n. 27 INTERVALOS REAIS Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ) matemático russo.

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1 n. 27 INTERVALOS REAIS Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ) matemático russo. Conhecido por ter elaborado a teoria dos conjuntos, o que o levou ao conceito de número transfinito. Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre: conjuntos numeráveis (ou enumeráveis), que se podem contar; conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis), que não se podem contar. Provou que o conjunto dos números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais R é contínuo (logo, maior que o anterior). Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo para representar o conjunto dos números reais. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar.

2 Paradoxo de Russell (popularmente conhecido como Paradoxo do Barbeiro) Em 1901, enquanto trabalhava em seu livro Os princípios da Matemática, Bertrand Russell descobriu um paradoxo que expunha uma falha nos fundamentos da Teoria dos Conjuntos, de Georg Cantor o que abalou o mundo da matemática e levou cientistas a repensarem a lógica moderna. Segundo a teoria de Cantor, um conjunto pode conter outros conjuntos, inclusive a si mesmo. Por exemplo, o conjunto das ideias é uma ideia. Mas isso não é verdade para todos os conjuntos, já que existem alguns que não podem conter a si mesmos. É o caso do conjunto de todos os números, que não é um número, ou do conjunto de todas as frutas, que não é uma fruta. No paradoxo de Russell: a resposta afirmativa leva a negação, e vice-versa. Mas esse paradoxo não fica restrito à matemática, e pode ser entendido também no contexto da autorreferência, que é quando uma afirmação faz referência a si mesma. Ele também é conhecido como o Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade com uma lei rígida quanto ao uso da barba, a regra é que todo homem adulto é obrigado a se barbear diariamente, mas não precisa fazer a própria barba. Existe um barbeiro na cidade para esses casos, para

3 o qual a lei diz que o barbeiro deverá fazer a barba daqueles que optarem por não fazer a própria barba. Dessa afirmação, surge o paradoxo, já que como resultado o barbeiro não pode se barbear. Por ser o barbeiro, fazer a própria barba significaria ser barbeado pelo homem que faz a barba só daqueles que optaram por não fazer a própria barba. E ele não pode ir ao barbeiro, pois isso significaria fazer a própria barba, o que não é a função do barbeiro. Outra versão: O PARADOXO DO BARBEIRO Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes: 1- Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias. 2- Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio. O paradoxo surge quando tentamos saber se o desventurado barbeiro faz a barba a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si próprio, para não violar a condição 2; Mas se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a condição 1. Nas palavras de David Hilbert: "Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou."

4 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os conjuntos numéricos foram estruturados com rigor por Georg Cantor. 1. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS N Os números naturais compreendem todos aqueles que são inteiros e positivos, inclusive o 0 (zero). Representado pela letra N, o conjunto representa todos os números naturais, inclusive o 0; e N* representa o conjunto dos números naturais não nulos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } 2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z O conjunto dos números inteiros compreendem todos os números naturais e os seus opostos negativos. Esse conjunto é representado pela letra Z. Observe que o conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos. Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Inteiros não negativos O conjunto de números inteiros não negativos é representado por Z +. Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }

5 Inteiros não positivos É representado por Z. Z = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não negativos e não nulos É representado pelo conjunto dos números inteiros não negativos, excluindo o zero. Z + = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } Logo, Z + = N Inteiros não positivos e não nulos zero: São todos os números do conjunto Z, com exceção do Z = {, -4, -3, -2, -1} 3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q O conjunto dos números racionais é representado por Q. Q = { x Q/ x = a b, a Z e b N } Um número racional é um número que pode ser escrito na forma de fração. Os números que podem ser escritos na forma de fração são: Os números inteiros; Decimais finitos: 1,1 ; 3,45; 8,903.

6 Dízimas periódicas: 2, ; 4, CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS I por: Esse conjunto é representado pela letra I. É composto Decimais infinitos não-periódicos: como o π (Pi) = 3, ; 0, Raízes não exatas: 2 = 1, Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é como aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R O conjunto dos números reais é formado por todos os conjuntos anteriormente mencionados: N; Z; Q; I. Este conjunto é representado por R. Pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira: R = Q I = {Q + I}

7 Fonte: Qualquer número real que não é racional diz-se irracional, ou seja, não pode ser escrito como a razão entre dois inteiros. 6. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS C O conjunto dos números complexos é representado por C. Tal conjunto é definido da seguinte maneira: z é um número complexo se z = a + bi, em que a e b são números reais e i = 1. O conjunto dos números complexos surgiu da necessidade de se encontrar raízes não reais de equações de grau maior ou igual a 2. Por exemplo, para resolver a equação x 2 + 2x + 10 = 0 por meio da fórmula de Bhaskara, teremos: x 2 + 2x + 10 = 0

8 a = 1; b = 2 ; c = 10 = 2 2 4(1). (10) = 36 Logo, equações do segundo grau que possuem < 0 não apresentam raízes reais. Para encontrar suas raízes, o conjunto dos números complexos foi criado, de modo que: 36 = 36. ( 1) = 6 1 = 6i Fonte: Relação entre conjuntos numéricos O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros; O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais; O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais;

9 O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais; O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento em comum; O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos. Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte maneira: N Z Q R C I R Q I = INTERVALOS REAIS INTERVALOS LIMITADOS EM R Sejam a e b dois números reais, com a < b, ou seja, (a, b R, a < b ) Chama-se intervalo fechado de origem a e de extremidade b, e indica-se por [a; b], o conjunto de todos os números reais x tais que a x b. Simbolicamente temos: [a; b] = { x R / a x b} No caso particular em que a = b, temos o intervalo fechado degenerado [a; a] = {a}.

10 Chama-se intervalo semiaberto à direita de origem a e de extremidade b, e indica-se por [a; b[, o conjunto de todos os números reais x tais que a x < b. Simbolicamente temos: [a; b[ = { x R / a x < b} Chama-se intervalo semiaberto à esquerda de origem a e de extremidade b, e indica-se por ]a; b], o conjunto de todos os números reais x tais que a < x b. Simbolicamente temos: ]a; b] = { x R / a < x b} Chama-se intervalo aberto de origem a e de extremidade b, e indica-se por ]a; b[, o conjunto de todos os números reais x tais que a < x < b. Simbolicamente temos: ]a; b[ = { x R / a < x < b} INTERVALOS ILIMITADOS EM R Seja a um número real qualquer (a R ).

11 Chama-se intervalo fechado ilimitado à esquerda, de extremidade a, e indica-se por ] ; a ] ou ] ; a] ou ( ; a], o conjunto de todos os números reais x tais que x a. Simbolicamente temos: ] ; a ] = { x R / x a} Chama-se intervalo aberto ilimitado à esquerda, de extremidade a, e indica-se por ] ; a [ ou ] ; a [ ou ( ; a ), o conjunto de todos os números reais x tais que x < a. Simbolicamente temos: ] ; a [= { x R / x < a} Chama-se intervalo fechado ilimitado à direita, de origem a, e indica-se por [ a; [ ou [a; + [ ou [a; + ) o conjunto de todos os números reais x tais que x a. Simbolicamente temos: [ a; + [ = { x R / x a} Chama-se intervalo aberto ilimitado à direita, de origem a, e indica-se por ] a; + [ ou ] a; + [ ou (a; + ) o conjunto de todos os números reais x tais que x > a.

12 Simbolicamente temos: ] a; + [ = { x R / x > a} Normalmente designa-se por ] ; + [ o conjunto dos números reais e denomina-se intervalo aberto ilimitado à esquerda e à direita. A sua representação é a reta real. Exemplos: a. A = { x R / 2 < x < 6} (2; 6) ou ]2; 6[ b. A = { x R / 3 x 7} [3; 7] c. A = { x R / 1 < x 5} (1; 5] ou ]1; 5] Exercícios: 1. Represente os subconjuntos na reta e na forma de intervalos: a. A = { x R / 3 x < 4} b. A = { x R / x < 7} c. A = { x R / x 5} d. A = { x R / x 4}

13 e. A = R 2. Dados os subconjuntos A = { x R / 2 x < 3}; B = { x R/1 x < 4}; C = { x R / x < 0}; pertencentes aos reais, calcule: a. A B b. A B c. (A C) B 3. Dados os conjuntos A = [1; 3[ e B =]2; 9] encontre: a. A B b. A B c. A B Resoluções: 1. Represente os subconjuntos na reta e na forma de intervalos:

14 2. Dados os subconjuntos A = { x R / 2 x < 3}; B = { x R/1 x < 4}; C = { x R / x < 0}; pertencentes aos reais, calcule: a. A B b. A B c. (A C) B 3. Dados os conjuntos A = [1; 3[ e B =]2; 9] encontre: d. A B e. A B f. A B Referências

15 ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. 20 ed. 1ª reimpressão. São Paulo: Nobel, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, CONJUNTOS NUMÉRICOS. Figura adaptada. Disponível em: < Acesso em: 03 jun