PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR A

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR A Prof. Francisco Leal Moreira /

2 SUMÁRIO. MATRIZES..... INTRODUÇÃO..... PROPRIEDADES..... RESPOSTAS.... INVERSÃO DE MATRIZES..... INTRODUÇÃO..... MATRIZ INVERSA..... PROPRIEDADES OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES RESPOSTAS...7. SISTEMAS LINEARES INTRODUÇÃO EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES SISTEMAS EQUIVALENTES SISTEMA LINEAR ESCALONADO RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO MÉTODO DE CASTILHOS RESPOSTAS.... ESPAÇOS VETORIAIS..... INTRODUÇÃO..... ESPAÇO VETORIALREAL..... RESPOSTAS...6. SUBESPAÇO VETORIAL INTRODUÇÃO SUBESPAÇO VETORIAL RESPOSTAS COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES INTRODUÇÃO RESPOSTAS SUBESPAÇO VETORIAL GERADO INTRODUÇÃO RESPOSTAS... 8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR INTRODUÇÃO PROPRIEDADES RESPOSTAS BASE E DIMENSÃO INTRODUÇÃO BASE PROPRIEDADES DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL RESPOSTAS.... COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE...

3 .. INTRODUÇÃO..... COMPONENTES DE UM VETOR..... MUDANÇA DE BASE..... RESPOSTAS.... PRODUTO INTERNO..... INTRODUÇÃO..... RESPOSTAS.... ORTOGONALIDADE VETORES ORTOGONAIS BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM -SCHMIDT RESPOSTAS...7. TRANSFORMAÇÕES LINEARES INTRODUÇÃO TRANSFORMAÇÃO LINEAR MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE..... COMPOSTA DE DUAS TL RESPOSTAS.... TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS..... INTRODUÇÃO..... REFLEXÕES..... DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES..... CISALHAMENTOS ROTAÇÕES RESPOSTAS...9. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER..... INTRODUÇÃO... A.. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ [ f ] B..... RESPOSTAS OPERADORES LINEARES INTRODUÇÃO MATRIZES SEMELHANTES RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES OPERADORES INVERSÍVEIS MATRIZ ORTOGONAL OPERADOR LINEAR ORTOGONAL PROPRIEDADES OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO PROPRIEDADE RESPOSTAS VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS INTRODUÇÃO DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS PROPRIEDADES RESPOSTAS DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES...6

4 8.. INTRODUÇÃO DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS RESPOSTAS CÔNICAS CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM XY DA EQUAÇÃO CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS RESPOSTAS BIBLIOGRAFIA...7

5 . MATRIZES.. INTRODUÇÃO Esta secção, apresenta um conjunto de eercícios que possibilitam ao aluno, revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear. Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares, mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações lineares. E) Construa uma matriz: a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada E) Identifique a ordem de cada matriz do eercício E. E) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m n com elementos a i j. E) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de cada matriz do eercício E. E) Construa a matriz A [a ij ] mn tal que: a) m n e a i j,se i < j,se i j,se i > j b) m, n e a j i j i ( ) + ( i j) E6) No eercício E a, identifique a diagonal principal e a secundária. E7) Escreva uma matriz diagonal ( A[a ij ] nn, a ij se i j) de ordem.,se i j E8) Escreva a matriz identidade ( I n [a ij ] nn, a ij ) para n.,se i j E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A[a ij ] nn, a ij se i>j) de ordem. E)Escreva uma matriz triangular inferior ( A[a ij ] nn, a ij se i<j) de ordem.

6 E) Encontre,, z e w de forma que AB, sendo: a) A sen, B z w + b) A z + w 8 + 9, B 7 z + w E) Dadas as matrizes A, B e C determine a matriz: a) A + B + (-A) + (-B) b) A B + B A c) ( C I ).. PROPRIEDADES. Propriedades da Adição a) A + B B + A b) (A + B) + C A + (B + C) c) A + O A d) A + (-A) O sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real a) (αβ)a α(βa) b) α(a + B) αa + αb c) (α + β)a αa + βa d) A A sendo A e B matrizes de mesma ordem e α,β R

7 E) Sejam as matrizes A, B e C, determine: a) AB b) AC c) CA d) (A-I ) (B+I ). Propriedades da Multiplicação de Matrizes a) ABC (AB)C A(BC) b) A(B+C) AB + AC c) (A+B)C AC + BC d) α(ab) (αa)b A(αB), α R e) AO O f) AI IA A E) Use V ou F : a) Se eistem AB e BA então AB BA ( ) b) Se AB O então necessariamente A O ou B O ( ) E) Encontre a matriz transposta de: a) A b) B 7 6. Propriedades da Transposta a) (A t ) t A b) (A + B) t A t + B t c) (AB) t B t A t d) (αa) t αa t, α R E6) Sejam as matrizes A, B e C, determine: a) ( A - B) t (B - C) t b) [(A - I ) + (C + I )] t c) (AB t C) t E7) Construa uma matriz simétrica (A t A) de ordem.

8 E8) Construa uma matriz anti-simétrica (A t -A) de ordem... RESPOSTAS E) mn m m n n a a a a a a a a a L M M M L L E) a)a b)a 8 E6) a)d p {,,, } e D s {,,, } E8) a)i E) a) -,, z e w 9 b),, z e w E) a) B b) 6 c) E) a) b) NE c) 9 8 d) E) a) F b) F E) a)a t b)b t 6 7 E6) a) 7 b) c) 8

9 . INVERSÃO DE MATRIZES.. INTRODUÇÃO No início desta secção, o aluno encontrará alguns eercícios que possibilitam revisar o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz inversível. O estudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por eemplo, na mudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais. E) Calcule os determinantes: a) b) E) Resolva as equações: c) d) 6 e) 6 a) b) 9 + c) sen cos cos sen.. MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A é inversível se eistir uma matriz quadrada B tal que AB BA I. A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A. a b E) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A c d Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer. DISPOSITIVO PRÁTICO a b Se A e det A, então A c d det A d c b a A deta E) Calcule as inversas das matrizes A e B. 7

10 .. PROPRIEDADES a) (A ) A b) I n I n c) (αa) (/α)a, α d) (AB) B A.. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ L i j - Permutação das linhas de ordem i e j. kl i - Multiplicação da linha de ordem i por k. L i + kl j - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k. E) Complete corretamente as matrizes: A L L - L L L - L Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na matriz I E6) Aplique a seqüência L, L - L, - L, L - L na matriz. L L - L L L - L B E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos eercícios E e E6. O que se pode concluir?.. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I n, transforma I n em A. [ A I n ] seqüência de operações elementares [ I n A ] 6

11 7 E8) Determine a matriz inversa, caso eista, de cada uma das matrizes dadas: A, B, C e D E9) Mostre que t t ) (A ) (A. E) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo -se que A, B, C e X são matrizes inversíveis: a) AX B b) AXB C c) X AB C d) (AX ) t B e) AXB BA f) A t X t B.6. RESPOSTAS E) a) b) 7 c) 6 d) e) E) a) / ou b) ou c) -/6 E) A - E) A - B - 7 E8) A - 7 B - C - 6 D - E) a) XA - B b) XA - CB - c) X AB - C - d) X(B t ) - A e) XA - BAB - f) XB t A -

12 . SISTEMAS LINEARES.. INTRODUÇÃO O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser utilizado na resolução de sistemas de equações lineares... EQUAÇÃO LINEAR a + a + L + a nn b, com a, a, L a n, b R Eemplos a) No R, + b) No R, + + z c) As seguintes equações não são lineares:, +, cos, e - e ln +. Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação. Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção. Eemplos a) No R, o conjunto-solução da equação é {(,) / R } e (,) é uma solução particular. b) No R, o conjunto-solução da equação é {(,,z) /,z R} e (,7,9) é uma solução particular... SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Sistema linear de m equações com n incógnitas a a a m + a + a + a + L + a m + L + a n n + L + a n b b M M M M mn n n b m Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema. 8

13 E) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U. a), U + R b), U R c) + +, U R d) + z, U R + + z + z e), U R f) + z z, U R CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: determinado (solução única) compatível Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções) incompatível (não possui solução) REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR. A equação AXB é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é nula, o sistema é chamado de homogêneo. Um sistema homogêneo é sempre compatível: - Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis assumindo valor zero. - Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias. E) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX B admite apenas uma solução. Qual é esta solução se B? E) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja: a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível.. SISTEMAS EQUIVALENTES. Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes. E) Resolva, se possível, o sistema: + z + z z.. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no eercício E. 9

14 Eemplo: O sistema + z + + z + + z do eercício E, cuja matriz ampliada é E) Resolva o sistema: + z+ t zt.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações: a) Permutação de duas equações; b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero; c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero. Eemplo: Resolva o sistema por triangulação: + + z + + z + + z Permutando as duas primeiras equações Substituindo a o eq. pela sua soma com a o multiplicada por Substituindo a o equação pela sua soma com a o multiplicada por O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é determinado e seu conjunto solução é S {,, )} (. A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada. L L +(-)L L +(-)L E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento: a) + + z z b) + z + z + z

15 CLASSIFICAÇÃO DE SIS TEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente termo independente, o sistema é incompatível. Caso contrário o sistema é compatível: - determinado, quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas são as colunas da matriz dos coeficientes. - Indeterminado, quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de colunas da matriz dos coeficientes. Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado. E7) Determine o valor de m para que o sistema + + z + mz m + + z seja: a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível. E8) Resolva, se possível, o sistema + + z + + z + z.7. MÉTODO DE CASTILHOS. O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas sobre as equações são representadas por determinantes de º ordem. A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do eercício E8. º. Quadro do º. quadro:... - do º. quadro com... em qualquer equação:... º. Quadro do º. quadro com... e... em qualquer equação:... º. Quadro S {(,, )}

16 E9) Resolva, se possível, os sistemas: a) z z z z b) z z c) + + d) + + z z e) z f) z 7 E) Resolva o sistema para k -, k - e k. k k k z E) Se A e X z, resolva: a) A.X X b) A.X.X c) ( A.I ).X E) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível: a) + + c z 6 b z a z b) c t z b t z a t z c) c z b z a z d) c b a e) z c b a

17 .8. RESPOSTAS E) a) S{(,-)} b) S{ ( +, ) / R } c) S{ } d) S{ ( z, z, z) / z R } e) S{ (, z, z) / z R } f) S{ (,,) / R } E) S{(,-,)} E) S{ (,,t +,t) /, t R } E6) a) S{ (,, + ) / R } b) S{ } E7) a) m e m b) m c) m E8) S{(,-,)} E9) a) S{ } b) S{ ( z, z, z) / z R } c) S{ } d) S{ (, z, z) / z R } e) S{(,,)} f) S{ } E) k-, SCI, S{ (,,) / R} ; k-, SCI, S{ ( z,,z)/ z R} ; k, S{(,,)} z z E) a) S{(,,)} b) S{ ( z,, z) / z R } c) S{ ( z,, z) / z R } E) a) SI se c b e SCI se cb b) SCI, a,b, c R c) SCD, a,b, c R d) SI, se a-b-c e SCD se a-b-c e)scd, a,b, c R

18 . ESPAÇOS VETORIAIS.. INTRODUÇÃO Nesta secção, generaliza-se o conceito de vetor enunciando uma série de aiomas que, caso sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito de espaço vetorial ocorre em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências e na Engenharia. R R R {(, ) /, R} (, ) P (ponto) v (vetor) R v P R R RR {(,, z) /,, z R} (,,z ) P (ponto) v (vetor) z R z o P v Esta idéia pode ser estendida para,,... R da visão geométrica. R R n, {,,..., n ) /,,..., n R } (,com a perda E) Dê um eemplo de ponto ou vetor no: a) R b) R c) 6 R

19 Se u (,,..., n ) e v (,,..., n ) são vetores de a) u v,,..., n n (igualdade) n R, tem-se: b) u + v ( +, +,..., n + n ) c) αu (α,α,..., α n ), α R (operações) d) u.v n. n e) u + + L + n (módulo de u) Para o conjunto u,v n R n R, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é n, u+v R e α R, u A : u + v v + u, u,v n R n R A : (u + v) + w u + (v + w), u,v,w n n A : R, u R, u + u A : u n R, (-u) n R, u + (-u) n, αu R é fácil verificar-se as seguintes propriedades: n R n M : (α + β)u αu + βu, α,β R e u R n Μ : α(u + v) αu + αv, α R e u,v R n M : (αβ)u α(βu), α,β Re u R M : u u, u n R n Este conjunto R, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real... ESPAÇO VETORIAL REAL n Da mesma forma que o R, qualquer conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama-se espaço vetorial real. Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.

20 Outros eemplos importantes de espaços vetoriais:. O conjunto M mn das matrizes mn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Observação: O conjunto M n é a notação matricial do n Se u (,,..., n ) R então u escalar produzem o mesmo resultado). : n n R. M n (as operações de adição e multiplicação por. O conjunto Pn { a n + a n a n ; a i R } dos polinômios de grau menor ou igual a n, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.. O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por (f + g)() f() + g() e (αf)() αf(), α R. E) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais: a) M b) M c) P d) P E) Analise cada conjunto abaio e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais., a) V {(, ) R / + } b) V {(, ) R / + } c) V {(, ) R / e } d) V {(,, z) R / + + z } a e) V M / a f) V a c b M d / d.. RESPOSTAS E) a) Não b) Não c)não d) Não e) Não f) Não 6

21 . SUBESPAÇO VETORIAL.. INTRODUÇÃO Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que sejam também, espaços vetoriais. SUBESPAÇO VETORIAL Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V. Como S V, os aiomas A, A, M, M, M e M, da definição, são verificados pois todos os vetores de S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os aiomas A e A também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaio... SUBESPAÇO VETORIAL Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse: i) u, v S, u + v S ii) α R, u S, α u S E)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. a) S M /, R e V M. + b) S {(,) R / } V R c) S {, + ) / R} ( e V R d) S {(,, z) R / + z } V R e) S {(,, z) R / + z + } V R Importante: a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V. O subespaço {} é chamado de subespaço nulo. b) Qualquer reta do R que passa pela origem é um subespaço vetorial do R. c) Qualquer reta do R que passa pela origem é um subespaço vetorial do R. d) Qualquer plano do R que passa pela origem é um subespaço vetorial do R. 7

22 SUBESPAÇOS VETORIAIS DO R a) Triviais: R e {(,)} b) Não triviais: S {(, ) R / A + B } (retas que passam pela origem) SUBESPAÇOS VETORIAIS DO R a) Triviais: R e {(,,)} b) Não triviais: S {(,, z) R / m e z p} ou S {(,, z) R / a+ b+ cz } que passam pela origem) ( retas e planos SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO VETORIAL V a) Trivia is: V e {} b) Não triviais: outros E)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. e V R a) S {(, ) / R} b) S é o conjunto solução do sistema c) S {(,, z) R / e z } V R d) S {(,, z, t) R / } V R e V R e) S é o conjunto solução de um sistema homogêneo AX, onde A é uma matriz de ordem mn e uma solução X é um vetor de n R. f) S o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, V M g) S {(,, z) R / + e z } V R h) S /, R, V M i) S { + c / a, c R} a, V P j) S { a c / a,c,a } R +, V P k) S é o conjunto solução do sistema, V M l) S { A V / det A } + z + + z z e V R 8

23 .. RESPOSTAS E) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim e) Não E) a) Não b) Não c) Sim d)não e) Sim f)sim g) Não h) Sim i) Sim j) Não k) Sim l) Não 9

24 6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 6.. INTRODUÇÃO Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a determinação de novos vetores a partir de vetores dados. Sejam os vetores v, v,..., v n de um espaço vetorial V. Um vetor v V é combinação linear (CL) dos vetores v, v,..., v n se eistem os reais a,a,..., an, tais que a v + a v a n v n v. E) Verifique se o vetor v (, 8, 7) é combinação linear dos vetores (,, ) e v (,,). Em caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v e v. v A combinação linear a v + a v a n v n v pode ser representada matricialmente por MAV, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v, v,...,, A é a matriz coluna formada pelos vn coeficientes a,a,..., e V é a representação matricial do vetor v. an E) Sejam os vetores (,,), (,, ) e v (,,). v v a) Escreva, se possível, o vetor v (,, ) como CL dos vetores v e v. b) Escreva, se possível, o vetor v como CL dos vetores v e v. c) Determine o valor de m para que o vetor u (6,, m) seja CL dos vetores v e v. d) Determine os vetores do R que podem ser escritos como CL dos vetores v, v e v. e) Determine os vetores do R que podem ser escritos como CL dos vetores v e v (,, ). E) Sejam os vetores v, v e v de V M. 8 a)escreva, se possível, o vetor v como CL dos vetores v, v e v. b)escreva, se possível, o vetor v como combinação linear dos vetores v e v. E) Sejam os vetores p t t +, p t + e p t t de V P. a)escreva, se possível, o vetor p t t + 7 como CL dos vetores p, p e p. Nota: As operações de adição e multiplicação por escalar aplicadas sobre p at + bt + c e sobre p (a,b,c) produzem o mesmo resultado. Por que? Sugestão: represente o vetor at + bt + c pela terna (a,b,c). b)escreva, se possível, o vetor p como CL dos vetores p e p.

25 6.. RESPOSTAS E) v v - v E) a) vv +v b) Impossível c) m d) v R e) v(,,), R E) a) vv +v -v b) Impossível E) a) pp +p +p b) Impossível

26 7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO 7.. INTRODUÇÃO Nesta secção, veremos como determinar todos os vetores do espaço vetorial que podem ser obtidos a partir de vetores dados. E) Mostre que se V é um espaço vetorial e v, v,..., vn V, então o conjunto v V/ v a v + a v a v, R é um subespaço vetorial de V. S { } n n ai Sejam A {, v,.., v n } S { v V / v a v + a v a v, R} v um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e n n ai. O conjunto S também representado por G(A) ou [ v,v,..., vn ] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores v,v,..., vn. Eemplos os eercícios Ed e Ee página. E) Se V R, determine o subespaço gerado por: (Quais são os subespaços do R? Veja página 8 ) a) v (,) b) (, ) e (,) c) v (,) e v (,) v d) v (,), v (, ) e (, ) e) v (, ) e (, ) E) Se V R, determine o subespaço gerado por: (Quais são os subespaços do R? Veja página 8) v v a) v (,,) b) v (,,) e (, 6, ) c) (,,) e v (,, ) v d) (,, ), (,, ) e v (,, ) e) v (,,), v (,,) e v (,,) v v f) v (,,), v (,, ), v (,, ) e (,, ) E) Se V M, determine o subespaço gerado por: a) v, v, v e v b) v, v e v 6 c) v e v d) v v v v

27 E) Se V P, determine o subespaço gerado por: + a) v t + t, v t t e v t t b) t e v v + t c) v t e v t + + t + z t E6) Determine um conjunto gerador do conjunto solução do sistema: + z + t + z + 9t Sugestão: Procure escrever o vetor genérico do conjunto solução como combinação linear de vetores do R. 7.. RESPOSTAS E) a) {(, ) R / } b) {(, ) R / } c) R d) R e) R E) a) {(,, z) R / e z } b) {(,, z) R / e z } c) {(,, z) R / + z } d) {(,, z) R / z } a E) ) a) M b) c b / a a, b,c R c) a e) R f) R b / a, b R d) b b E) a) { at + bt + c / a + b c } b) { at + bt + c / b + c } c) { at + c / a, c R} E6) S {( t,, t,t) /, t R} b / b R b

28 8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 8.. INTRODUÇÃO Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e independência linear. Sejam os vetores v, v,..., v n de um espaço vetorial V e a equação a v + a v a n v n (). Os vetores v, v,..., são linearmente independentes (LI) caso a equação () admita apenas a vn solução trivial a a... a n. Se a equação () admitir soluções distintas da trivial, isto é, algum a i, então os vetores v, v,..., v n são linearmente dependentes (LD). E) Verifique se os vetores são LI ou LD. a) v (,,) e (,, 6) b) (,,), v (,,) e (,,) v c) v (,,), v (,,) e v (,,) v v 8.. PROPRIEDADES a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais. b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD. c) Se um conjunto é LD então qualquer conjunto que contém este também é LD. d) Se um conjunto é LI então qualquer subconjunto deste também é LI. E) Observe a figura abaio e justifique cada afirmação R v v v v a) é LD b) v é LI c) v e v são LD d) v e v são LI e) v, v e v são LD f) v, v, v e v são LD

29 E) Observe a figura abaio e justifique cada afirmação. z v v v v v o a) é LD b) v é LI c) v e v são LD d) ve v são LI e) v, v e v são LD f) v, v e v são LI g) v, v, v e v são LD h) v, v, v, v e v são LD. E) Complete a tabela abaio: número d e vetores LD LI R ou mais R ou mais E) Verifique se os vetores são LI ou LD. a) v, v e v b) v, v, v e v c), v e v v d) v +, v e v

30 8.. RESPOSTAS E) a) LD b)ld c) LI E) a)li b)ld c)ld d)li 6

31 9. BASE E DIMENSÃO 9.. INTRODUÇÃO Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V. Eemplo: Com base na figura abaio, determine um conjunto com o menor número de vetores que gere o R. Solução: Queremos determinar um conjunto de vetores que gere o R e que tenha o menor número de vetores escolhidos dentre v, v, v, v e v. a) Seja A o conjunto { v, v, v, v, v }. A é LI ou LD?... v R v v v v Qual é o subespaço vetorial do Qual é o subespaço vetorial do R, gerado por A?... b) Construa um conjunto B, retirando um vetor do conjunto A B {...,...,...,... }. O conjunto B é LI ou LD?... R, gerado pelo conjunto B?... c) Construa um conjunto C, retirando um vetor do conjunto B. C {...,...,... }. O conjunto C é LI ou LD?... Qual é o subespaço vetorial do R, gerado pelo conjunto C?... d) Construa um conjunto D, retirando um vetor do conjunto C, de modo que o gerado continue sendo o R. D {...,... }, Este conjunto é LI ou LD?... Se for retirado um vetor do conjunto D, o gerado será o R?... Portanto, D é um conjunto com o menor número de vetores que gera o R. Note que dos conjuntos considerados D é o único LI. Um conjunto com estas propriedades, LI e que gera um espaço vetorial V, é denominado de base de V. Portanto D é uma base do R. Apresente, a partir da figura acima, outra base do R : E {...,... } Quantas bases podemos construir com vetores do Quantos vetores tem uma base qualquer do R?... R?... 7

32 9.. BASE Seja B { v, v,... } a) B é LI; b) B gera V. v n um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se: E) Sejam os vetores v (,), v (-,) e v (,). Verifique se B é uma base do R. a) B { v } b) B { v, v } c) B { v, v, v } d) B { v, v } E) Sejam os vetores v (,,), v (,, ), (,,) e (,, ).Verifique se B é uma base do R. v a) B { v } b) B { v, v } c) B { v, v, v } d) B { v, v, v } e) B { v, v, v, v } E) Seja o conjunto B {(,-,-),(,-,)}. B é LI ou LD?... B é uma base do R? Qual é o subespaço S do R gerado por B? S... Logo, B é uma base de PROPRIEDADES. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado. v E) Seja o conjunto B do eercício E anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S, o o conjunto resultante será LI ou LD?. Se B { v, v,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de n vetores é LD.. Se B { v, v,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de B, isto é, eiste uma única n -upla ( a,a,..., ), tal que a v + a v a v v. n n an. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores. Eemplo: Qualquer base do R tem... vetores e qualquer base do R tem... vetores. 8

33 9.. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V. Eemplo: dim R... e dim R... E) Qual a dimensão do espaço vetorial S {(,, z) R / + z }? Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: v (,, + ). (,, z) S (,, z) (,, +.) (,, z) (,, ) + (,, ) (,, z).(,,) +.(,,) () Logo, qualquer vetor (,,z) de S é CL dos vetores v(,,) e v (,,), isto é, o gerado pelos vetores v e v é o conjunto S. Além disso, como B {v,v}é LI, B é uma base de S. Portanto, dim S ( B tem dois vetores). Na igualdade (), pode-se observar que o número de vetores é igual ao número de variáveis. Então, podemos dizer que: A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V. Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de n vetores de V é uma base de V. E6) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços: a) S R b) S P c) M S d) S {(, ) R / } e) S {(,,z) R / z } f) S6 + M / z e t z t E7)Determine a dimensão de cada um dos subespaços: n a) S R b)s M c) S mn P n E8)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços: a) S R b) S P c) M S d) S {(, ) R / } e) S {(,,z) R / + z } f) S6 M / z e t z t 9

34 , v verifique se B é uma base de M. E9) Sejam os vetores v, v, v e v a) B { v } b) B { v, v } c) B { v, v, v } d) B { v, v, v, v } e)b { v, v, v, v, v } E) Sejam os vetores v, v, v, v + verifique se B é uma base de P. a) B { v } b) B { v, v } c) B { v, v, v } d) B { v, v, v, v } E) Um certo espaço vetorial V é gerado por cinco vetores LD. O que pode ser dito sobre a dimensão de V? E) Determine um vetor u, tal que B {u,(,,),(,,)} seja uma base do R. E) Mostre que o conjunto solução de cada sistema abaio é um subespaço vetorial e ache uma base para cada um deles: + + z t + + z t a) b) + z t + z t + z t E)Dê um eemplo de um subespaço de M de dimensão. E)Encontre uma base para o R que inclua: a) (-,,) b) (-,,) e (,,) 9.. RESPOSTAS E) a) Não b) Não c) Não d) Sim E) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não E6) a) b) c) d) e) f) E7) a) n b) mn c) n + E8) a) b) c) d) e) f) E9) a) Não b) Não c) Não d) Sim e) Não E) a) Não b) Não c) Sim d) Não E) dim V < E) Qualquer vetor do conjunto {(,,z) R / + z }

35 . COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE.. INTRODUÇÃO Eiste uma estreita ligação entre a noção de base e a de um sistema de coordenadas. Por eemplo, no R, cada base representa um sistema de coordenadas, onde os vetores determinam a direção, sentido e unidade dos eios OX e OY, respectivamente. Portanto, cada vetor do espaço pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores da base... COMPONENTES DE UM VETOR Seja B { v, v,..., v n } uma base de um espaço vetorial V. v V, v av + a v a n v n. Os reais a, a,..., an são chamados de componentes ou coordenadas de v na base B e se representa por vb (a, a,..., an ). a Notação matricial: a v B. : a n E) Sejam as bases A { (,), v (,) } e B { (,), u (,) } do R e o vetor v (8,6). Determine v A e v B. v u E) Considere o eerc ício E e apresente, nos gráficos abaio, as representações do vetor v nas bases A{v,v } e B{u,u}. v v v u v u v...v +...v v A (...,... ) v...u +...u v B (...,... ).. MUDANÇA DE BASE Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base, é substituir o sistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro.

36 E) Sejam A {v (-,),v (,-)} e B {u (,-),u (,)} bases do R. Calcule v, sabendo que B v A (,). Se v A (a,a ) v av + a v v.(,) +.(, ) v v Av A () Se v B (b,b ) v bu + bu b b.(, ) + b.(,) v b v v Bv B () De () e (), Av A. Bv B que é a relação entre vetores nas bases A e B. Da relação acima, v B B A v A e v A B v B, onde: A - B A é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por - A B é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por A B B A M. M. Retornando o eercício E: M A B B A. A logo v B M.v B A v B (-,) Interpretação gráfica: v v A A M B E) Sabendo que A {(,),(-,-)} e B {(,),(,)} são base do R, determine: v B a) v B, sabendo que v A (, ) b) v A, sabendo que v B (, ) B E) Mostre que as matrizes M e M A são inversas. A B 9 E) Se M A B e B {(,-),(-,)}, determine a base A. E6) Se M B A e v B, determine v A. E7) Se A é uma base de um espaço vetorial de dimensão n, qual é a matriz mudança de base de A para A.

37 E8) Considere as bases A {v, v, v 6 } e B {u, u,u } do espaço M. a)determine a A M B. b) Se W 8 calcular W B. E9) Considere as bases {p,p } e {q +, q } A A a) Determinar a matriz M B. b) Calcular p A, onde p c) Use a matriz mudança de base para encontrar p B d) Calcular a matriz B M A e) Com o resultado de c e de d, calcule p A. B + E) Os sistemas O e O da figura ao lado são definidos pelas bases a S{(,),(,)} e P {u,,u, }, v S respectivamente. Utilizando a matriz u u mudança de base, determine: b a) v P (a,b), sendo v S (,) b) v S, sendo v P (, ).. RESPOSTAS E) v A (8,6) e v B (,) E) v B (-,) E) a) v B (-7,) b) v A (,) E) A{(,-),(,)} E6) v A (,,-) E7) In 9 E8) a) M A B b) W B E9) a) M A 7 B b) p A - 8 c) p B d) M B A 7 7 E) a) V p ( +, - +) b) V s ( -, +)

38 . PRODUTO INTERNO.. INTRODUÇÃO Nesta secção estamos interessados em formalizar o conceito de comprimento de um vetor. Com isso, teremos um processo para medir num espaço vetorial, da mesma forma que se mede no plano e no espaço. O produto interno apresenta aplicações na Estatística e no Cálculo Diferencial e Integral. Poderíamos definir também,com o produto interno, ângulo e distância entre vetores. Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores u,v V, associa um número real, denotado por <u,v> ou por u.v, satisfazendo as propriedades : i) u.u, e u.u sse u ii) u.v v.u iii) ( α u).v u.( α v) α (u.v), α R iv) u.(v+w) u.v + u.w O espaço vetorial V, neste caso, é chamado espaço vetorial euclidiano. Eemplos : a) V R, u (, ) R, v (, ) R com u.v +. b) O produto escalar usual dor n. c) VP, p a +a +a, q b + b +b com p.q a b + a b + a b. d) O espaço V das funções reais continuas no intervalo [a,b] com f,g V e f.g b f ()g()d a a b e f e) VM e. ae + bf + cg + dh c d g h E) Seja o eemplo c. Se p²+- e q²-6, calcule p.q e q.q. E) Seja o eemplo d, com a e b. Se f() e g() ². Calcule f.g, f.f e g.g. E) Seja o eemplo e. Se u e v calcule u.v e u.u. Norma, módulo ou comprimento de um vetor v de um espaço euclidiano é o número real não-negativo, indicado por v ou por v e definido por v v. v. E) Nos eercícios E, E e E, calcule p, q, f, g, u, e v.

39 Se v, isto é, v.v, v é chamado vetor unitário. Neste caso, dizemos que v está normalizado. v Todo vetor não-nulo v pode ser normalizado, fazendo-se. v E) Nos eercícios E, E e E, normalize os vetores p, q, f, g, u e v... RESPOSTAS E) p.q q.q E) f.g f.f g.g E) u.v u.u 6 E) p 8 q f g u v 6 E) p p q f g q f g u u v v 6 6

40 .. VETORES ORTOGONAIS. ORTOGONALIDADE Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v. u v u.v E) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais a) u (-,), v (,), V R b) u ( -,,-), v (,-,), V R c) u (,-,, -), v (7,-,,-), V R d) p, q, V P, com p.q p ()q()d a b e f e) A, B, V M, com. ae bf cg dh c d g h f) A, B, V M, com o produto interno de e. 8.. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais. Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários. B é ortogonal : vi.vj para i j. B é ortonormal : vi.vj para i j e vi.vj para ij. E)Construa uma base ortogonal do R. E)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no eercício E. E)Repita os eercíc ios E e E para o R. Nos eercícios E a E8, considere V R. E) Determine o vetor v de modo que B{v (,-,), v (,,),v } seja uma base ortogonal. E6) Construa uma base ortonormal a partir da base B do eercício E. E7) Determine os vetores v e v de modo que B{v (,,-),v,v } seja uma base ortogonal. E8) Construa uma base ortonormal a partir da base B do eercício E7. E9) Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços: a) S{(,,z) R / -+z } b) S{(,,z) R / z } c) S{(,,z,w) R / w-} E)Construa bases ortonormais para os subespaços do eercício E9. 6

41 E)Encontre as componentes do vetor v(-,,) na base A{(,,),(-,,),(,-,)} E) Encontre as componentes de v na base ortonormal construída a partir de A. E) Mostre que as componentes de um vetor v de um espaço vetorial V em relação a uma base ortogonal B{v,v,...v n } de V são a i v.v i / v i.v i, com i,...,n. Estas componentes são chamadas coeficientes de Fourier. Sugestão: Suponha que B{v,v,...,v i,...,v n } seja ortogonal e multiplique escalarmente os dois membros da equação a v +a v +...+a i v i +...+a n v n v por v i. E) Como ficam os coeficientes de Fourier se a base B for ortonormal? E) Resolva os eercícios E e E com os resultados dos eercícios E e E... PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM -SCHMIDT O processo de Gram-Schmidt que nos possibilita construir uma base ortogonal B{u,u,...,u n } de um espaço vetorial V a partir de uma base qualquer A{v,v,...,v n } de V, consiste no seguinte: v Considera-se u v e u i v i - i.u vi.u i.u.... ui u.u ui.u, para i,...,n. i E6)Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal: a) B{(,-),(,)} b) B{(,,),(,,),(,,-)} c) B{(,,-),(,,),(,,)} d) B{(,,,),(,,,),(,,,-),(,,,)} e)b{( -,,),(,,)} f) B{(,,,),(,,,),(,-,,)} E7)Use as bases ortogonais obtidas no eercício E6 para construir bases ortonormais... RESPOSTAS E) a) SIM b) NÃO c) NÃO d) SIM e) SIM f) NÃO E) v (,, ), E6),,,,,,,, E) v A (-,,) E) v A (,, 6) E) a i v.v i com i,...,n. 7

42 . TRANSFORMAÇÕES LINEARES.. INTRODUÇÃO As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática... TRANSFORMAÇÃO LINEAR Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL), se i) f(u+v) f(u) + f(v), u, v V ii) f( α u) α f(u), α Re u V No caso de V W, f é chamada operador linear sobre V. E) Mostre que as transformações abaio são lineares.. a) f: R R, dada por f() b) f: R R, dada por f(,) (, +, ). E) Quais das seguintes transformações são lineares? a) f() + b )f(,) c)f(,,z) (,, z ) d)f(,) + E) Numa TL. f: V W, f (u) u e f(v)v, calcule : a) f(u+v) b) f(u) c) f(u -v) d) f(u+v) Importante: a) Se f: V W é uma TL então f( V ) W. b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a v + a v a n v n ) a f(v ) + a f(v ) a n f(v n ). E) Mostre que a transformação identidade : f: V V, f(v) v é linear. E) Seja f: R w a projeção ortogonal do R sobre o plano, indicado por w. a)encontre a f(,,z) b)determine f (,-,) E6) Se f: R R é linear e u(,), v(-,), f(u) (,-,-) e f(v)(-,-,-) calcule: a) f(u+v) b) f(u) c) f(,) d) f(u-v) E7) Seja V o espaço vetorial das funções diferenciáveis. Mostre que f: V W, com f(v) v é linear. 8

43 E8) Seja V o espaço vetorial das funções definidas em [,]. Mostre que f:v W, com f(v) v()d é linear E9) Quais das seguintes transformações são lineares? a) f + z w b) f z w + z z c) f(a + b) a + b E) Seja f:p P a TL tal que f(), f(t)t, e f(t ) t + t. Encontre f(t -t+).. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA Seja a matriz A. Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v, por multiplicação, o resultado será o vetor u Av Logo, a matriz A define uma transformação f: R R, onde f(v) A.v ou f(,)... Importante: A transformação f: R n R m definida por f(v) A.v é linear. n m Toda matriz A mn define uma TL f: R R, com f(v) A.v. Neste caso, A é chamada matriz natural ou matriz c anônica de f e A pode ser representada também por [f]. Se a matriz A define a TL f, então as linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f. E) Seja a matriz A, determine : a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v(,-,), usando a matriz A. c) a imagem de v(,-,), usando a lei. d) o vetor u, tal que f(u) E) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (,)(+,-,-) E) Escreva a matriz natural associada a transformação linear : a) f(,,z)(+ -z,) b) f()(,, -) c) f(,)+ d) f() 9

44 E)Um operador linear no R é definida pela matriz [ ] f. Determine u e v, tal que : a) f(u)u b) f(v) -v E)Um operador linear no R é definido pela matriz A. Determine v e w tal que: a) f(v) b) f(w) (,-,-) E6)Um operador linear é definido pela matriz A. Determine v e u tal que: a) Av v b) Au -u.. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE Se B {v,v,...,v n } é uma base do espaço vetorial V então podemos encontrar a i com i,,...,n. v V, v a v + a v a n v n (), isto é, Se f: V W é uma TL, f(v) a f(v ) + a f(v ) a n f(v n ), isto é, f(v) é CL das imagens com os mesmos coeficientes a i, calculados em (). Portanto, é possível calcular f(v), quando são conhecidas as imagens dos vetores de uma base do domínio de f. Uma TL f: V W está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores de uma base do domínio de f. E7) Seja f: R R a TL definida por f(,-) (,,) e f(,) (-,,-). Determine: a) f(,) b) f(,) c) f(,) pela lei E8) Seja f: R R a TL definida por f(,,) (,), f (,,) (-,) e f(,,) (-,-). Encontre f(,,z) e [f]. E9) Seja f a TL definida por f(,) (, -,) e f(,) (,,). Encontre f(,) e [f]. E) Seja f a TL definida por f(,,) (,), f (,,) (,-) e f(,,) (,). Encontre f(,,z) e [f].

45 .. COMPOSTA DE DUAS TL Sejam f : V W e f : W U transformações lineares. A composta de f com f é a TL f of : V U definida por (f of )(v) f (f (v)). W wf (v) [f ].v f f [f ] [f ] V v f of [f of ] [f ]. [f ] U u f (w) [f ].[f ].v Importante: A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa. E) Sejam os operadores lineares definidos por f (,) (+, -) e f (,) (-, ). Determine: a) as matrizes das compostas f of e f of. b) as leis das compostas f of e f of. E) Sejam as TL dadas por f (,) ( +, +, ) e f (,,z) ( -, -z). Determine: a) as matrizes das compostas f of e f of. b) as leis das compostas f of e f of.

46 .6. RESPOSTAS E) a) Não b) Não c) Sim d) Não E) a) u + v b) 6u c) u v d) u + v E) a) (,,) b) (,-,) E6) a) (,-,-) b) (6,-,-6) c) (,-,-) d) (,,) E9) a) Não b) Não c) Sim E) f(t - t + ) t + t t + E) a) f(,,z) ( + z, + + z) b) (-,) c) (-,) d) (-7z,z,z), z R E) A E) a) A b) A c) A [ ] d) A [] E) a) (, ), R b) (, ), R E) a) (z, z, z), z R b) (z, z, z), z R E6) a) (, ) R b) NE E7) a) (-, 6, -) b) f(,) (, 6 +, - ) c) (-, 6, -) E8) f(,,z) ( z, + z ) [ f ] E9) f(,) ( +, -, + ) [ f ] E) f(,,z) ( z, - + z ) [ f ] 9 E) a) e 7 9 b) b) f(,) (9 -, + ) e f(,) (7 +, 9 + ) E) a) e b) f(,,z) ( + - z, z, ) e f(,) ( +, - + )

47 . TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS.. INTRODUÇÃO Nesta secção, apresentaremos alguns operadores lineares f : R R utilizados na computação gráfica bidimensional. A computação gráfica tem importante papel nas áreas de videogames e de efeitos especiais para a indústria cinematográfica. E) Seja o operador linear f definido por f(,) (-,) e f(,) (,). Encontre f(,) e [f]... REFLEXÕES. Refleão em relação ao eio das abscissas. e o f(e )e f(e )-e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f], f(,) (...,...) Refleão em relação ao eio das ordenadas. f(e )e f(e )-e o e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f], f(,) (...,...) E) Esboce a imagem do ponto P(-,), através de: a) refleão em torno do eio ; b) refleão em torno do eio ; E) Esboçar a imagem do vetor v (,), através de: a) refleão em torno do eio ; b) refleão em torno do eio ;

48 . Refleão em relação à origem e f(e )-e o e f(e )-e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f], f(,) (...,...) Refleão em relação à reta. f(e )e o f(e )e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f]......, f(,) (...,...). Refleão em relação à reta -. e f(e )-e o e f(e )-e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f]......, f(,) (...,...) E) Esboce a imagem do vetor v (,), através de: a) refleão em torno da origem; b) refleão em torno da reta ; c) refleão em torno da reta -.

49 E) Determine a matriz da TL plana que representa uma refleão em relação ao eio, seguida de uma refleão em relação à reta -. E6) Esboçar a imagem da reta, através de: a) releão em torno do eio das abscissas b) refleão em torno da origem; c) refleão em torno da reta ; d) refleão em torno da reta -... DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES. Dilatação e Contração de fator α Contração: α < e f(e ) o f(e ) e f(e ) α e f(e ) α e Dilatação: α > f(e ) e o e f(e ) f(e ) α e f(e ) α e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f]......, f(,) (...,...). Dilatação e Contração na direção do eio das abscissas. f(e )e f(e )e o e f(e ) o f(e ) e f(e ) α e α > α < f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f], f(,) (...,...)......

50 . Dilatação e Contração na direção do eio das ordenadas. f(e) e e f(e ) o f(e )e o f(e )e f(e ) α e α > α < f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f], f(,) (...,...) E7) Esboce a imagem do vetor v (,), através de: a) contração de fator / na direção ; b) dilatação de fator na direção ; c) contração de fator / na direção ; d) dilatação de fator na direção. E8) Esboçar a imagem do retângulo de vértices A(,), B(,), C(,) e D(,), através de: a) contração de fator / na direção ; b) dilatação de fator na direção ; c) contração de fator / na direção ; d) dilatação de fator na direção. E9) Determine a matriz da TL plana que representa uma refleão em relação ao eio, seguida de uma refleão em relação à reta e, finalmente uma dilatação de fator na direção... CISALHAMENTOS. Cisalhamento na direção do eio das abscissas e f(e ) o α f(e )e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f]......, f(,) (...,...). Cisalhamento na direção do eio das ordenadas. f(e )e α f(e ) o e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [f], f(,) (...,...)

51 E) Esboce a imagem do retângulo de vértices A(,), B(,), C(,) e D(,), através de: a) cisalhamento por um fator na direção ; b) cisalhamento por um fator / na direção ; c) cisalhamento por um fator na direção ; d) cisalhamento por um fator / na direção. E) Seja o triângulo de vértices A(,), B(,) e C(,). Esboçar a imagem do triângulo através de uma contração de fator / na direção, seguida de uma refleão em relação ao eio e, finalmente um cisalhamento de fator / na direção. E) Achar a matriz de cisalhamento na direção que transforma o triângulo de vértices (,),(,) e (,) num triângulo retângulo cujo ângulo reto está na origem. E) Determine a matriz da TL plana que representa uma refleão em relação ao eio, seguida de uma dilatação de fator na direção e, finalmente um cisalhamento de fator na direção... ROTAÇÕES. Rotação no sentido anti-horário. e f(e ) f(e ) θ θ o e f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) f (v) [ f ].v onde[ f ], θ < π. Se θ < (sentido horário) considera-se o ângulo - θ. e f(e ) θ o θ e f(e ) θ θ θ f(e ) (...,...) f(e ) (...,...) [ ] f ( θ ) E) Ache a matriz que gira um ponto do plano em torno da origem um ângulo de: a) b) -6 7

52 E)Esboce a imagem do vetor: a)v(,) através de uma rotação de 9 ; b)v(, ) através de uma rotação de. E6) Determine, em cada item, a matriz que representa a seqüência de operações indicada: a)efetuar uma rotação de, depois cisalhar por um fator na direção ; e finalmente dilatar por um fator na direção. b)comprimir por um fator / na direção ; a seguir dilatar num fator na direção. c)refletir em torno de ; a seguir, girar um ângulo de 8. - E7)Encontre a figura resultante das imagens dos vértices da figura acima através de: a)refleão em torno do eio ; b) refleão em torno do eio ; c) refleão em torno do eio ; d) contração por um fator /; e)dilatação de fator ; f)contração por um fator / na direção do eio ; g)dilatação por um fator na direção do eio ; h)cisalhamento por um fator na direção do eio ; i)rotação de ; j) rotação de -9. 8

53 .6. RESPOSTAS E) f(,) (- +, + ) e [f] E) a) b) v v f(v) - - f(v) - E) a) b) v f(v) v - - f(v) f(v)(,) E) a) b) c) - v(,) v(,) v(,) f(v)(-,-) f(v)(-,-) E) E6)a) sf(r) r b) f(r) r E7) a) b) c) f(v)(,) v(,) v(,) f(v)(,) v(,) f(v)(,/) d) f(v)(,) v(,) 9

54 E8) a) b) / c) d) / E9) E) a) b) / / / c) d) / /

55 E) (-/,-) E) E) E) a) b) E) a) b) v(,) f(v)(-,) v(, ) f(v)(,) E6) a) b) c) E7)

56 . MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER.. INTRODUÇÃO n m Na secção, vimos que cada TL f: R R está associada a uma matriz A mn, tal que f(v) Av. Esta idéia pode ser estendida para qualquer TL f:v W. Nesta secção veremos que uma TL f:v W pode ser representada por infinitas matrizes,no entanto, fiadas uma base de V e uma base de W, a matriz que representa f é única. Sejam f:v W uma TL, A { v, v,... } v n de W. Como f(v ),f(v ),...f(v n ) W, podemos escrever: f(v )a w +a w a m w m f(v ) B (a,a,... a m ) f(v )a w +a w a m w m f(v ) B (a,a,... a m ) f(v n )a n w +a n w a mn w m f(v n ) B (a n,a n,... a mn ) A matriz que representa a TL f em relação as bases A e B é uma base de V e B{w,w,...w m }uma base [f ] A B a a M a m a a a M... a... a m L a n M n mn f(v n ) B f(v ) B f(v ) B A A matriz [ é tal que f(v) B [ f.v A A f ] B ] B E) Seja a TL f: R R, dada por f(,,z) (+ -z,-+z), v(,,) e A{(,,),(,,),(,,)} e B{(,),(,)} são bases do R e R, respectivamente, determine: a) f(v) b) v A c) f(v) B d) [ f e) f(v) B usando A ] B A [ f ] B

57 A.. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ [ f n m Para encontrar a matriz de uma TL f: R R em relação as bases A{ v, v,... } e B{w,w,...wm}, podemos adotar o seguinte procedimento: º ) calcular f(v i ) para i,,...n. ] B v n º ) formar a matriz [ w,w,...w m f(v ),f(v ),...f(v n ) ] e coloca-la na forma escalonada, obtendo assim a matriz[ I n M ]. A º ) [ f M. ] B E) Resolva o eercício Ed usando o procedimento.. A E) Encontre [ f, sendo f a TL do eercício E e A e B as bases canônicas. ] B E) Sejam f(,,z) (-+z, + -z), A {(,,),(,,),(,,)}, B {(,),(,)} e v (,-,). Determine: a) f(v) b) v A c) f(v) B d) [ f e) f(v) B usando [ A ] B A f ] B E) Sejam f(,) (-, +), A {(,-), (-,)} e B {,), (-,)}. Determine; A A a) [ f ] B b) [ f ] A c) [ f ] B d) f(v)b para v (,), usando [ f ] B e [ f ] B [ f ] B B e) [ f ] A f) f(v) A, para v (,), usando [ f ] A e A.. RESPOSTAS E) a) (, ) b) ( -,-, ) c) (-7,8) d) 8 e) (-7,8) E) E) a) (,) b) (,-7,6) c) (,-) d) e) (,-7,6) E) a) 7 b) 7 8 c) 7 d) (7,) e) f) (,)

58 6. OPERADORES LINEARES 6.. INTRODUÇÃO Um dos problemas fundamentais da álgebra linear é escolher uma base de v de modo que o operador f : v v seja o mais simples possível. muitas vezes a matriz canônica(natural) que representa o operador na base canônica não é a matriz mais simples de f. neste caso, procura-se, através de mudança se base, encontrar uma matriz mais simples. nesta secção, serão apresentadas propriedades particulares de alguns operadores e de suas matrizes. E) Sabendo que f(,) ( -, + ) e que A {(,-),(-,)} e B {(,),(,)} são bases do R, determine [f] A e [f] B. 6.. MATRIZES SEMELHANTES Seja f :V V um operador linear. As matrizes [f] A e [f] B são chamadas matrizes semelhantes por representarem o mesmo operador linear em bases distintas. 6.. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES. Seja f: V V um operador linear. [f] B v B Q M B A f(v) B A M B ( M B A )- Q - [f] A v A f(v) A A figura acima mostra que eistem dois caminhos para ir de v B para f(v) B. () f(v) B [f] B.v B e () f(v) B Q -.[f] A.Q.v B Comparando () e (), vem : [f] B Q -.[f] A.Q com Q M B A A-.B E) No eercício, use a relação entre matrizes semelhantes para encontrar : a) [f] B, partindo de [f] A b) [f] A, partindo de [f] B c) [f], partindo de [f] A E) Calcule det[f] A, det[f] B e det[f]. Se [f] A e [f] B são matrizes semelhantes então det[f] A det[f] B.