Capítulo 4. Coordenadas Curvilíneas. 4.1 Introdução. Definição 4.1 Um sistema de coordenadas é uma correspondência biunívoca

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1 Capítulo 4 Coordenadas Curvilíneas 4.1 Introdução Definição 4.1 Um sistema de coordenadas é uma correspondência biunívoca Φ : E 3 D = D x D y D z R 3,P E 3 7 Φ (P )=(x, y, z) R Se Φ (P )=(x, y, z),x,ye z são as coordenadas de P no sistema Φ. 2. O ponto O E 3 tal que Φ (O) =(0, 0, 0) é chamado origem do sistema. 3. Se a, b R são constantes, os conjuntos C 1 = {P E 3 : Φ (P )=(x, a, b),x D x }, C 2 = {P E 3 : Φ (P )=(a, y, b),y D y }, C 3 = {P E 3 : Φ (P )=(a, b, z),z D z }, são chamados de curvas coordenadas. Quando a = b = 0 são denominados eixos coordenados. 4. Se a R é constante, os conjuntos S 1 = {P E 3 : Φ (P )=(a, y, z),y,z D y D z }, S 2 = {P E 3 : Φ (P )=(x, a, z),x,z D x D z }, S 3 = {P E 3 : Φ (P )=(x, y, a),x,y D x D y }, são chamados superfícies coordenadas. 5. Quando as curvas coordenadas são retas, dizemos que o sistema é um sistema de coordenadas cartesianas. 6. Quando as curvas coordenadas se cruzam ortogonalmente, dizemos que o sistema é um sistema ortogonal. 181

2 182 CAPÍTULO 4. COORDENADAS CURVILÍNEAS Dadosossistemasdecoordenadas aaplicação Φ 1 : E 3 R 3, Φ 1 (P )=(u 1,u 2,u 3 ), Φ 2 : E 3 R 3, Φ 2 (P )=(x 1,x 2,x 3 ), Ψ = Φ 2 Φ 1 1 : Φ 1 E 3 R 3, (u 1,u 2,u 3 ) 7 (x 1 (u 1,u 2,u 3 ),x 2 (u 1,u 2,u 3 ),x 3 (u 1,u 2,u 3 )), é chamada aplicação mudança de coordenadas. Supondo que Ψ édeclassec 1 eque, a menos de um conjunto de medida nula se tem (x 1,x 2,x 3 ) (u 1,u 2,u 3 ) 6=0, obtemos pelo Teorema da função inversa que Ψ é localmente inversível e sua inversa é de classe C Coordenadas cartesianas ortogonais Consideramos no espaço euclidiano E 3, tres retas orientadas, os eixos, que se cruzam ortogonalmente no ponto O E 3. Um ponto P E 3 é projetado ortogonalmente sobre oseixosobtendo-seospontosp 1 sobre Ox, P 2 sobre Oy e P 3 sobre Oz. Exemplo 4.2 As coordenadas x, y e z de P são dadas, respectivamente, pelos comprimentos dos segmentos OP 1,OP 2 e OP 3 com sinal ± conforme P 1,P 2 e P 3 esteja à dieirta ou à esquerda de O.

3 4.1. INTRODUÇÃO Coordenadas cilíndricas Consideramos tres retas orientadas que se cruzam ortogonalmente em O E 3. Um ponto P E 3 é projetado ortogonalmente no plano xoy obtendo-se o ponto Q, as coordenadas cilíndricas de P são (ρ, θ, z) onde ρ = koqk,ρ [0, ), θ = (Ox, OQ),θ [0, 2π], z = ±kpqk,z R. Mudança de coordenadas cilíndricas para cartesianas: Admitindo que os dois sistemas tenham a mesma origem, temos Ψ : D R 3, onde D = R + [0, 2π] R e Ψ (ρ, θ, z) = (x ((ρ, θ, z)),y(ρ, θ, z),z(ρ, θ, z)), com O jacobiano desta transformação é x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = z. (x, y, z) (ρ, θ, z) =ρ, (ρ, θ, z) que se anula apenas num conjunto de medida nula, o eixo Oz.

4 184 CAPÍTULO 4. COORDENADAS CURVILÍNEAS Coordenadas esféricas Consideramos tres retas orientadas que se cruzam ortogonalmente em O E 3. Um ponto P E 3 é projetado ortogonalmente no plano xoy obtendo-se o ponto Q, as coordenadas esféricas de P são (ρ, ϕ, θ) onde ρ = koqk,ρ [0, ), θ = (Ox, OQ),θ [0, 2π], ϕ = (Oz, OP),ϕ [0,π]. Mudança de coordenadas esféricas para cartesianas: Admitindo que os dois sistemas tenham a mesma origem, temos Ψ : D R 3, onde D = R + [0,π] [0, 2π) e Ψ (ρ, ϕ, θ) = (x ((ρ, ϕ, θ)),y(ρ, θ, ϕ),z(ρ, ϕ, θ)), com x = ρ cos θ sen ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos ϕ. O jacobiano desta transformação é (x, y, z) (ρ, θ, ϕ) (ρ, θ, ϕ) =ρ2 sen ϕ, que se anula apenas num conjunto de medida nula,o eixo Oz.

5 4.2. FATORES DE PROPORCIONALIDADE E VERSORES Fatores de proporcionalidade e versores Por (x 1,x 2,x 3 ) denotaremos as coordenadas cartesianas de um ponto P e (u 1,u 2,u 3 ) as coordenadas de P num sistema qualquer. Sejam i, j, k os versores da base canônica, o vetor r (x 1,x 2,x 3 )=x 1 i + x 2 j + x 3 k, éovetor posição de P.Se Ψ (u 1,u 2,u 3 )=(x 1 (u 1,u 2,u 3 ),x 2 (u 1,u 2,u 3 ),x 3 (u 1,u 2,u 3 )), é uma mudança de coordenadas, escrevemos r (u 1,u 2,u 3 )=x 1 (u 1,u 2,u 3 ) i + x 2 (u 1,u 2,u 3 ) j + x 3 (u 1,u 2,u 3 ) k. Os vetores (u 1,u 2,u 3 ), (u 1,u 2,u 3 ), (u 1,u 2,u 3 ), u 1 u 2 u 3 são vetores tangentes às curvas coordenadas C 1,C 2 e C 3 respectivamente. Os escalares h 1 = (u 1,u 2,u 3 ) u 1,h 2 = (u 1,u 2,u 3 ) u 2,h 3 = (u 1,u 2,u 3 ) u 3, são chamados fatores de proporcionalidade e os vetores e 1 = 1,e 2 = 1,e 3 = 1, h 1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3 são os vetorestangentesunitáriosàscurvascoordenadasc 1,C 2 e C 3 respectivamente. Os vetores E 1 = u 1 k u 1 k,e 2 = u 2 k u 2 k,e 3 = u 3 k u 3 k, são os vetores normais unitários às superfícies coordenadas S 1,S 2 e S 3 respectivamente. Os conjuntos {e 1,e 2,e 3 }, {E 1,E 2,E 3 } forma uma base do R 3 e dado um vetor u qualquer podemos escrever u = c 1 + c 2 + c 3 = d 1 u 1 + d 2 u 2 + d 3 u 3, u 1 u 2 u 3 os escalares c l são chamados componentes contravariantes de u, e os escalares d l são chamados componentes covariantes de u. Nota 4.3 Quando o sistema (u 1,u 2,u 3 ) éortogonaltemose l = E l para l =1, 2, 3. Exemplo 4.4 Sejam (x, y, z) as coordenadas cartesianas de P e (ρ, θ, z) suas coordenadas cilíndricas. Temos r (ρ, θ, z) =ρ cos θi+ ρ sen θj+ zk.

6 186 CAPÍTULO 4. COORDENADAS CURVILÍNEAS 1. Na curva C ρ consideremos θ e z constantes, o vetor tangente é (ρ, θ, z) =cosθi+senθj, ρ o fator de proporcionalidade h ρ é h ρ = (ρ, θ, z) ρ =1, e o versor e ρ é e ρ =cosθi+senθj. 2. Na curva C θ consideremos ρ e z constantes, o vetor tangente é (ρ, θ, z) = ρ sen θi+ ρ cos θj, θ o fator de proporcionalidade h θ é h θ = (ρ, θ, z) θ = ρ, e o versor e θ é e θ = sen θi+cosθj. 3. Na curva C z consideremos θ e ρ constantes, o vetor tangente é (ρ, θ, z) =k, z o fator de proporcionalidade h z é h z = (ρ, θ, z) z =1, e o versor e z é e z = k. 4. Na superfície S ρ consideramos ρ constante, temos ρ (x, y, z) = p x 2 + y 2, logo Assim E ρ = ρ (x, y, z) = ρ k ρk = x p x2 + y i + y p 2 x2 + y j. 2 x p x2 + y 2 i + y p x2 + y 2 j = e ρ.

7 4.2. FATORES DE PROPORCIONALIDADE E VERSORES Na superfície S θ consideramos θ constante, temos θ (x, y, z) = arctan y x, logo Assim E θ = θ (x, y, z) = θ k θk = y x 2 + y i + x 2 x 2 + y j. 2 y p x2 + y 2 i + x p x2 + y 2 j = e θ. 6. Na superfície S z consideramos z constante, temos θ (x, y, z) =z, logo Assim E z = z (x, y, z) =k. z k zk = k = e z. Observamos que e ρ.e θ = e ρ.e z = e θ.e z =0, portanto o sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema ortogonal Comprimento de arco num sistema ortogonal Seja γ :[a, b] R 3 uma curva regular dada por ou, ainda γ (t) =x 1 (t) i + x 2 (t) j + x 3 (t) k, γ (t) =x 1 (u 1 (t),u 2 (t),u 3 (t)) i + x 2 (u 1 (t),u 2 (t),u 3 (t)) j + x 3 (u 1 (t),u 2 (t),u 3 (t)) k. Temos pelo Teorema da função composta que x1 γ 0 (t) = u 0 1 (t)+ x 1 u 0 2 (t)+ x 1 u 0 3 (t) i+ u 1 u 2 u 3 x2 + u 0 1 (t)+ x 2 u 0 2 (t)+ x 2 u 0 3 (t) j+ u 1 u 2 u 3 x3 + u 0 1 (t)+ x 3 u 0 2 (t)+ x 3 u 0 3 (t) k, u 1 u 2 u 3 logo γ 0 (t) =u 0 1 (t) + u 0 2 (t) + u 0 3 (t), u 1 u 2 u 3

8 188 CAPÍTULO 4. COORDENADAS CURVILÍNEAS ou ainda γ 0 (t) =u 0 1 (t) h 1 e 1 + u 0 2 (t) h 2 e 2 + u 0 3 (t) h 3 e 3 (4.1) Se o sistema (u 1,u 2,u 3 ) é ortogonal segue que kγ 0 (t)k = Ocomprimento4s do arco γ\ t γ t+4t étalque q (u 0 1 (t) h 1 ) 2 +(u 0 2 (t) h 2 ) 2 +(u 0 3 (t) h 3 ) 2. 4s e= kγ 0 (t)k 4t. Concluimos que q 4s e= (u 0 1 (t) 4th 1 ) 2 +(u 0 2 (t) 4th 2 ) 2 +(u 0 3 (t) 4th 3 ) 2 q = (4u 1 h 1 ) 2 +(4u 2 h 2 ) 2 +(4u 3 h 3 ) 2 ou usando a notação de Leibinitz q ds = (du 1 h 1 ) 2 +(du 2 h 2 ) 2 +(du 3 h 3 ) 2. Exemplo 4.5 No sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) consideremos a curva γ : [a, b] R 3 tal que ρ (t) =cost, θ (t) =t, z (t) =1, 0 t 2π. Logo ρ 0 (t) = sen t, θ 0 (t) =1,z 0 (t) =0, como h ρ =1,h θ = ρ, h z =1, temos de (4.1) que q γ 0 (t) = sen te ρ +coste θ e kγ 0 2 (t)k = sen t +cos 2 t =1. Observemos que x (t) =ρ (t)cosθ (t),y(t) =ρ (t)senθ (t),z(t) =z (t), então γ é dada por Assim γ (t) =cos 2 ti+cost sen tj+ k. γ 0 (t) = 2cost sen ti+ ³ sen 2 t +cos 2 t j. (4.2)

9 4.2. FATORES DE PROPORCIONALIDADE E VERSORES 189 Vimos que logo Substituindo estes dados em (4.2) segue e ρ =cosθi+senθj, e θ = sen θi+cosθj, e z = k, i =cosθe ρ sen θe θ, j =senθe ρ +cosθe θ, k = e z. γ 0 (t) = sen te ρ +coste θ Elemento de volume num sistema ortogonal Consideremos o volume 4V determinado pelos deslocamentos 4u 1, 4u 2 e 4u 3 ao longo das curvas coordenadas. A curva coordenada C 1 tem como parametrização γ (t) =x 1 (u 1 (t),u 2,u 3 ) i + x 2 (u 1 (t),u 2,u 3 ) j + x 3 (u 1 (t),u 2,u 3 ) k, logo por (4.1) temos γ 0 (t) =u 0 1 (t) h 1 e 1, então o deslocamento 4u 1 é dado aproximadamente por u 0 1 (t) h 1 4te 1. Procedendo de modo análogo com as curvas C 2 e C 3, vemos que os deslocamentos 4u 2 e 4u 3 podem ser dados aproximadamente por u 0 2 (t) h 2 4te 2 e u 0 3 (t) h 3 4te 3.

10 190 CAPÍTULO 4. COORDENADAS CURVILÍNEAS Concluimos que 4V e= u 0 1 (t) h 1 4te 1.u 0 2 (t) h 2 4te 2 u 0 3 (t) h 3 4te 3. Se o sistema é ortogonal segue 4V e= u 0 1 (t) 4t u 0 2 (t) 4t u 0 3 (t) 4t h 1 h 2 h 3, ou usando a notação de Leibinitz dv = du 1 du 2 du 3 h 1 h 2 h 3. Exemplo 4.6 O elemento de volume no sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) é dv = ρdρdθdz.