Curso de Extensão (Curso de 20 horas realizado na ENS UEA entre Julho e Agosto de 2017) Professor: Alessandro Monteiro Resumo, Exercícios e Soluções

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1 Curso de Extensão (Curso de 0 horas realizado na ENS UEA entre Julho e Agosto de 017) Professor: Alessandro Monteiro Resumo, Exercícios e Soluções

2 Média Quadrática Média Aritmética Média Geométrica Média Harmônica Média Contra - Harmônica Média Centroidal Média Logarítmica Idendric MÉDIAS E DESIGUALDADES Mean Média de Seiffert Média de Bencze Desigualdade das Médias Desigualdade Triangular a b MQ a, b, a, b reais positivos a b MAa, b MG a, b MH a, b MN a, b a b 1 1 a b a b ab a ab b MC a, b,0 a b 3 ab b a ML a, b, 0 a b ln b ln a 1 ba b 1 b MI a, b, 0 a b a e a b a MS a, b,0 a b b a arcsen b a b a MB a, b,0 a b b a arctg b a a b MN MQ MC MB MA MI MS ML MG MH a b max, min, a b a b, a, b Desigualdade Exponencial Desigualdade Logarítmica Desigualdade de Bernoulli x e 1 x, x ln x x 1, x 0 n 1 x 1 nx, x 1 e n \ 0,1 n 1 x 1 nx, x 1 e n0,1

3 Desigualdade Binomial Um Lema Poderoso Desigualdade de Cauchy - Schwarz Desigualdade de Young Desigualdade de Hölder Desigualdade de Minkowski a c a c para a b 0, c d 0 b d b d ab a b x y x y, x, y positivos a b c d ac bd, a, b, c, d reais a b com igualdade, se, e somente se, c d 1 p 1 q 1 1 ab a b, p, q 0, 1, p q p q p q com igualdade se, e somente, a b 1 1 n n n p q p q i i i i i i i1 i1 i1 1 1 a b a b, a, b positivos, p, q 1, 1, p q a a com igualdade se e somente p p 1 n,, q q b1 bn n p p n p p n p p i i i i i i i1 i1 i1 a b a b, a, b positivos, p 1, a1 an com igualdade se, e somente, b b 1 n Desigualdade do Rearranjo As igualdades ocorrerão se, e somente se, Desigualdade de Tchebishev

4 Desigualdade de Jensen Desigualdade de Schür Desigualdade de Abel Desigualdade de Hadamard Desigualdade de Heinz det A A n n i1 j1 1 1 x y x y x y xy, x, y 0, 0,1 ij

5 01 Quatro cidades rurais, A, B, C e D, estão situadas geograficamente formando um quadrilátero convexo Deseja-se construir uma central de distribuição de energia para as quatro cidades de modo que a soma total das distâncias da central a cada uma das quatro cidades seja a mínima possível Onde deverá ser construída a central? Resposta: No encontro da diagonais 0 Duas torres de alturas h 1 e h, respectivamente, estão separadas a uma distância d As torres são amarradas por uma corda APB que vai do topo A da primeira torre para um ponto P no chão, entre as torres, e então até o topo B da segunda torre, como na Figura abaixo Qual a posição do ponto P que nos dá o comprimento mínimo da corda a ser utilizada? Resposta: Tomando-se C o simétrico de B em relação ao chão, P deve ser o vértice do triângulo PBC 03 Um carro percorre metade de uma certa distância a uma velocidade de 50 km / h e a outra metade da distância a 70 km / h Calcule a velocidade média do percurso Resposta: Média harmônica das velocidades Aproximadamente, 58,33 km/ 04 Um carro percorre uma estrada por um tempo t a uma velocidade de 50 km / h e depois durante o mesmo tempo t a uma velocidade de 70 / km h Calcule a velocidade média do percurso Resposta: Média Aritmética das velocidades, o que resulta em 60 km/h 05 (CMM 004) Um tanque tem uma torneira capaz de enchê-lo em 15 horas e outra capaz de enchê-lo em 10 horas O ralo é capaz de esvazia-lo em 4 horas Com os três abertos simultaneamente, e o tanque estando vazio, no fim de quanto tempo o tanque ficará cheio? Resposta: Terça parte da Média Harmônica pondo o ralo como uma torneira inversa O que resulta em 8 h 06 (CMM 010) Uma torneira pode encher o tanque em 9 horas e outra pode encher o mesmo em 1 horas Se juntamente com estas duas torneiras fosse ligada uma terceira, o tanque ficaria cheio em 4 horas Então, qual o tempo que a terceira torneira levaria para encher sozinha o tanque? Resposta: Basta igualar a 4 a terça parte da Média Harmônica, tomando-se x horas o tempo da terceira torneira, e resolver a equação simples A solução é x = 18 h 07 (CMRJ 000) Uma torneira tem capacidade de encher um tanque em 5 horas Outra torneira enche o mesmo tanque em 3 horas Sabe-se que neste tanque existe um ralo que o esvazia em horas Estando o tanque vazio, abrimos as duas torneiras ao mesmo tempo Após meia hora, abrimos também o ralo, qual o tempo que este tanque levará para transbordar? Resposta: As duas torneiras juntas, em meia hora, enchem 4/15 do tanque Logo, basta tomar 11/15 da terça parte da Média Harmônica das torneiras e o ralo, este como uma torneira inversa Após meia hora, o tanque levará h para transbordar

6 08 (OMMR 015) Se a, b e c são números reais positivos, então qual o valor mínimo de a b c a b c? Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Usando a desigualdade de Cauchy- Schwarz obtemos Logo, o valor mínimo que a expressão pode assumir é 9 Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Usando a desigualdade das medias, MA MG, temos: (a + b + c) 3 ( + + ) 3 Multiplicando ambas as desigualdades temos: (a + b + c) ( + + ) 9 (a + b + c) ( + + ) 9 Logo o valor mínimo para (a + b + c) ( + + ) é 9 09 Prove que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é sempre menor ou igual que a metade da hipotenusa Além disso, a igualdade só ocorre quando o triângulo retângulo é isósceles (ou seja, seus catetos são iguais) Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Seja o triangulo ABC retângulo em A e h a altura relativa à hipotenusa:

7 Sabemos que (b c) 0, então: b bc + c 0 b + c bc Como a = b + c e ah = bc, então a ah Portanto h E a igualdade ocorre quando b = c, ou seja, quando o triângulo é retângulo e isósceles 10 Prove que se x, y e z são números reais positivos então x y z xy yz xz Duas soluções: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Demonstração 1: Usando que MA MG temos: xy yz xz Somando as três desigualdades obtemos: xy + yz + xz Ou seja xy + yz + xz x + y + z xy + yz + xz Demonstração : Usando a desigualdade de Cauchy Schwarz, temos: ( xy + yz + xz) (x + y + z )( x + y + z )

8 ( xy + yz + xz) (x + y + z ) Logo, x + y + z xy + yz + xz Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Tomando-se por base que então Isto é, Logo, 11 (Desigualdade Isoperimétrica para Triângulos) O perímetro de um triângulo de lados a, b e c é a soma p = a + b + c Mostre que entre todos os triângulos com perímetro fixado p o de maior área é o triângulo equilátero Uma solução: ()

9 1 Mostre que se x, y e z são números reais positivos então x y z xy yz xz 3 Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Somando-se (xy + yz + xz) em ambos os lados da desigualdade x + y + z + xz, provada na décima questão, temos: xy + yz x + y + z + (xy + yz + xz) xy + yz + xz + (xy + yz + xz) Como ( x + y + z) = x + y + z + (xy + yz + xz), então ( x + y + z) 3(xy + yz + xz) Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Como então Usando que resultado demonstrado na questão 9, temos Logo, podemos concluir que 13 (Desigualdade Isoperimétrica para Paralelepípedos) Mostre que entre todos os paralelepípedos com área total fixada A o de maior volume é o cubo (ou seja, o paralelepípedo com todos seus lados iguais) Uma solução: () Sejam a, b e c as dimensões deste paralelepípedo Temos que A ab ac bc e V abc Pela desigualdade das médias aritmética e geométrica podemos escrever que 3 3 8abc 3 V V ab bc ac A A A Deste modo, Vmax 6, e este valor é atingido quando ab ac bc Isto é, quando as dimensões são iguais

10 14 Sejam a, b e c números reais positivos Prove que a b c 8 b c a Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Note que Pois usando que MA MG, vem que Desenvolvendo o produto, temos que (*) = Como por (*) temos que cada um dos parênteses é maior ou igual que Então, Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Usando que MA MG temos as seguintes desigualdades: ( ) ( ) ( ) Multiplicando ambas as desigualdades temos: ( )( )( ) 8 Logo, (a + )(b + )(c + ) 8

11 15 Entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos s = a + b é o triângulo isósceles Uma solução: () Pelo teorema de Pitágoras, temos que a b c Assim, usando a desigualdade entre as médias quadrática e aritmética, temos: a b a b a b c Logo, a maior soma s = a + b dos catetos é c e este valor é atingido quando a = b, ou seja, quando o triângulo for isósceles 16 Sejam a, b,c e d números inteiros positivos Mostre que a b c d 16 a b c d Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Usando a desigualdade de Cauchy - Shwarz, temos que Logo, Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Usando que MA MG temos: i) a + b + c + d 4 ii)

12 Multiplicando ambas as desigualdades obtemos: (a + b + c + d)( ) 16, Portando (a + b + c + d)( ) Prove a desigualdade de Bernoulli: x inteiro positivo Uma solução: () n 1 1 nx, para qualquer x positivo e n Usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos termos 1,1,1,,1,1 nx, temos: n1, termos nx n 1, termos n n Mas disso temos também que 1 x n 1 nx Logo, elevando-se a enésima potência, obtemos 18 Prove que a 0, b 0 e c 0, então n nx 1 nx n 1 x 1 nx ab bc ac a bc b ac c ab Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Como MA MG, então Somando (i) (ii) e ( iii), temos (i) (ii) ( iii) Logo,

13 19 Mostre que se a, b e c são reais positivos, então a bb ca c 8abc Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Usando que MA MG, temos Multiplicando-se (i) por (ii) e (iii) temos 0 Se x, y e z são reais positivos, mostre que xy x y yz y z xz x z 6xyz Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Dividindo-se essa inequação por xyz obtemos xy x y yz y z xz x z 6xyz = Mas, Logo, segue o resultado desejado 1 Prove que para quaisquer números reais positivos a 1, a, a n,

14 Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Usando que MA MH, temos Logo, Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Usando a desigualdade das medias, MA MG, temos: (a 1 + a + + a n ) n ( ) n Multiplicando ambas as desigualdades temos: (a 1 + a + + a n )( ) n Logo, (a 1 + a + + a n )( ) n Sejam a, b e c números reais positivos tais que abc 1 Prove a desigualdade a 3 b c a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 Uma solução: () Expandindo-se esta desigualdade, obtemos: E esta pode ser facilmente obtida, pois ab ac bc a b c 3 abc 1 3 6

15 1 1 1 ab ac bc a b c a b c c b a a b c a b c a b c, pois MA MG a b c 6 3 Sejam a, b, c e d números reais positivos tais que desigualdade a b c d 4 Prove a a b c d ab bc cd da Uma solução: () Note que a c b d a b c d ab bc cd da a b c d a c b d Por ser MQ MA, temos a b c d a b c d a b c d (I) Por ser MA MH, temos a c b d a b c d (II) E pelas desigualdades I e II temos que a b c d ab bc cd da 4 Sejam a, b e c números reais positivos tal que ab bc ac 1 Prove que a b c 16 b c a Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Sabemos que para todo x,y e z maiores ou igual a zero Assim,

16 Como ab + bc + ac = 1, então vem que Note que,, pois por MA, E também que Logo, 5 Prove que se x 0, então 3 3x 6x 4 0 Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Usando que MA MG temos: x Assim, 3x x Portanto 6 Prove que se x 0, então 3x 3 6x x 4 x 3 Uma solução: () Usando o lema ab a b x y x y, x, y positivos, temos:

17 8 x x x4 x4 x x 4 x Mas, usando a desigualdade MA MG, temos também que x 4 4x x Logo, 8 x 4 x 3 Obs: Essa questão foi tirada do Livro Iniciação à Matemática da SBM Nele aparece 3/8 no lugar de 8/3, mas isso torna a desigualdade falsa Basta notar que ela fura para x = 1, x =, e x = 3 Ajustamos para 8/3 e agora temos uma desigualdade válida para todo x maior ou igual a zero! Prove que a b c abc a b c Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Sabemos que é verdade Então, = abc( a + b + c) Logo, 8 Demonstrar que, se a1, a,, a n são números positivos tais que a 1 1a a n então n a1 a a n Uma solução: (Alunos: Leonardo Pessoa Bentes e Ernandes Santos Finalista 017 ) Usando que MA MG, temos

18 Assim, multiplicando-se esses resultados obtemos Portanto, 9 (PROFMAT - 011) Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z (veja figura, onde as linhas tracejadas indicam segmentos de arestas obstruídos por alguma face) a) Exprima a área e o volume da caixa em função de x, y e z b) Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é 3, então sua área é maior ou igual a 48 c) Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 3 Uma solução: (Aluno: Ernandes Santos Finalista 017) a) V = xyz e A = xz + yz + xy onde V é o volume da caixa e A é a área b) Usando MA MG na seguinte expressão, obtemos: Logo A 48

19 c) A área atinge o valor mínimo de 48 quando xz = yz = xy Assim, temos x = y e z = x/ Como xyz = 3, então x 3 = 64, o que implica em x = 4 e consequentemente y = 4 e z = 30 (PROFMAT - 01) A média aritmética de 10 números positivos é igual a 1 Os números são agrupados aos pares e os números de cada par somados, resultando daí um conjunto de 5 números positivos a) O que se pode dizer sobre a média aritmética desses 5 números? b) Mostre que o produto desses 5 números é menor ou igual a 3 Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes Finalista 018) 31 (PROFMAT - 013) Sejam R o raio e h a altura de um cilindro circular reto Use a desigualdade das médias para calcular qual a menor área total possível para um cilindro circular reto com um volume V dado Que relação deve existir entre o raio da base e a altura desse cilindro para que ele tenha essa menor área possível?

20 Uma solução: () Seja A Rh R a área total e desigualdade MA-MG, temos que V R h o volume desse cilindro Pela A Rh Rh R R h V Logo, a menor área total possível é seja, quando h R A 3 3 V e ela ocorre quando Rh R Ou 3 (PROFMAT - 014) Dados a e b dois números reais positivos, use a desigualdade das médias para encontrar o valor mínimo e o ponto em que esse valor mínimo ocorre, para cada uma das funções abaixo: a) f : 0, R, b f x ax x b) f : 0, R, b f x ax x Encontre também o valor máximo, e o ponto que esse valor ocorre, na função abaixo: c) f : 0, R, x f x x 5 Uma solução: (Aluno: Ernandes Santos Finalista 017) a) Usando que MA MG obtemos: = =, ou seja, f(x) Então o valor mínimo de f(x) é E ele ocorre quando =, ou seja, para x a 4 b b) Temos que Usando que MA MG obtemos: f(x) = = f(x) Então o valor mínimo de f(x) será E ocorre quando b Isto é, para x 3 a

21 Uma solução: () c) Temos: x 1 1 x 5 5 x 5 x 5 x 5 x x x x x x 3x 3x 3x E, pela desigualdade das médias aritmética e geométrica temos também 5 x 5 x 5 x x x 3x 3x 3x 5 x 5 x 5 x 15 4 x x 4 4 3x 3x 3x 7 Assim, x 5 x 5 x 4 15 x x 3x 3x 3x 1 7 Logo o valor máximo de f é e ocorre quando x x x Ou seja, quando 53 x 15 x 3 33 (PROFMAT - 015) Sejam x, y e z números positivos a) Prove que x y z xy yz xz x y z xy yz xz b) Prove que 3 xyz c) Use o item (b) para mostrar que se a equação t at bt c 0, em que a, b e c são 6 3 números positivos, possui três raízes reais, então a 7b 79c Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) a) Tome por base que,, temos: Isto é, Dividindo-se a inequação por, concluímos que

22 b) Parte 1: Vamos resolver a primeira desigualdade, Elevando ambos os membros ao quadrado, temos O que implica em Ou seja, (*) Sabemos que (*) é verdade Portanto, Parte : Provar a segunda desigualdade Vamos usar a desigualdade MA MG, temos O que equivale a Tirando-se a raiz quadrada dos dois lados da inequação, temos Como queríamos demonstrar

23 c) Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes Finalista 018) 34 (UECE 017) Se x e y são números reais tais que 5yx 10, então, qual o menor valor que x y pode assumir? Uma solução: () Pela desigualdade de Cauchy- Schwarz temos que 5y x 5 y x Ou seja, 100 x y Logo, o valor mínimo da expressão é Mostre que Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes) Note que, Vamos provar que Vejamos: Usando a desigualdade de Bernoulli, temos

24 Logo, 36 Se a, b e c são números reais tais que ab bc ac? a b c 1, então qual o valor máximo de Duas soluções: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Solução 1: Basta encontrarmos um número real K tal que ab + bc + ac MA MG temos: K Usando a desigualdade ab Assim, usando de maneira análoga a mesma desigualdade para os números b e c, e também a e c, podemos afirmar que ab + bc + ac = Fazendo-se = ab + bc + ac, temos Logo 1 Portanto o valor máximo de ab + bc + ac é 1 e esse valor é atingido quando a=b=c Isto 3 é, quando a b c 3 Solução : Usando a desigualdade de Cauchy Schwarz, temos: (ab + bc + ac) ( Como = 1, então temos que: Logo o valor máximo de ab + bc + ac é 1 ab + bc + ac 1

25 37 (África do Sul 1995) Sejam a, b, c e d números reais positivos, prove que a b c d a b c d Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Basta usar o lema, pois = = = 38 Se a e b são números reais positivos, prove que a b a b Uma solução: () Pela desigualdade de Cauchy- Schwarz temos que Pela desigualdade MQ 8 a b a b 4 4 Logo, a b a b 8 a b MA temos também que a b a b a b a b 4 a b a b a b a b 4 39 (República Tcheca 99) Para a, b e c números reais positivos, prove a desigualdade a b c 1 b c c a a b Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Note que + + = + +

26 Assim temos + + Como foi provado na questão 1 que ( x + y + z) reais positivos Então 1 3(xy + yz + xz) para todo x, y e z Portanto, (IMO 1995) Sejam a, b e c números reais positivos tais que abc = 1 Prove que a b c b a c c a b Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Observe que + + = + + Observe também que E como sabemos que abc = 1, então Usando o mesmo artifício nas outras expressões temos: + + = + + = + + Aplicando a seguinte desigualdade + +, obtemos + + Por ser MA MG podemos dizer que Logo, Sejam se a, b, c > 0 Prove que a b c ab c bc ca ab

27 Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Temos que é valida a seguinte desigualdade: a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c) (exercício 7) Dividindo ambos os lados desta desigualdade por abc obtemos: (a + b + c) Isto é, + + (a + b + c) Portanto + + (a + b + c) 4 Demonstre que Uma solução: (Aluno Dirley Souza Finalista 017) Iremos resolver pela desigualdade de Cauchy-Schwarz: Vejamos: Fazendo-se,,, temos: Assim, Isto é, Logo Para a igualdade ocorrer deve ser válida a igualdade = Mas, Portanto, concluímos que

28 16x 1 y 1 16 xy Resolva a equação 100 Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes Finalista 018) Utilizando a relação entre as médias aritmética e geométrica, temos: 44 Resolva a equação cos sen x x 1 1 sen x cos x 4 x 8 4cos 8 Uma solução: () Usando a desigualdade entre as médias MA- MG, temos sen x cos x 8 cos sen x x sen xcos x 1 8 sen x cos x Logo, sen x cos x 4 8 sen x cos x Com isso deve ocorre que 4cos x 4 e 8 sen x cos x Então 4 cos x 1 cos x 1 x k, k Ou seja, x k Como k para todo inteiro k 0 então podemos 4 4 afirmar que k deve ser nulo e portanto x

29 45 (Série Harmônica) Prove que 1 ln n 1 n n desigualdade para mostrar que a série para todo natural não nulo Use esta n é divergente Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Fazendo-se x = na desigualdade 1 + x, obtemos: 1 + Como a igualdade só ocorre para x = 0, então Continuação: ()

30 46 Prove que a Desigualdade de Bernoulli implica na desigualdade a b ab Uma solução: () A Fazendo-se x 1, onde a n 1 x 1 nx, temos a b A, e n= na desigualdade de Bernoulli 47 Resolva a equação A A A A a a a a a ab a a b 1 0 4a a a ab b 4a 4ab 4a 0 a ab b 4ab a b a b ab ab 1 1 x 1 1 x 4 4 Uma solução: () Pela desigualdade de Bernoulli, temos que x 1 1 x 1 1 x 1 1 x x 1 1 x 4 4 Mas, a igualdade ocorre quando 1 x 0 Logo, x 1

31 48 Demonstre que h h h 9r, a b c onde h a, hb, h c são as alturas de um triângulo arbitrário e r é o raio da circunferência inscrita no mesmo Uma solução: () 49 Encontre o valor mínimo da função definida por f x x 5x 5 3 x Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Olhando somente para o numerador da função temos que: = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + 1

32 Aplicando que MA MG obtemos: = Assim, f(x) 5 Logo o valor mínimo de f(x) é 5 e ocorre quando para x = 0, ou seja, 50 Seja 0, Encontre o valor mínimo de tg cot g Uma solução: (Aluno Ernandes Santos Finalista 017) Usando a desigualdade MA MG obtemos: Portando e a igualdade ocorre quando, ou seja, para, uma vez que 0,