O TEOREMA DE JORDAN E A DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA

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1 O TEOREMA DE JORDAN E A DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA Victor Luiz Martins de Sousa 1 /Barbara Corominas Valério (orientadora) Universidade de São Paulo/Instituto de Matemática e Estatística victor.luiz.sousa@usp.br Resumo Abordaremos neste artigo um dos resultados clássicos da geometria diferencial, o Teorema de Jordan, que nos diz que uma curva contínua fechada e simples em ² divide o plano em duas regiões, não vazias e conexas. Apesar de intuitivo, tal resultado possui uma demonstração complexa a qual não faremos. Iremos enunciar também outra versão do teorema onde hipóteses adicionais facilitam sua demonstração. Outro resultado que iremos apresentar é a Desigualdade Isoperimétrica para curvas fechadas no plano, que é um problema de otimização de áreas dado um perímetro fixo à curva, finalizando com aplicações deste resultado. Palavras Chaves: curvas planas, Teorema de Jordan, Desigualdade Isoperimétrica. Abstract We shall approach in this article one of the classical results of differential geometry, Jordan's Theorem, which tell us that a closed and simple continuous curve on ² divide the plane in two non-empty and connected regions. Although intuitive, such result possess a complex demonstration which we will not make. We will also present another version of the theorem where addicional hypothesis shal make it's demonstration easier. Another result we shall present is the Isoperimetric Inequality for closed curves on the plane, which is an optimization problem of areas given a fixed perimeter to the curve, finishing with this result's applications. Key-words: plane curves, Jordan's Theorem, Isoperimetric Inequality. 1 Bolsista pela RUSP-INSTITUCIONAL

2 Introdução Em matemática alguns teoremas são de grande credibilidade antes mesmo de se verificar a demonstração, estes são os resultados intuitivos. Entretanto nem todos os resultados intuitivos são de fácil comprovação e um clássico exemplo que ilustra este fato é o Teorema de Jordan, um resultado que é muito usado em análise complexa. Apresentado pela primeira vez por Camille Jordan, um matemático francês do século XIX, o teorema teve sua primeira demonstração correta feita em 1905 por Oswald Veblen. A Desigualdade Isoperimétrica é um resultado que possui várias versões, demonstrações e aplicações. Trata-se de estimar a área delimitada por uma curva plana fechada de Jordan e com o comprimento fixo, o resultado nos diz que tal área será sempre menor ou igual à de um círculo de mesmo perímetro. Outra versão da Desigualdade Isoperimétrica diz respeito a polígonos, que diz que dentre todos os polígonos de n lados e perímetro fixo aquele que possui maior área é o polígono regular. Iremos trabalhar com a versão para curvas planas. Objetivos O objetivo deste artigo é expor dois resultados clássicos da teoria das curvas planas de forma a complementar os estudos deste tema, e apresentar algumas aplicações destes teoremas a fim de justificar sua importância na geometria diferencial. Materiais e Métodos As informações, resultados e embasamento teórico utilizados na elaboração deste artigo foram obtidos por pesquisa bibliográfica. Foi realizada a leitura de livros de geometria diferencial, com destaque para [1], e em artigos publicados sobre o tema em questão. Resultados Para enunciar o Teorema de Jordan, devemos antes definir curva simples, curva fechada e conjunto conexo: Definição 1: Um subconjunto A de ² é conexo por caminhos se " p 1, p 2 œ A existe uma curva contínua contida em A com extremidades em p 1 e p 2. Definição 2: Uma curva parametrizada a: [a, b] ² é fechada se a(a) = a(b). Definição 3: Uma curva parametrizada a: I ² é simples se " i, j œ I, i j temos a(i) a(j). Definição 4: Uma curva parametrizada a: [a, b] ² é fechada e simples quando " i, j œ [a, b), i j temos a(i) a(j) e a(a) = a(b). Uma curva deste tipo é chamada curva de Jordan. Figura 1: Exemplo de curva não simples (a), não simples e fechada (b) e simples e fechada (c)

3 A seguir apenas enunciamos o Teorema de Jordan, ver [1] com uma ideia do caminho para sua demonstração. Uma demonstração completa pode ser encontrada em [3], [6] ou [8]. Teorema 1: (Teorema de Jordan): Seja a: [a, b] ² uma curva contínua e de Jordan. Então, o complementar do traço de a é a união de dois conjuntos conexos por caminhos, não-vazios e com a fronteira de cada um igual ao traço de a. Uma das abordagens mais clássicas para a demonstração do teorema é prová-lo inicialmente para polígonos e usar o fato que toda Curva de Jordan pode ser aproximada por polígonos para então estender o resultado para curvas de Jordan usando limites. Um dos caminhos usados é provando, a partir dos lemas anteriores, que para qualquer componente conexa G do complementar do traço de a, tem-se que a fronteira de G é o traço de a. Depois se prova que o complementar do traço de a tem ao menos duas componentes conexas e então que possui ao máximo duas. Muitos conceitos de topologia são necessários para provar os resultados intermediários do teorema, como simplexos, complexos, conexos, homeomorfismos entre polígonos e suas particularidades. Não é difícil verificar que o complementar do traço de a definido como no teorema anterior é composto de uma componente limitada e outra ilimitada. De fato, pelo teorema 1, o complementar do traço de a é composto por duas componentes conexas por caminhos. Suponha que ambas componentes, que podemos denominar W 1 e W 2, sejam ilimitadas. Então, para todo raio r > 0 existem pontos p 1 œ W 1, p 2 œ W 2 que não pertencem a bola de raio r. Como os pontos p 1 e p 2 estão em componentes distintas do complementar de a, toda curva contínua que os ligue intercepta a curva a. Assim existem pontos do traço de a que estão fora da bola de raio r, para qualquer r > 0. Assim, a é ilimitado, o que é uma contradição. Agora, se ambas componentes forem limitadas, temos que W 1» W 2» a é limitado, mas W 1» W 2» a = ². Assim ² é limitado, chegando assim a outra contradição. Temos que o complementar de a é formado por uma componente limitada e outra ilimitada. Dizemos que a componente limitada do complementar de a é o interior de a, e à componente ilimitada damos o nome de exterior de a. Definição 5: Uma curva parametrizada a: I ² é regular em t 0 œ I, se a (t 0 ) (0, 0). A curva a é regular em I, se for regular em todo t œ I. Definição 6: Seja a: [a, b] ² uma curva de Jordan, regular e de classe C². Dizemos que a está positivamente orientada, se seu campo normal aponta para a região limitada de ² determinada pelo traço de a. Uma versão do Teorema de Jordan menos geral, porém mais fácil de demonstrar é supondo que a curva a é regular e de classe C 2. O teorema com tais hipóteses adicionais é chamado de Teorema de Jordan Regular. A ideia para a demonstração do Teorema de Jordan Regular é que, uma vez admitindo a curva regular e de classe C², é possível a construção de uma vizinhança tubular de maneira uniforme ao longo da curva a a partir do campo normal diferenciável, separando assim seu complementar em duas componentes conexas por caminhos. Essa abordagem para a demonstração não é possível na versão original do problema por não garantirmos a existência do campo normal diferenciável. Figura 2: Curva a regular e de classe C² e sua vizinhança tubular.

4 A reciproca do Teorema de Jordan é falsa, ou seja, se A Õ ² é um conjunto compacto, tal que ² \ A possua exatamente duas componentes conexas e cuja fronteira de cada uma delas seja A, não podemos garantir que A é uma curva de Jordan. Podemos exemplificar com o conjunto A = A 1» A 2» A 3» A 4, onde: A 1 = {(x, y) œ ² y = sen(p/x), 0 < x 1} A 2 = {(x, y) œ ² x = 0, -2 y 1} A 3 = {(x, y) œ ² y = -2, 0 x 1} A 4 = {(x, y) œ ² x = 1, -2 y 0} Temos que o conjunto A é traço de uma curva contínua, seu complementar em ² possui duas componentes conexas, mas A não é uma curva de Jordan. De fato: Temos um resultado provado por Hahn e Mazurkiewicz que diz Um conjunto B ² é o traço de uma curva contínua definida em um intervalo fechado, se e somente se B é fechado, limitado, conexo e localmente conexo em ². Como nosso conjunto A não é localmente conexo, então não é traço de uma curva contínua definida num intervalo fechado, e pela definição 4 uma curva de Jordan deve estar definida em um intervalo fechado, logo A não é traço de uma curva de Jordan. Figura 3: Gráfico do conjunto A Podemos estimar a área da região limitada pelo gráfico de uma curva contínua e de Jordan, essa é a ideia do Teorema da Desigualdade Isoperimétrica para curvas planas que enunciaremos a seguir e cuja demonstração pode ser encontrada em [1]. Teorema 2: Se L é o comprimento de uma curva a regular e de Jordan e A é a área da região que o traço de a delimita, então: L² - 4 pa 0 (1) Além disso, a igualdade em (1) ocorre, se e somente se o traço de a é um círculo. A seguir mostramos alguns resultados que são consequência dos teoremas 1 e 2: Proposição 1: São dadas uma reta r no plano e uma corda flexível C de comprimento L. Pousando C no plano de forma a que suas extremidades estejam sobre r, obtemos uma figura limitada por r e por C e cuja área depende da forma que dermos à corda. A figura de área máxima entre todas as assim obtidas é um semicírculo com base em r. Prova: Suponha que a figura obtida de área máxima não seja um semicírculo, assim espelhando em r essa figura obtemos uma curva fechada de área máxima que não é um círculo, isso contradiz a Desigualdade Isoperimétrica. Ñ

5 Figura 4: Implicação em área máxima diferente de um círculo Proposição 2: A curva de Hilbert (exemplo de Moore 1 ) não é simples. Prova: Por construção o traço da curva de Moore é uma região quadrada fechada e contínua, cujo complementar é o conjunto ² - [0, 1]ä[0, 1] que possui apenas uma componente conexa. Assim, se a curva de Moore fosse simples ela seria uma curva de Jordan, contínua que contraria o Teorema de Jordan. Conclusões A geometria diferencial, em particular a teoria de curvas planas, é uma maneira de formalizar a nossa intuição de geométrica, a fim de tornar precisos resultados que sempre acreditamos, mas com as ferramentas da geometria euclidiana clássica não somos capazes de provar. Muitas áreas da matemática, inclusive as em ascensão, usam a geometria diferencial e seus resultados, e por isso, estudos sobre estes temas são tão importantes. Ñ Referências Bibliográficas [1] ALENCAR, Hilário; SANTOS, Walcy. Geometria das Curvas Planas Universidade Federal de Goiás, [2] ARAUJO, Jogli G. da S. A Desigualdade Isoperimétrica f. Monografia (Bacharelado em Matemática) Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, [3] ASPERTI, A. C; MERCURI, F. Topologia e Geometria das Curvas Planas 13º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, [4] CARMO, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces Sociedade Brasileira de Matemática, [5] MOREIRA, Carlos G. T. de A; SALDANHA, Nicolau C. A Desigualdade Isoperimétrica Matemática Universitária número 15, [6] SANTOS, Laís A. dos. O Teorema da Curva de Jordan; Trabalho de conclusão de curso UFSCAR, Disponível em < acessado em [7] TENENBLAT, Keti. Introdução à Geometria Diferencial. 2ª ed. Brasília: Universidade de São Paulo, [8] TVERBERG, H. - A proof of the Jordan Curve Theorem. Bull. London Math Soc, , Ver definição em [1]