Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Exercícios de Análise I - MAT 341 Turma 1

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Exercícios de Análise I - MAT 34 Turma Mostre que: (a) Se α > 0, então P (b) P n= (c) P n=3 (d) P n= n=0 n (n )(n ) = 4 4n 3 (n ) n (n 3) = 3 5 n 3 (n ) n (n ) = (α n)(α n ) = α Demonstre que a série dada é convergente e encontre sua soma (a) a (a b) (a b)(a b), ondea, b > 0 (a (n ) b)(a nb) (b) a (a d) q (a d) q (a nd) q n, onde q < 3 Sejam α e β números reais tais que 0 < α < β < Prove que a série diverge e lim u n u n =0 α β 3 α 4 β 4 Sejam p e q números reais tais que 0 <p<q< Mostrequeasériepq p 3 q 4 converge e lim u n u n = 5 (Critério de Kummer) Seja P x n uma série de termos não-nulos Demonstre que se n= existem uma sucessão (k n ) de termos positivos, um número real h>0 eumnúmero natural N tais que k n k n x n x n >h para todo n N, então a série P x n é absolutamente convergente n=

2 6 (Critério de Raabe )Seja(x n ) uma seqüência de termos não-nulos Demonstre que: (a) Se existem um número real a> e um número natural N tais que x n x n a n para todo n N, então a série P x n é absolutamente convergente (b) Se existem um número real a eumnúmeronaturaln tais que n= x n x n a n para todo n N, entãoasérie P x n não é absolutamente convergente Em n= particular, se (x n ) é uma seqüência de termos positivos, então P x n édivergente 7 (Forma limite do critério de Raabe) Seja(x n ) uma seqüência de termos não-nulos Suponha que exista ½ µ α = lim n x ¾ n x n Demonstre que: (a) Se α > então P x n é absolutamente convergente n= (b) Se α < então P x n não é absolutamente convergente Em particular, se (x n ) é n= uma seqüência de termos positivos, então P x n é divergente 8 (Critério de condensação de Cauchy) Seja(a n ) uma sucessão não-crescente de termos não-negativos, isto é, a a a n a n 0 Prove que a série P converge se, e só se, a série éconvergente X j=0 n= j a j = a a 4a 4 8a 8 n= a n n= Joseph L Raabe (80-859) nasceu na Ucrânia e ensinou em Zurique Trabalhou em geometria e análise

3 9 (Efetividade do critério de Raabe) Mostreque: (a) Se o critério da razão é conclusivo, então o critério de Raabe também o será (b) O critério de Raabe pode ser conclusivo quando o da razão não o é 0 Prove que: P 35 (n ) (a) A série diverge 46 (n) (b) Sendo k um número natural, a série P n= divergente quando k (c) A série n n k éconvergentequandok > e k k (k )! k (k )(k ) 3! é convergente se k<0 edivergentesek 0 Mostre que as séries abaixo são divergentes: (a) P n (b) P n (c) P n (d) P n 3 log n n n log n (log n) p onde p>0 n (log n)(loglogn) Mostre que série P n 3 Estude a convergência da série P n 3 k (k ) (k n ) n! n (log n) α diverge, se α, econverge,seα > n (log n)(loglogn) α 4 Mostre que a série P n (log n) éconvergentee P édivergente log n log(log n) n 3 (log n) 5 (Critério de Du Bois Reymond ) Demonstre que se a série P P n= b n n= (a n a n ) converge absolutamente, então a série P a n b n éconvergente P Du Bois Reymond (83-899), matemático alemão n= éconvergentee 3

4 6 (Critério de Dedekind) Demonstre que se a série P (a n a n ) converge absolutamente, lim a n P n= a n b n éconvergente 7 Mostre que n= = 0 e as somas parciais da série P b n n= são limitadas, então a série nx cos (a kb) = k=0 sen n b sen b µ cos a nb, nx sen (a kb) = k=0 sen n b sen b µ sen a nb 8 Mostre que: (a) P ( ) n cos nθ n (b) P ( ) n sen nθ log n édivergenteseθ =(k ) π, e convergente se θ 6= (k ) π é convergente para todo número real θ 9 Seja θ um número real Prove que a série P n= cos nθ sen π n n log (log n) éconvergente 0 Seja k um número natural Prove que se P u n é uma série cujas somas parciais são n= limitadas, então P u n n éconvergente k n= (Teorema de Mertens 3 ) Demonstre que se P a n converge absolutamente para (a soma) n= A e P b n converge (simplesmente) para B, então o produto de Cauchy dessas duas n= séries converge e tem soma AB (Teorema de Abel ) Demonstre que se P a n converge para (a soma) A, P b n converge n= n= para B e o produto de Cauchy P c n converge para C, entãoc = AB n= 3 Frans Mertens (840-97) estudou em Berlin e lecionou em Cracóvia e Viena Contribui principalmente para a geometria, teoria dos números e álgebra 4

5 3 Prove que se P a n converge absolutamente, então são absolutamente convergentes as séries: (a) P a n a n (b) P a n (c) P a n a n 4 Mostre se P a n e P b n convergem, então P a n b n é convergente Use este resultado para concluir que, para qualquer α >, X an n, α é uma série convergente Z x 5 Para qualquer x (0, ), ovalordafunçãof,definida por F (x) = dt, no t ponto x pode ser interpretado graficamente comoaáreaentreoeixodasabscissas,a curva, a reta vertical que passa por e a reta vertical que passa por x t (a) Prove que, para todo n IN, tem-se (b) Seja (a n ) a sucessão definida por n < ln (n ) ln n< n a n = 3 ln n n Mostre que (a n ) é decrescente e de termos não-negativos Conclua que existe γ =lim µ 3 n ln n Este limite é chamado número de Euler-Mascheroni 6 Mostre que o produto de Cauchy da série P ( ) n com ela mesma é a série n X n= Essa série converge? Justifique ( ) n n n= µ n 5

6 7 Use o exercício 5a para mostrar que, para todo m IN, µ m m µ <e< m m Fazendo nessa desigualdade m =,,, n obtenha, por multiplicação das desigualdades resultantes, que n n (n )! <en < nn (n )! Conclua que o fatorial de n pode ser estimado por meio da desigualdade n n e n <n! <n n e n 8 Mostre que a série P an n! converge se a<ee diverge se a e nn 9 Por convenção, a soma da série P n=0 n! éindicadapelosímbolo e Seja r n orestode ordem n dessa série Mostre que 0 <r n = e s n < Istosignifica que ao utilizar n!n s n como uma aproximação para e comete-se um erro (absoluto) não superior a n!n Assim, s 0, por exemplo, é uma aproximação de e, comerroinferiora Sejam r n orestodeordemn da série P irracional n=0 n! e θ n = r n n!n Provequee éumnúmero 3 Dados números inteiros a,a, tais que a n n, n =, 3, 4, Mostre que a soma da série P a n é racional se, e somente se, existe um número natural N tal que n= n! a n = n para todo n N 3 Suponha que P u n seja uma série alternada, u n u n e lim u n =0 Mostre que n= se r n éorestodeordemn de P u n,então r n < u n Istosignifica que ao utilizar n= P s n = n u j como uma aproximação para a soma s da série (alternada) P u n, comete-se j= um erro (absoluto) não superior a u n 33 Prove que a série P ( ) n n= n é convergente Ao utilizar a reduzida s n como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro Se desejamos que o erro seja inferior a 0 4, qual deve ser o valor de n? Compare sua resposta com a informação dada no exercício 9 e conclua que a série P ( ) n converge muito lentamente para n= n sua soma 6 n=

7 34 Sejam N um número natural e (u n ) uma seqüência tal que u n q<para todo u n n N Considere s asomadasérie P u n e r n o seu resto de ordem n Prove n= que as somas parciais s n são aproximações da soma s de acordo com a estimativa r n = s s n q q u n, paratodon N Isto significa que ao utilizar s n como q uma aproximação para s comete-se um erro (absoluto) não superior a q u n 35 Nas mesmas condições do exercício 34, prove que s s n qn N q u N, paratodo n N 36 Prove que a série P n! n= 357 (n ) é convergente Ao utilizar a reduzida s n como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro Se desejamos que o erro seja inferior a 0 4,qualdeveserovalorden? 37 Dada uma série convergente de termos positivos P a n = S, prove que, se a partir de um certo índice N, n a n q<, então as somas parciais S n são aproximações da soma S de acordo com a estimativa S S n qn para n N q 38 Seja (x n ) uma seqüência de termos não-nulos Suponha que existem um número real a> eumnúmeronaturaln tais que x n a para todo n N Mostreque x n n P as somas parciais s n = n x j são aproximações da soma s da série P x n de acordo j= com a estimativa s s n n a x n para todo n N 39 A série P n= n (n )(n ) é convergente Ao utilizar a reduzida s n como uma aproximação para a soma dessa série comete-se um erro Se desejamos que o erro seja inferior a 0 5,qualdeveserovalorden? n= 7

8 Respostas e Sugestões (para exercícios selecionados) (a) Observe que s k = k P n=0 (α n)(α n ) = P k n=0 ½ α n α n ¾ Daí, s k = α α α α α α3 α3 α4 α4 α5 αk 3 αk Simplificando, obtém-se αk αk Fazendo k, segue que lim s k = α s k = α α k αk αk αk αk (b) Inicialmente, note que 3 P = =e, por conseguinte, 34 n= n (n ) 3 34 P = 45 n= (n )(n ) = Portanto, X n= n (n )(n ) = X n= (c) Observe que s k = k P n=3 n (n ) X n= 4n 3 (n ) n (n 3) = P k s k = n= (n )(n ) = 4 = 4 ½ (n ) n n (k ) k 8 (k ) (k 0) k 7 (k 9) k 6 (k 0) (k 8) k 5 (k 7) k 4 (k 8) (k 6) k 3 (k 5) k (k 6) (k 4) k (k 3) k (k 4) (k ) k (k ) k k3 (k 3) (k ) (k 9) (k 7) (k 5) (k 3) (k ) k 8 ¾ Daí,

9 Simplificando, obtém-se s k = k k k (k ) k k k3 Fazendo k, segue que lim s k = 3 5 = 3 5 n 3 n= (n ) n (n ) = P k n= s k = (d) Note que s k = k P ½ 0 6(n ) 9 6n 6(n ) Simplificando, obtém-se (k ) 6(k ) 0 9 6(k 0) 6(k 9) 0 9 6(k 8) 6(k 7) 0 9 6(k 6) 6(k 5) 0 9 6(k 4) 6(k 3) (k 9) 6(k ) 6(k 0) 6(k 8) 0 9 6(k 7) 6(k 9) 6(k 8) 6(k 6) 0 9 6(k 5) 6(k 7) 6(k 6) 6(k 4) 0 9 6(k 3) 6(k 5) 6(k 4) 6(k ) 0 9 6(k ) 6(k 3) 6(k ) 6k 0 9 6(k ) 6k 6(k) 0 9 6(k ) 6(k ) 6(k) s k = k 6(k ) 9 6k 6(k ) Fazendo k, segue que lim s k = = ½ (a) Note que u n = bs k = b kx n= (a (n ) b)(a nb) = b u n a (n ) b a nb = a ab ab ab ab a3b a(k 3)b a(k )b 9 a(k )b a(k )b ¾ Assim, ¾ Assim, a(k )b akb

10 Simplificando, obtém-se s k = b µ a a kb Fazendo k, segue que lim s k = ab (b) A soma parcial de ordem k da série é dada por s k = a (a d) q (a d) q (a (k ) d) q k (a kd) q k = a q q q k q k d q q 3q 3 (k ) q k kq k = a qk q qk d q q q k q qk Fazendo k e lembrando que q <, tem-se lim s k = 3 Como 0 < α < β <, paratodon natural, n n β n α Logo, a q dq ( q) α β 3 α 4 β 5 α β β 3 β 4 kx β 5 β n Ora, a série harmônica é divergente Portanto, pelo critério de comparação, α β 3 α 4 é divergente Além disso, porque β = α k para um número real k, β 5α lim u n (n )α =lim u n (n) β =lim µ α n =0 (n) k 4 Seja s k a soma parcial de ordem k da série p q p 3 q 4 Então, n= e s n = p q p n 3 q n p n q n = p p 3 p n q q 4 q n = p (p ) n q (q ) n, p q s n = p q q n 4 p n 3 q n p n = p p 3 p n q q 4 q n = p (p ) n p q (q ) n q 0

11 Como 0 <p<q<, seguequelim s n = p p q q = lim s n Portanto, a p sérieéconvergenteetemsoma p q q Além disso, porque q p >, lim u µ n n =lim qn q =limp = u n pn p 5 Note que a seqüência (t n ) das somas parciais da série P k=n x k é (monótona) crescente e, portanto, converge se,e só se, for limitada Por hipótese, para todo n N, x n k n k n >h k n x n k n x n >h x n > 0 x n Deste modo, a seqüência (k n x n ) é eventualmente (monótona) decrescente (a partir de N) Mais ainda, porque (k n ) é uma seqüência de termos positivos, para todo n, 0 <k n x n max {k x,, k N x N } Assim, (k n x n ) é uma seqüência eventualmente monótona e limitada e, por conseguinte, converge Considere λ = lim k n x n = inf {k n x n } Da desigualdade acima, para todo n N, k N x N k N x N >h x N, k N x N k N x N >h x N, k N x N k N3 x N3 >h x N, k N3 x N3 k N4 x N4 >h x N3, k n x n k n x n >h x n, k n x n k n x n >h x n, k n x n k n x n >h x n P Somando membro a membro, k N x N k n x n >h n x k = ht n > 0 Portanto, k=n t n < h (k x λ) ou, equivalentemente, (t n ) é limitada Como a série P x k k=n converge, segue que também converge X k= x k = x x x N x N 6 Desenvolva um raciocínio análogo ao do exerc 5 7 Ponha a = α e obtenha as condições do exerc 6 8 Considere (s m ) a seqüência de reduzidas da série P a n e (t n ) a seqüência das somas n= parciais da série P j a jverifique que t n s n t n j=0

12 9 (a) Por hipótese, existem µ 0 <c< eumnúmeronaturaln tais que, para todo n>n, x n c Então,n x n n ( c) a>para n suficientemente grande x n x n (b) O critério da razão é inconcludente sobre a convergência da série P n= n Poroutro lado, o critério de Raabe permite concluir que essa série é convergente 0 Use o critério de Raabe (exerc 6) ou a forma limite do critério de Raabe (exerc 7) Use o critério de condensação de Cauchy (exerc 8) 5 Seja B n = b b b n Quaisquer que sejam os números naturais m>n,tem-sea fórmula (de transformação) de Abel Daí, j=n j=n a j b j = B m a j b j =(a m B m a n B n ) m X j=n j=n (a j a j )a n (B m B n ) (a j a j ) B j j=n (a j a j ) B j P Usaremos essa igualdade para mostrar que (ζ n ),ondeζ n = n a j b j, é uma seqüência j= de Cauchy (o que é equivalente a afirmar que a série P a j b j converge) Para isso, observe que por hipótese: (a) Existe λ = lim s n,ondes n = n P j= j= (a j a j ) Ora, s n = a a n e, por conseguinte, lim a n = a λ Em particular, (a n ) é uma sucessão limitada Logo, existe L>0 tal que a n L para todo n IN (b) Existe lim B n Deste modo, (B n ) é uma sucessão limitada, ou seja, existe M>0 tal que, para todo n IN, B n M Alémdisso,(B n ) é uma sucessão de Cauchy Assim, existe n IN tal que para todos m, n n B m B n = b n b n b m b m < ε 3L j= P (c) Existe lim t n,ondet n = n a j a j Emparticular,(t n ) é uma sucessão (nãodecrescente) de Cauchy e, portanto, existe n IN tal que para todos m, n n t m t n = a n a n a n a n3 a m a m a m a m < ε 3M

13 Seja n 0 =max{n,n } Do exposto acima (e da desigualdade triangular), decorre que para todos m, n n 0, ζ m ζ n = a j b j j=n B m a j a j a n B m B n a j a j B j j=n j=n M(t m t n )L B m B n M (t m t n ) ε < M 3M L ε 3L M ε 3M = ε 6 Use a fórmula de transformação de Abel e um raciocínio semelhante ao do exerc 5 para mostrar que a seqüência (ζ n ) das somas parciais da série P a j b j édecauchy 7 Note que j= e nx cos (a kb) = k=0 nx sen (a kb) = k=0 sen b sen b nx sen b cos (a kb), k=0 nx sen b sen (a kb) k=0 Usando identidades trigonométricas, reduza os somatórios a duas parcelas Para concluir, uma vez mais, use identidades trigonométricas Alternativamente, pode-se utilizar números complexos Neste caso, parta de n e i(akb) P P Sejam A n = n P a k, B n = n P b k, C n = n c k, β n = B n B Então, k= k= k= C n = a b (a b a b ) (a b n a b n a n b a n b ) = a B n a B n a n B a n B = a (β n B)a βn B a n (β B)a n (β B) = A n B γ n onde γ n = a β n a β n a n β a n β Comolim A n B = AB, basta mostrar que lim γ n =0 Note que lim a k =0, lim β k =0e, por hipótese, existe α = P a k k k k= Ora, α > 0 Assim, para todo ε > 0, existen IN, tal que para todo n>n, k=0 3

14 β n < ε Logo, para n>n, α γ n β a n β a n β N a n N β N a n N β N a n N β N a n N β n a β n a β a n β a n β N a n N β N a n N ε α ( a n N a n N a a ) β a n β a n β N a n N β N a n N ε Mantendo N fixo e fazendo n, obtém-se que 0 lim γ n ε para todo ε > 0 Portanto, lim γ n =0 Para fixar as idéias, considere a tábua de produtos dos termos das séries P a i e P b j : a b a b n a b n a b n a b n a b n a n b a n b n a n b n a n b n a n b n a n b n a n b a n b n a n b n a n b n a n b n a n b n a n b a n b n a n b n a n b n a n b n a n b n a n b a n b n a n b n a n b n a n b n a n b n a n b a n b n a n b n a n b n a n b n a n b n P Sejam t n = n np a i b j =(a a n )(b b n ) e (C n ) a seqüência das somas i= j= parciais do produto de Cauchy P c n Por hipótese, lim t n = AB e, por conseguinte, n= (t n ) é uma seqüência de Cauchy Daí, existe n IN tal que para todos m, n n, t n AB < ε, i= j= e t m t n = a i i= b j j= nx nx a i b = j i= j= a i b < ε j i,j>n Considere n 0 =n Observe que n 0 >n e que para todo número natural N>n 0, NX Xn Xn NX C N t n = c n a i b = a n= j i b j i= j= i,j>n Deste modo, para todo N>n 0, C N AB t n AB C N t n < ε ε = ε Portanto, lim C n = AB 4

15 3 (a) lim a n =0 Logo, existe um número natural n 0 tal que a n > para todo n>n 0 Daí, a n a n < a n (b) a n M Logo, a n M a n (c) Use os itens anteriores 4 Use que a desigualdade xy x y 6 Sim Com efeito, seja u n = µ n Então, a seqüência (u n ) é n decrescente pois u n u n > 0 Além disso, u n = a n n n ln n, onde (a n) éa seqüência definida no exerc 5 Daí, lim u n =0 Do critério de Leibniz, conclui-se que a série (alternada) P ( ) n µ n= n converge n 33 n = n = 39 n =000 5