Capítulo 9. Conclusão 184

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1 9 Conclusão Esperamos com este trabalho ter demonstrado que a lógica Game Analysis Logic GAL, que é uma lógica modal de primeira-ordem baseada na lógica Computation Tree Logic, pode ser usada para representar e analisar diversos tipos de interações entre agentes. No capítulo 6, relacionamos os principais modelos não-cooperativos e cooperativos da Teoria dos Jogos aos modelos de GAL, e relacionamos também os critérios de racionalidade conceitos de solução da Teoria dos Jogos às fórmulas de GAL. Listamos abaixo os modelos e conceitos de soluções que foram representados em GAL. Jogo estratégico e os conceitos de soluções de equilíbrio de Nash, ótimo de Pareto, e equilíbrio de estratégias mistas. Jogo extensivo com informação perfeita quase e imperfeita e os conceitos de soluções equilíbrio de Nash, equilíbrio de subjogo perfeito, equilíbrio de estratégias mistas e comportamentais. Jogo de coalizão com e sem utilidades transferíveis e o conceito de solução de core. Ilustramos que GAL pode representar novos modelos e conceitos de soluções de uma forma fácil e intuitiva. Na seção 6.2.8, consideramos soluções alternativas para jogos extensivos, e apresentamos, nas seções 6.6 e 6.7, variações dos jogos de coalizão, quando consideramos uma seqüência e uma árvore de jogos de coalizão. É sabido que a quantificação em contextos modais é problemática. Na seção 5.1.1, mostramos as relações entre as alternativas de quantificação De Re e De Dicto para GAL. Estudamos a quantificação no contexto dos jogos extensivos na seção 6.2.7, onde também caracterizamos os conceitos de equilíbrio de Nash e de subjogo perfeito de acordo com as alternativas de quantificação, levando em consideração a estrutura do jogo extensivo. Para o conceito de equilíbrio de subjogo perfeito as alternativas de quantificação são equivalentes em GAL. Por outro lado, as alternativas para equilíbrio de Nash não são equivalente em GAL. Contudo, demonstramos que, em particular, para

2 Capítulo 9. Conclusão 184 o caso de equilíbrio de Nash, as fórmulas são equivalentes. De forma resumida, temos que as alternativas de quantificação, De Re e De Dicto, no contexto dos jogos extensivos, são equivalentes para os principais conceitos de soluções, equilíbrio de Nash e equilíbrio de subjogo perfeito. Caracterizamos uma classe de sistemas multi-agentes, os modelos de LORA, para a qual existem jogos extensivos e vice-versa em VHB06. Como conseqüência, os critérios de racionalidade da Teoria dos Jogos equilíbrio de Nash, de subjogo perfeito, etc podem ser aplicadas diretamente para os sistema multi-agentes baseados na arquitetura BDI e vice-versa. Por outro lado, relacionamos os jogos extensivos aos modelos de GAL. Desta forma, podemos utilizar a abordagem deste trabalho para os sistema multi-agentes via o relacionamento com os jogos. Vale a pena ressaltar que a lógica LORA, que estende a lógica GAL, não possui verificação de modelos, sendo utilizada apenas como um ferramental teórico para o estudo dos relacionamentos e da racionalidade dos agentes. Assim, utilizando a lógica GAL, podemos raciocinar sobre os agentes de forma automática. Comparamos a lógica GAL com as lógicas ATL e CGL, que são utilizadas para raciocinar sobre situações não-cooperativas e cooperativas, respectivamente. Demonstramos que ambas as lógicas são fragmentos de GAL. Isto já era esperado, uma vez que GAL é uma lógica de primeira-ordem, enquanto que as outras são proposicionais. Lógicas como ATL, CATL e CGL embutem características de primeiraordem em suas linguagens, utilizando operadores modais para representá-las. Assim, as fórmulas que expressam propriedades, tais como os conceitos de equilíbrio de Nash e core, são, usualmente, grandes e de difícil entendimento. Por exemplo, a fórmula 9-3 de CATL abaixo apresentada na seção expressa equilíbrio de Nash para o jogo Batalha dos Sexos. O mesmo problema ocorre com a fórmula de CGL abaixo apresentada na seção 4.2, que expressa o conceito de core, para o exemplo Por outro lado, as representações em GAL são bem mais simples. Veja as fórmulas 9-1 e 9-2 de GAL abaixo que expressam equilíbrio de Nash e core, respectivamente. v A1 u 1 a 1, a 2 u 1 v A1, a 2 v A2 u 2 a 1, a 2 u 2 a 1, v A Na verdade, a fórmula 9-4 é 5 vezes maior do que esta.

3 Capítulo 9. Conclusão 185 x vi N v I v y v y vv I 1 vi x 1 v y 2 v I x 2 v y 9-2 C 2 s 2, {1} Xu 1 0 C 1 s 1, Xu 1 0 {1} Xu 1 1 C 1 s 1, Xu 1 1 {1} Xu 1 2 C 1 s 1, Xu 1 2 C 1 s 1, {2} Xu 2 0 C 2 s 2, Xu 2 0 {2} Xu 2 1 C 2 s 2, Xu 2 1 {2} Xu 2 2 C 2 s 2, Xu N w {1} w 1 w 1 1 w {1} w 2 w 2 1 w {1} w 3 w 3 1 w {1} w 4 w 4 1 w {1} w 5 w 5 1 w {2} w 1 w 1 2 w {2} w 2 w 2 2 w {2} w 3 w 3 2 w {2} w 4 w 4 2 w {2} w 5 w 5 2 w {1, 2} w 1 w 1 1 w w 1 2 w {1, 2} w 2 w 2 1 w w 2 2 w {1, 2} w 3 w 3 1 w w 3 2 w {1, 2} w 4 w 4 1 w w 4 2 w {1, 2} w 5 w 5 1 w w 5 2 w 9-4 Do ponto de vista prático, apresentamos um verificador de modelos para GAL, chamado de Game Analysis Logic Verifier GALV, e realizamos diversos estudos de casos. Em particular, utilizamos o GALV para encontrar diversos

4 Capítulo 9. Conclusão 186 dos conceitos de soluções da Teoria dos Jogos. Utilizamos o verificador de modelos GALV e o SMV para modelarmos o jogo da velha e o jogo da guerra. Em ambos os casos, a verificação no GALV foi muito mais eficiente, uma vez que a representação explícita destes jogos são bem menores do que a representação implícita através de OBDDs. Vale lembrar que diversos dos problemas desta tese não podem ser tratados com o SMV, uma vez que a lógica do SMV é proposicional. Além disso, verificadores como o SMV não possuem tipos abstratos de dados, enquanto que o GALV possui. Em situações mais parecidas com os problemas reais, os tipos abstratos são essenciais. Esperamos ter demonstrado isto através do exemplo de leilão considerado na seção 8.4. Outro ponto que vale a pena mencionar é que o GALV permite aspectos computacionais em sua linguagem de descrição de jogos, o que nos permitiu implementar as estratégias dos jogadores utilizando algoritmos conhecidos da ciência da computação, como o minimax. Como conseqüência, podemos verificar propriedades destes algoritmos em relação a outros jogadores que podem possuir estratégias ou não. Listamos abaixo alguns dos trabalhos futuros desta tese. Relacionar outros modelos e conceitos de soluções da Teoria dos Jogos em GAL. Em particular, o conceito de solução de eliminação iterada de estratégias dominadas não parece ser facilmente definível em GAL, uma vez que o mesmo utiliza ponto-fixo nos conjuntos das estratégias. Tentar simulá-lo através dos operadores modais de GAL parece ser uma alternativa. Estudar os conceitos de soluções para jogos repetitivos um caso especial de jogo extensivo também seria interessante dado a importância dos folk theorems. Caracterizar o conceito de solução de eliminação iterada de estratégias dominada de acordo com a estrutura de um jogo extensivo. A partir daí, estudar as alternativas de quantificação. Vimos que, para equilíbrio de Nash e de subjogo perfeito, as alternativas são equivalentes. Estudar estas possibilidades para outros conceitos ajudaria a entender se este é um fenômeno geral dos conceitos da Teoria dos Jogos. Utilizar o GALV para jogos mais complexos do que o jogo da velha. Para tanto, devemos ter um conhecimento mais profundo sobre o tipo de jogo tratado. Por exemplo, o jogo de xadrez tem uma vasta literatura sobre quais são as ações razoáveis em determinadas condições. A idéia seria: utilizar o GAL para analisar tais possíveis evoluções do jogo e verificar se, de fato, tais soluções são boas ou não, levando em consideração apenas as

5 Capítulo 9. Conclusão 187 possíveis evoluções razoáveis. Este trabalho é puramente experimental, e como falamos depende muito do conhecimento sobre o problema específico tratado. Implementar as estratégias dos jogadores através da verificação de fórmulas lógicas, onde consideramos parte do jogo, ou seja, utilizar heurísticas através das fórmulas. Por exemplo, vimos que o conceito do algoritmo minimax é baseado em equilíbrio de subjogo perfeito, que foi também caracterizado como uma fórmula de GAL, assim poderíamos utilizar a verificação de modelos para encontrar o equilíbrio. De forma heurística, podemos limitar a busca até um nível de profundidade, utilizando as funções de avaliações, obtendo assim uma solução que não é necessariamente ótima. O que ganharíamos com a abordagem do GALV é que descrever outras propriedades de uma forma lógica, em geral, é mais fácil do que implementar novos algoritmos. Por exemplo, como estamos utilizando as funções de avaliações heurísticas, podemos requerer que a fórmula de equilíbrio seja satisfeita conjuntamente com outra condição, tal como ótimo de Pareto de subjogo perfeito como definido na seção 6.2.8, ou ainda que o caminho realizado pela solução garanta a menor perda possível caso o outro jogador não haja de forma racional. Definir um sistema de prova correto para GAL que seja capaz de provar teoremas interessantes para jogos, tais como a existência de equilíbrio de Nash de estratégias mistas ou a existência de equilíbrio de subjogo perfeito para jogos extensivos com informação perfeita. Um tópico de pesquisa bastante interessante da Teoria dos Jogos, chamado de Implementation Theory, é, ao invés de fixarmos o jogo e encontrarmos o conjunto de soluções deste jogo através de algum conceito de solução equilíbrio de Nash, de subjogo perfeito, etc, fixarmos o conjunto de soluções e encontrar um jogo que leve a este conjunto como os equilíbrios do jogo. Esta abordagem em GAL poderia ser feito especificando o conjunto de soluções em GAL juntamente com as relações de preferências dos jogadores, e então encontrarmos uma estrutura que implemente esta correspondência. Infelizmente, para a lógica GAL este problema é indecidível. Encontrar um fragmento decidível de GAL que seja capaz de gerar tais jogos será um dos próximos passos deste trabalho.