Turma Demonstre que a série dada é convergente e encontre sua soma. x n uma série de termos não-nulos. Demonstre que se n=1.

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Exercícios de Análise I - MAT 34 Mostre que: (a) + P (b) + P n=3 (c) + P n= n(n+)(n+) = 4 4n 3 (n )n(n+3) =3 5 n+3 (n )n(n+) =65 36 (d) Se α >0, então + P n=0 Turma (α+ n)(α+ n+ a) = α Demonstre que a série dada é convergente e encontre sua soma (a) a(a+ b) + (a+b)(a+b) + + +, onde a, b >0 (a+(n ) b)(a+nb) (b) a+(a+ d) q+(a+d) q + +(a+nd) q n +, onde jqj < 3 Sejam α e β números reais tais que0 < α < β < Prove que a série converge elim u n+ u n =+ α+ β+ 3 α+ 4β+ 4 Sejam p e q números reais tais que0<p < q < Mostre que a série p+q +p 3 +q 4 + converge elim u n u n =+ 5 (Critério de Kummer) Seja + P x n uma série de termos não-nulos Demonstre que se existem uma sucessão(a n ) de termos positivos, um número real h >0eum número natural N tais que a n a n+ jx n+ j > h para todo n N, então a série + P x n é absolutamente convergente

2 6 (Critério de Raabe ) Seja(x n ) uma seqüência de termos não-nulos Demonstre que: (a) Se existem um número real a > e um número natural N tais que jx n+ j a n para todo n N, então a série + P x n é absolutamente convergente (b) Se existem um número real a eum número natural N tais que jx n+ j a n para todo n N, então a série + P x n não é absolutamente convergente Em particular, se(x n ) é uma seqüência de termos positivos, então + P x n é divergente 7 (Forma limite do Critério de Raabe) Sejam(x n ) uma seqüência de termos não-nulos Suponha que exista ½ α=lim n jx ¾ n+j Demonstre que: (a) Se α > então + P x n é absolutamente convergente (b) Se α <então + P x n não é absolutamente convergente Em particular, se(x n ) é uma seqüência de termos positivos, então + P x n é divergente 8 (Critério de condensação de Cauchy) Seja(a n ) uma sucessão não-crescente de termos não-negativos, isto é, a a a n a n+ 0 Prove que a série + P converge se, e só se, a série é convergente +X j=0 j a j= a +a +4a 4 +8a 8 + a n Joseph L Raabe (80-859) nasceu na Ucrânia e ensinou em Zurique Trabalhou em geometria e análise

3 9 (Efetividade do critério de Raabe) Mostre que: (a) Se o critério da razão é conclusivo, então o critério de Raabe também o será (b) O critério de Raabe pode ser conclusivo quando o da razão não o é 0 Prove que: (a) A série P 35(n ) 46(n) diverge (b) Sendo k um número natural, a série + P divergente quando k (c) A série n= n n k é convergente quando k > e + k+ k(k+)! + k(k+)(k+) 3! + + é convergente se k <0 e divergente se k 0 Mostre que as séries abaixo são divergentes: (a) P n (b) P n (c) P n log n n nlog n (log n) p onde p >0 Mostre que série P n k(k+) (k+ n ) n! n(log n) α diverge, se α <, e converge, se α 3 Mostre que a série P logn é convergente n (log n) 4 (Critério de Du Bois Reymond ) Demonstre que se a série + P b n é convergente e +P (a n a n+ ) converge absolutamente, então a série + P a n b n é convergente 5 Mostre que nx cos(a+kb)= k=0 sen n+ b sen b P Du Bois Reymond (83-899), matemático alemão cos a+ nb, + 3

4 nx sen(a+kb)= k=0 sen n+ b sen b cos a+ nb 6 (Critério de Dedekind) Demonstre que se a série + P (a n a n+ ) converge absolutamente, lim a n = 0 e as somas parciais da série + P b n são limitadas, então a série +P a n b n é convergente 7 Mostre que: (a) P ( ) n cos nθ n (b) P ( ) n sennθ logn é divergente se θ=(k ) π, e convergente se θ 6=(k ) π é convergente para todo número real x 8 Seja θ um número real Prove que a série + P n= cos nθsen π n nlog(log n) é convergente 9 Seja k um número natural Prove que se + P u n é uma série cujas somas parciais são limitadas, então + P u n n k é convergente 0 (Teorema de Mertens 3 ) Demonstre que se + P a n converge absolutamente para (a soma) A e + P b n converge (simplesmente) para B, então o produto de Cauchy dessas duas séries converge e tem soma AB (Teorema de Abel) Demonstre que se + P a n converge para (a soma) A, + P b n converge para B e o produto de Cauchy + P c n converge para C, então C= AB Prove que se P a n converge absolutamente, então são absolutamente convergentes as séries: (a) P a n + a n (b) P a n 3 Frans Mertens (840-97) estudou em Berlin e lecionou em Cracóvia e Viena Contribui principalmente para a geometria, teoria dos números e álgebra 4

5 (c) P a n + a n 3 Mostre se P a n e P b n convergem, então P a n b n é convergente Use este resultado para concluir que, para qualquer α >, X an n α, é uma série convergente 4 Para qualquer x (0,+), o valor da função F, de nida por F(x) = dt, no t ponto x pode ser interpretado gra camente como a área entre o eixo das abscissas, a curva, a reta vertical que passa poreareta vertical que passa por x t (a) Prove que, para todo n IN, tem-se (b) Seja(a n ) a sucessão de nida por n+ <ln(n+) lnn < n a n = n lnn Mostre que(a n ) é decrescente e de termos não-negativos Conclua que existe γ=lim n lnn Este limite é chamado número de Euler-Mascheroni 5 Mostre que o produto de Cauchy da série + P +X Essa série converge? Justi que ( ) n+ n+ Z x ( ) n com ela mesma é a série n n 6 Use o exercício 4a para mostrar que, para todo m IN, + m m < e < + m m+ Fazendo nessa desigualdade m =,,, n obtenha, por multiplicação das desigualdades resultantes, que n n (n )! < en < n n (n )! Conclua que o fatorial de n pode ser estimado por meio da desigualdade n n e n+ < n! < n n+ e n+ 5

6 7 Mostre que a série P xn n! converge se x < e e diverge se x e nn 8 Por convenção, a soma da série + P n=0 n! é indicada pelo símbolo e Seja r n o resto de ordem n dessa série Mostre que0 < r n = e s n < Isto signi ca que ao utilizar n!n s n como uma aproximação para e comete-se um erro (absoluto) não superior a n!n Assim, s 0, por exemplo, é uma aproximação de e, com erro inferior a0 7 9 Sejam r n o resto de ordem n da série + P irracional n=0 n! e θ n= r n n!n Prove que e é um número 30 Dados números inteiros a, a, tais que a n n, n=,3,4, Mostre que a soma da série + P a n é racional se, e somente se, existe um número natural N tal que n! a n = n para todo n N 3 Suponha que + P u n seja uma série alternada, ju n+ j ju n j elimu n =0 Mostre que se r n é o resto de ordem n de + P u n, então jr n j < ju n+ j Isto signi ca que ao utilizar P s n = n u j como uma aproximação para a soma s da série (alternada) + P u n, comete-se j= um erro (absoluto) não superior a ju n+ j 3 Prove que a série + P ( ) n+ n é convergente Ao utilizar a reduzida s n como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro Se desejamos que o erro seja inferior a0 4, qual deve ser o valor de n? Compare sua resposta com a informação dada no exercício 8 e conclua que a série + P ( ) n+ converge muito lentamente para n sua soma 33 Sejam N um número natural e(u n ) uma seqüência tal que ju n+j q <para todo ju n j n N Considere s a soma da série + P u n e r n o seu resto de ordem n Prove que as somas parciais s n são aproximações da soma s de acordo com a estimativa jr n j= js s n j q q ju nj, para todo n N Isto signi ca que ao utilizar s n como q uma aproximação para s comete-se um erro (absoluto) não superior a q ju nj 34 Nas mesmas condições do exercício 33, prove que js s n j qn+ N q ju Nj, para todo n N 6

7 35 Prove que a série + P n! 357(n+) é convergente Ao utilizar a reduzida s n como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro Se desejamos que o erro seja inferior a0 4, qual deve ser o valor de n? 36 Dada uma série convergente de termos positivos P a n = S, prove que, se a partir de um certo índice N, n p a n q <, então as somas parciais S n são aproximações da soma S de acordo com a estimativa S S n qn+ q para n N 37 Seja(x n ) uma seqüência de termos não-nulos Suponha que existem um número real a >eum número natural N tais que jx n+j a para todo n N Mostre que n P as somas parciais s n = n x j são aproximações da soma s da série + P x n de acordo j= com a estimativa js s n j n a jx n+j para todo n N 38 A série + P n(n+)(n+) é convergente Ao utilizar a reduzida s n como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro Se desejamos que o erro seja inferior a0 5, qual deve ser o valor de n? 7