A multiplicação de matrizes não é uma operação

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1 A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vamos introduzi-la por meio da seguinte situação:

2 Durante as Olimpíadas, realizadas em Londres em 2012, o grupo C do futebol masculino era formado por quatro países: Brasil, Egito, Bielorrússia e Nova Zelândia. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um, registrados em uma tabela e em uma matriza, do tipo 4 3:

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4 Pelo regulamento das Olimpíadas, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 ponto). Veja esse fato registrado em uma tabela e em uma matrizb, do tipo 3 1.

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6 Vamos determinar o total de pontos dos países participantes.

7 Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:

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9 Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas deaeonúmero de colunas deb:

10 O elemento c ij da matriz produto C=AB é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando esses produtos. Exemplo1: SendoA 3 5 eb 5 2, temos que: a) Existe a matriz produtoab eab 3 2. b) Não existe a matriz produtoba, pois o número de colunas debédiferente do número de linhas dea

11 Exemplo2: SendoA 2 4 eb 4 2, temos que: a) Existe a matriz produtoab eab 2 2. b) Existe a matriz produtoba eba 4 4. Observação: Note que AB e BA são matrizes de tipos diferentes. Logo, é evidente queab BA. De modo geral, temos que AB BA ou seja, para a multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa.

12 Exemplo3: Efetue o produtoa I 2, onde A 2 1 = Exemplo 4: Em que condição uma matriz A m n pode ser multiplicada por si mesma? Exemplo5: Definindo-seA 2 =A A, ondeaéuma matriz quadrada, calculea 2, sendo. Determine a matriza A = 0 1

13 x y 1 3 A = e B = Exemplo6: Sendo, Determine x e y para que A e B comutem, isto é, AB=BA. Exemplo 7: Sejam A = (a ij ) 2 3, onde a ij = i + j e B = (b ij ) 3 4, onde b ij = i j. Sendo C = (c ij ) 2 4 = AB, determine o elementoc 23.

14 Propriedades: Desde que sejam possíveis as operações, são válidas as seguintes propriedades: a) A I =I A =A b) A(B+C)=AB+AC (distributivaàesquerda) c) (A+B)C=AC+BC (distributivaàdireita) d) A (B C)=(A B) C (associativa) e) (k A) B =k (A B), ondekéum número f) (A B) t =B t A t (observeaordem!) g) O A=A O=O

15 Perguntas: a) SeA B =OentãoA=OouB=O? b) SeA OeA B=A C, entãob=c? c) (A +B) 2 =A 2 +2AB +B 2? d) (A B) 2 =A 2 2AB +B 2? e) (A +B)(A B)=A 2 B 2?

16 Matriz Inversa SejamAeBmatrizes de ordemn. SeA B =B A =I n, dizemos que B é a inversa de A e representamos B =A 1. Assim, para saber se, dadas duas matrizes A e B, uma é inversa da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matrizi n. Exemplo8: Verifique se a matriz 11 3 A = 7 2 a inversa de. 2 3 B = 7 11 é

17 Matriz Inversa 1 2 A = Exemplo9: Verifique se a matriz possui 4 8 inversa.

18 Determinantes Considere o seguinte sistema linear: a x + a y = b a x + a y = b Resolvendo esse sistema (desde que seja possível as operações), encontramos: x ba ba = e y = a a a a ba ba a a a a

19 Determinantes Observe que os denominadores são iguais a a a a a coeficientes: e estão associados à matriz dos a a a a 21 22

20 Determinantes Considere agora o seguinte sistema linear: a x + a y + a z = b a x + a y + a z = b a x + a y + a z = b Resolvendo esse sistema (desde que seja possível as operações), ao procurarmos os valores de x, y e z, é possível verificar que eles tem o mesmo denominador: a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a

21 Determinantes Observe que esses denominadores também estão associados à matriz dos coeficientes: a a a a a a a a a Esses números que aparece nos denominadores associados às matrizes quadradas são casos particulares do que é chamado determinante de uma matriz quadrada.

22 Determinantes Representaçãodeumdeterminante: Determinante é um número real associado a uma matriz quadradaa, que será denotado por detae, escreve-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais. deta = a a a n a a a n a a a n1 n2 nn

23 Determinantes a11 a12 a1n a a a n a a a n1 n2 nn é o determinante da matriz a11 a12 a1 a21 a22 a2 a 1 a 2 a n n nn n n

24 Determinantes 1) Se a a, então det a a A = A a11a22 a21a12 a21 a = 22 a21 a = 22 a11 a12 a13 2) Se A = a21 a22 a 23, então: a31 a32 a 33 deta = a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 a11a23a 32 a12a21a 33 a13a22a 31

25 Determinantes Dados n objetos distintos a 1, a 2, a 3,, a n, uma permutação desses objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem. Por exemplo, 123 e 232 são permutações dos números 1, 2 e 3. A quantidade de permutações denobjetos é dada porn!, onde: n!= n (n 1) (n 2) 2 1 se n>0 e 0!=1

26 Determinantes Ordemdeumdeterminante: Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Por exemplo, se a matriz é de ordem 3, então o determinante será de ordem 3.

27 Determinantes Definição: Dada uma permutação dos números 1, 2, 3,,n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Considere as permutações dos números 1, 2 e 3 e vejamos em cada permutação o número de inversões.

28 Determinantes Permutação Número de inversões

29 Determinantes Definição: Uma permutação é de classe par ou de classe ímpar, conforme apresente um número par ou ímpar de inversões. Permutação Número de inversões Classe par ímpar ímpar par par ímpar

30 Determinantes Termo Principal: Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, chama-se termo principal o produto dos elementos da diagonal principal: a 11 a 22 a 33 a nn Termo secundário: Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, chama-se termo secundário o produto dos elementos da diagonal secundária. a 1n a 2(n 1) a 3(n 2) a n1

31 Determinantes Tabela referente às permutações dos números 1e2: Permutação Número de inversões Classe Sinal que precede o produto 12 0 par ímpar

32 Determinantes Tabela referente às permutações dos números 1,2e3: Permutação Número de inversões Classe Sinal que precede o produto par ímpar ímpar par par ímpar

33 Determinantes Definição: Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar.

34 Determinantes Observações: a) Não se define determinante de matriz que não seja quadrada. b) É importante distinguir que, enquanto matriz é uma tabela, o determinante de uma matriz é um número real (associado a essa tabela). 2 1 M = é uma tabela det M = é o número real 5 3 4

35 Determinantes Observações: c) O determinante de uma matriz de ordem n é obtido pela soma de n! termos onde cada termo é o produto de n fatores. Por exemplo, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 5 é dado pela soma de 120 produtos de 5 fatores cada. Veremos como calcular esses determinantes de maneira mais simples.

36 Propriedades dos Determinantes 1ª)Propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A, forem nulos, então: deta = 0 Exemplos: a b c a) = 0 m n p b ) =

37 Propriedades dos Determinantes 2ª)Propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número realk, então detafica multiplicado pork Exemplos: a 5 b c a b c a) d 5e f = 5 d e f m 5n p m n p

38 Propriedades dos Determinantes 2ª)Propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número realk, então detafica multiplicado pork Exemplos: b) a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 b1 b2 b3 b4 = k kc kc kc kc c c c c d d d d d d d d

39 Propriedades dos Determinantes 2ª)Propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número realk, então detafica multiplicado pork Exemplos: c ) Calcule o determinante da matriz A =

40 Propriedades dos Determinantes 3ª)Propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, então seu determinante fica multiplicado pork n, ou seja: det(k A) = k n deta Exemplos: a b 2 a ) Se A = então det(3 A ) 3 det A c d =. a b c 3 b) Se B = d e f então det(5 B) = 5 det B. m n p

41 Propriedades dos Determinantes 4ª)Propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, ou seja: det(a t ) = deta Exemplos: a) Se deta = 5 então det( A t ) = 5. a b c a d m b) d e f = b e n m n p c f p

42 Propriedades dos Determinantes 5ª)Propriedade: Se duas linhas (ou duas colunas) trocam de posição entre si, então o determinante da nova matriz obtida e o da matriz anterior são opostos. Exemplo: a b c d e f m n p d e f f e d = a b c = c b a m n p p n m

43 Propriedades dos Determinantes 6ª)Propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou duas colunas) iguais, então deta=0. Exemplos: a b c a ) d e f = 0 b ) = a b c

44 Propriedades dos Determinantes 7ª)Propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, então deta=0. Exemplos: a x ka a ) = 0 b ) b y kb = c z kc

45 Propriedades dos Determinantes 8ª)Propriedade: Se a uma linha (ou coluna) de uma matriz quadradaasomarmos uma combinação linear das demais linhas (ou colunas), obtemos uma nova matriz B, tal que det B = det A. (Teorema de Jacobi) Exemplo: Se A = e B =, então deta = det B

46 Propriedades dos Determinantes 9ª)Propriedade: Se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada A é combinação linear das demais linhas (ou colunas) então, deta=0. Exemplos: a ) = 0 b ) =

47 Propriedades dos Determinantes 10ª)Propriedade: Se uma matriz quadrada A é triangular superior (ou inferior), então seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplos: a ) = = 30 b ) = =

48 Propriedades dos Determinantes 11ª)Propriedade: Se em uma matriz quadrada A de ordem n, os elementos abaixo (ou acima) da diagonal secundária são nulos, então seu determinante é dado por: Exemplo: ( 1) 2 det A = ( 1) n n a n a n an 3(3 1) 2 1 2( 1) = ( 1) =

49 Propriedades dos Determinantes 12ª)Propriedade:Determinante de Vandermonde Matriz de Vandermonde é toda matriz quadrada de ordem n 2 formada por potências sucessivas de 0 an 1, conforme abaixo: x x x x x x x x x x x x n n n n x1 x2 x3 xn n n n

50 Propriedades dos Determinantes O determinante de uma matriz A de Vandermonde é dado por: det A = ( x2 x1)( x3 x1) ( xn x1)( x3 x2)( x4 x2) ( xn xn 1) Exemplos: a ) a b c = ( b a )( c a )( c b ) a b c 2 2 2

51 Propriedades dos Determinantes a b c d b ) = ( b a )( c a )( d a )( c b )( d b )( d c ) a b c d a b c d

52 Propriedades dos Determinantes c) Estando a, b e c em PA de razão r, o determinante da matriz: A = a b c a b c a) é sempre positivo. b) depende dea. c) depende só der, qualquer que sejaa. d) éa 3 r 3. e) é8r 3.

53 Propriedades dos Determinantes 13ª)Propriedade:(Teorema de Binet) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(a B)=detA detb. Exemplo: Se A = e B, então: 2 7 = det( A B) = = 1 7 =