Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

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1 DEFINIÇÃO... GRÁFICO... ZEROS ou RAÍZES... 3 DISCUSSÃO DAS RAÍZES... 5 RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES... 8 VÉRTICE... CONCAVIDADE... MÁXIMO OU MÍNIMO... IMAGEM... 3 FORMA CANÔNICA... 8 CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA... EIXO DE SIMETRIA... 3 COEFICIENTES a, E c NO GRÁFICO... 3 SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA INEQUAÇÕES DO º GRAU INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO º GRAU RESPOSTAS... 5 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séries de eercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a eercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os eercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume. vidigal.ouropreto.ifmg.edu.r cassio.vidigal@ifmg.edu.r

2 DEFINIÇÃO Uma quadra poliesportiva de uma escola tem forma retangular com 40 metros de comprimento e 0 metros de largura. A direção da escola pretende amplia-la. Para isso vai construir em volta dela uma faia de largura constante. c) f() = onde a =, = e c =. d) f() = 4 onde a =, = e c =. e) f() = +5 onde a =, = e c =. f) f() = -3 onde a =, = 0 e c =. GRÁFICO O gráfico da função quadrática é uma paráola. Suponhamos que seja a largura da faia, em metros. Os lados da nova quadra medem (40 + ) e (0 + ). Sua área é uma função de. S 40 0 S f S A fórmula que define essa função é um polinômio de º grau na variável. Funções reais como esta são chamadas de funções quadráticas ou funções do º grau. E: Veja, no eemplo aaio, o gráfico da função f() =. y -3 (-3) 9 A = (-3; 9) - (-) 4 B = (-; 4) - (-) C = (-; ) D = (0; 0) E = (; ) 4 F = (; 4) G = (3; 9) Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os pontos encontrados na taela. FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO DO º GRAU é toda função real do tipo y = f() = a + + c sendo a, e c números reais com a 0. Eemplos de funções quadráticas: a) f() = 3 + onde a =, = -3 e c =. ) f() = onde a =, = e c =. Paráola é uma das 4 curvas cônicas CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 G = (3; -9) Ligando-se os pontos, formaremos o gráfico: D = R e Im = [, 0[ Note que, quando multiplicamos a função por - (g() = -f()) otemos um gráfico simétrico ao anterior em relação ao eio das ascissas. Oservação: Neste momento, não traalharemos com construção de gráficos. Faremos isto mais a frente. ZEROS ou RAÍZES D = R e Im = [0, [ E.: Vamos, agora, construir o gráfico da função g() = - localizando alguns pontos e ligando-os em seguida. - y -3 -(-3) -9 A = (-3; -9) - -(-) -4 B = (-; -4) - -(-) - C = (-; -) D = (0; 0) - - E = (; -) - -4 F = (; -4) Chamam-se de raízes ou de zeros da função do º grau os valores de que tornam nula a função f() = a + + c. Uma das técnicas utilizadas para encontrar as raízes de uma função do º grau é a Fórmula de Báskara amplamente conhecida e relativamente fácil de ser aplicada. Aaio segue a demonstração da fórmula: f() = a + + c f() = 0 a + + c = 0 a ( + a + c a ) = 0 + a + c a = 0 MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA

4 + a + 4a T. Q. P. 4a + c a = 0 ( a ) + + 4ac 4a = 0 ( a ) = 4ac 4a a = ± 4ac 4a a = ± 4ac a = a ± 4ac a = ± 4ac a (continua) a Logo, as raízes da função são e 3 E.: Quais os zeros da função f() = 9 + 4? Resolução: Etapa i) a = 9, =, c = 4 Etapa ii) 4ac Chamando de a epressão 4ac, temos: ± = a A seguir veremos alguns eemplos de aplicação da fórmula de Báskara. E.: Quais os zeros da função aaio? f() = Resolução: Vamos dividir a resolução em três etapas: i) Destacar os coeficientes ii) Calcular o discriminante. iii) Calcular as raízes Etapa i) a =, = -5, c = 6 Etapa ii) 4ac Etapa iii) CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 Etapa iii) a Logo, as raízes da função são 3 e 3. E3.: Quais os zeros da função f 6? 0 3 3º Caso: < 0: Como R quando < 0, a função não apresentará raízes nesta situação. 0) Determinar as raízes reais das funções a seguir; f 8 a) 5 Resolução: Etapa i) a =, = -6, c = 0 Etapa ii) 4ac Etapa iii) 6 4 a 4 Como -4 não possui raiz quadrada real, dizemos que a função dada não possui raízes reais. ) f 8 DISCUSSÃO DAS RAÍZES A eistência das raízes de uma função quadrática fica condicionada ao fato da R. Assim, temos três casos a considerar: > 0, = 0 e < 0. Vamos discutir os três casos: c) f 6 9 º Caso: > 0: Quando > 0, a função apresentará duas raízes reais distintas: e a a º Caso: = 0: Neste caso, 0, assim temos que a MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA

6 d) f 4 g) f 5 e) f 3 0 h) f 4 f) f 5 3 i) f 6 5 CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 j) f 5 9 0) Qual o valor de para que a função f tenha duas raízes iguais? 3 k) f ) Determinar as condições sore k na função f() = 3 + (k ) a fim de que f não admita raízes reais. MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA

8 04) A função f() = (p ) (p + ) possui duas raízes reais iguais. Nestas condições, qual o valor de p? RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES Sendo e as raízes de uma função do segundo grau do tipo f() = a + + c, podemos afirmar que: + = a e = c a Estas relações são chamadas de relações de Girard e podem ser facilmente demonstradas. Acompanhe: 05) Qual é o menor número inteiro m para o qual a função real de variável real dada por f() = (m + ) não admite raízes reais? Fazendo e, a a temos que a a a a e a a 4ac 4a 4a 4ac 4a c a E.: Encontrar a soma e o produto das raízes da função f()= sem calcular as raízes. Resolução: a = ; = 4 e c = = a = 4 = = c a = 30 = 5 Logo, a soma das raízes é e o produto é 5. E.: Escreva uma função do segundo grau cujas raízes seja 4 e -. Resolução: CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 a = 4 + ( ) = 3 Fazendo a =, temos que = -3 c = 4 ( ) = 4 a Tomando a =, temos que c = -4. Assim, uma equação procurada é f() = 3 4 Oservação: Se tivesse sido atriuído a outro valor qualquer (diferente de ), os valores de e c mudariam mas, ainda assim, seria encontrada uma função cujas raízes são 4 e. ) - e c) -5 e -4 d) 3 + e 3 06) Calcule a soma e o produto das raízes das funções aaio; a) f() = e) 0 e 8 ) f() = c) f() = - 7 f) 3 e 3 d) f() = 3 - g) 7 e ) Otenha uma função do segundo grau cujos zeros sejam: a) 3 e 4 MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA

10 08) Mostre que uma equação do º grau de raízes e pode ser escrita na forma f() = S + P sendo S = + e P =. 09) Uma das raízes da equação + p + 7 = 0 é o quadrado da outra. Qual o valor de p? 0) As raízes da função f() = c são tais que uma é o inverso da outra. Qual é a maior das duas raízes? CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 ) Uma das raízes da equação 5 + p = 0 ecede a outra em 3 unidades. Encontre as raízes da equação e o valor de p. 3) Sendo m e n as raízes da equação = 0, qual o valor de: a) m + n ) m n c) m + n ) A diferença entre as raízes da equação + + p = 0 vale 5. Encontre as raízes e o valor de p. d) m + n MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA

12 VÉRTICE No início desta apostila, tivemos uma ideia inicial acerca do gráfico da função do segundo grau. Você viu que o gráfico tem o formato da curva ao lado. O ponto V na figura, é chamado de vértice da paráola e está localizado sore o seu eio de simetria. Se a > 0, a paráola tem a concavidade voltada para cima. Se a < 0, a paráola tem a concavidade voltada para aio. As coordenadas no vértice da paráola podem ser encontradas a partir dos coeficientes por meio da fórmula: V = ( a ; 4a ) (Na página 5 desta apostila, você encontra a demonstração da fórmula que nos permite encontrar as coordenadas de V.) Determinar as coordenadas do vértice da paráola que representa graficamente a função f() = Resolução: y v = 4ac 4a Logo, V = (, ) v = a = 4 = = ( 4) = CONCAVIDADE A paráola que representa graficamente a função quadrática y = a + + c pode ter a concavidade voltada para cima ou para aio de acordo com o sinal do coeficiente a. MÁXIMO OU MÍNIMO Dada uma função f podemos dizer que ela admite máimo se, e somente se eiste m, m D(f) tal que: f( m ) f() D(f) O número f( m ) é chamado de valor máimo de f. E podemos dizer que ela admite mínimo se, e somente se eiste m, m D(f) tal que: f( m ) f() D(f) O número f( m ) é chamado de valor mínimo de f. Uma função quadrática admite ponto de máimo no vértice quando a < 0. Uma função quadrática admite ponto de mínimo no vértice quando a > 0. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 IMAGEM ) y = + 4 A partir do esoço do gráfico da função quadrática f() = a + + c, podemos notar que a ordenada do vértice limita sua imagem, assim, se a > 0, y y v e se a < 0, y y v, logo: Para a > 0 Im = {y R y 4a } Para a < 0 Im = {y R y 4a } c) f() = ) Em cada uma das funções quadráticas a seguir, determine o vértice da paráola da representação gráfica e aponte a direção da concavidade da paráola. Determine tamém a imagem da função. a) f() = + d) f MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA

14 e) f 3 6 5) Para que valores de m o gráfico da a função f() = (m 5) + m tem a concavidade voltada para cima? f) f 4 6) O vértice da paráola da função y = + + c é o ponto V(-3; ). Calcule e c. g) f 0, 4 CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 7) Sae-se que a paráola que descreve a função y = + k + k passa pelo ponto (: 7). a) Determine k. ) Quanto vale f(0)? E f(3)? 8) Calcule e c saendo que a paráola de y = + + c passa pelos pontos (; ) e (; 6). MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA

16 9) Determine a função quadrática f() = a + + c tal que f(0) =, f() = 6 e f(-) = 0. (Você deve determinar a, e c) ) Encontre a fórmula de y em função de. (dica: se y é proporcional quadrado de, então y é igual a multiplicado por uma constante, ou seja, a função é do tipo y = a ) c) Otenha y para = 3? 0) O arco de paráola da figura ao lado é o gráfico de uma função em que y é proporcional ao quadrado de. a) Qual o domínio e imagem da função? ) O preço de uma pizza é diretamente proporcional à sua área. Por isso, a fórmula que dá o preço (em reais) de uma pizza em função de seu raio R (em cm) é do tipo P = kr. No caso, k é uma constante real não nula. Uma pizzaria vende uma pizza de raio igual a 0cm por R$,00. a) Qual o valor de k? ) Por quanto deve ser vendida uma pizza de 30cm de raio? CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 ) Um sustância sofreu mudanças de temperatura durante 8 minutos. Sua temperatura T em graus Celsius, t minutos após o início do eperimento, é dada pela fórmula T = -t + 6t + 0. Encontre: a) a temperatura inicial da sustância. ) o instante em que ela atingiu a temperatura máima. c) Qual a taa de variação média do preço da pizza por centímetro de raio quando este muda de 0cm para 30cm? E quando muda de 30cm para 40 cm? c) a temperatura máima atingida. d) os instantes em que a temperatura atingiu 4ºC. MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA

18 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 80 Eercícios 07 a 4 FORMA CANÔNICA A construção do gráfico da função quadrática com o auílio de uma taela como está apresentado no início desta apostila torna-se as vezes um traalho impreciso. Não era o caso daqueles eemplos e de outros que você vez nos eercícios, mas isto pode acontecer quando, por eemplo, a paráola intercepta o eio horizontal ou vertical em pontos de ascissa ou ordenada não inteiros. A fim de podermos fazer um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos, em princípio, transforma-la em outra forma chamada de FORMA CANÔNICA. Vamos transformar a função na forma polinomial f() = a + + c para a forma canônica, veja: a ac a a f a ac a a f c a a a a f c a a a a f c a a f c a f Esta forma é a chamada forma canônica. Representando 4ac por, tamém chamado de discriminante do trinômio do º grau temos a forma canônica como a conhecemos: a a a f 4

19 E.: Vamos passar a função f() = para a forma canônica: f f f ) Passe as funções quadráticas a seguir para a forma canônica e, em seguida, encontre as raízes, caso eistam. f 3 a) E.: Passar a função quadrática f 3 7 para a forma canônica e em seguida determinar suas raízes caso eistam. Resolução: f() = f() = 3 ( ) f() = 3 ( ) f() = 3 [( 7 6 ) 5 36 ] f() = 3 ( 7 6 ) 5 ) f 7 Vamos agora encontrar as raízes. Para isto, vamos igualar a 0 a epressão encontrada: 3 ( 7 6 ) 5 = 0 3 ( 7 6 ) = 5 ( 7 6 ) = = ± 5 36 = 7 6 ± 5 6 = 6 = ou = 6 = 3 Assim, as raízes são e 3. MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA

20 c) f 7 e) f d) f f) f CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 g) f CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA Nos eemplos a seguir, construiremos gráficos de funções do segundo grau (paráolas) a partir de sua forma canônica mas antes vamos entender algumas translações que podemos realizar nos gráficos de funções do segundo grau. Nas páginas e 3 desta apostila, construímos o gráfico da função f() =. Para tal partimos de uma taela, localizamos os pontos no plano e ligamos construindo o gráfico. Relemre: h) f y -3 (-3) 9 A = (-3; 9) - (-) 4 B = (-; 4) - (-) C = (-; ) D = (0; 0) E = (; ) 4 F = (; 4) G = (3; 9) Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os pontos encontrados na taela. Ligando-se os pontos, formaremos o gráfico: MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA

22 DESLOCAMENTO VERTICAL Agora, vamos construir o gráfico da função g() =. Este gráfico pode ser otido a partir do gráfico anterior deslocando todos os seus pontos em uma unidade para aio já que para cada valor de em f() =, a imagem relativa a g() = estará uma unidade aaio. Veja como ficará o gráfico: Veja, na sequência aaio, diversos gráficos ilustrando esta situação: p() = + 5 k() = + f() = g() = Continuando nesta linha, vamos construir o gráfico de h() = 4. Agora, a partir de f() =, vamos descer todos os seus pontos em 4 unidades h() = 4 Oservando as construções anteriores, podemos concluir que, somando-se ou sutraindo-se uma constante de uma função do segundo grau, deslocamos o seu gráfico verticalmente. DESLOCAMENTO HORIZONTAL Vamos, agora, provocar deslocamentos horizontais no gráfico. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 Mais uma vez, partiremos do gráfico da função f() =. Agora construiremos o gráfico de g() = ( 3). 3 ( + ) y (, y) 0 3 ( 3) 9 A = (0; 9) ( ) 4 B = (; 4) ( ) C = (; ) D = (3; 0) 4 E = (4; ) 5 4 F = (5; 4) G = (6; 9) Vamos agora construir a taela e, em seguida, o gráfico de h() = ( + ). Localizando no plano e construindo o gráfico, temos: + ( + ) y (, y) 5 3 ( 3) 9 A = ( 5; 9) 4 ( ) 4 B = ( 4; 4) 3 ( ) C = ( 3; ) D = ( ; 0) E = ( ; ) 0 4 F = (0; 4) G = (; 9) Oserve, em verde, no plano a seguir, os pontos encontrados a partir da taela e o gráfico da função h. Neste caso, foi possível oservar que somando ou sutraindo uma constante ao, o gráfico da função sofre um deslocamento lateral. Veja no conjunto de gráficos a seguir: MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA

24 k() = ( + 3) g() = ( 3) f() = h() = ( + ) p() = ( 4) De maneira informal, mas que proporciona um om entendimento, podemos dizer que somando-se uma unidade ao argumento, o gráfico é deslocado uma unidade para a esquerda e sutraindo uma unidade do argumento, o gráfico é deslocado uma unidade para a direita. ABERTURA Em termos de aertura, as paráolas podem ter a concavidade mais aerta ou mais fechada ou ainda a concavidade voltada para aio. Mais uma vez, começaremos com o gráfico da função f() = mas agora destacaremos uma nova situação em termos de deslocamento. Oserve o gráfico. Na figura, além do gráfico, foram destacadas linhas em três cores de duas tonalidades cada. Ressaltando que em f() = os valores de y variam com o quadrado de e tomando como referência o vértice da paráola, podemos oservar que: Em azul: quando varia uma unidade, y varia, ou seja, e quando varia em uma unidade para a esquerda, y varia em (-), ou seja,. Em vermelho: quando varia duas unidades, y varia, ou seja, 4 e quando varia em duas unidades para a esquerda, y varia em (-), ou seja, 4. Em verde, quando varia três unidades, y varia 3, ou seja, 9 e quando varia em três unidades para a esquerda, y varia em (-3), ou seja, 9. Tente oservar o mesmo padrão para variando 4 unidades. No entanto, se tivermos uma constante multiplicando o, esta constante influenciará diretamente na taa de variação de y em relação a. Veja no eemplo a seguir com a função g() =. CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 quadrados das variações em. Isso se deve ao fator multiplicando o. Vejamos, agora, o papel de uma constante negativa multiplicando o. No gráfico a seguir, utilizaremos o fator - e o resultado oservado vale, tamém para quaisquer outros fatores negativos. Veja que, neste caso, as variações em y são o doro dos quadrados das variações em. Isso se deve ao fator multiplicando o. Veja este outro eemplo com a função h() =. A Agora pode-se perceer que as variações em y são equivalentes à metade dos É possível oservar que, para cada deslocamento horizontal a partir do vértice, o deslocamento vertical varia com o quadrado de porém para aio, Desta forma, a paráola tem a concavidade voltada para aio. Assim, em termos da influência da constante a no gráfico de f() = a, podemos concluir que se a > 0, a paráola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a paráola tem a concavidade voltada para aio (isso já foi falado na página ). Além disso, podemos dizer que quanto maior o valor de a (em módulo), mais fechada estará a paráola e quanto mais próimo de zero for o valor de, mais aerta estará a paráola. Agora vamos focar noutro ponto. MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA

26 Na página 7, vimos que a forma canônica da função f() = a + + c é f a a 4a Na página, vimos que as coordenadas do vértice da paráola são: V ; a 4a Assim, podemos reescrever a forma canônica como: f() = a( v ) + y v E.:Construir o gráfico da função f 4 3. Resolução: (Na coluna ao lado) Forma canônica: f Assim, temos que: a = e V =, f f f A partir daí, localizamos o vértice no plano e em seguida alguns outros pontos da paráola de acordo com o que estudamos: Oserve que, nesta notação, podemos notar de forma clara, os três elementos que acaamos de estudar: A partir do que foi visto, detalhadamente, nas últimas páginas, vamos, agora construir gráficos de funções do º grau sem a necessidade de partir de uma taelinha. O nosso procedimento será encontrar a forma canônica das funções e, a partir dela localizarmos o vértice e fazermos os deslocamentos sore o plano para encontrar pontos de referência para a construção do gráfico. O passo seguinte será ligar estes pontos em forma de paráola formando, assim, o gráfico procurado. Acompanhe os eemplos a seguir: CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 Os demais eemplos, nas próimas páginas, construiremos juntos em forma de eercícios. 4) Construir o gráfico da função f() = - 3 MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA

28 5) Construir o gráfico da função f() = ) Construir o gráfico da função f() = CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

29 7) Construir o gráfico da função f() = 4 MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA

30 8) Construir o gráfico da função 9) Construir o gráfico da função 3 f f 4 5 CASSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO

31 30) Construir o gráfico da função f 4 3 MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA

32 3) Construir o gráfico da função f 0 6 EIXO DE SIMETRIA O gráfico da função quadrática admite um eio de simetria perpendicular ao eio horizontal que passa pelo vértice da paráola. A afirmação acima está presente no livro Fundamentos da Matemática Elementar e sua demonstração encontra-se na página 5 desta apostila. Esta conclusão nos permite construir apenas um ramo da paráola (à esquerda ou direita do vértice) e simetrizar este ramo em relação ao eio de simetria para construir o outro ramo. COEFICIENTES a, E c NO GRÁFICO Os parâmetros a, e c de uma função quadrática apresentada so a forma f() = a + + c nos dão informações interessantes e importantes sore a natureza do gráfico. Vamos ver nos acasos a seguir:. Parâmetro c O coeficiente c indica o ponto onde a paráola cruza o eio vertical. A paráola cruzo o eio das ordenadas no ponto (0, c). ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 76 Eercício 0. Parâmetro Este coeficiente indica se a paráola cruza o eio das ordenadas com seu ramo crescente ou decrescente. Veja cada um dos casos nos eemplos aaio. º caso: > 0 CASSIO VIDIGAL 3 IFMG CAMPUS OURO PRETO

33 Quando > 0, a paráola cruza o eio vertical com seu ramo crescente. Porém, mais do que isso, este parâmetro determina a aertura da paráola. Quanto maior o valor asoluto de a, menor será sua aertura ou, em outras palavras, mais fechada ela será independente da direção da concavidade. Veja nos eemplos a seguir: º caso: < 0 Quando < 0, a paráola cruza o eio vertical com seu ramo decrescente. 3º caso: = 0 Quando = 0, a paráola cruza o eio vertical no vértice, onde a função não é crescente nem decrescente. 3. Parâmetro a O parâmetro a é responsável pela concavidade e aertura da paráola. Como já vimos, se a > 0, a paráola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a concavidade estará voltada para aio. Estas informações são úteis, entre outras coisas, para verificar se construção do gráfico está correta. MATEMÁTICA I 33 FUNÇÃO QUADRÁTICA

34 Logo, podemos afirmar que: f 0 para ou 3 f 0 para ou 3 f 0 para 3 E.: f() = Resolução: = -/, = e a = - < 0 SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Como já vimos em funções do primeiro grau, estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores de a função assume valores positivos, negativos ou mesmo zero. Dada uma função quadrática do tipo f() = a + + c, saemos que f() pode apresentar duas, uma ou nenhuma raiz e o sinal do coeficiente a determina a concavidade da paráola. Para estudar o sinal de uma função do º grau, fazer um esoço do gráfico aseado nas raízes, caso eistam, e no sinal do coeficiente a. Veja, nos eemplos, alguns casos. Vamos estudar o sinal das seguintes funções: E.: f() = 6 Resolução: As raízes são = - e = 3 e a = > 0, assim a paráola corta o eio OX em dois pontos e possui concavidade para cima. O esoço a seguir mostra isto e apresenta os sinais em cada intervalo. f f f para para para ou ou E.3: f() = + Resolução: = = e a = > 0 E.4: f() = = = e a = > 0 f f f f 0 0 E.5: f() = + a = > 0 e f() não possui raízes. 0 0 para para para para CASSIO VIDIGAL 34 IFMG CAMPUS OURO PRETO

35 3) Faça o estudo do sinal das seguintes funções: f 6 5 a) Logo, f() > 0 para R E.6: f() = + a = - < 0 e f() não possui raízes. Assim, f() < 0 para R ) f 3 Faça agora alguns eercícios envolvendo estudo de sinais e inequações. MATEMÁTICA I 35 FUNÇÃO QUADRÁTICA

36 c) f 4 4 e) f 9 f) f 43 d) f g) f CASSIO VIDIGAL 36 IFMG CAMPUS OURO PRETO

37 h) f j) f 3 i) f MATEMÁTICA I 37 FUNÇÃO QUADRÁTICA

38 33) Determine os valores de c para os quais temos c > 0, R E.. Qual a solução da inequação 5 + >0. Resolução: Em princípio devemos determinar as raízes da função e a seguir esoçar o gráfico. As raízes são e a = > 0. e Oservando o esoço do gráfico, podemos notar que a função é positiva para ou assim: S = { R < ou > } E.: Resolver a inequação As raízes são = - e = 7 e a > 0. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 8 Eercícios R.6 e R.7 Pág 84 Eercícios 5 e 6 INEQUAÇÕES DO º GRAU Sendo f() = a + + c com a, e c reais e a 0, chamamos de INEQUAÇÃO DO º GRAU às sentenças do tipo f() > 0 ou f() 0 ou f() < 0 ou ainda f() 0. Resolver uma inequação significa determinar os valores reais de que satisfazem a condição pedida e isto é feito analisando-se o sinal da função. S = { R 7} E.3: Quais valores de satisfazem a inequação > 0? Raízes: = = 3 e a > 0 S = { R 3} Veja no eemplo a seguir. CASSIO VIDIGAL 38 IFMG CAMPUS OURO PRETO

39 34) Determine o conjunto solução de cada uma das inequações a seguir: a) ) 6 0 d) 36 c) 4 MATEMÁTICA I 39 FUNÇÃO QUADRÁTICA

40 e) g) m m m m f) 8 h) t tt i) CASSIO VIDIGAL 40 IFMG CAMPUS OURO PRETO

41 k) 4a j) k k k ) Num laoratório, uma sustância sofre um processo de mudança de temperatura. Saese que após t segundos após o início do eperimento, a temperatura C, em graus Celsius, é dada por C(t) = t t a) Qual a temperatura inicial da sustância? ) Qual a temperatura mínima que a sustância atinge? MATEMÁTICA I 4 FUNÇÃO QUADRÁTICA

42 c) Em que instante isto ocorre? Pág. 84 Eercícios 7 a 9 d) Durante quanto tempo a temperatura fica negativa? e) Em que intervalo de tempo a temperatura ficou aaio de 4ºC? ATIVIDADES COMPLEMENTARES CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

43 INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE Resolver uma inequação produto e/ou quociente do segundo grau é semelhante ao que fazemos com aquelas que envolvem apenas funções do primeiro grau. Veja o eemplo. 36) Resolva as inequações: 5 4 a) 0 E.: Resolver a inequação ( + 3)(4 ) > 0 Resolução: Devemos estudar o sinal de cada uma das funções. f() = + 3 g() = 4 ) 5 0 S = { R 3 < < ou > } 4 Como não há novidades em relação ao que já vimos em inequações produto/quociente do primeiro grau, podemos passar direto aos eercícios. MATEMÁTICA I 43 FUNÇÃO QUADRÁTICA

44 c) e) 0 d) f) CASSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO

45 37) Resolva as duas inequações a seguir: a) 38) Seja f. Determine os valores de em cada caso: a) para que se tenha f() = ) ) para que se tenha f() > MATEMÁTICA I 45 FUNÇÃO QUADRÁTICA

46 39) Dado f 3 calcule os valores de em cada caso: a) para que se tenha f() = 0 SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO º GRAU Resolver um sistema de inequações do º grau ou um sistema de inequações simultâneas do º grau é semelhante àquele envolvendo apenas inequações do primeiro grau. Devemos lemrar que a solução de um sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de cada uma das inequações que o formam. E.: Resolver o sistema. Resolução: Devemos resolver cada inequação separadamente e, em seguida, fazer a intersecção entre as soluções. ) para que se tenha f() > 0 0 e 0 e S [ ; ] [; ] CASSIO VIDIGAL 46 IFMG CAMPUS OURO PRETO

47 40) Resolva os sistemas: a) 3 ) MATEMÁTICA I 47 FUNÇÃO QUADRÁTICA

48 4) Indique o conjunto solução de cada um dos três sistemas de inequações simultâneas a seguir: a) ) 5 CASSIO VIDIGAL 48 IFMG CAMPUS OURO PRETO

49 c) ) Sejam f 5 e g 3 Determine tal que: a) < f() < 5. ) f() g() MATEMÁTICA I 49 FUNÇÃO QUADRÁTICA

50 43) Calcule m de modo que f m m tenha raízes reais e o gráfico seja uma paráola voltada para cima. 44) Construir o gráfico da função: 4 para 3 3 f 4 para 3 ou 3 CASSIO VIDIGAL 50 IFMG CAMPUS OURO PRETO

51 45) Construir o gráfico da função: f 7 para - ² para para RESPOSTAS 0) a) 3 e 5 ) - e 4 c) 3 e 3 d) 0 e 4 e) -5 e f) -3 e g) 3 e 7 5 i) -5 e - k) 3 e 3 4 h) - e j) Não possui raízes reais 0) 3 03) 4 k 04) 3 p 3 05) - 06) a) S e 3 ) S = 6 e P = 5 5 P 3 7 c) S = 0 e P d) S = 3 e P = - 07) a) f() = 7 + ) f() = c) f() = d) f() = + 3+ e) f() = 8 f) f() = g) f() = ) - Demonstração - 09) P = - 0) 3 ) P = 77 ) As raízes são -3 e -8 e p vale 4 3) a) 0 3 ) 5 3 c) a) ) a) vértice (; ); Im = [; ); concavidade para cima. MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA

52 ) vértice (; 4); Im = (-; 4] concavidade para aio c) vértice ; ; Im = (-; ]; 4 4 concavidade para aio. 3 3 d) vértice ; ; Im =(-; ]; concavidade para cima. e) vértice (; -5); Im = [-5; ); concavidade para cima f) vértice 3 3 ; 4 4 ; Im = [ ; ); 4 concavidade para cima g) vértice 9 ; ; 0 9 Im = [ ; ); 0 concavidade para cima 5) m > 5 6) = 6 e c= 0 7) a) k = ) f(0) = 4; f(3) = 9 8) = e c = - 9) f() = ) a) D = [0, ) e Im = [0, ) 9 ) y c) y 4 4 ) a) 0,03 ) R$7,00 c) 0 30:,50 / cm 30 40:,0 / cm ) a) 0ºC ) 4 min c) 4ºC d) min e 7 min 4) 7 ) f raízes: 3 e 4. 7 c) f 3 6 raízes: e 3 d) f Não possui raízes reais. e) f raiz: - f) f raízes: e 3 4 g) f 5 6 raízes: e h) f raízes: 0 e 3) 3 a) f raízes: e 4 CASSIO VIDIGAL 5 IFMG CAMPUS OURO PRETO

53 5) c) f f 0 0 para para d) f f f para para para 0 0 ou 0 ou e) f f f para para para 3 ou 3 3 ou f) f f f para para para ou 3 ou 3 3 6) 7) 8) 9) 30 3) 3) a) ) f f f f f f para para para para para para 3 ou ou ou 3 ou g) f f f para para ou para ou h) f 0 para i) f 0 para f 0 para 3 j) f 0 para 33) c > 4 34) a) S ou ) S 0 6 c) S ou d) S 6 MATEMÁTICA I 53 FUNÇÃO QUADRÁTICA

54 e) f) 5 S S g) S m m h) S = Ø S 4 i) j) S k k k) S = Ø 3 5 ou k 35) a) 35ºC ) -ºC c) t = 6 s d) segundos e) < t < 36) a) ) S ou 485 S ou 0 5 S ou 0 S { ou c) d) e) f) ou 3 S { 5} ou ou } 4 S { 5 ou ou 3} 37) a) S ) S ou 0 ou ) S 3 ou 9 4) a) S ou 4 ) S = Ø c) S 4) a) - < <0 ) - ou 43) m 4 44) 45) 38) a) = 0 ou = ) 0 ou 39) a) ou ou 3 ) ou ou 3 40) a) S 0 CASSIO VIDIGAL 54 IFMG CAMPUS OURO PRETO

55 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 988. IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume. São Paulo, Atual, 5ª edição, 977. RUBIÓ, Angel Pandés; Matemática e suas tecnologias; Volume. São Paulo, IBEP, 005. PAIVA, Manoel; Matemática; Volume. São Paulo, Moderna, 995. Links para os vídeos sugeridos: Pág coef-a--c-grafico/ Pág. 3 est-sinal-fg/ Demonstração indicada na página. Vértice Considere o gráfico aaio da função f() = a + + c. A paráola corta o eio vertical no ponto P, podemos então dizer que f(0) = c. Sendo PQ um segmento de reta paralelo ao eio horizontal, temos, para o ponto Q, a coordenadas (k, c). Desta forma podemos oter a ascissa de Q: f(k) c e f a c ak k 0 ak k c c k ak ou k 0 0 ak 0 ak k a Oservando o gráfico vemos que k = 0 é a ascissa do ponto P, logo a ascissa de Q é. a Devido à simetria da paráola, podemos determinar a ascissa de V como sendo a média aritmética entre as ascissas de P e Q, assim: 0 a v v a Para determinar a ordenada do vértice, asta sustituir determinar f(v). MATEMÁTICA I 55 FUNÇÃO QUADRÁTICA

56 f f v a f f f v a v c a 4a a a a 4a c 4a a 4a c v 4a a a 4ac v 4a a 4ac f v 4a como 4ac f v 4a c Assim, temos que as coordenadas do vértice da paráola, são V = ( ; ) a 4a Demonstração indicada na página 9 Eio de simetria Os pontos de uma reta vertical que passa pelo vértice de uma paráola oedecem à equação pois todos os pontos têm a ascissa. a Para provarmos que a paráola tem um eio de simetria, na reta devemos a mostrar que se o ponto A k,y a pertence ao gráfico, então o ponto B k,y tamém pertence. a f Vamos considerar a função a c na sua forma f a a 4a e tamém que o ponto A k,y a pertence a f(), assim, f a a f k y a a 4a a a k k a k 4a a 4a 4a a k f k a a 4a a logo, podemos ver que o ponto B k,y a tamém pertence ao gráfico. CASSIO VIDIGAL 56 IFMG CAMPUS OURO PRETO