tempo de viagem, em horas: Figura 6 Gráfico referente à 4ª questão do teste diagnóstico a posteriori a De acordo com as informações e observando o gráfico, as duas motos chegaram no destino final, ao final de 0 horas? b Ainda observando o gráfico, qual das motos andou mais rápido? 34

35 c Após 4 horas de viagem, quantos quilômetros a moto A percorreu? E a moto B? d Se a primeira cidade fica a 50 km de distância do Rio de Janeiro, com quanto tempo de viagem a moto A chegou nesta cidade? E a moto B? e Calcule a velocidade média da moto A durante as 0 horas de viagem. f Calcule a velocidade média da moto B durante as 0 horas de viagem. g Eplique conceitualmente a diferença entre velocidade média e velocidade instantânea. Utilize ferramenta gráfica e/ou eemplos, se achar necessário. h A epressão matemática (função que relaciona a distância percorrida, F(, em quilômetros, com o tempo de viagem,, em horas, da moto A é F ( 5. Sabendo disso, determine a velocidade da moto A no instante 7 horas. Lembrando que: y F( + F( v lim lim 0 0 i A epressão matemática (função que relaciona a distância percorrida, F(, em quilômetros, com o tempo de viagem,, em horas, da moto B é F ( 3,5. Sabendo disso, determine a velocidade da moto B no instante 7 horas. Lembrando que: y F( + F( v lim lim

36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDRE, S. L. C. Uma proposta para o ensino de derivada no ensino médio. Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ, 008. BARUFI, M. C. B. et al. E-cálculo. Disponível em: < Acesso em: 0 jul. 00. CASSOL, A. Produção de significados para a derivada: taa de variação. Dissertação de Mestrado. Rio Claro: UNESP, 997. DALL ANESE, C. Conceito de derivada: uma proposta para seu ensino e aprendizagem. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC-SP, 000. DALL ANESE, C. Argumentos e metáforas conceituais para taa de variação. Tese de Doutorado. São Paulo: PUC-SP, 006. D AVOGLIO, A. R. Derivada de uma função num ponto: Uma forma significativa de introduzir o conceito. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC-SP, 00. IGLIORI, S. B. C. Uma contribuição para o ensino-aprendizagem de noções do cálculo diferencial integral. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 007. Belo Horizonte. Anais. Belo Horizonte: 007. PEREIRA, V. M. C. Cálculo no ensino médio: Uma proposta para o problema da variabilidade. Dissertação de Mestrado em Ensino de Matemática. Rio de Janeiro: UFRJ, 009. PINTO, G. M. F. Compreensão gráfica da derivada de uma função real em um curso de cálculo semipresencial. Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ, 008. SILVEIRA, E. C. Uma sequência didática para aquisição/construção da noção de taa de variação média de uma função. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC-SP, 00. SMOLE, K, S; DINIZ, M. I. Matemática, ensino médio. Volume 3. São Paulo: Saraiva,