A grosso modo, o objetivo desse curso pode ser descrito como. Estudo de técnicas para se contar o número de elementos de um dado conjunto.

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1 Capítulo 1 Conceitos Básicos 11 Introdução A grosso modo, o objetivo desse curso pode ser descrito como Estudo de técnicas para se contar o número de elementos de um dado conjunto Exemplo 111 (placas de carro) Quantas placas de carro distintas podem ser especificadas por uma sequência de três letras e quatro dígitos? Em outras palavras, sejam L = {A, B,, Z e D = {0, 1,, 9 Quantos elementos tem o conjunto L 3 D 4? Para contar é importante saber organizar!!! As técnicas que estudaremos podem ser entendidas como maneiras de se organizar o processo de contagem 12 Notação Os Números Denotamos os números naturais por N = {0, 1, 2, 1

2 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 2 Quando excluímos o 0, usamos a notação N = {1, 2, 3, O conjunto {1,, n será bastante utilizado Por isso, para cada n N, vamos denotar por [n] = {1, 2,, n o conjunto dos números naturais de 1 a n Note que [0] =, ou seja, [0] é vazio Somatório e Produtório Se α 1,, α n são números reais, n α j = α α n n α j = α 1 α n denotam a soma e o produto desses números De modo mais geral, se B = {b 1, b 2,, b n é um conjunto finito e para cada b B estiver definido um número real α b, então, α b = α b1 + + α bn b B α b = α b1 α bn b B denotam a soma e o produto desses números Em especial, usamos a notação n α j = α α n α j = j [n] n α j = α j = α 1 α n j [n] quando B = [n] E se α 1, α 2, N, podemos somar mesmo que sejam infinitos Nesse caso, se apenas finitos deles forem diferentes de 0, a soma será igual à soma desses finitos elementos distintos de 0 Se infinitos deles forem distintos de 0, então a soma será infinito É comum usar a notação j=0 α j

3 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 3 ao invés de O mesmo vale para o produto α j j N Conjuntos Denotamos o número de elementos de um conjunto A por A Se A e B são conjuntos, A B, A B, A B e A \ B são a união, interseção produto e diferença entre A e B x A B x A ou x B x A B x A e x B (a, b) A B a A e b B A \ B = { x A x B Quando A B =, dizemos que A e B são disjuntos Utilizamos a notação C = A B para denotar dois fatos: C = A B e A B = Ou seja, C é a união disjunta de A e B É fácil imaginar união, interseção e produto de mais conjuntos Assim, se A 1,, A n são conjuntos, x A 1 A n j [n], x A j x A 1 A n j [n], x A j (a 1,, a n ) A 1 A n j [n], a j A j Dizemos que A 1,, A n são (dois a dois) disjuntos quando j, k [n], j k A j A k = E usamos a notação C = A 1 A n para dizer que C = A 1 A n e que A 1,, A n são disjuntos Ou seja, C é a união disjunta dos conjuntos A 1,, A n Quando A 1 = A 2 = = A n = A, escrevemos A n no lugar de A 1 A n Note que um elemento a = (a 1,, a n ) A n pode ser visto como uma função a : [n] A j a j

4 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 4 Assim, generalizando, escrevemos A B para denotar o conjunto das funções f : B A Neste caso, quando dizemos que A n pode ser visto como o conjunto das funções de [n] em A, estamos identificando os elementos f A [n] com os elementos (f(1),, f(n)) A n Inspirados pela identificação de A n e A [n], se Γ é um conjunto de índices e A γ (Γ γ) uma família de conjuntos, além da união e interseção desses conjuntos, podemos definir também o produto x γ Γ A γ γ Γ, x A γ x γ Γ A γ γ Γ, x A γ { A γ = x : Γ A γ x(γ) A γ γ Γ γ Γ Normalmente denotamos x(γ) por x γ Novamente, dados A γ (γ Γ), escrevemos C = γ Γ A γ significa que C é a união de todos os A γ e que os A γ são dois a dois disjuntos Também dizemos que A γ (γ Γ) particiona C, ou então, que A γ (γ Γ) é uma partição de C Por fim, P (A) é a família (o conjunto) de todos os subconjuntos de A Exemplo 121 Seja A = {1, 2, 3 Então, P (A) =, A, {1, {2, {3, {2, 3, {1, 3, {1, 2 Funções Uma função f de A em B, denotada f : A B,

5 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 5 é um objeto que associa a cada elemento a A, um determinado elemento de B Denotamos este elemento por f(a), dizemos que f leva a em f(a), e escrevemos f : A B a f(a) Dizemos que A é o domínio de f e B o contradomínio Quando C A, denotamos por { f(c) = b B a C, b = f(a) o subconjunto de B formado pela imagem dos elementos de c Dizemos que f(a) é a imagem de f Nem todos os elementos b B necessitam ser tais que exista um a A satisfazendo f(a) = b Ou seja, pode ser que f(a) B Quando f(a) = B, dizemos que f é sobrejetiva, ou que f é uma sobrejeção Da mesma forma, pode ser que f(x) = f(y), mesmo que x y Para x, y A, quando x y f(x) f(y), dizemos que f é injetiva, ou que f é uma injeção Quando f é injetiva e sobrejetiva, dizemos que f é bijetiva, ou que f é uma bijeção Quando f é uma bijeção, a inversa de f : A B é a função g : B A tal que g(b) = a f(a) = b Exemplo 122 A função f : N N n 2n associa a cada número natural um número par Essa função é injetiva, mas não é sobrejetiva Se P = {0, 2, 4, é o conjunto dos números naturais pares, então g : N P n 2n é uma bijeção

6 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 6 Para dois conjuntos A e B finitos, se f : A B é injetiva, então A B E se é sobrejetiva, então A B Esse fato nos motiva a estabelecer uma forma de tratar a cardinalidade de dois conjuntos, mesmo que não sejam finitos Dizemos que A = B quando existir uma bijeção f : A B Dado b B, denotamos por { f 1 (b) = a A f(a) = b o subconjunto de todos os elementos de A que são levados em b por f De modo mais geral, se D B, denotamos por { f 1 (D) = a A f(a) D o subconjunto de todos os elementos de A que são levados por f em algum elemento de D Chamamos f 1 (D) de imagem inversa de D por f Se f : A B e g : B C são funções, então podemos definir a função g f : A C x g(f(x)) Chamamos g f de composição de g com f E quando D A e f : A B, definimos a restrição de f a D como f D : D B x f(x) Por vezes, inspirados pela ideia de n-uplas ordenadas, ao invés de escrevermos f : A B, podemos escrever (x a ) a A, onde x a = f(a) para todo a A Por fim, se f γ : A γ B γ é uma família de funções indexadas por γ Γ, então, fazendo A = γ Γ A γ B = γ Γ B γ, definimos γ Γ f γ : A B a f γ(a) (a) onde γ(a) Γ é o único elemento de Γ tal que a A γ(a),

7 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 7 13 Significado de Contar Contar o número de elementos de um conjunto A significa encontrar n N e uma bijeção f : [n] A Dizer que A = n é o mesmo que dizer que o conjunto A pode ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto [n] Ou seja, é o mesmo que dizer que existe uma bijeção entre A e [n] E existe uma bijeção entre A e B se, e somente se, A = B Assim, para determinarmos a cardinalidade de um conjunto A, basta encontrar uma bijeção f : A B, onde B é um conjunto com cardinalidade conhecida Apedar de dizermos basta encontrar, é claro que isso pode não ser uma tarefa fácil Exemplo 131 (Identificando A n e A [n] ) Considere a função f : A [n] A n x (x(1),, x(n)) Então f é injetiva De fato, suponha que x : [n] A y : [n] A são elementos de A [n] distintos Então existe k [n], tal que x(k) y(k) E portanto, as k-ésimas coordenadas de f(x) e f(y), que são iguais a x(k) e y(k), são distintas Ou seja, f(x) f(y) A função f também é sobrejetiva, pois dado a = (a 1,, a n ) A n, podemos definir x : [n] A j a j É claro que para x A [n] definida dessa maneira, f(x) = (x(1),, x(n)) = (a 1,, a n ) Portanto, f é uma bijeção Note que além de A n e A [n] terem a mesma cardinalidade, a identificação f é natural (ou canônica) E é por isso que em muitos momentos trataremos os conjuntos A n e A [n] como se fossem a mesma coisa

8 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 8 Exemplo 132 (Identificando A n e A B ) Suponha que A e B sejam conjuntos, e que B = n Nesse caso, existe uma bijeção g : [n] B Então, assim como no Exemplo 131, podemos construir a bijeção f : A B A n x (x(g(1)),, x(g(n))) Note, no entanto, que f não é natural, no sentido de que a construção de f depende da escolha (arbitrária) de g Assim, quando B é finito, A B = A B E de modo análogo, mesmo que B não seja finito, B = C A B = A C Exemplo 133 (Identificando A [n] e A B ) Assim como no Exemplo 132, seja g : [n] B uma bijeção Então, é uma bijeção f : A B A [n] x x f O exemplo a seguir mostra que a cardinalidade de P (A) é igual à cardinalidade de {0, 1 A Já o conjunto {0, 1 A tem, pelo Exemplo 132, {0, 1 A tem a mesma cardinalidade que {0, 1 A Na Seção 15, mostraremos que {0, 1 A tem cardinalidade 2 A

9 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 9 Exemplo 134 (Cardinalidade de P (A)) Vamos construir uma bijeção entre P (A) e {0, 1 A Lembre-se que os elementos de {0, 1 A são as funções I : A {0, 1 Por outro lado, para cada B A ou melhor, para cada B P (A), temos a função I B : A {0, 1 x I B (x) = { 0, x B 1, x B Note que a correspondência f : P (A) {0, 1 A B I B é uma bijeção De fato, se B D, então I B I D (correspondência injetiva) E além disso, para qualquer I : A {0, 1, se fizermos B = I 1 (1), temos que I = I B (correspondência sobrejetiva) Concluímos que P (A) = {0, 1 A = 2 A, onde a última igualdade é mostrada na Seção 15 Notação Por causa do exemplo anterior, a família P (A) também é denotada por 2 A Costumamos identificar, por exemplo, os conjuntos A (B C), (A B) C e A B C a identificação leva, por exemplo, (a, (b, c)) em (a, b, c) Esta identificação é natural, no sentido de que não depende de escolhas arbitrárias Vejamos uma generalização desse procedimento

10 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 10 Exemplo 135 Seja Γ um conjunto de índices e A γ (γ Γ) uma família de conjuntos Suponha que Γ = λ Λ Γ λ Então, identificamos os conjuntos γ Γ A γ e ( A γ λ Λ γ Γ λ ) De modo mais preciso, considere ( ) f : λ Λ γ Γ A λ γ γ Γ A γ (x λ ) λ Λ λ Λ x λ É fácil ver que f é bijetiva, e que sua inversa é a função g que leva x em suas restrições x Γλ, com o contradomínio alterado para γ Γ λ A γ Ou seja, onde g : γ Γ A γ ( ) λ Λ γ Γ A λ γ, x (g λ (x)) λ Λ g λ (x) : Γ λ γ Γ λ A γ γ x(γ) é praticamente igual a x Γλ, com a diferença do contradomínio, que não é o mesmo que o contradomínio de x 14 Princípio Aditivo Se A B =, então A B = A + B De modo mais geral, se A j (j [n]) é uma família de conjuntos disjuntos, então n n A j = A j

11 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 11 Exemplo 141 Alice tem 5 gatos e 2 cachorros Alice não tem nenhum outro animal Quantos animais Alice tem no total? Seja A o conjunto dos animais de Alice, G o conjunto dos gatos de Alice e C o conjunto dos cachorros de Alice Então, A = G C, pois alice não tem outros animais além de gatos e cachorros Além disso, G C =, pois não existem gachorros! Assim, A = G + C = = 7 Ou seja, Alice tem 7 animais ao todo 15 Princípio Multiplicativo Se A e B são conjuntos finitos, A B = A B De modo mais geral, Figura n A j = n A j Demonstração Note que A B = a A B a, { onde B a = (a, b) A B b B Note também que os conjuntos B a são disjuntos Portanto, pelo princípio aditivo, A B = a A B a = a A B = A B O caso geral se reduz a esse caso particular se identificarmos, como descrito no Exemplo 135, n A j e ( n 1 ) A j A n

12 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 12 Nesse caso, n n 1 A j = A j A n Procedendo da mesma forma para n 1, chegamos a n A j = A j n A j Exemplo 151 Seja A um conjunto finito Então, {0, 1 A = 2 A 16 Contando com Funções Dada f : A B, lembre-se que { f 1 (b) = a A f(a) = b é o conjunto dos elementos de A que são levados em b B Os conjuntos f 1 (b) particionam o conjunto A Ou seja, A = b B f 1 (b) Portanto, A = b B f 1 (b) Em particular, se f 1 (b) for constante igual a c, então A = c B O exemplo a seguir, apesar de extremamente fácil, ilustra bem a ideia

13 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 13 Exemplo 161 Alice tem alguns livros Todos são verdes, azuis ou amarelos São 7 livros verdes, 5 azuis e 4 amarelos Quantos livros Alice tem no total?

14 Capítulo 2 Combinatória Básica 21 Arranjos e Permutações Quantos anagramas tem a palavra quadro? Como podemos reformular este problema utilizando conjuntos? Seja X = {q, u, a, d, r, o Estamos interessados em alguns elementos (não todos) de X X Por exemplo, (q, q, q, u, a, r) X X não serve Quais são os elementos de X X que servem? Com n-uplas Para construirmos um anagrama de quadro, podemos proceder assim: 1 Escolhemos a 1 A 2 Escolhemos a 2 A \ {a 1 3 Escolhemos a 3 A \ {a 1, a 2 4 Etc Sendo assim, intuitivamente argumentamos assim: Existem A = 6 opções para a 1, A \ {a 1 = 5 para a 2, 4 para a 3 e assim por diante Portanto, existem = 6! anagramas da palavra quadro 14

15 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 15 Vamos transformar este argumento em algo mais formal Note que cada (n 1, n 2,, n 6 ) [6] [5] [1], corresponde a um anagrama de quadro Basta associar a n j o n j -ésimo elemento ainda não escolhido Ou seja, o n j -ésimo elemento de A\{a 1,, a j 1 Por exemplo, (2, 2, 3, 1, 2, 1) (u, a, r, q, o, d), pois quadro 2 u qadro 2 a qdro 3 r Assim, conseguimos uma bijeção entre qdo 1 q do 2 o d 1 d 6 [j] = [6] [5] [1] e os anagramas de quadro Portanto, o número de anagramas é n n [j] = n [j] = j = 6! Assim, podemos concluir que para um conjunto finito A com A = n, o número de anagramas que se pode escrever com os elementos de A é n! Vamos denotar por P A A A, o conjunto de todas as permutações de A Ou seja, fazendo n = A, P A = {(a 1,, a n ) A n j, k [n], j k aj a k De acordo com o que foi discutido, P A = n! Da mesma forma, vamos denotar por A p A Ap o conjunto de todos os arranjos simples de p elementos distintos escolhidos em A Ou seja, { A p A = (a 1,, a p ) A p j, k [n], j k aj a k

16 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 16 Neste caso, para 0 < p n, A p A = n(n 1) (n p + 1) = n! (n p)! Quando A = n, A A está em bijeção com A n Assim, definindo P A = { f : A A f é bijetiva A B A = { f : B A f é injetiva, P A está em bijeção com P A E se B = p, A B A está em bijeção com Ap A Quando A é um conjunto finito, P A = A A A Observação 211 Note que para cada conjunto A, existe exatamente uma função f : A E portanto, P = A A = 1 Usamos a notação P n = P [n] A p n = A p [n] Com Indução Vejamos de que forma o princípio descrito na Seção 16 pode nos ajudar a entender a fórmula A p n! n = (n p)! Exemplo 212 Considere a função f : A 3 5 A 2 5 (a, b, c) (a, b)

17 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 17 que pega uma terna (a, b, c) e elimina a terceira coordenada Para cada (a, b) A 2 5, temos que { f 1 (a, b) = (a, b, c) c [5], c a, c b E portanto, f 1 (a, b) = 5 2 = 3 Portanto, A 3 = 3 A Indutivamente, seguindo o mesmo raciocínio, como já era esperado, A 3 5 = 3 A 2 5 = 3 4 A 1 5 = = 5! 2! Façamos o caso geral Exemplo 213 Seja A um conjunto com A = n Considere f : PA A p A (a 1,, a n ) (a 1,, a p ) Qual é a cardinalidade de f 1 (a 1,, a p )? Portanto, Ou seja, f 1 (a 1,, a p ) = {a 1 {a p P A\{a1,,a p f 1 (a 1,, a p ) = {a1 {a p P A\{a1,,a p = PA\{a1,,a p = (n p)! (n p)! A p A = P A

18 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA Combinação Seja A um conjunto com n elementos De quantas maneiras podemos escolher B A tal que B = p? Denote por C p A a família C p A {B = P (A) B = p dos subconjuntos de A com p elementos Considere a função f : A p A Cp A (a 1,, a p ) {a 1,, a p É evidente que, para B = {a 1,, a p, f 1 (B) = P B Portanto, Portanto, n! (n p)! = Ap A = P B C p B = p! Cp B C p B = n! p!(n p)! Observação 221 Também denotamos C p [n] por Cp n Definição 222 Seja A um conjunto e p 1,, p m N tais que p p m = A Denote por C p 1,,p m A a família de todas as partições (A 1,, A m ) de A tais que A j = p j

19 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA Permutação com Repetição Como aplicação da decomposição de A em subconjuntos disjuntos f 1 (b) (b B), onde f : A B é uma função qualquer, vamos estudar as permutações com repetição Quantos anagramas tem a palavra arara? Por que esse problema é mais difícil do que saber o número de permutações de ARarα? E se fosse A 1 R 1 A 2 R 2 A 3? Neste caso, saberíamos que o número de permutações é 5! Seja então, A = {A 1, R 1, A 2, R 2, A 3 Vamos calcular o número de anagramas de A R 1 A R 2 A Para isso, seja B o conjunto desses anagramas Considere a função f : A B que remove os índices das letras A Que leva, por exemplo, A 1 A 3 R 2 R 1 A 2 em AAR 2 R 1 A Neste caso, por exemplo, f 1 (AAR 2 R 1 A) = A 1 A 2 R 2 R 1 A 3, A 1 A 3 R 2 R 1 A 2 A 2 A 1 R 2 R 1 A 3, A 2 A 3 R 2 R 1 A 1 A 3 A 1 R 2 R 1 A 2, A 3 A 2 R 2 R 1 A 1 É fácil ver que para cada b B, f 1 (b) = 3! = 6 De fato, f 1 (b) está em bijeção com P 3 Chamando de C o conjunto dos anagramas de ARARA, podemos agora pensar na função g : B C que remove os índices das letras R Para cada anagrama c de ARARA, temos que g 1 (c) = 2, pois existem duas maneiras distintas de se colocar ínidices nas letras R Sendo assim, P A = 3! B = 3!2! C Portanto, o número de anagramas de ARARA é C = P A 3!2! = 5! 3!2! = 10 É evidente que poderíamos ter considerado a função g f que remove todos os índices dos anagramas de A 1 R 1 A 2 R 2 A 3, transformando-os em anagramas de ARARA Nesse caso, teríamos que (g f) 1 (c) = 3!2! = 12 Exercício 231 Para cada anagrama c de ARARA, construa uma bijeção entre (g f) 1 (c) e P 3 P 2

20 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 20 É muito comum, em análise combinatória, nos referirmos a multiconjuntos A diferença entre conjunto e multiconjunto é que se estivermos tratando de conjuntos, então, A = {1, 2, 3 e B = {1, 1, 2, 1, 2, 3 são iguais Em se trantando de conjuntos, nos interessa saber apenas se determinado elemento pertence ou não ao conjunto Já um multiconjunto é algo similar, mas para cada elemento, associamos também o número de vezes que tal elemento aparece no multiconjunto Assim, como multiconjuntos, A e B são distintos E o multiconjunto B é igual a {1, 1, 1, 2, 2, 3 É comum tratar de permutações com repetição da mesma forma que tratamos a permutação, só que usando a linguagem de multiconjuntos Por exemplo, se A = {A, A, A, R, R, Podemos nos perguntar o número de permutações do multiconjunto A Ou seja, o número de anagramas da palavra ARARA Nesse curso, não utilizaremos a linguagem de multiconjuntos Ao invés disso, utilizaremos as funções que removem os índices, como em A 1 R 1 A 2 R 2 A 3 O multiconjunto {A, A, A, R, R nada mais é do que o conjunto {A 1 R 1 A 2 R 2 A 3 com os índices omitidos Dessa forma, ao tratarmos de um multiconjunto M, estamos de fato tratando de um conjunto M A N, mas ignorando em algum momento, a segunda coordenada Exemplo 231 Ainda estudando os anagramas da palavra ARARA, considere o conjunto A = {A, R Então, ao invés do multiconjunto M = {A, A, A, R, R, trataremos do conjunto M = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (R, 1), (R, 2), associado à aplicação π : M A (a, n) a A aplicação π induz π : P M A M x π x Os anagramas de ARARA correspondem à imagem de π Repare que π nada mais é do que a função g f do argumento apresentado anteriormente

21 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 21 Se A é um conjunto qualquer e M A N, o argumento refeito utilizando-se a função π : M A, (a, n) a que deve ser entendida como uma função que remove os índices que acompanham as letras Definição 232 (Permutação com repetição) Seja A um conjunto e M um subconjunto finito de A N As permutações com repetição de M, são os elementos do conjunto P R M = { π p p PM, onde π : M A N A é a projeção na primeira coordenada Seja π : P M P R M p π p Então, para cada x P R M, qual é a cardinalidade de Π 1 (x)? É exatamente a cardinalidade de Portanto, a A P R M = P π 1 (a) P M a A Pπ 1 (a) 24 Permutação com Repetição: com combinação Vamos novamente determinar o número de anagramas da palavra ARARA Mas dessa vez, vamos utilizar o conjunto C5 3 A cada anagrama a = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 4 ), associamos o conjunto { B a = j [5] a j = A,

22 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 22 das posições ocupadas pela letra A Por exemplo, B AARAR = {1, 2, 4, pois a letra A está nas posições 1, 2 e 4 no anagrama AARAR Por outro lado, para cada subconjunto B [5] com 3 elementos, podemos associar o anagrama a B de ARARA tal que a letra A ocupe as posições correspondentes aos três elementos de B Por exemplo, se B = {1, 2, 3, então a B = (A, A, A, R, R) Portanto, a associação a B a é uma bijeção (com inversa B a B ) Ou seja, existem tantos anagramas de ARARA quantos forem os elementos de C5 3 Apliquemos o mesmo raciocínio para determinar o número de anagramas de AAABBCC Escolher um anagrama de AAAXXXX é como escolher 3 números em [7], que correspondam às posições da letra A Por outro lado, escolher um anagrama de AAABBCC consiste em escolher 3 números A [7] que correspondam às posições da letra A, e em seguida, escolher 2 números em [7] \ A, que correspondam às posições da letra B Portanto, os anagramas de AAABBCC estão em bijeção com o conjunto C7 3 C4 2 Ou seja, P R AAABBCC = C 7 3 C 4 2 = 7! 4! 3!4! 2!2! = 7! 3!2!2! Exercício 241 Formalize o argumento do parágrafo anterior 25 Permutação Circular De quantas formas podemos arranjar 4 pessoas sentadas em uma mesa circular com 4 cadeiras? A primeira pergunta importante é: Por que estamos falando de uma mesa circular? Se considerarmos C, o conjunto das 4 cadeiras, então as várias maneiras de arranjar o conjunto P, formado por 4 pessoas, sentadas nessas cadeiras seria igual a A C P Espere! Mas a mesa é circular!!! A mesa circular é um artifício utilizado para dizer de um modo não matemático que não estamos interessados em contar o conjunto A C P Queremos considerar que vários elementos de A C P podem representar uma mesma maneira de sentar essas pessoas P nas cadeiras C Veja a Figura??

23 CAPÍTULO 2 COMBINATÓRIA BÁSICA 23 Seja Q o conjunto que de fato queremos contar Ou seja, o conjunto das diferentes maneiras de sentar as pessoas P numa mesa circular com cadeiras C Vamos deixar o número 4 de lado e utilizar n: n pessoas a se sentarem em n cadeiras Então, temos a função sobrejetiva f : A C P Q Agora, pra determinar a cardinalidade de Q, precisamos saber dizer o que são os conjuntos f 1 (q) Ou seja, quando é que dois elementos de A C P representam a mesma maneira de sentar q Q Por exemplo, se estivermos interessados apenas em quem está ao lado de quem, então todas as configurações da Figura?? representariam a mesma maneira de sentar No entanto, por algum motivo, os matemáticos parecem acreditar que aos sentarmos em uma mesa circular estamos preocupados com quem está à nossa direita ou com quem está à nossa esquerda Dessa forma, a, b A C P representam a mesma configuração se, e somente se, b for uma rotação de a E para cada a A C P, existem exatamente C maneiras de rotacionar a (incluindo o próprio a como sendo uma rotação de a) Portanto, para todo q Q, f 1 (q) = C A C = Q C Ou seja, Q = P A C P C = n! n = (n 1)! 26 Soma de n Variáveis Quantos naturais x, y, z N existem tais que x + y + z = 14? Imagine 14 bolas e 2 sinais de + A Figura?? mostra como as permutações com repetição dessas 14 bolas e 2 sinais de + estão em bijeção com os naturais x, y, z tais que x + y + z = 14