Desigualdades clássicas (1) Se x, y, z são números reais positivos satisfazendo x 3 + y 3 = z 3, deduza que

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1 LISTA DE ANÁLISE REAL 20 RICARDO SA EARP Desigualdades clássicas ) Se x, y, z são números reais positivos satisfazendo x 3 + y 3 = z 3, deduza que xy ) 3 z 2 4 2) a) Deduza que se x, y, z são números reais positivos, então ) x 4 + y 4 + z 4 /4 x + y + z ) 3 3 b) Conclua do item anterior que se x, y, z são números reais positivos satisfazendo x 4 + y 4 + z 4 = 27, então x + y + z 3 3. c) Generalize a desigualdade ). 3) Para x e y números reais positivos, mostre que xy n ) /n+) < x + ny n =, 2, 3,... + n a menos que x = y. 4) Mostre que ) n n + n! < n = 2, ) Mostre que se x,..., x n são números reais positivos que ) ) x i n 2 x i= i= i sendo que a igualdade é válida se e somente se x = x 2 = x n. 6) Deduza a desigualdade de Bohr: Se c > 0 então a + b 2 + c) a ) b 2 c 7) Para o próximo exercício você vai está baseado no conhecimento do conceito de convexidade. Mostre que para x > y > 0 positivos e p > vale x + y) p < 2 p x p + y p )

2 2 PROFESSOR RICARDO SA EARP 8) Use cálculo diferencial básico de uma variável real para mostrar que para x suficientemente grande, i. e, para x C, então x /00 > ln x 9) Mostre usando o conhecimento da função exponencial você fica proibido de usar neste exercício a regra de l Hôpital) que para p, q positivos vale e xp > x q para x suficientemente grande 0) Seja x > 0 e n >. Deduza: x n + xn ) < x + )/n < x n Sugestão: Para a desigualdade da direita use o fato que a função fx) = x + ) /n, x 0 é estritamente côncava. Para a desigualdade da direita use o cálculo diferencial e a concavidade de fx) para comparar a expressão x + )/n com x a derivada f x). Em seguida, use a concavidade estrita de x + ) n )/n para concluir. ) Deduza, usando qualquer ferramenta do cálculo, que se x, e 0 < α <, então + x) α + αx se α < 0 ou α >, então + x) α + αx Sendo que a igualdade nestas desigualdades ocorre se e somente se x = 0. Uma outra forma útil das desigualdades acima é a seguinte: y α α + αy se y 0 e 0 < α < y α α + αy se y 0 e α > ou α < 0 Sendo que a igualdade nestas desigualdades ocorre se e somente se y =. 2) Use a desigualdade ) para mostrar que se 0 < α < e se a, b são não negativos então a α b α α a + α)b )

3 LISTA 3 Quando x e y são positivos, satisfazendo x + y =, fazendo α = x e α = y, obtenha a x b y xa + yb ) 3) sendo que a igualdade é válida, se e só se a = b. Mostre que a desigualdade ) pode ser escrita da seguinte forma a α b α < ab α a b), 0 < α < formulação esta que é deveras útil. A desigualdade ) é suficientemente importante para apresentarmos uma demonstração para um número n de números reais positivos a,... a n e números positivos x, x 2,... x n, satisfazendo x + x x n =. Afirmamos que neste caso vale também a x a x 2 2 a xm a x a x 2 2 a x n n m a x m+ m+ = x i a i Já sabemos que imbutida na desigualdade acima está a idéia de convexidade que produz uma demonstração alternativa desigualdade de Jensen). Vamos prosseguir com uma demonstração por indução. Suponhamos que a propriedade esteja demonstrada para m ou menor) números. Seja x,... x m+ números positivos satisfazendo x + x x m+ =. Coloquemos x + x x m = σ. Segue que a x /σ a x /σ a x 2/σ 2... a x m/σ m i= a x 2/σ 2... a xm/σ m ) σ + a m+ x m+ ) σ a x m+ m+ usando a propriedade para o caso de dois números. O argumento fica finalizado aplicando a hipótese de indução. Sendo que a igualdade é verificada se e somente se todos os números a i são iguais. 4) Mostre a desigualdade de Young, usando o item anterior: Se a, b são positivos, e se p, q com p > satisfazem p + q =, então ab ap p + bq q desigualdade de Young) sendo que vale a igualdade se e só se a p = b q. 5) Mostre que se a b > 0, e a + b =, então a a b b 2

4 4 PROFESSOR RICARDO SA EARP 6) Vamos agora demonstrar a clássica desigualdade de Hölder. sejam p, q números reais positivos, satisfazendo p + q a,..., a n e b,..., b n são não negativos, então ) /p ) /q a i b i a p i i= b q i =. Se sendo que a igualdade é válida se e somente se b = b 2 = = b n = 0, ou a p /b q = a p 2/b q 2 = a p n/b q n. O caso especial em que p = q = 2 é famoso e chamado de desigualdade de Cauchy. A demonstração usa a desigualdade ) fazendo A i := ap i a p i e B i := Complete a demonstração da desigualdade de Hölder, como exercício. 7) Seja < α < 0. Deduza que n + ) α+ α + 8) Seja a sequência u n = α + < p= bq i 3 3n + 3p + b q i k α < nα+ α + a) Deduza que a sequência u n é limitado superiormente, via uma desigualdade, comparando-a com a sequência w n = n + p/n p= Exiba uma cota superior para a sequência u n. b) Dado a > 0 compare u n, para n suficientemente grande, com v n, onde v n = n p= + a + p/n c) Deduza que lim n u n existe e calcule este limite.

5 LISTA 5 ) 2) Observações adicionais informativas: Considere o espaço l p R), p, consistindo no conjunto das seqüências de números reais x = {x n } tal que x n p < n= Considere também l R), o conjunto de seqüências de números reais x = {x n }, limitadas. É um fato que l p R), p, é um espaço de Banach, com a norma ) /p x l p := x n p n= A desigualdade triangular aqui é a desigualdade de Minkowski. Além disso, l p R), p, é um espaço de Banach. Observe que que l R), com a norma x l := sup x n n é um espaço de Banach que contém os espaços l p s p ). Vale a desigualdade de Jensen: Se q < p, então ) /p ) /q a i p a i q i= Ou seja a função p x l p, i= p < é decrescente. Na verdade, o limite x l p quando p ) existe e é igual a x l. Há uma relação de inclusão entre os espaços l p, p. Observamos que a desigualdade de Jensen é válida para 0 < q < p. Além disso, observe que a inclusão entre os vários espaços l p, p, é estrita; primeiramente, que l l 2. Observamos que se p > q, existe r > 0, tal que r + p =. A desigualdade de Hölder pode ser aplicada para q mostrar a seguinte desigualdade entre a média das potências que é válida para todo p, q satisfazendo q < p,): N a i q ) /q N a i p i= N i= N ) /p

6 6 PROFESSOR RICARDO SA EARP Também é possível demonstrar A desigualdade de Hardy, diz que para p >, vale 3) N a i ) p i= N N= ) p p a i p p i= Vale que l 2 R) é um espaço de Hilbert, ou seja, l 2 R) é um espaço de Banach cuja norma provém de um produto interno.