Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Exercícios de Análise I - MAT 341 Turma 1

Transcrição

1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Exercícios de Análise I - MAT 341 Turma 1 1. Sejam X IR, a X 0 e f : X IR uma função tal que f (x) =L 6= 0. Mostre que existem números positivos δ, M e N para os quais se 0 < x a < δ, então 0 <M< f (x) <N. 2. Prove que se a pertence ao domínio de f, então f (x) =f (a), paraasseguintes funções: (a) f : IR {0} IR, f (x) = 1 x. (b) f : IR IR, f (x) =x 2. (c) f : IR IR, f (x) = 3 x. 3. Sejam n um número natural e ϕ : A IR definida por ϕ (x) = n x.considerea = IR, se n éímparea = IR + {0}, sen épar.proveque ϕ (x) =ϕ (a). 4. Sejam f e g duas funções tais que f (x) =L 6= 0e g (x) =0. Mostre que: (a) Se L>0, então f (x) g (x) =+. (b) Se L<0, então f (x) g (x) =. 5. Seja f :[a, + ) IR uma função positiva, i.e., f (x) > 0 para todo x a. Proveque f (x) =+ se, e só se, 1 f (x) =0. 6. Se f (x) 0 e x c f (x) =r, mostreque x c p f (x) = r. (a +1)x + b 7. Sendo =4,calculea e b. x 1 3x +1 x Sejam A IR iitado superiormente, ϕ : A IR umafunçãotalque ϕ (x) =L e f (x) = np ϕ (x), n IN. Considereϕ (x) 0,sen for par. Mostre f (x) = n L. 9. Prove que f (x) =+ se, e só se, + µ 1 f =+. x 10. Dê um exemplo para o qual f (x 2 ) exista, mas f (x) não. 1

2 11. Verifique que: 1+x 1 x (a) =1. x 3 1+x 1 (b) = 1 x 3. (c) (d) x + x 2 +1 x 1 =0. x2 +1 x 2 1 x2 +2 x 2 2 = Sejam f uma função real definida no intervalo aberto (a, b) e x (a, b) um elemento qualquer. Considere as duas afirmações: (a) h 0 f (x + h) f (x) =0. (b) h 0 f (x + h) f (x h) =0. Prove que a afirmação (a) sempre implica (b). Dê um exemplo no qual (b) é verdadeira e(a)éfalsa. 13. Mostre que: (a) f (x) =f (a + h). h 0 (b) f (x) =f (x a). (c) f (x) =f (x 3 ). f (x) f (bx) (d) Se = L e b 6= 0,então = bl. x x 14. No exercício 13d, o que acontece se b =0? Justifique. 15. Prove que: (a) f (x) = f ( x). + (b) f ( x ) = f (x). + (c) f (x2 )= f (x). + µ + 1 (d) f = + x f (x). (e) f (x) = + µ 1 (f) f x f ( x). = f (x). 2

3 16. Seja X = Y Z com a Y 0 Z 0.Dadaf : X IR, considereg = f Y e h = f Z.Se g (x) =L e h (x) =L, então f (x) =L. 17. Sejam f uma função com domínio D, E D e a um ponto de acumulação de E. Prove se que se f (x) L com x a em D, omesmoéverdadecomx a em E. Dê um contra-exemplo, mostrando que uma função pode ter ite quando restrita a um subconjunto E de D e não ter ite em seu domínio D. 18. Verifique que a função de Dirichlet f pode ser expressa como 19. Mostre que: f (x) = n h m (cos n!πx)2mi (a) Se x é um número real qualquer, então sen x x. ³ (b) Se x π 2, π,então sen x x tan x. 2 sen x 20. (Um ite notável) Proveque =1. x Seja f : IR {0} IR definida por f (x) =. Então, 1+e f (x) = 0 e 1/x + f (x) = Seja f : X IR monótona com f (X) [a, b]. Se f (X) édensonointervalo[a, b] então, para cada c X 0 + X,tem-se 0 f (x) = f (x). Se c X então este x c x c + ite é igual a f (c). 23. Seja f : IR {0} IR afunçãodefinida por f (x) = dos valores de aderência de f no ponto x =0. sen (1/x).Determineoconjunto 1+e1/x 24. Se f (x) =L então f (x) = L. Se f (x) = L entãooconjuntodos valoresdeaderênciadef no ponto a é {L}, { L} ou { L, L}. µ p 25. Seja f : IR IR definida por f (x) =x se x é irracional, f = q se p é uma fração q q irredutível com p > 0, f (0) = 0. Mostrequef é iitada em qualquer intervalo não-degenerado. 26. Paratodonúmerorealx, denote por [x] omaiorinteironãosuperiorax. Mostreque se a e b são positivos então x b = b b h x i e =0. + a x a + x a Provetambémque,noprimeirocaso,oiteàesquerdaseriaomesmomasqueno segundo caso o ite é + quando x 0 por valores negativos. 3

4 27. Prove que [x] x = Dadas f,g : X IR defina h =max{f,g} : X IR pondo h (x) =f (x) se f (x) g (x) e h (x) =g (x) caso g (x) f (x). Seja a X 0. Prove que se f (x) =L e g (x) =M, então h (x) =N, onde N éomaiordosdosnúmerosl e M. 29. Sejam f,g : X IR itadas em uma vizinhança do ponto a X 0.Mostreque sup (f + g) sup f + sup g e sup [ f (x)] = inf f (x). 30. Em relação ao exercício 29, enuncie e prove resultados análogos para inf (f + g) e para o produto de duas funções. 31. Seja ϕ :[0, + ) IR uma função itada em cada intervalo itado. Mostre que se [ϕ (x +1) ϕ (x)] = L, então ϕ (x) = L. x 32. Seja f : IR IR definida por f (x) = x + ax sen x. Mostre que a < 1 implica f (x) =+ e f (x) =. 33. Seja f : A IR uma funçaõ definida em um conjunto A, o qual contém um intervalo da forma [a, + ). Provequer éoitedef (x), quando x + se, e só se, para qualquer sucessão (x n ) em A tal que x n =+, tem-se f (x n )=r. 34. Em relação ao exercício 33, enuncie e prove um resultado análogo para ite de f (x) quando x. 35. Suponha que f (x) =r e g (x) =+. Então, {f (x)+g(x)} =+ e x c x c x c {f (x).g (x)} = ±, conformesejar>0 ou r<0. x c 36. Dê exemplos para mostrar que a última relação do exercício 35 não se verifica, em geral, no caso de r = Seja f uma função real definida em X IR. Se f é (estritamente) crescente em X, então existe f 1 a função inversa de f. Além disso, f 1 é (estritamente) crescente em f (X). 38. Seja f um função real definidano intervalo aberto (a, b). Suponha que para cada ponto x de (a, b) exista um intervalo no qual f é não-decrescente. Prove que f é não-decrescente em (a, b). 39. Seja (x n ) uma sucessão em IR convergindo para a. Mostre que se (n k ) k IN éuma sucessão de números naturais tal que n k =+, então a sucessão (x nk ) converge k para a. 4

5 40. Considere (x k ) uma sucessão de números reais tal que x k =0e f : IR {0} IR afunçãodefinida por f (x) =(1+x) 1/x (a) Use que (1 + 1/n) n = e e o exercício 39 para provar que se x k > 0, então (1 + x k) 1/x k = e. k (b) Mostre que se x k < 0, então (1 + x k ) 1/x k = e. k (c) Conclua que f (x) =e. 41. (A função exponencial) Sejama > 0 e x dois números reais arbitrários. Considere f : QI IR afunçãodefinida por f (r) =a r. O número a r com r QI émuitobem compreendido e seu significado é claro. Com efeito, pondo r = m n, ar éonúmerob tal que b n = a m. Por outro lado, a x com x IR tem significado menos evidente. Por exemplo, 2 3 não pode ser interpretado como o produto de uma certa quantidade de fatores (todos) iguais a 2. O item (b) a seguir esclarece este ponto. Prove que: (a) r 0 f (r) existe e é igual a 1. (b) r x a r existe. Este ite é denotado pelo símbolo a x. A função ϕ : IR IR definida por ( a x, se x QI ϕ (x) = r x ar, se x IR QI com a > 0 e a 6= 1é chamada função exponencial com base a e é indicada simplesmente por ϕ (x) =a x. 42. (A função exponencial) Sejaa>0, a 6= 1, um número real. Considere ϕ (x) =a x a função exponencial com base a. Prove que: (a) Quando a>1, ϕ cresce estritamente e quando 0 <a<1, ϕ decresce estritamente. (b) Para quaisquer números reais x e y, a x.a y = a x+y e (a x ) y = a x.y. (c) ϕ (x) =ϕ (x 0 ). x x0 (d) Se a>1, ax =+ e ax =0. (e) Se 0 <a<1, ax =0e ax =+. Segue dos itens (c),(d) e (e) que o conjunto dos valores da função exponencial ϕ éo conjunto de todos os números reais positivos, isto é, ϕ (IR) =IR +. Do item (a), ϕ é injetora. Portanto, a função exponencial ϕ éumabijeção de IR em (sua imagem) IR +. 5

6 43. (A função logarítmica) Seja a > 0, a 6= 1, um número real. Decorre do exercício 42 que a função exponencial ϕ (t) =a t é invertível. Chama-se função logarítmica (com base a) à inversa da função exponencial ϕ. Porqueϕ é uma bijeção, para cada x IR + existe (um único) y IR tal que a y = x. Denotando este número y pelo símbolo log a x, tem-se a log a x = x. Considere ψ afunçãoinversadeϕ. Então,ψ éafunçãodeir + em IR que associa cada x IR + ao número y IR com a y = x, ou seja, Prove que: ψ (x) =y =log a x. (a) (A função logarítmica) ψ cresce estritamente se a>1 e decresce estritamente se 0 <a<1. (b) Para todos u, v IR + e α IR, log a (uv) =log a u +log a v e log a u α = α log a u. (c) Se x 0 IR +, ψ (x) =ψ (x 0 ). x x0 (d) Se a>1, (e) Se 0 <a<1, log a x =+ e log + a x =. log a x = e + log a x = (Mais alguns ites notáveis) Sejaa > 0, a 6= 1, umnúmeroreal. (a) Prove que log a (1 + x) x ln (1 + x) Conclua que =1. x = 1,ondeln a denota o logaritmo de a na base e. ln a a x 1 e x 1 (b) Mostre que =lna. Em particular, =1. x x 45. Determine os seguinte ites: (a) (b) n + n ( n a 1) com a>0. µ x 3x x 4 (c) µ e x + e x 2x 2 1 x 2 (d) µ. e αx e βx sen αx sen βx 1 x 2 (e) (1 + 3 tan 2 x) cot2.. 6